第一章 第五节 一元二次不等式及其解法（复习讲义）-【优学精研】2026年高考数学一轮总复习学用word

第五节　一元二次不等式及其解法 课标要求 1.经历从实际情境中抽象出一元二次不等式的过程，了解一元二次不等式的现实意义；能借助一元二次函数求解一元二次不等式，并能用集合表示一元二次不等式的解集. 2.借助一元二次函数的图象，了解一元二次不等式与相应函数、方程的联系. 1.一元二次不等式 只含有一个未知数，并且未知数的最高次数是　　　　的不等式，称为一元二次不等式.一元二次不等式的一般形式是ax2＋bx＋c＞0或ax2＋bx＋c＜0，其中a，b，c均为常数，a≠0. 提醒 对于不等式ax2＋bx＋c＞0，求解时不要忘记a＝0时的情形. 2.三个“二次”的对应关系 判别式 Δ＝b2－4ac Δ＞0 Δ＝0 Δ＜0 y＝ax2＋bx＋c（a＞0）的图象 ax2＋bx＋c＝0（a＞0）的根 有两个不相等的实数根x1，x2（x1＜x2） 有两个相等的实数根x1＝x2＝－ 没有实数根　 ax2＋bx＋c＞0（a＞0）的解集 {x｜x＜x1，或x＞x2} R ax2＋bx＋c＜0（a＞0）的解集 {x｜x1＜x＜x2} ⌀ ⌀ 1.分式不等式的解法 （1）＞0（＜0）⇔f（x）·g（x）＞0（＜0）； （2）≥0（≤0）⇔ 2.｜ax＋b｜≤c（c＞0）和｜ax＋b｜≥c（c＞0）型不等式的解法 （1）｜ax＋b｜≤c⇔－c≤ax＋b≤c； （2）｜ax＋b｜≥c⇔ax＋b≥c或ax＋b≤－c. 1.判断正误.（正确的画“√”，错误的画“×”） （1）ax2＋bx＋c＜0为一元二次不等式.（　　） （2）若不等式ax2＋bx＋c＜0的解集为（x1，x2），则必有a＞0.（　　） （3）若方程ax2＋bx＋c＝0（a＜0）没有实数根，则不等式ax2＋bx＋c＞0（a＜0）的解集为R.（　　） 2.（人A必修一P55习题1题改编）不等式－x2＋3x＋10＞0的解集为（　　） A.（－2，5） B.（－∞，－2）∪（5，＋∞） C.（－5，2） D.（－∞，－5）∪（2，＋∞） 3.若不等式ax2＋bx＋2＞0的解集为{x｜－＜x＜，则a－b＝（　　） A.－10 B.－14 C.10 D.14 4.（苏教必修一P70习题15题改编）不等式≥0的解集为　　　　. 5.若关于x的不等式x2－2ax＋18＞0恒成立，则实数a的取值范围为　　　　. 不含参数的一元二次不等式的解法 （师生共研过关） 解下列不等式： （1）－3x2－2x＋8≥0； （2）≤1； （3）－x≤1. 解题技法 解一元二次不等式的4个步骤 提醒 对于分式不等式的求解，要注意分母不等于0. 不等式－1＜x2＋2x－1≤2的解集是　　　　. 含参数的一元二次不等式的解法 （师生共研过关） 解关于x的不等式ax2－（a＋1）x＋1＜0（a＞0）. 解题技法 解含参数的一元二次不等式的步骤 （1）若二次项系数含有参数，则应讨论参数是等于0，小于0，还是大于0，然后将不等式转化为二次项系数为正的形式； （2）判断方程根的个数，讨论判别式Δ与0的关系； （3）确定方程无根时，可直接写出解集；确定方程有两个根时，要讨论两根的大小关系，从而确定不等式的解集. 　解关于x的不等式（ax－1）（x＋2）＞0（a∈R）. 三个“二次”间的关系 （师生共研过关） 〔多选〕已知关于x的不等式ax2＋bx＋c＞0的解集为（－1，3），则下列说法正确的是（　　） A.a＞0 B.bx－c＞0的解集是{x|x＞} C.cx2＋ax－b＞0的解集是{x|x＜－或x＞1} D.a＋b＜c 听课记录　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　解题技法 “三个二次”之间的关系及其应用 （1）一元二次方程的根就是对应二次函数的零点，也就是对应一元二次不等式解集的端点值； （2）对于不等式ax2＋bx＋c＞0，若其解集为（－∞，m）∪（n，＋∞），则a＞0且方程ax2＋bx＋c＝0的两根为m，n，且m＜n；若其解集为（m，n），则a＜0且方程ax2＋bx＋c＝0的两根为m，n，且m＜n. 1.已知一元二次不等式x2＋mx－2＞0的解集为（－∞，－2）∪（1，＋∞），则不等式－2x2＋x＋m＜0的解集为　　　　. 2.已知二次函数y＝x2＋bx＋c的图象如图所示，求不等式bx2－cx＋3≤0的解集. 提示：完成课后作业　第一章　第五节 3 / 3 学科网（北京）股份有限公司 $ 第五节　一元二次不等式及其解法 【知识·逐点夯实】 知识梳理夯基 1.2　 对点自测诊断 1.（1）×　（2）√　（3）× 2.A　3.A　4.（－∞，－）∪[1，＋∞）　5.（－3，3）　 【考点·分类突破】 考点1 【例1】 解：（1）原不等式可化为3x2＋2x－8≤0， 即（3x－4）（x＋2）≤0，解得－2≤x≤， 所以原不等式的解集为. （2）因为≤1，所以－1≤0，所以≤0，即≥0，此不等式等价于（x－4）（x－）≥0且x－≠0，解得x＜或x≥4，故原不等式的解集为{x｜x＜，或x≥4}. （3）原不等式等价于 上述不等式组的解集为{x｜x＋1≥0}∩{x｜x2－2x≤0}， 即原不等式的解集为{x｜0≤x≤2}. 跟踪训练 {x｜－3≤x＜－2或0＜x≤1} 解析：原不等式等价于即由①得x（x＋2）＞0，所以x＜－2或x＞0；由②得（x＋3）·（x－1）≤0，所以－3≤x≤1. 画出数轴，如图，可得原不等式的解集为{x｜－3≤x＜－2或0＜x≤1}. 考点2 【例2】 解：原不等式可化为（ax－1）（x－1）＜0， 因为a＞0，所以a（x－）（x－1）＜0. 所以当a＞1时，解为＜x＜1； 当a＝1时，解集为⌀； 当0＜a＜1时，解为1＜x＜. 综上，当0＜a＜1时，不等式的解集为{x｜1＜x＜}； 当a＝1时，不等式的解集为⌀； 当a＞1时，不等式的解集为. 跟踪训练 解：当a＝0时，不等式可化为一次不等式：－（x＋2）＞0，则有x＜－2. 当a≠0时，不等式可化为二次不等式a（x－）·（x＋2）＞0. ①当a＞0时，（x－）（x＋2）＞0，可得x＜－2或x＞； ②当a＜0时，（x－）（x＋2）＜0. －＜a＜0时，则＜x＜－2；a＝－时，解集为⌀；a＜－时，则－2＜x＜. 综上所述： 当a＞0时，解集为（－∞，－2）∪（，＋∞）； 当a＝0时，解集为（－∞，－2）； 当－＜a＜0时，解集为（，－2）；当a＝－时，解集为⌀；当a＜－时，解集为（－2，）. 考点3 【例3】 BCD　不等式ax2＋bx＋c＞0的解集为（－1，3），则即bx－c＞0，即－2ax＋3a＞0，所以x＞.cx2＋ax－b＞0，即－3ax2＋ax＋2a＞0，即3x2－x－2＞0，解集是x｜x＜－或x＞1.因为x＝－1∈x｜x＜－或x＞1，所以c－a－b＞0，即a＋b＜c.故选B、C、D. 跟踪训练 1.（－∞，－）∪（1，＋∞） 解析：由题意可知，一元二次方程x2＋mx－2＝0的两根分别为－2，1，由根与系数的关系可得－2＋1＝－m，解得m＝1，所以不等式－2x2＋x＋m＜0，即－2x2＋x＋1＜0，整理得2x2－x－1＞0，解得x＜－或x＞1，故原不等式的解集为（－∞，－）∪（1，＋∞）. 2.解：根据二次函数y＝x2＋bx＋c的图象可知，－1，2为方程x2＋bx＋c＝0的两根， 故－1＋2＝－b，－1×2＝c，即b＝－1，c＝－2， 则bx2－cx＋3≤0即－x2＋2x＋3≤0，也即x2－2x－3≥0，（x－3）（x＋1）≥0， 解得x≥3或x≤－1. 故不等式解集为（－∞，－1]∪[3，＋∞）. 学科网（北京）股份有限公司 $