第三章 第八节 极值点偏移问题（复习讲义）-【优学精研】2026年高考数学一轮总复习学用word

第八节　极值点偏移问题 重点解读 　　极值点偏移的定义：对于函数y＝f（x）在区间（a，b）内只有一个极值点x0，方程f（x）＝m的解分别为x1，x2，且a＜x1＜x2＜b.（1）当＝x0时，f（x）的极值点没有偏移.（2）当≠x0时，f（x）的极值点发生偏移.①若＞x0，则函数y＝f（x）在区间（x1，x2）上极值点x0左偏，简称极值点x0左偏；②若＜x0，则函数y＝f（x）在区间（x1，x2）上极值点x0右偏，简称极值点x0右偏. 对称构造法 （师生共研过关） 已知函数f（x）＝xe2－x. （1）求f（x）的极值； （2）若a＞1，b＞1，a＜b，f（a）＋f（b）＝4，证明：a＋b＜4. 解题技法 　　对称构造法主要用来解决与x1和x2之和（积）相关的不等式的证明问题.其解题步骤如下： （1）定极值点，即利用导函数符号的变化判断函数的单调性，进而确定函数的极值点x0； （2）构造函数，即对x1＋x2＞2x0型结论，构造函数F（x）＝f（x）－f（2x0－x）（下面以此为例）或F（x）＝f（x0＋x）－f（x0－x）.对x1x2＞型结论，构造函数F（x）＝f（x）－f（）； （3）判断单调性，即利用导数讨论F（x）的单调性； （4）比较大小，即判断函数F（x）在某段区间上的正负，并得出f（x）与f（2x0－x）的大小关系； （5）转化，即利用函数f（x）的单调性，将f（x）与f（2x0－x）的大小关系转化为x与2x0－x之间的关系，进而得到所证或所求. 　已知函数f（x）＝xln x－x＋1，若方程f（x）＝b有两个不相等的实数根x1，x2，求证：x1x2＜1. 换元法 （师生共研过关） 已知函数f（x）＝xln x－mx2－x，m∈R.若f（x）有两个极值点x1，x2，求证：ln x1＋ln x2＞2. 解题技法 　　换元的目的是消参、减元，就是根据已知条件首先建立极值点之间的关系，然后利用两个极值点之比（差）作为变量，从而实现消参、减元的目的.设法用比值或差值表示两个极值点，继而将所求解问题转化为关于t的函数问题. 　已知函数f（x）＝x2－x＋aln x.若函数f（x）有两个极值点x1，x2，证明：f（x1）＋f（x2）＞－－. 提示：完成课后作业　第三章　第八节 1 / 1 学科网（北京）股份有限公司 $色学科网书城四 品牌书店·知名教辅·正版资源 5.ZxXk.com○ 您身边的互联网+教辅专家 第八节极值点偏移问题 【考点·分类突破】 技法1 【例1】解：(1)因为f(x)=xe2-x, 所以f(x)=(1-x)e2-x, 由P(x)>0,解得x<1,由P(x)<0,解得x>l, 所以f(x)在(-，1)上单调递增，在(1，十∞)上单调递减， 因此f(x)在x=1处取得极大值e,无极小值. (2)证明：由(1)可知，f(x)在(1，+∞)上单调递减，f(2)=2,因为a>1,b >1,a<b,f(a)+f(b)=4, 所以不妨设1<a<2<b. 要证a十b<4,只要证b<4-a, 而b>2,2<4-a<3, 所以只要证f(b)>f(4-a), 即证4-f(a)>f(4-a),即证f(a)+f(4-a)<4. 令F(x)=f(x)+f(4-x),1<x<2, 则F'(x)=f(x)一P(4-x) =(1-x)e2-x-e-2(x-3), 令h(x)=(1-x)e2-x-e-2(x-3),1<x<2, 则'(x)=e2-x(x-2)-e-2(x-2) =(x-2)(e2-x-e-2). 因为1<x<2,所以x-2<0,e2-x-e-2>0, 所以h'(x)<0, 即h(x)在(1,2)上单调递减， 则h(x)>h(2)=0, 即F'(x)>0, 所以F(x)在(1,2)上单调递增， 所以F(x)<F(2)=2f(2)=4, 即当1<x<2时，f(x)+f(4-x)<4, 所以原命题成立 跟踪训练 证明：f(x)=lnx,当x>1时，f(x)>0,当0<x<1时，(x)<0, 所以f(x)在(1，十∞)上单调递增，在(0,1)上单调递减. ·独家授权侵权必究· 色学科网书城回 品牌书店·知名教辅·正版资源 b.zxxk.com 您身边的互联网+教辅专家 不妨设<2，则0<<1<， 要证灯<1，只需证1<龙<安 因为f(x)在(1，十∞)上单调递增，所以只需证f()<f(房). 因为f(:)=∫()，所以只需证f()<f(安)· 设F(x)=f(x)-f(是)(0<x<1),则F'(x)=nx-克nx=装lnx>0, 所以F(x)在(0,1)上单调递增， 所以F(x)<F(1)=0,所以f(x)-f()<0, 即f()≤f(安)成立，所以<1 技法2 【例2】证明：函数f(x)的定义域为(0，十∞) 若f(x)有两个极值点1,2，即函数f(x)有两个变号零点， 又(x)=lnx一mx,所以1，龙是方程P(x)=0的两个不同的实根，即 (1n1-mx1=0, ① (lhx2-mx2=0,② 由①十②得m= In xitn xa 1x2, Inxg-In x1 由②-①得m=1, 从丙可得 X1+x2 于是n+lnx2= mhx-。 21 不妨设0<n<,1=爱，则f>1 因此h十ln=+t t-1 ,t>1. 要证n+n>2,即证+血世>2(t>1),即当t>1时，有nt>21 t-1 +1 设函数h0=n12料，则州(0=幸 2t+1-2(t-1)k-12 (t+1 =tt+12, 当t>1时，h'(t)>0,所以h(t)在(1，+∞)上单调递增. 又h(1)=0,因此当t>1时，h(t)>0. 于是当>1时，有n心2，所以n十h>2底立 跟踪训练 证明：由题意得，f(x)=x一1十是=2a(x>0). 因为函数∫(x)有两个极值点，： 所以方程x2一x十a=0在(0，十∞)上有两个不同的实数根，2， 独家授权侵权必究· 色学科网书城回 品牌书店·知名教辅·正版资源 b.zxxk.com 您身边的互联网+教辅专家 X1+X2=1>0, 则1xk2=a>0,且△=1-4a>0, 所以0<a< 由题意得∫()+∫(x2)》 =经-灯十alh灯+x经-龙+aln2 =克(x经+x3)-(+a)+aln(2) =克(+)2-2-(a+拉)+aln(2) =克-a-l+alna=alna-a-克 令h(a)=alna-a-克(0<a<),， 则h'(a)=na<0, 所以h(a)在(0，)上单调递减， 所以h(a)>h字)=-竖-星， 所以f)+f)>-竖-， ·独家授权侵权必究·