6.1-6.2 平面向量的概念、平面向量的运算 一周一测专项训练-2024-2025学年高一下学期数学人教A版必修第二册

第一单元　平面向量的概念、平面向量的运算 一周一测------基础达标卷 单项选择题 1.[2025山东省枣庄市学业水平检测]+-=(　　) A. B. C. D. 2.[2025马鞍山二中高一阶段测试]如图,O是正六边形ABCDEF的中心,下列向量中,与相等的向量为(　　) A. B. C. D. 3.[2025辽宁省抚顺市六校协作体高一期初]在如图所示的方格纸中,+=(　　) A. B. C. D. 4.[2025晋城一中高一月考]如图,在平行四边形ABCD中,E为CD的中点,BE与对角线AC相交于点F,记=a,=b,则=(　　) A.-a+b B.-a-b C.a+b D.-a+b 5.[2024新课标Ⅱ卷]已知向量a,b满足|a|=1,|a+2b|=2,且(b-2a)⊥b,则|b|=(　　) A. B. C. D.1 6.[2024海南中学期末]在四边形ABCD中,对角线AC与BD交于点O,若3+=3+,则四边形ABCD一定是(　　) A.梯形 B.矩形 C.平行四边形 D.菱形 7.[2025福建师大附中高一期中]点O在△ABC所在的平面内,若=λ(+)(λ≠0),则直线OA一定经过△ABC的(　　) A.重心 B.外心 C.内心 D.垂心 8.[2025山东省实验中学高一期中]已知+与为相反向量,若||=2,||+||=4,则,夹角的余弦值的最小值为(　　) A. B.- C.1 D.-1 多项选择题 9.[2025岳阳一中高一月考]已知平面向量a,b,c,下列说法正确的有(　　) A.若a∥b,b∥c,则a∥c B.(a·b)·c=a·(b·c) C.|a+c|≤|a+b|+|b-c| D.若|a+b|=|a-b|且a≠0,b≠0,则a与b垂直 10.[2025濮阳一中高一期末]如图,在△ABC中,D为BC边上的一个三等分点(靠近点B),AB=4,AC=2,∠BAC=120°,则下列结论正确的是(　　) A.3=2+ B.||= C.·=-20 D.-是在上的投影向量 11.【情境创新】[2025广东实验中学高一期中]2025年2月7日,第九届亚洲冬季运动会开幕式在哈尔滨举行.如图1是第九届亚洲冬季运动会会徽,适当选择四个点作四边形ABCD,就可以覆盖会徽的主图案.如图2,在四边形ABCD中,E,F分别是BC,CD的中点,=2,=2,则下列等式一定成立的是(　　)  A.=+ B.+=+ C.+=- D.= 填空题 12.[2025武汉二中、武汉外国语学校等校高一联考]已知e1,e2是两个不共线的向量,向量a=2e1-e2,b=ke1+e2.若a∥b,则k=　　　　　.  13.[2025台州中学高一期末]已知向量a,b满足|b|=4,a与b的夹角为,则当实数λ变化时,|b-λa|的最小值为　　　　.  14.[2025大连二十四中高一期末]已知O为△ABC内一点,且满足+λ+(λ-1)=0,若△OAB的面积与△OAC的面积的比值为,则λ的值为　　　　.  解答题 15.(13分)[2025莆田二十五中高一月考]化简: (1)4(a+b)-3(a-b)-8a; (2)(5a-4b+c)-2(3a-2b+c); (3)[(4a-3b)+b-(6a-7b)]. 16.(15分)[2025深圳实验学校高一月考]如图,在△ABC中,=,=.设=a,=b. (1)用a,b表示,; (2)若P为△ABC内部一点,且=-a+b,求证:M,P,N三点共线. 17.(15分)[2024镇海中学高一期末]单位向量a,b满足(a+2b)·(a-b)=-. (1)求a与b夹角的余弦值; (2)若ka+b与a+3b的夹角为锐角,求实数k的取值范围. 18.(17分)[2025辽宁省实验中学高一期中]如图,在梯形ABCD中,AB∥CD,AB⊥AD,AB=2CD=4,E,F分别为DC,CB的中点,且·=2,P是线段AB上的一个动点. (1)若=m+n,求mn的值; (2)求AD的长; (3)求·的取值范围. 19.(17分)【探索创新】[2024慈溪中学高一期末]已知向量a,b满足|a|=2,|b|=4,且a-b与5a+2b互相垂直. (1)求a·b的值; (2)求向量a+b在向量b上的投影向量(用b表示); (3)定义平面非零向量之间的一种运算“*”:a*b=acos θ+bsin θ(其中θ是非零向量a和b的夹角),求|(a)*(-b)|. 参考答案 1.D　+-=+=). 2.B　根据正六边形的性质,分别分析每个选项中的向量与相等的向量. A(✕)虽然||=||,但方向不同,不满足向量相等的条件,所以与不相等. B(√)与方向相同,并且||=||,所以=. C(✕)与方向不同,所以与不相等. D(✕)与方向不同,所以与不相等. 3.A　如图,根据平行四边形法则,可知+=,而=,故+=. 4.A　由题意得,△ECF∽△BAF,所以==,所以=,所以=(+)=(-)=-=-a+b. 5.B　由(b-2a)⊥b,得(b-2a)·b=b2-2a·b=0,所以b2=2a·b.将|a+2b|=2的两边同时平方,得a2+4a·b+4b2=4(方法技巧:已知向量的和(差)的模,往往两边同时平方,由此将向量的模的问题转化为向量的数量积问题,从而与条件中的已知向量建立联系),即1+2b2+4b2=1+6|b|2=4( b2=|b|2),解得|b|2=,所以|b|=. 6.A　向量的加法与减法运算的应用 思路导引　利用向量判断四边形形状首先考虑判断对边的位置与大小关系,根据变形可得3=,可得四边形为梯形. 由3+=3+,得3(-)=-,所以3=,可得AD∥BC且AD≠BC,所以四边形ABCD一定是梯形. 7.C　利用单位向量和向量加法运算的几何意义得,分别表示与,同方向的单位向量,故+平分∠BAC,即平分∠BAC,所以直线OA一定经过△ABC的内心. 8.D　向量夹角的计算 思路导引　先根据向量模的相关不等式和题设条件,得到1≤||≤3,设||=t,<,>=θ,将=-(+)两边平方,得到cos θ=-2,结合t∈[1,3],求出cos θ的范围即可得解. 依题意,=-(+),则|||-|||≤||=|+|≤||+||,因为||+||=4,且||=2,所以||=4-||,代入上式,可得|||-2|≤4-||≤2+||,解得1≤||≤3.设||=t,则||=4-t,且t∈[1,3],设<,>=θ,则=-(+)两边平方,可得=++2·=++2||·||cos θ,即(4-t)2=4+t2+4tcos θ,得cos θ=-2,因为t∈[1,3],所以cos θ∈[-1,1],即,夹角的余弦值的最小值为-1. 9.CD　A(✕)当b=0时,满足a∥b,b∥c,但a∥c不一定成立( 注意零向量与任一向量平行). B(✕)因为a·b=|a||b|cos<a,b>是实数,所以(a·b)·c表示与c共线的向量;同理a·(b·c)表示与a共线的向量.但是a与c关系不确定. C(√)|a+c|=|(a+b)+(c-b)|≤|a+b|+|c-b|=|a+b|+|b-c|. D(√)由|a+b|=|a-b|得,|a+b|2=|a-b|2,即a2+2a·b+b2=a2-2a·b+b2,所以4a·b=0,即a·b=0,即a与b垂直. 10.ACD　A(√)由题意得=+=+=+(-)=+,所以3=2+). B(✕)因为=+,所以||=|+|====. C(√)·=·(-)=·-=4×2×cos 120°-16=-20. D(√)在上的投影向量为·==-. 11.BCD　A(✕)因为四边形ABCD不一定是平行四边形,所以=+不一定成立. B(√)+=,+=,所以+=+). C(√)+=,-=,所以+=-). D(√)如图,连接BD,因为E,F分别是BC,CD的中点,所以=,又=2,=2,所以=,所以=. 12.-2　因为a∥b,所以设2e1-e2=m(ke1+e2),故解得k=-2. 13.2　设|a|=m,因为|b|=4且a与b的夹角为,所以|b-λa|====,所以当mλ=2时,|b-λa|取得最小值2. 14.　由+λ+(λ-1)=0,得λ(+)=-=.如图,设D,E分别是BC,AB的中点,连接DE,则2=, +=2,所以2λ=,所以O在线段DE上,且2λOD=AC=2DE,得λ=.设OD=1,则DE=λ,所以OE=λ-1,连接AD,因为==,S△OAC=S△ADC=S△ABC,S△ABD=S△ABC,所以S△OAC=S△ABD,则==,解得λ=. 15.【解析】 (1)原式=4a+4b-3a+3b-8a=-7a+7b.(4分) (2)原式=5a-4b+c-6a+4b-2c=-a-c.(8分) (3)原式=(4a-3b+b-a+b)=(a-b)=a-b.(13分) 16.【解析】 (1)=+=+=+(-)=+=a+b.(3分) =-=+-=+=a+b.(7分) (2)=-=+=-a+b+a=a+b, 又=a+b,故=3, 故M,P,N三点共线(当两向量共线且有公共点时,才能得出三点共线).(15分) 17.【解析】 (1)因为|a|=|b|=1,(a+2b)·(a-b)=-, 所以a2+a·b-2b2=-,即1+a·b-2=-,则a·b=,(3分) 则cos<a,b>==,即a与b夹角的余弦值为.(6分) (2)因为ka+b与a+3b的夹角为锐角, 所以(ka+b)·(a+3b)>0且ka+b与a+3b不共线( 不要忽略其中有同向共线的情况,需排除).(7分) 当ka+b与a+3b共线时,有ka+b=λ(a+3b),即(k-λ)a=(3λ-1)b, 由(1)知a与b不共线,所以,解得k=. 所以当ka+b与a+3b不共线时,k≠.(9分) 由(ka+b)·(a+3b)>0,得ka2+(3k+1)a·b+3b2>0, 即k+(3k+1)×+3>0,解得k>-.(13分) 所以k>-且k≠,即实数k的取值范围为(-,)∪(,+∞).(15分) 18.【解析】 (1)连接BD,由E,F分别为DC,CB的中点,得EF∥BD,EF=BD, 由题图可得==(-)=m+n,则m=,n=-, 所以mn=-.(4分) (2)由(1)可知=-,=+, 由AD⊥AB,得·=0, ·=(+)·(-)=-=2, 可得4-=2,解得||=2,即AD=2.(10分) (3)设=x(0≤x≤1),由题图可得=++=-x++=(-x)+, =+=(1-x)+=(1-x)+(++)=(1-x)-++=(-x)+,(13分) ·=[(-x)+]·[(-x)+]=(-x)(-x)+=(-x+x2)×16+×4=16x2-16x+5=16(x-)2+1(结合二次函数求取值范围), 又0≤x≤1,所以·∈[1,5].(17分) 19.【解析】 (1)因为a-b与5a+2b互相垂直, 所以(a-b)·(5a+2b)=5|a|2-3a·b-2|b|2=0, 可得5|a|2-2|b|2=20-32=-12=3a·b, 所以a·b=-4.(4分) (2)向量a+b在向量b上的投影向量为 ·b=·b=·b=b.(8分) (3)设向量a与-b的夹角为α,则cos α===,又0≤α≤π, 所以α=,sin α=,(12分) |(a)*(-b)|====.(17分) 1 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $