第八章 第十一节 圆锥曲线中的证明、探究性问题（课时跟踪检测）-【优学精研】2026年高考数学一轮总复习学用word

第十一节　圆锥曲线中的证明、探究性问题 1.已知椭圆C：＋＝1. （1）求椭圆C的离心率和长轴长； （2）已知直线y＝kx＋2与椭圆C有两个不同的交点A，B，P为x轴上一点，是否存在实数k，使得△PAB是以点P为直角顶点的等腰直角三角形？若存在，求出k的值及点P的坐标；若不存在，说明理由. 2.（2024·湖北七市州调研）如图，O为坐标原点，F为抛物线y2＝2x的焦点，过F的直线交抛物线于A，B两点，直线AO交抛物线的准线于点D，设抛物线在B点处的切线为l. （1）若直线l与y轴的交点为E，求证：｜DE｜＝｜EF｜； （2）过点B作l的垂线与直线AO交于点G，求证：｜AD｜2＝｜AO｜·｜AG｜. 3.已知点P是动点，直线PA与直线y＝x垂直，垂足为点A且位于第一象限，直线PB与直线y＝－x垂直，垂足为点B且位于第四象限，四边形OAPB（O为坐标原点）的面积为2，动点P的轨迹记作Ω. （1）求Ω的方程； （2）设T是直线x＝1上一点，过T的直线l与Ω交于C，D两点，试问是否存在点T，使得·＝？若存在，求T的坐标，若不存在，请说明理由. 4.（2025·八省联考）已知椭圆C的离心率为，左、右焦点分别为F1（－1，0），F2（1，0）. （1）求C的方程； （2）已知点M0（1，4），证明：线段F1M0的垂直平分线与C恰有一个公共点； （3）设M是坐标平面上的动点，且线段F1M的垂直平分线与C恰有一个公共点，证明M的轨迹为圆，并求该圆的方程. 1 / 1 学科网（北京）股份有限公司 $ 第十一节　圆锥曲线中的证明、探究性问题 1.解：（1）由题意：a2＝4，b2＝2，所以a＝2， 因为a2＝b2＋c2，所以c2＝2，c＝， 所以e＝＝. 所以椭圆C离心率为，长轴长为4. （2）联立消y整理得：（2k2＋1）x2＋8kx＋4＝0. 因为直线与椭圆交于A，B两点，故Δ＞0，解得k2＞. 设A（x1，y1），B（x2，y2）， 则x1＋x2＝，x1x2＝. 设AB中点G（x0，y0）， 则x0＝＝，y0＝kx0＋2＝， 故G（，）. 假设存在k和点P（m，0），使得△PAB是以P为直角顶点的等腰直角三角形， 则PG⊥AB，故kPG·kAB＝－1， 所以·k＝－1，解得m＝，故P（，0）. 又因为∠APB＝，所以·＝0， 所以（x1－m，y1）·（x2－m，y2）＝0，即（x1－m）·（x2－m）＋y1y2＝0. 整理得（k2＋1）x1x2＋（2k－m）（x1＋x2）＋m2＋4＝0. 所以（k2＋1）－（2k－m）＋m2＋4＝0， 代入m＝，整理k4＝1，即k2＝1. 当k＝－1时，P点坐标为（，0）；当k＝1时，P点坐标为（－，0）. 此时，△PAB是以P为直角顶点的等腰直角三角形. 2.证明：（1）易知抛物线焦点F（，0），准线方程为x＝－； 设直线AB的方程为x＝my＋，A（x1，y1），B（x2，y2）， 联立得y2－2my－1＝0， 可得∴y1＝， 不妨设A在第一象限，B在第四象限，对于y＝－，y'＝－； 可得l的斜率为－＝－＝， ∴l的方程为y－y2＝（x－x2），即为y＝x＋. 令x＝0得E（0，），直线OA的方程为y＝x＝x＝－2y2x， 令x＝－得D（－，y2）. 又F（，0），∴＝，即｜DE｜＝｜EF｜得证. （2）由D（－，y2），B（x2，y2）知DB与x轴平行，∴＝， ① 又DF的斜率为－y2，BG的斜率也为－y2，∴DF与BG平行，∴＝， ② 由①②得＝，即｜AD｜2＝｜AO｜·｜AG｜得证. 3.解：（1）由已知设点A（m，m）（m＞0），B（n，－n）（n＞0），易知四边形OAPB为矩形，因为其面积为2，所以｜OA｜｜OB｜＝m·n＝2mn＝2，所以mn＝1. 由题意可得直线PA的方程为x＋y－2m＝0，直线PB的方程为x－y－2n＝0， 由解得即P（m＋n，m－n）， 所以（m＋n）2－（m－n）2＝4mn＝4. 因为m＋n≥2＝2，所以Ω的方程为x2－y2＝4（x≥2）. （2）设T（1，t），C（x1，y1），D（x2，y2），设直线CD的方程为y－t＝k（x－1），即y＝kx＋t－k，由得（k2－1）x2＋2k（t－k）x＋（t－k）2＋4＝0，易知k≠±1， 则Δ＝4k2（t－k）2－4（k2－1）[（t－k）2＋4]＝4（t＋k）（t－3k）＋16＞0，且x1＋x2＝＞0，x1x2＝＞0， 所以·＝｜｜｜｜＝（1＋k2）·｜x1－1｜·｜x2－1｜＝（1＋k2）｜x1x2－（x1＋x2）＋1｜＝. 假设存在点T满足·＝，则＝t2＋1， 整理得t2＋k2＋2＝0，但t2＋k2＋2≥2＞0，所以假设不成立，故不存在满足题意的点T. 4.解：（1）因为椭圆左、右焦点分别为F1（－1，0），F2（1，0），所以c＝1，又因为椭圆C的离心率为， 得a＝2，所以b2＝3，所以椭圆方程为＋＝1. （2）证明：由M0（1，4），F1（－1，0）得直线M0F1斜率为k＝2，中点坐标为（0，2）， 所以线段F1M0的垂直平分线方程为y＝－x＋2， 联立垂直平分线方程和椭圆方程 得x2－2x＋1＝0， 又Δ＝4－4＝0，所以直线与椭圆相切， 所以线段F1M0的垂直平分线与C恰有一个公共点. （3）法一 设M（x0，y0）， 当y0＝0时，F1M的垂直平分线方程为x＝， 此时＝±2，x0＝5或－3； 当y0≠0时，F1M的垂直平分线方程为y＝－＋＝－x＋， 联立 得3x2＋4［－x＋x2］＝12， 即x2－x＋ －12＝0. 因为线段F1M的垂直平分线与C恰有一个公共点， 故Δ＝－4［3＋］［－12］＝0， 即－36－＝0， 即＋（2－14）＋（x0＋1）2（x0＋3）（x0－5）＝0， ＋（2－14）＋（＋2x0＋1）（－2x0－15）＝0， 即（＋＋2x0＋1）（＋－2x0－15）＝0， 因为＋＋2x0＋1＝（x0＋1）2＋＞0，所以＋－2x0－15＝0， 而（5，0），（－3，0）也满足该方程， 故点M的轨迹是圆，该圆的方程为x2＋y2－2x－15＝0，即（x－1）2＋y2＝16. 法二 设线段F1M的垂直平分线与C切于点（x0，y0）， 则切点处的切线方程为＋＝1， 即3x0x＋4y0y＝12，9x2＋16y2＋24x0y0xy＝144， ① 易知F1M：y＝（x＋1），即3x0y－4y0x＝4y0， 9y2＋16x2－24x0y0xy＝16， ② ①＋②，得（9＋16）（x2＋y2）＝144＋16， ③ 又3＋4＝12， 所以144＝36＋48，将其代入③得x2＋y2＝4，此方程即为线段F1M中点的轨迹方程，设动点M（xM，yM）， 又x＝，y＝， 所以（ ）2＋（ ）2＝4， 即点M的轨迹方程为（xM－1）2＋＝16，其为一个圆.故该圆的方程为（x－1）2＋y2＝16. 法三 设线段F1M的垂直平分线l与C恰有一个公共点为P， 则当点P不在长轴时，线段F1M的垂直平分线l即为点P处的切线， 也为∠F1PM的平分线， 作∠F1PF2的平分线PH，根据椭圆的光学性质得PH⊥l， 所以∠F1PE＋∠F1PH＝90°，则∠F2PH＋∠EPM＝90°， 故∠F2PF1＋∠F1PM＝180°， 所以M，P，F2三点共线，所以｜MF2｜＝｜MP｜＋｜PF2｜＝｜PF1｜＋｜PF2｜＝4， 所以点M的轨迹是以F2为圆心，4为半径的圆， 当P在椭圆长轴上时，M点为（5，0）或（－3，0）也满足｜MF2｜＝4， 故点M的轨迹是圆，该圆的方程为（x－1）2＋y2＝16. 学科网（北京）股份有限公司 $