第02讲 线段、射线和直线（知识解读 +题型精讲+随堂检测）-2025-2026学年七年级数学上册《知识解读•题型专练》（人教版新教材）

第02讲 线段、射线和直线 知识点1：直线、射线与线段的概念 知识点2：线段的性质 注意：直线是可以向两边无限延伸的，射线受端点的限制，只能向一边无限延伸；线段不能 延伸，所以直线与射线不可测量长度，只有线段可以测量 基本事实 1. 经过两点有一条直线，并且仅有一条直线，即两点确定一条直线 2. 两点之间的线段中，线段最短，简称两点间线段最短 【题型1 直线、射线与线段】 【典例1】如图，A，B在直线l上，下列说法错误的是（    ） A．射线和射线是同一条射线 B．直线和直线是同一条直线 C．线段和线段是同一条线段 D．图中以点A为端点的射线有两条 【变式1】下列语句准确规范的是（   ） A．延长射线到点 B．反向延长射线到点 C．画射线相交于点 D．画射线相交于点 【变式2】如图，点，，在同一直线上，下列说法不正确的是（   ） A．线段与线段是同一条线段 B．直线与直线是同一条直线 C．射线与射线是同一条射线 D．射线与射线是同一条射线 【变式3】如图，下列说法正确的是（   ） A．图中共有5条线段 B．直线与直线是指同一条直线 C．射线与射线是指同一条射线 D．点在直线上 【题型2 两点确定一条直线】 【典例2】在墙壁上固定一根横放的木条，则至少需要钉子的枚数是（  ） A．1枚 B．2枚 C．3枚 D．任意枚 【变式1】在一面墙上用两根钉子钉木条时，木条就会固定不动，这种做法依据的几何知识是（   ） A．两点确定一条直线 B．点动成线 C．射线只有一个端点 D．两直线相交只有一个交点 【变式2】植树时，只要定出两个树坑的位置，就能使同一行树坑在一条直线上，这样做蕴含的数学原理是（   ） A．两点确定一条直线 B．两点之间，线段最短 C．过一点有无数条线段 D．线段有两个端点 【变式3】如图，用两个钉子，就可以把一个横排挂钩固定在墙上，这样做的依据是 ． 【题型3 线段的应用】 【典例3】某列车往返于武汉站与南昌西站，途经鄂州、黄石北与庐山站，列车迷贤哥想收集该列车所有不同的车票（起点或终点不一样都算不同的车票），则他需要购买（   ）张车票 A．6 B．10 C．15 D．20 【变式1】兰州市某公交线路上共设6个车站，则在这条线路上往返行车需要设计车票价有（    ） A．25种 B．15种 C．30种 D．21种 【变式2】如图，是一段高铁行驶路线图，图中字母表示的5个点表示5个车站在这段路线上往返行车，需印制（    ）种车票，共有（    ）种票价．    A．； B．； C．； D．； 【变式3】2022年9月8日，随着列车从郑州港区段鸣笛出发，郑许市域铁路开始空载试运行，未来“双城生活模式”指日可待．图中展示了郑许市域铁路的其中五个站点，若要满足乘客在这五个站点之间的往返需求，铁路公司需要准备 种不同的车票． 【题型4 作图-直线射线和线段】 【典例4】在图中有A，B，C，D四个点，请按下列语句画图并填空： (1)画射线． (2)画线段和，它们相交于O． (3)画直线，连接和． (4)此时，图中共有线段________条，射线________条，直线________条． 【变式1】如图，在同一平面内，已知A，B，C，D四点，请按下列要求画图： (1)画直线； (2)画射线； (3)连接与射线交于点E． 【变式2】如图，平面上有四个点，根据下列语句画图： (1)画直线； (2)画射线； (3)画线段； (4)连接，并反向延长至点，使． 【变式3】按照下列语句画出图形 (1)画射线； (2)连接、相交于点O； (3)画直线，在直线上取点E，使． （1）两点之间的线段中，线段最短，简称：两点间线段最短。 （2） 基本概念 ①两点间的距离： 两个端点之间的长度叫做两点间的距离。 ② 线段的等分点： 把一条线段平均分成两份的点，叫做这个线段的中点 （3）双中点模型： C 为 AB 上任意一点，M、N 分别为 AC、BC 中点，则 【题型5 两点间线段最短】 【典例5】如图，为抄近路践踏草坪是一种不文明现象，请你用数学知识解释出现这一现象的原因是（   ） A．两点确定一条直线 B．两点之间，线段最短 C．直线比线段短 D．对角线最短 【变式1】如图，从A地到B地有a，b，c三条道路，人们通常会选择距离最短的道路b，这样做依据的数学原理是（    ）    A．点动成线 B．两点确定一条直线 C．两点之间，线段最短 D．线段中点的定义 【变式2】如图，田亮同学用剪刀沿直线将一片平整的树叶剪掉一部分，发现剩下树叶的周长比原树叶的周长要小，能正确解释这一现象的数学知识是 ． 【变式3】小海同学计划到距家直线距离为12.9公里的天竺山森林公园游玩．他通过导航软件发现有三条可选路线，如图所示，长度分别为15.8公里，15.4公里，18.4公里．能解释这一现象的数学知识是 ． 【题型6 两点间距离】 【典例6】若点C是线段的中点，，点D在直线上，且，则线段的长为（   ） A．3 B．9 C．6或9 D．3或12 【变式1】如图，已知，，则的长度为（   ） A． B． C． D． 【变式2】已知线段，点在直线上，且，当为线段的中点，则 ． 【变式3】已知点是直线上一点，且，若，则的长度为 ． 【题型7 线段的简单计算】 【典例7】如图，已知点为线段上一点，，，、分别是、的中点．求： (1)的长度为______； (2)的长度为______； (3)若在直线上，且，求的长度． 【变式1】如下图，为线段延长线上一点，为线段上一点，． (1)若，求的长． (2)若 ，是的中点，求的长． 【变式2】如图，已知，是线段上的两点，，是的中点，，求的长． 【变式3】如图，C为线段的中点，D在线段上，且．求： (1)的长； (2)的长． 【题型8 “双中点”模型】 【典例8】如图，已知，M为的中点，点P在上，N为的中点． (1)图中共有 条线段； (2)若，求的长． 【变式1】如图，已知点B、C、E都是线段上的点，，，点E是的中点． (1)求的长； (2)若点F是的中点，求的长． 【变式2】如图，已知点为线段上一点，，，分别是的中点．求： (1)求的长度； (2)若在直线上，且，求的长度． 【变式3】如图，点E是线段的中点，C是线段上一点，； (1)若，求的长； (2)若F为的中点，求长． 一、单选题 1．下列各选项中，表示“线段”正确的是（   ） A． B． C． D． 2．以下说法正确的是（    ） A．直线a上有两个端点 B．经过A，B两点的线段只有一条 C．延长线段到C，是 D．反向延长线段至A，使 3．如图，，两个村庄在公路（不计公路的宽度）的两侧，现要在公路旁建一个货物中转站，使它到，两个村庄的距离之和最小．图中的点（与的交点）即为所建的货物中转站的位置，这样做的理由是（  ） A．两直线相交只有一个交点 B．两点确定一条直线 C．两点之间的所有连线中，线段最短 D．经过一点有无数条直线 4．如图，点D为线段上一点，点C为的中点，，则的长为（    ） A． B． C． D． 5．如图，线段，点为的中点，点在线段上，，则线段的长为（    ）    A．2 B．3 C．4 D．5 二、填空题 6．如图，两点将线段分成了的三个部分，点是线段的中点，，则线段的长为 ． 7．晚上，小明拿起手电筒照向远方，他发现手电筒光线可近似看成一条 （填“直线”“线段”或“射线”）． 8．如图，点A在直线l ，点B在直线l ． 9．若点是线段的中点，且，则 ． 10．已知：如图，C是线段上的一点，N是线段的中点，若，，则 ． 三、解答题 11．如图，已知平面上四个点A，B，C，D，请根据下列语句用尺规画图并回答问题．（保留作图痕迹，不写作法） (1)分别画直线、线段． (2)画出射线与射线，两射线相交于点P． (3)连接，延长至E，使得． (4)在线段上找一点Q，使的值最小，这样画图的依据是____． 12．已知、、三点在同一条直线上，线段，线段，若是线段的中点，是线段的中点，则线段的长度是多少？ 13．如图所示，点C在线段上，，，点分别是的中点． (1)求的长度； (2)求的长度； (3)若点P在直线上，且，点为的中点，求的长度． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！6 1 学科网（北京）股份有限公司 $ 第02讲 线段、射线和直线 知识点1：直线、射线与线段的概念 知识点2：线段的性质 注意：直线是可以向两边无限延伸的，射线受端点的限制，只能向一边无限延伸；线段不能 延伸，所以直线与射线不可测量长度，只有线段可以测量 基本事实 1. 经过两点有一条直线，并且仅有一条直线，即两点确定一条直线 2. 两点之间的线段中，线段最短，简称两点间线段最短 【题型1 直线、射线与线段】 【典例1】如图，A，B在直线l上，下列说法错误的是（    ） A．射线和射线是同一条射线 B．直线和直线是同一条直线 C．线段和线段是同一条线段 D．图中以点A为端点的射线有两条 【答案】A 【分析】本题考查了直线，射线，线段的定义．直线：在平面内，无端点，向两方无限延伸的线，射线：在平面内，有一个端点，向一方无限延伸，线段：在平面内，有两个端点，不延伸． 根据直线，射线，线段的定义进行判断即可． 【详解】解：A． 射线和射线不是同一条射线，原说法错误； B． 直线和直线是同一条直线，原说法正确； C． 线段和线段是同一条线段，原说法正确； D． 图中以点A为端点的射线有两条，原说法正确； 故选：A． 【变式1】下列语句准确规范的是（   ） A．延长射线到点 B．反向延长射线到点 C．画射线相交于点 D．画射线相交于点 【答案】B 【分析】本题主要考查几何语言的规范性，准确掌握规范的几何语言是学好几何的保障．根据几何语言的规范对各选项分析判断后利用排除法求解即可． 【详解】解：选择：射线是沿无限延伸的，故原说法不正确，故选项不符合题意； 选择：反向延长射线是以为端点，向方向作射线，是规范的几何语言，故说法正确，故选项符合题意； 选择：点要用大写字母表示，故原说法不正确，故选项不符合题意； 选择：点要用大写字母表示，故原说法不正确，故选项不符合题意． 故选：． 【变式2】如图，点，，在同一直线上，下列说法不正确的是（   ） A．线段与线段是同一条线段 B．直线与直线是同一条直线 C．射线与射线是同一条射线 D．射线与射线是同一条射线 【答案】D 【分析】本题考查了直线、射线、线段的定义，熟练掌握直线、射线、线段的概念是解题的关键． 根据直线、射线、线段的定义判断选项即可． 【详解】解：A、线段和线段的两个端点都是和，所以是同一条线段，该选项正确； B、直线没有端点，能够向两端无限延伸，直线和直线都在过点、、的同一条直线上，所以是同一条直线，该选项正确； C、射线和射线的端点都是，且都沿到的方向延伸，所以是同一条射线，该选项正确； D、射线的端点是，向的方向延伸；射线的端点是，向的方向延伸，延伸方向不同，所以不是同一条射线，该选项错误． 故选：D ． 【变式3】如图，下列说法正确的是（   ） A．图中共有5条线段 B．直线与直线是指同一条直线 C．射线与射线是指同一条射线 D．点在直线上 【答案】B 【分析】本题考查了直线、射线、线段的定义，点与直线的位置关系，是基础题，熟记概念是解题的关键． 根据直线、射线、线段的定义和点与直线的位置关系对各小题分析判断即可得解． 【详解】解：A．图中有线段、、，，，，共6条线段，原说法错误，不符合题意； B．直线与直线表示的是同一条直线，正确，符合题意； C．射线与射线表示的不是同一条射线，原说法错误，不符合题意； D．点不在直线上，原说法错误，不符合题意． 故选：B． 【题型2 两点确定一条直线】 【典例2】在墙壁上固定一根横放的木条，则至少需要钉子的枚数是（  ） A．1枚 B．2枚 C．3枚 D．任意枚 【答案】B 【分析】考查了直线的性质，熟记两点确定一条直线是解题的关键． 根据几何基本事实“两点确定一条直线”，固定木条需要至少两个点以防止移动和旋转． 【详解】解：∵两点确定一条直线， ∴固定一根横放的木条至少需要2枚钉子， 故选：B． 【变式1】在一面墙上用两根钉子钉木条时，木条就会固定不动，这种做法依据的几何知识是（   ） A．两点确定一条直线 B．点动成线 C．射线只有一个端点 D．两直线相交只有一个交点 【答案】A 【分析】本题主要考查直线的性质，掌握直线的性质：两点确定一条直线是解题的关键． 根据直线的性质，两点确定一条直线解答． 【详解】解：在一面墙上用两根钉子钉木条时，木条就会固定不动，用数学知识解释这种生活现象为：两点确定一条直线． 故选：A． 【变式2】植树时，只要定出两个树坑的位置，就能使同一行树坑在一条直线上，这样做蕴含的数学原理是（   ） A．两点确定一条直线 B．两点之间，线段最短 C．过一点有无数条线段 D．线段有两个端点 【答案】A 【分析】本题主要考查了两点确定一条直线，将两个树坑看作两个点，根据两点确定一条直线可知能使同一行树坑在一条直线上． 【详解】解：将两个树坑看作两个点，则植树时，只要定出两个树坑的位置，就能使同一行树坑在一条直线上，这样做蕴含的数学原理是两点确定一条直线． 故选：A． 【变式3】如图，用两个钉子，就可以把一个横排挂钩固定在墙上，这样做的依据是 ． 【答案】两点确定一条直线 【分析】本题主要考查两点确定一条直线，熟练掌握两点确定一条直线是解题的关键；根据两点确定一条直线进行求解即可． 【详解】解：由题意可知这样做的依据是两点确定一条直线； 故答案为：两点确定一条直线． 【题型3 线段的应用】 【典例3】某列车往返于武汉站与南昌西站，途经鄂州、黄石北与庐山站，列车迷贤哥想收集该列车所有不同的车票（起点或终点不一样都算不同的车票），则他需要购买（   ）张车票 A．6 B．10 C．15 D．20 【答案】D 【分析】本题考查线段的计数问题，解题的关键在于将该问题抽象为几何问题解决．将不同站点的车票抽象为线段，再结合线段的计数方法和“起点或终点不一样都算不同的车票”求解，即可解题． 【详解】解：将不同站点的车票抽象为线段，如下图所示： 上图共有线段（条）， 因为起点或终点不一样都算不同的车票， 所以所有不同的车票有（张）， 故选：D． 【变式1】兰州市某公交线路上共设6个车站，则在这条线路上往返行车需要设计车票价有（    ） A．25种 B．15种 C．30种 D．21种 【答案】C 【分析】此题考查了线段之间的总条数，解题的关键是往返车票需要两种车票．根据线段之间的总条数计算即可． 【详解】解：如图所示，兰州市某公交线路上共设6个车站，可看作六个点， 则线段的总条数是， 因为要有往返车票，即两点之间是两种车票，所以应设计（种）． 故选：C． 【变式2】如图，是一段高铁行驶路线图，图中字母表示的5个点表示5个车站在这段路线上往返行车，需印制（    ）种车票，共有（    ）种票价．    A．； B．； C．； D．； 【答案】C 【分析】分析观察可以发现，每个车站作为起始站，可以到达除本站外的任何一个站，需要印制种车票，而有5个起始站，故可以直接列出算式． 【详解】解：，， ∴需印制20种车票，共有10种票价． 故选：C． 【点睛】本题在线段的基础上，考查了排列与组合的知识，解题关键是要理解题意，每个车站都既可以作为起始站，可以到达除本站外的任何一个站． 【变式3】2022年9月8日，随着列车从郑州港区段鸣笛出发，郑许市域铁路开始空载试运行，未来“双城生活模式”指日可待．图中展示了郑许市域铁路的其中五个站点，若要满足乘客在这五个站点之间的往返需求，铁路公司需要准备 种不同的车票． 【答案】20 【分析】先求得单程的车票数，在求出往返的车票数即可． 【详解】解：5个点中线段的总条数是（种）， ∵任何两站之间，往返两种车票， ∴应印制（种）， 故答案为：20． 【点睛】此题考查了数线段，解决本题的关键是掌握“直线上有个点，则线段的数量有条”． 【题型4 作图-直线射线和线段】 【典例4】在图中有A，B，C，D四个点，请按下列语句画图并填空： (1)画射线． (2)画线段和，它们相交于O． (3)画直线，连接和． (4)此时，图中共有线段________条，射线________条，直线________条． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 (3)见解析 (4)10，6，1 【分析】本题主要考查了直线，射线，线段的画法和数量，掌握直线，射线，线段的定义是解题的关键． （1）根据射线的定义画图即可； （2）根据线段的定义画图即可； （3）根据直线的定义画图即可； （4）根据直线，射线，线段的定义求数量即可． 【详解】（1）解：射线如图， （2）解：线段和如图， （3）解：直线，连接和如图， （4）解：从图中可以知道图中有10条线段，有6条射线，有1条直线， 故答案为：10，6，1． 【变式1】如图，在同一平面内，已知A，B，C，D四点，请按下列要求画图： (1)画直线； (2)画射线； (3)连接与射线交于点E． 【答案】(1)见详解 (2)见详解 (3)见详解 【分析】本题考查了画直线、射线； （1）根据要求画图即可求解； （2）根据要求画图即可求解； （3）根据要求画图即可求解； 【详解】（1）解：如图，直线即为所求； （2）解：如图，射线为所求； （3）解：如图，即为所求， 【变式2】如图，平面上有四个点，根据下列语句画图： (1)画直线； (2)画射线； (3)画线段； (4)连接，并反向延长至点，使． 【答案】(1)见详解 (2)见详解 (3)见详解 (4)见详解 【分析】本题主要考查了作图，熟练掌握直线、射线、线段的特征是解题的关键． （1）根据直线的特征画图即可； （2）根据射线的特征画图即可； （3）根据线段的特征画图即可． （4）利用反向延长线段，再结合得出答案． 【详解】（1）解：如图，直线即为所求； （2）解：如图，射线即为所求； （3）解：如图，线段即为所求； （4）解：如图，线段即为所求． 【变式3】按照下列语句画出图形 (1)画射线； (2)连接、相交于点O； (3)画直线，在直线上取点E，使． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 (3)见解析 【分析】本题主要考查了射线，直线，线段中点的定义，熟练掌握其定义并能正确区分它们是解决此题的关键． （1）利用射线的定义画出符合题意的图形即可； （2）利用线段和交点的定义得出符合题意的图形即可； （3）利用直线的定义得出符合题意的图形，再利用中点的定义找到点即可； 【详解】（1）解：如图所示，射线即为所求， （2）解：如图所示，、相交于点O，即为所求， （3）解：如图所示，直线和点，即为所求， （1）两点之间的线段中，线段最短，简称：两点间线段最短。 （2） 基本概念 ①两点间的距离： 两个端点之间的长度叫做两点间的距离。 ② 线段的等分点： 把一条线段平均分成两份的点，叫做这个线段的中点 （3）双中点模型： C 为 AB 上任意一点，M、N 分别为 AC、BC 中点，则 【题型5 两点间线段最短】 【典例5】如图，为抄近路践踏草坪是一种不文明现象，请你用数学知识解释出现这一现象的原因是（   ） A．两点确定一条直线 B．两点之间，线段最短 C．直线比线段短 D．对角线最短 【答案】B 【分析】本题考查了线段的性质，熟记两点之间、线段最短是解题的关键． 根据线段的性质即可解答． 【详解】解：为抄近路践踏草坪是一种不文明现象，是因为两点之间线段最短． 故选：B． 【变式1】如图，从A地到B地有a，b，c三条道路，人们通常会选择距离最短的道路b，这样做依据的数学原理是（    ）    A．点动成线 B．两点确定一条直线 C．两点之间，线段最短 D．线段中点的定义 【答案】C 【分析】根据两点之间线段最短解答即可． 本题考查了两点之间线段最短，熟练掌握性质是解题的关键． 【详解】解：根据两点之间线段最短，得C正确； 故选：C． 【变式2】如图，田亮同学用剪刀沿直线将一片平整的树叶剪掉一部分，发现剩下树叶的周长比原树叶的周长要小，能正确解释这一现象的数学知识是 ． 【答案】两点之间线段最短 【分析】本题主要考查了线段的性质，掌握两点之间线段最短是解题的关键． 根据两点之间线段最短即可解答． 【详解】解：田亮同学用剪刀沿直线将一片平整的树叶剪掉一部分，发现剩下树叶的周长比原树叶的周长要小，能正确解释这一现象的数学知识是两点之间，线段最短． 故答案为：两点之间线段最短． 【变式3】小海同学计划到距家直线距离为12.9公里的天竺山森林公园游玩．他通过导航软件发现有三条可选路线，如图所示，长度分别为15.8公里，15.4公里，18.4公里．能解释这一现象的数学知识是 ． 【答案】两点之间，线段最短 【分析】本题考查了两点之间，线段最短，熟练掌握两点之间，线段最短是解题关键． 根据两点之间，线段最短求解即可． 【详解】解：能解释这一现象的数学知识是两点之间，线段最短． 故答案为：两点之间，线段最短． 【题型6 两点间距离】 【典例6】若点C是线段的中点，，点D在直线上，且，则线段的长为（   ） A．3 B．9 C．6或9 D．3或12 【答案】D 【分析】根据线段中点的定义得到，分情况讨论：当点D在线段上和当点D在线段得延长线上，根据已知条件得到，的值，于是得到结论． 本题考查了两点间的距离，线段中点的定义，分类讨论思想的运用是解题的关键． 【详解】解：∵点C是线段的中点，， ∴， 当点D在线段上， ∴ ∵， ∴， ∴ 当点D在线段得延长线上， ∴ ∵， ∴， ∴ 综上所述，线段的长为3或12， 故选：D． 【变式1】如图，已知，，则的长度为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了线段和差计算，根据，代入求解即可． 【详解】解：∵， ∴， 故选：A． 【变式2】已知线段，点在直线上，且，当为线段的中点，则 ． 【答案】2.5或5.5 【分析】本题主要考查两点间的距离的知识点，利用中点性质转化线段之间的倍分关系是解题的关键． 分类讨论：点在线段上，点在线段的延长线上两种情况讨论，根据线段中点的定义和线段的和差计算的长度． 【详解】解：当点在线段上时，，为的中点， 故，； 当点在线段的延长线上时，，为的中点， 故，． 故答案为：2.5或5.5． 【变式3】已知点是直线上一点，且，若，则的长度为 ． 【答案】10或40/40或10 【分析】本题考查了线段的和差，两点间的距离，掌握线段的和差计算，线段的中点定义，两点间的距离是解题的关键．根据题意，分两种情况画出图形，①当点在点的右侧时；②当点在点的左侧时，由线段的和差，两点间的距离进行计算即可得出答案． 【详解】解：根据题意，分两种情况： ①如图所示，当点在点的右侧时，   ， 可设，， ， 由线段的和差可得：， ， 解得：， ． ②，如图所示，当点在点的左侧时，    同（1）可知，，， ， 由线段的和差可得：， ， ， ， ， 综上所述，的长度是10或40． 故答案为：10或40． 【题型7 线段的简单计算】 【典例7】如图，已知点为线段上一点，，，、分别是、的中点．求： (1)的长度为______； (2)的长度为______； (3)若在直线上，且，求的长度． 【答案】(1) (2) (3)的长度为或 【分析】本题考查了关于线段的中点的计算，线段的和与差的计算，读懂题意熟练运用线段的和差倍分是解本题的关键． （1）直接根据是的中点可得答案； （2）先求出的长，然后根据是的中点求出，根据即可求解； （3）分在点的右侧、在点的左侧两种情况进行计算即可． 【详解】（1）解：∵，是的中点． ∴ 故答案为：； （2）∵，， ∴（）， ∵是的中点 ∴， ∴（）， 故答案为：； （3）当在点的右侧时，（）， 当在点的左侧时，（）， ∴的长度为或． 【变式1】如下图，为线段延长线上一点，为线段上一点，． (1)若，求的长． (2)若 ，是的中点，求的长． 【答案】(1) (2) 【分析】  (1)根据，可求得，据此即可求得答案； (2)先求得，进而可求得，根据线段中点的定义，可求得，进而求出的长． 【详解】（1）解：∵， ∴． ∵， ∴． ∵， ∴． （2）解：∵， ∴． ∵， ∴， ∴， ∴． ∵是的中点， ∴， ∴． 【点睛】本题主要考查线段的和差关系，线段的中点的有关计算问题，掌握线段和差关系和中点定义是本题的关键． 【变式2】如图，已知，是线段上的两点，，是的中点，，求的长． 【答案】 【分析】本题主要考查线段中点和线段的和与差，一元一次方程的应用，能够表示出线段的和与差是解题的关键． 先设，，，根据中点表示出，再由线段和差得到，求出，再由求解即可． 【详解】解：， 设，，， ， ∵是的中点， ， ， ， ， ． 【变式3】如图，C为线段的中点，D在线段上，且．求： (1)的长； (2)的长． 【答案】(1)7 (2)1 【分析】本题主要考查了线段的和差计算，线段中点的有关计算，解题的关键是熟练掌握线段中点的定义． （1）根据，求出，根据中点定义，求出结果即可； （2）根据，，求出结果即可． 【详解】（1）解：， ， ∵C为线段的中点， ； （2）解：∵，， ∴． 【题型8 “双中点”模型】 【典例8】如图，已知，M为的中点，点P在上，N为的中点． (1)图中共有 条线段； (2)若，求的长． 【答案】(1)10 (2)6 【分析】本题考查线段定义及线段的中点定义，根据图形进行线段的和与差是解答的关键． （1）根据线段定义求解即可； （2）根据线段中点定义求得，，进而进行线段和与差即可求解． 【详解】（1）解：如图，图中的线段共有（条）， 故答案为：10； （2）解：∵，M为的中点， ∴， ∵N为的中点，， ∴， ∴． 【变式1】如图，已知点B、C、E都是线段上的点，，，点E是的中点． (1)求的长； (2)若点F是的中点，求的长． 【答案】(1) (2)8 【分析】本题考查线段的和差运算，线段中点的含义等知识，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题． （1）根据，，求出，再根据中点的定义求出，即可； （2）首先求出，得到，根据中点的定义求出，即可． 【详解】（1）解：因为， 所以． 因为， 所以． 因为点是的中点， 所以． （2）解：因为， 所以． 因为，， 所以． 因为点是的中点， 所以， 所以． 【变式2】如图，已知点为线段上一点，，，分别是的中点．求： (1)求的长度； (2)若在直线上，且，求的长度． 【答案】(1) (2)或 【分析】本题主要考查了线段中点的有关计算，数形结合，注意分类讨论，是解题的关键． （1）根据线段中点定义得出，，求出即可； （2）分两种情况当点在线段上时，当点在线段的延长线上时，分别求出结果即可． 【详解】（1）解：∵，， ∴， ∵分别是中点， ∴，， ∴． （2）解：由（1）可知，， ①当点在线段上时， ∵， ∴， ②当点在线段的延长线上时， ∵， ∴， ∴的长为或． 【变式3】如图，点E是线段的中点，C是线段上一点，； (1)若，求的长； (2)若F为的中点，求长． 【答案】(1)20 (2)6 【分析】本题考查与线段中点有关的计算、一元一次方程的几何应用，根据图形得到线段间的数量关系是解答的关键． （1）设，则，先根据线段中点求得，由列方程求得x，进而由可求解； （2）根据点E是线段的中点，得出，根据F为的中点，得出，根据，求出结果即可． 【详解】（1）解：设，由得， ∵点E是线段的中点， ∴， ∵， ∴， 解得：， ∴， ∴； （2）解：∵点E是线段的中点， ∴， 为的中点， ， ． 一、单选题 1．下列各选项中，表示“线段”正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据线段的定义和表示方法，对每个选项一一分析即可． 【详解】选项：这是一条直线，故选项不符合题意； 选项：这是一条射线，故选项不符合题意； 选项：这是一条射线，故选项不符合题意； 选项：这是一条线段，故选项符合题意． 故选：． 【点睛】本题考查了线段的定义和表示方法，掌握定义和表示方法是解题的关键． 2．以下说法正确的是（    ） A．直线a上有两个端点 B．经过A，B两点的线段只有一条 C．延长线段到C，是 D．反向延长线段至A，使 【答案】D 【分析】本题考查了直线的定义、线段的定义，延长线等；根据直线的定义、线段的定义，延长线的作法进行逐一判断，即可求解． 【详解】解：A、直线没有端点，原说法错误，故不符合题意； B、经过A，B两点的线段可以有无数条，原说法错误，故不符合题意； C、延长线段到C，是，无法得到，原说法错误，故不符合题意； D、反向延长线段至A，使，原说法正确，故符合题意； 故选：D． 3．如图，，两个村庄在公路（不计公路的宽度）的两侧，现要在公路旁建一个货物中转站，使它到，两个村庄的距离之和最小．图中的点（与的交点）即为所建的货物中转站的位置，这样做的理由是（  ） A．两直线相交只有一个交点 B．两点确定一条直线 C．两点之间的所有连线中，线段最短 D．经过一点有无数条直线 【答案】C 【分析】本题主要考查两点之间线段最短，解题的关键是理解题意；因此此题可根据两点之间线段最短进行求解即可． 【详解】解：由题意可知这样做的理由是两点之间的所有连线中，线段最短； 故选C． 4．如图，点D为线段上一点，点C为的中点，，则的长为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了线段中点有关计算．熟练掌握线段中点定义，线段的和差计算，是解题的关键． 根据已知，，由，可得出的长，再根据点C为的中点，由线段的中点定义，可得出，即可得出答案． 【详解】解：∵， ∴（）， 又∵点C为的中点， ∴（）． 故选：B． 5．如图，线段，点为的中点，点在线段上，，则线段的长为（    ）    A．2 B．3 C．4 D．5 【答案】C 【分析】此题主要考查了线段的计算和线段的中点．先根据点为的中点可求出，再根据求出的长，进而根据可得出答案． 【详解】解：∵，点为的中点， ∴， ∵， ∴， ∴． 故选：C． 二、填空题 6．如图，两点将线段分成了的三个部分，点是线段的中点，，则线段的长为 ． 【答案】 【分析】本题考查了两点间的距离，线段的和差，线段中点，根据题意求出与的数量关系是解题的关键． 根据题意得出，，计算即可得到答案． 【详解】解： 两点将线段分成了的三个部分， ， 点是线段的中点， ， ， ， ， ， 故答案为： ． 7．晚上，小明拿起手电筒照向远方，他发现手电筒光线可近似看成一条 （填“直线”“线段”或“射线”）． 【答案】射线 【分析】本题主要考查了射线、直线、线段的区分，解题的关键是熟练掌握线段、射线和直线的定义。 【详解】解：晚上，小明拿起手电筒照向远方，此时手电筒光线是一条射线． 故答案为：射线． 8．如图，点A在直线l ，点B在直线l ． 【答案】 上 外 【分析】此题考查了点和直线的位置关系，根据点A和点B的位置判断即可． 【详解】解：点A在直线l上，点B在直线l外． 故答案为：上，外． 9．若点是线段的中点，且，则 ． 【答案】5 【分析】本题考查了线段的中点，熟练掌握线段中点的计算是解题关键． 根据线段中点的定义可得，由此即可得． 【详解】解：∵点是线段的中点，且， ∴， 故答案为：5． 10．已知：如图，C是线段上的一点，N是线段的中点，若，，则 ． 【答案】8 【分析】本题考查了线段的和差关系以及线段中点的定义，熟练掌握线段中点的定义是解决本题的关键． 可先求解线段的长度，再根据中点的性质求出的长度，最后即可求解的长度． 【详解】解：∵，， ∴， ∵N是线段的中点， ∴， ∴． 故答案为：8 ． 三、解答题 11．如图，已知平面上四个点A，B，C，D，请根据下列语句用尺规画图并回答问题．（保留作图痕迹，不写作法） (1)分别画直线、线段． (2)画出射线与射线，两射线相交于点P． (3)连接，延长至E，使得． (4)在线段上找一点Q，使的值最小，这样画图的依据是____． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 (3)见解析 (4)图见解析，两点之间线段最短 【分析】本题主要考查了画直线，射线和线段，线段的尺规作图，两点之间线段最短，熟知相关知识是解题的关键． （1）根据直线和线段的画法画图即可； （2）根据射线的画法画图即可； （3）以点D为圆心，的长为半径画弧交延长线于点E，则点E即为所求； （4）根据两点之间线段最短可知线段的交点即为点Q． 【详解】（1）解：如图所示，直线、线段即为所求； （2）解：如图所示，射线与射线以及点P即为所求； （3）解：如图所示，点E即为所求； （4）解：如图所示，线段的交点Q即为所求，依据为两点之间线段最短． 12．已知、、三点在同一条直线上，线段，线段，若是线段的中点，是线段的中点，则线段的长度是多少？ 【答案】线段的长度是 【分析】本题主要考查了线段的和差倍分，主要利用了线段中点的定义，难点在于要分情况讨论． 分两种情况讨论：①当点在线段上时；②当点在线段的延长线上时，根据线段中点的定义，计算即可． 【详解】解：①当点在线段上时，，，如图所示： ∴， ∵是的中点，是的中点， ∴， 则； ②当点在线段的延长线上时，如图所示： ∴， ， 答：若是线段的中点，是线段的中点，则线段的长度是． 13．如图所示，点C在线段上，，，点分别是的中点． (1)求的长度； (2)求的长度； (3)若点P在直线上，且，点为的中点，求的长度． 【答案】(1) (2) (3)或 【分析】本题主要考查了与线段中点有关的计算，熟练掌握线段中点的计算是解题关键． （1）先根据线段的和差可得，再根据线段中点的定义求解即可得； （2）先根据线段中点的定义可得，再根据线段的和差求解即可得； （3）分两种情况：①当点在线段上时，②当点在线段的延长线上时，先根据线段的和差可得的长，再根据线段中点的定义可得的长，然后根据线段的和差求解即可得． 【详解】（1）解：∵，， ∴， ∵点是的中点， ∴． （2）解：∵点是的中点，， ∴， 由（1）已得：， ∴． （3）解：①如图，当点在线段上时， ∵，， ∴， ∵点为的中点， ∴， 由（1）已得：， ∴； ②如图，当点在线段的延长线上时， ∵，， ∴， ∵点为的中点， ∴， 由（1）已得：， ∴； 综上，的长为或． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！6 1 学科网（北京）股份有限公司 $