第14讲 线的计算综合培优讲义 2025-2026学年人教版 七年级数学上册

第14讲 线的计算综合培优 目录 课时1 线的相关概念 2 课时1 练习题 5 课时2 尺规作图之线段 7 课时2 练习题 8 课时3 线段的计算（分类讨论） 11 课时3 练习题 14 课时4 双中点模型 17 课时4 练习题 18 课时1 线的相关概念综合 知识讲解 直线，射线和线段 区别 端点                   长度 有    无    无     表示 方法 线段线段线段 射线不能表示为射线射线 直线直线直线 延长 能向 两端    延长 能向 另一端      延长 不能      延长 延长线 有 无 无 反向延长线 有 有 无 例题1  1 .下列语句准确规范的是（   ）． A.直线、相交于一点 B.延长直线 C.反向延长射线（是端点） D.延长线段到，使 【答案】 D 例题2   1 .如图，已知点、、、，按照下列语句画出图形． （1）画直线． （2）画射线． （3）连接 （4）线段和射线相交于点． （5）反向延长线段至，使． ​ 【答案】 知识讲解   直线上的点数 射线数 线段数                                                                                                       例题3    1 .如图，可以用字母表示出来的不同射线和线段的条数分别是（   ）． A.条线段，条射线 B.条线段，条射线 C.条线段，条射线 D.条线段，条射线 【答案】 C 知识讲解    两个基本事实 1、经过两点有且只有一条直线，也称为“ 两点确定一条直线                  ”. 2、两点之间的所有连线中，线段最短，简称“ 两点之间，线段最短                     ”. 例题4     1 .在下列生产生活现象中，可以用基本事实“两点确定一条直线”来解释的是（   ）． ①打靶的时候，眼睛要与枪上的准星、靶心在同一条直线上；②把笔尖看成一个点，当这个点运动时便得到一条线；③从地到地架设电线，总是尽可能沿着线段来架设；④植树时，只要栽下两棵树，就可以把同一行树栽在同一条直线上． A.①③ B.②④ C.①④ D.②③ 【答案】 C 例题5      1 .下列四个生产生活现象，不可以用基本事实“两点之间，线段最短”来解释的是（   ）． A.为了缩短航程把弯曲的河道改直. B.小狗看到远处的食物，总是径直奔向食物. C.用两个钉子可以把木条固定在墙上. D.从地到地有几条路可走，为了尽快到达，人们通常选择其中的直路. 【答案】 C 课时1 练习题 1 .下列说法中，正确的是（   ）． A.直线比射线长 B.反向延长直线 C.延长射线 D.两条直线相交，只有一个交点 【答案】 D 【解析】 A. 直线和射线都无限长; B. 直线不可以延长或者反向延长; C. 射线可以反向延长，但不可以延长; D. 两条直线相交，只有一个交点，正确. 故选:. 2 .在下列生活、生产现象中，可以用“两点之间，线段最短”来解释的是（   ）． A.钟表的秒针旋转一周，形成一个圆面 B.植树时，只要栽下两棵树，就可以把同一行树栽在同一条直线上 C.把笔尖看成一个点，当这个点运动时便得到一条线 D.开山挖隧道，把上坡下坡的盘山公路改为平直的隧道 【答案】 D 【解析】 解：、钟表的秒针旋转一周，形成一个圆面，可以用“线动成面”来解释的，故不符合题意； 、植树时，只要栽下两棵树，就可以把同一行树栽在同一条直线上，可以用“两点确定一条直线”来解释的，故不符合题意； 、把笔尖看成一个点，当这个点运动时便得到一条线，可以用“点动成线”来解释的，故不符合题意； 、开山挖隧道，把上坡下坡的盘山公路改为平直的隧道，可以用“两点之间，线段最短”来解释的，故符合题意； 故选：． 3 .如图，一骑马少年从地出发，经过小溪回到位于地的家中，为使路程最短，则过小溪的地方应选择（   ）． A.地 B.地 C.地 D.地 【答案】 C 【解析】 依据两点之间，线段最短，可知为使路程最短，则过小溪的地方应选择地. 故选:. 4 .已知平面上四点、、、，如图： ()画直线； ()画射线； ()直线、相交于； ()连接、相交于点． ()延长至，使．     ​ 【答案】 答案见解析. 【解析】 5 .如图所示，图中直线共有           条，射线共有           条，线段共有           条. 【答案】 【解析】 图中直线共有条，射线共有条，线段共有条. 故答案为:,,条. 课时2 尺规作图之线段 知识讲解 用 没有刻度的直尺 和 圆规  作图的方法，叫尺规作图． 例：画一条线段等于已知线段． ①用无刻度的直尺作射线； ②用圆规在射线上截取，则线段为所求． 例题1 1 .如图，已知点，，，请按要求画出图形． （1）画直线和射线； （2）连结，并在直线上用尺规作线段，使．（要求保留作图痕迹） 【答案】 略 例题2 2 .如图，已知平面上有不共线的三点，，，用无刻度直尺和圆规作图: ( 1 )作射线，直线； ( 2 )过点作直线的垂线； ( 3 )在射线上作出一点，使得.（要求保留作图痕迹） 【答案】 (1)略 (2)略 (3)略 课时2 练习题 1 .如图，已知点，，，请按下列要求画图. 画直线和线段； 画射线，并在射线上用尺规作线段，使得（注：不写作法，保留作图痕迹）. 【答案】 答案见解析.   【解析】 解：如图，直线，线段即为所求； 如图，线段即为所求. 2 .如图，已知平面上有三点，，. 用无刻度的直尺和圆规作图，保留作图痕迹，不要求写作法. 画线段，直线，射线； 在线段上找一点，使得. 【答案】 答案见解析 【解析】 解：如图，线段，直线，射线即为所求； 如图，以点为圆心，的长为半径画弧，交线段于点，则点即为所求. 3 .如图，已知，，是平面上不共线的三点，用直尺和圆规作图： 画出射线，线段； 在射线上作出一点，使得.（不写作法，保留作图痕迹） 【答案】 答案见解析 【解析】 解：如图所示，射线，线段即为所求； 如图所示，点即为所求. 课时3 线段的计算（分类讨论） 知识讲解 线段间的数量关系 在线段计算中，我们需要找到线段之间的数量关系，即用已知线段表示未知线段. 一般数量关系包括线段的和差关系与倍分关系. 1. 和差关系 （1） 如图可得：，，. （2） 如图可得：，，. 2.   倍分关系 （1） 中点 因为是的中点， 所以，.  知识讲解 （2）三等分点 因为，是的三等分点， 所以，， ，. 例：（多选） 如图，已知点和点是线段两个三等分点，请选出如下关系式中表示正确的 选 项?(     ) .​A.                        B. C.                        D.  ​ （3） 比例关系 若已知， 可得，，. 遇到线段比例关系时，可以利用设元法来表示线段长，方便找到线段间的数量关系. 一般设元的思路：一个是采用直接设元，即求谁设谁；再一个可设图中较短线段为未知数；在比例关系中，可通过设一份为未知数的方法去表示线段的长度. 知识讲解 例：（多选）如图，已知  ，若设  ，用表示图中其他线段，请选出表示正确的选项（        ）. A.   B.   C.   D.   线段计算中的分类讨论 对于几何来讲，很多分情况讨论都是因为图形引起的. 一般题目给了图形，我们可以直接就图分析，如果没有的话，需要我们自己做题过程中画出图形. （1）在直线上以固定一点去截取线段，要考虑两个方向. 如图，已知直线上有一点，截取，则可得到两个点.   例题1 1 .点、、是同一直线上的三个点，若，，则的长度为                     ． 【答案】或 例题2 2 .已知线段，在直线上有一点，且，是线段的中点，则线段的长为                     . 【答案】或 知识讲解 （2）线段对折问题：将一条线段经过若干次对折，从某一点剪开后的相关探究问题.   此类问题会因为对折方向不同而导致多解，因此重点是弄清楚它是朝哪个方向对折，同时需要注意对折后，从中间剪断展开后总线段的条数. 例题3 3 .如图所示，把崔大花的腰带对折成线段，从点处把腰带剪断，已知，若剪断后的各段腰带中最长的一段为，腰带的原长为                     .   【答案】或 知识讲解 课时3 练习题 1 .点,,在直线上．若,, 则的长度为           . 【答案】或 【解析】 如图，若点在之间，则, ​ 如图，若点在的延长线上，则, ​ 故答案为:或. 2 .如图，已知,, 如果, 求线段的长. 【答案】 【解析】 ∵,, ∴, ∵, ∴,, 又∵, ∴, ∴ 3 .已知点,,,在直线上,,,为的中点，则的长为（   ）． A. B. C.或 D.或 【答案】 D 【解析】 当在线段的反向延长线上时，如图, 由线段的和差，得, 由线段中点的性质，得,; 当在线段的延长线上时，如图, 由线段的和差，得, 由线段中点的性质，得,, 综上可知,的长为或. 故选:. 4 .如图所示，把一根绳子对折成线段, 从处把绳子剪断，已知, 若剪断后的各段绳子中最长的一段为, 则绳子的原长为（   ）． ​ A. B. C. D.或 【答案】 D 【解析】 设, 则, ①当含有线段的绳子最长时,, 解得:, 即绳子的原长是, ②当含有线段的绳子最长时,, 解得:, 即绳子的原长是, 故绳长为或. 故选:. 5 .如图，已知线段的长为, 延长线段至点, 使. 求线段的长（用含的代数式表示)； 取线段的中点，若，求的值。 【答案】; . 【解析】∵, ∴, ∵, ∴; ∵,, ∴, ∵,, ∵, ∴, ∴. 课时4 双中点模型 知识讲解 双中线模型 特征：为直线上的任意一点，，分别为，的中点 ． 结论：的长度不会随着点的位置变化而变化 ．． 1、 在线段上，如下图： 此时 ，． 2、 在线段的延长线或者反向延长线上，如下图： 此时，． 例题1  1 .如图，是线段的中点，是线段的中点． ( 1 )如果，，那么          ； ( 2 )如果，，那么          ． 【答案】 (1) (2) 例题2   1 .已知点在直线上，且，，点、分别是、的中点，求线段的长度． 【答案】或． 例题3    1 .已知线段，是的中点，是的中点，是的中点，若，则          ． 【答案】 课时4 练习题 1 .如图，已知点是线段上一点，点是的中点，点是的中点．若, 则的长为（   ）． A. B. C. D. 【答案】 B 【解析】 ∵点是的中点，点是的中点, ∴,, ∴ , 故选:. 2 .如图，已知线段上依次有,,,四个点，其中是中点,是中点,,, 则          . 【答案】 【解析】 ∵是中点,是中点, ∴,, ∴, ∵,, ∴, ∴, ∴, 故答案为:. 3 .如图，已知点为线段上一点，，，、分别是、的中点，求： 求的长度； 求的长度． 【答案】 【解析】∵是中点，且, ∴, ∵,, ∴, ∵是中点, ∴, 而, ∴ 4 .在直线上任取一点, 截取, 再截取, 则的中点与的中点之间的距离为（   ）． A. B. C.或 D.或 【答案】 C 【解析】 ①,在点同侧时如图, ∵是的中点,是的中点, ∴,, ∴ ②,在点两侧时如图, ∵是的中点,是的中点, ∴, ∴, 综上:与之间距离为或, 故选:. 1 学科网（北京）股份有限公司 $ 第14讲 线的计算综合培优 目录 课时1 线的相关概念 2 课时1 练习题 5 课时2 尺规作图之线段 6 课时2 练习题 7 课时3 线段的计算（分类讨论） 8 课时3 练习题 12 课时4 双中点模型 13 课时4 练习题 15 课时1 线的相关概念综合 知识讲解 直线，射线和线段 区别 端点                   长度 有    无    无     表示 方法 线段线段线段 射线不能表示为射线射线 直线直线直线 延长 能向 两端    延长 能向 另一端      延长 不能      延长 延长线 有 无 无 反向延长线 有 有 无 例题1  1 .下列语句准确规范的是（   ）． A.直线、相交于一点 B.延长直线 C.反向延长射线（是端点） D.延长线段到，使 例题2   1 .如图，已知点、、、，按照下列语句画出图形． （1）画直线． （2）画射线． （3）连接 （4）线段和射线相交于点． （5）反向延长线段至，使． ​ 知识讲解   直线上的点数 射线数 线段数                                                                                                       例题3    1 .如图，可以用字母表示出来的不同射线和线段的条数分别是（   ）． A.条线段，条射线 B.条线段，条射线 C.条线段，条射线 D.条线段，条射线 知识讲解    两个基本事实 1、经过两点有且只有一条直线，也称为“ 两点确定一条直线                  ”. 2、两点之间的所有连线中，线段最短，简称“ 两点之间，线段最短                     ”. 例题4     1 .在下列生产生活现象中，可以用基本事实“两点确定一条直线”来解释的是（   ）． ①打靶的时候，眼睛要与枪上的准星、靶心在同一条直线上；②把笔尖看成一个点，当这个点运动时便得到一条线；③从地到地架设电线，总是尽可能沿着线段来架设；④植树时，只要栽下两棵树，就可以把同一行树栽在同一条直线上． A.①③ B.②④ C.①④ D.②③ 例题5      1 .下列四个生产生活现象，不可以用基本事实“两点之间，线段最短”来解释的是（   ）． A.为了缩短航程把弯曲的河道改直. B.小狗看到远处的食物，总是径直奔向食物. C.用两个钉子可以把木条固定在墙上. D.从地到地有几条路可走，为了尽快到达，人们通常选择其中的直路. 课时1 练习题 1 .下列说法中，正确的是（   ）． A.直线比射线长 B.反向延长直线 C.延长射线 D.两条直线相交，只有一个交点 2 .在下列生活、生产现象中，可以用“两点之间，线段最短”来解释的是（   ）． A.钟表的秒针旋转一周，形成一个圆面 B.植树时，只要栽下两棵树，就可以把同一行树栽在同一条直线上 C.把笔尖看成一个点，当这个点运动时便得到一条线 D.开山挖隧道，把上坡下坡的盘山公路改为平直的隧道 3 .如图，一骑马少年从地出发，经过小溪回到位于地的家中，为使路程最短，则过小溪的地方应选择（   ）． A.地 B.地 C.地 D.地 4 .已知平面上四点、、、，如图： ()画直线； ()画射线； ()直线、相交于； ()连接、相交于点． ()延长至，使．   5 .如图所示，图中直线共有           条，射线共有           条，线段共有           条. 课时2 尺规作图之线段 知识讲解 用 没有刻度的直尺 和 圆规  作图的方法，叫尺规作图． 例：画一条线段等于已知线段． ①用无刻度的直尺作射线； ②用圆规在射线上截取，则线段为所求． 例题1 1 .如图，已知点，，，请按要求画出图形． （1）画直线和射线； （2）连结，并在直线上用尺规作线段，使．（要求保留作图痕迹） 例题2 2 .如图，已知平面上有不共线的三点，，，用无刻度直尺和圆规作图: ( 1 )作射线，直线； ( 2 )过点作直线的垂线； ( 3 )在射线上作出一点，使得.（要求保留作图痕迹） 课时2 练习题 1 .如图，已知点，，，请按下列要求画图. 画直线和线段； 画射线，并在射线上用尺规作线段，使得（注：不写作法，保留作图痕迹）. 2 .如图，已知平面上有三点，，. 用无刻度的直尺和圆规作图，保留作图痕迹，不要求写作法. 画线段，直线，射线； 在线段上找一点，使得. 3 .如图，已知，，是平面上不共线的三点，用直尺和圆规作图： 画出射线，线段； 在射线上作出一点，使得.（不写作法，保留作图痕迹） 课时3 线段的计算（分类讨论） 知识讲解 线段间的数量关系 在线段计算中，我们需要找到线段之间的数量关系，即用已知线段表示未知线段. 一般数量关系包括线段的和差关系与倍分关系. 1. 和差关系 （1） 如图可得：，，. （2） 如图可得：，，. 2.   倍分关系 （1） 中点 因为是的中点， 所以，.  知识讲解 （2）三等分点 因为，是的三等分点， 所以，， ，. 例：（多选） 如图，已知点和点是线段两个三等分点，请选出如下关系式中表示正确的 选 项?(     ) .​A.                        B. C.                        D.  ​ （3） 比例关系 若已知， 可得，，. 遇到线段比例关系时，可以利用设元法来表示线段长，方便找到线段间的数量关系. 一般设元的思路：一个是采用直接设元，即求谁设谁；再一个可设图中较短线段为未知数；在比例关系中，可通过设一份为未知数的方法去表示线段的长度. 知识讲解 例：（多选）如图，已知  ，若设  ，用表示图中其他线段，请选出表示正确的选项（        ）. A.   B.   C.   D.   线段计算中的分类讨论 对于几何来讲，很多分情况讨论都是因为图形引起的. 一般题目给了图形，我们可以直接就图分析，如果没有的话，需要我们自己做题过程中画出图形. （1） 在直线上以固定一点去截取线段，要考虑两个方向. 如图，已知直线上有一点，截取，则可得到两个点.   例题1 1 .点、、是同一直线上的三个点，若，，则的长度为                     ． 例题2 2 .已知线段，在直线上有一点，且，是线段的中点，则线段的长为                     . 知识讲解 （2）线段对折问题：将一条线段经过若干次对折，从某一点剪开后的相关探究问题.   此类问题会因为对折方向不同而导致多解，因此重点是弄清楚它是朝哪个方向对折，同时需要注意对折后，从中间剪断展开后总线段的条数. 例题3 3 .如图所示，把崔大花的腰带对折成线段，从点处把腰带剪断，已知，若剪断后的各段腰带中最长的一段为，腰带的原长为                     .   知识讲解 课时3 练习题 1 .点,,在直线上．若,, 则的长度为           . 2 .如图，已知,, 如果, 求线段的长. 3 .已知点,,,在直线上,,,为的中点，则的长为（   ）． A. B. C.或 D.或 4 .如图所示，把一根绳子对折成线段, 从处把绳子剪断，已知, 若剪断后的各段绳子中最长的一段为, 则绳子的原长为（   ）． ​ A. B. C. D.或 5 .如图，已知线段的长为, 延长线段至点, 使. 求线段的长（用含的代数式表示)； 取线段的中点，若，求的值。 课时4 双中点模型 知识讲解 双中线模型 特征：为直线上的任意一点，，分别为，的中点 ． 结论：的长度不会随着点的位置变化而变化 ．． 1、 在线段上，如下图： 此时 ，． 2、 在线段的延长线或者反向延长线上，如下图： 此时，． 例题1  1 .如图，是线段的中点，是线段的中点． ( 1 )如果，，那么          ； ( 2 )如果，，那么          ． 例题2   1 .已知点在直线上，且，，点、分别是、的中点，求线段的长度． 例题3    1 .已知线段，是的中点，是的中点，是的中点，若，则          ． 课时4 练习题 1 .如图，已知点是线段上一点，点是的中点，点是的中点．若, 则的长为（   ）． A. B. C. D. 2 .如图，已知线段上依次有,,,四个点，其中是中点,是中点,,, 则          . 3 .如图，已知点为线段上一点，，，、分别是、的中点，求： 求的长度； 求的长度． 4 .在直线上任取一点, 截取, 再截取, 则的中点与的中点之间的距离为（   ）． A. B. C.或 D.或 1 学科网（北京）股份有限公司 $