精品解析：山东省枣庄市峄城区2025—2026学年 九年级上学期期中质量检测数学试题

2025-2026学年度第一学期期中质量监测九年级数学试题 说明： 1．考试时间为120分钟，满分120分． 2．选择题答案用2B铅笔涂在答题纸答题相应位置上； 3．考试时，不允许使用科学计算器； 4．不得用铅笔或红色笔在答题纸上答题． 一、选择题：本大题共10小题，每小题3分，共30分．在每小题给出的四个选项中，只有个选项是正确的． 1. 下列判断不正确的是（ ） A. 四个角相等的四边形是矩形 B. 对角线垂直的平行四边形是菱形 C. 对角线相等的平行四边形是矩形 D. 对角线相等且垂直的四边形是菱形 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了矩形，菱形的判定，掌握矩形，菱形的判定方法是解本题的关键．根据矩形、菱形的判定条件逐一分析选项． 【详解】解：A. 四个角相等的四边形每个角均为90°，有三个角是直角的四边形是矩形，此选项命题正确，但不符合题意； B. 对角线垂直的平行四边形是菱形，此选项命题正确，但不符合题意； C. 对角线相等的平行四边形是矩形，此选项命题正确，但不符合题意； D. 对角线相等且垂直的四边形不一定是菱形．例如，若对角线相等且垂直但不对称分割，四边长度不等，此时四边形并非菱形，此选项命题不正确，但符合题意． 故选：D． 2. 如图，菱形中，，对角线与相交于点，过点作，交边于点，连接，则（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了菱形的性质以及直角三角形斜边中线性质，解题的关键是利用菱形的性质得出相关角度关系．先根据菱形的性质求出和的度数，再由和得出，计算出的度数，根据直角三角形斜边上的中线性质，得到，最后得到． 【详解】解：四边形是菱形， ， ， 又菱形的对角线平分一组对角， ， ，， ，即， ， 四边形是菱形， 为中点， 在中，为中点，根据直角三角形斜边中线等于斜边的一半，可得， ， 故选：B． 3. 如图，在矩形中，，，对角线和交于点，过点作垂直于，交于点，则的长为（ ） A. 3 B. 4 C. 5 D. 2 【答案】C 【解析】 【分析】本题主要考查了矩形的性质，线段垂直平分线的判定和性质，勾股定理等知识，连接，由矩形的性质得出，，，，再由线段垂直平分线得出，设，则，再利用勾股定理求解即可． 【详解】解：如解图，连接， ∵四边形是矩形，，， ∴，，，， ∵， ∴是线段的垂直平分线， ∴， 设，则， 由勾股定理得，， 即， 解得． 故选：C． 4. 用配方法解一元二次方程，则方程可变形为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】此题考查了配方法解一元二次方程，正确掌握配方法解一元二次方程的方法是解题的关键．将常数项移到等号右边，再在等式两边加上一次项系数一半的平方即可． 【详解】解： 故选： D． 5. 若关于x的一元二次方程有两个不相等的实数根，则a的取值范围是（ ） A. B. C. 且 D. 且 【答案】C 【解析】 【分析】本题主要考查了一元二次方程根判别式，熟练掌握根的判别式与根的关系是解题的关键． 根据根判别式大于零且二次项系数不等于零列式求解即可． 【详解】解：∵关于x的一元二次方程有两个不相等的实数根， ∴，且，解得：且． 故选：C． 6. 随着人工智能技术的飞速发展，某科技公司投入研发资金进行人工智能项目开发．已知该公司在年投入研发资金为万元，到年累计共投入研发资金万元，若这两年投入研发资金的年平均增长率相同，求该公司投入研发资金的年平均增长率是多少？设年平均增长率为，则下列方程正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题主要考查了列一元二次方程解决增长率问题，解题的关键是找准等量关系． 设年平均增长率为x，可得出、年投入研发资金，结合到年累计三年共投入研发资金万元，即可得出关于x的一元二次方程，此题得解． 【详解】解：设年平均增长率为x，根据题意得， ． 故选：A． 7. 甲骨文是我国已发现最早的成熟文字，代表了早期中华文明的辉煌成就．正面分别印有甲骨文“美”“丽”“山”“河”的四张卡片如图所示，它们除正面外完全相同．把这四张卡片背面朝上洗匀，从中随机抽取两张，则这两张卡片正面恰好是甲骨文“丽”和“山”的概率是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查列表法与树状图、概率公式，画树状图得出所有等可能的结果数以及卡片正面恰好为甲骨文“丽”和“山”的结果数，再利用概率公式可得出答案． 【详解】解：将甲骨文“美”“丽”“山”“河”四张卡片分别记为A，B，C，D， 画树状图如下： 共有12种等可能的结果，其中卡片正面恰好为甲骨文“丽”和“山”的结果有2种， ∴卡片正面恰好为甲骨文“丽”和“山”的概率为． 故选：B． 8. 某物体三视图如图所示，与它对应的物体是（） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题主要考查了由三视图判断几何体，熟练掌握三视图与几何体各部分形状的对应关系是解题的关键． 通过分析三视图的形状，尤其是俯视图中的圆，判断物体的组成部分（圆柱和长方体的组合），再结合各视图的特征排除不符合的选项． 【详解】解：由俯视图中有圆，得物体上方侧面应为曲面，排除选项A； 由主视图和左视图中下方是长方形，得物体下方应为长方体，排除选项D； 由圆柱的直径与长方体的宽度关系，选项B中圆柱直径过宽，不符合视图特征，选项C符合． 故选：C． 9. 如图，直线，直线分别交、、于点A、B、C，直线分别交、、于点D、E、F，与相交于点H，如果，那么的值等于（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题主要考查平行线分线段成比例，根据平行线分线段成比例定理可求出的值． 详解】解：∵， ∴ ∵， ∴， 又， 设， ∴， ∴， 解得，， 所以，的值为， 故选：D． 10. 如图，在中，．分别以点为圆心，大于的长为半径画弧，两弧相交于点，作直线分别交，于点．以为圆心，长为半径画弧，交于点，连结．则下列说法错误的是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据线段垂直平分线的判定与性质即可判断选项A；先根据等腰三角形的性质可得，从而可得，再根据等腰三角形的性质可得，然后根据三角形的外角性质可得，由此即可判断选项B；先假设可得，再根据角的和差可得，从而可得，由此即可判断选项C；先根据等腰三角形的判定可得，再根据相似三角形的判定可得，然后根据相似三角形的性质可得，最后根据等量代换即可判断选项D． 【详解】解：由题意可知，垂直平分，， ，则选项A正确； ， ， ，， ，， ，， ， ，则选项B正确； 假设， ， 又， ， ，与矛盾， 则假设不成立，选项C错误； ，， ， 在和中，， ， ，即， ，则选项D正确； 故选：C． 【点睛】本题考查了线段垂直平分线的性质、等腰三角形的判定与性质、全等三角形的性质、相似三角形的判定与性质，综合性较强，熟练掌握判定定理与性质是解题关键． 二、填空题：本题共6小题，每小题填对得3分，共18分．只要求在答题纸上填写最后结果． 11. 中国结寓意团圆、美满，以独特的东方神韵体现中国人民的智慧和深厚的文化底蕴，小陶家有一个菱形中国结装饰．测得，，则该菱形的面积为______ 【答案】 【解析】 【分析】本题考查菱形的性质，勾股定理，根据菱形的对角线互相垂直且平分结合勾股定理求出的长，再利用菱形的面积公式进行计算即可． 【详解】解：四边形是菱形，对角线交于点O，，， ，，， ， ， ， ， 故答案为： 12. 根据表格对应值，判断关于的一元二次方程的一个解的范围是___________． 0 1 2 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了估算一元二次方程的近似解：用列举法估算一元二次方程的近似解，具体方法是：给出一些未知数的值，计算方程两边结果，当两边结果越接近时，说明未知数的值越接近方程的根． 利用时，，而时，可判断当时，． 【详解】解：的解，即为当时的取值， 由表知，当时，， 当时，， ∴在时，， 故答案为：． 13. 若实数分别满足：且，则：______． 【答案】3 【解析】 【分析】本题主要考查了一元二次方程根与系数的关系， 先确定a，b是方程的根，再根据一元二次方程根与系数的关系得，将待求式化为，然后整体代入求值即可. 【详解】解：∵，且， ∴a，b是方程的根， ∴， ∴. 故答案为：3. 14. 如图，在中，，，点从点开始沿边向点以每秒的速度移动，点从点开始沿边向点以每秒的速度移动．如果、分别从、同时出发，经过______秒钟后，以点，，为顶点的三角形与相似． 【答案】秒或秒 【解析】 【分析】此题考查了相似三角形的判定和性质，熟练掌握相似三角形的判定方法是解本题的关键．设在开始运动后第秒，与相似，由题意表示出，，，分两种情况考虑：当，时，；当，时，，分别由相似得比例，列出关于的方程，求出方程的解得到的值，即可得到结果． 【详解】解：设在开始运动后第秒，与相似， 由题意得：cm，cm，cm， 分两种情况考虑： 当，时，； ， 即， 解得：， 当秒时，与相似； 当，时，， ∴，即， 解得：， 当秒时，与相似， 综上，当秒或2秒时，与相似． 故答案为：秒或秒 15. 如图，在平面直角坐标系中，的顶点为，，，以点O为位似中心，在第二象限内作与的相似比为2的放大的位似图形，则点C的坐标为________． 【答案】 【解析】 【分析】本题主要考查了位似三角形的性质，解决此题的关键是熟练掌握相似三角形的性质；由题可知两个三角形相似，且大的三角形的边长是短的2倍，进而得到答案即可； 【详解】解：∵在第二象限内作与的相似比为2的放大的位似图形， ∴， ∵， ∴， 故答案为：． 16. 如图，在正方形中，为边上一点，为延长线上一点，且，连接．给出下列几个结论：①；②；③；④；⑤．其中正确的结论是__________． 【答案】①②③④ 【解析】 【分析】本题考查了正方形的性质、三角形全等的判定定理与性质、勾股定理，①先根据正方形的性质可得，，再根据三角形全等的判定定理与性质即可得；②比较与，可得；③根据勾股定理可得；④根据①中所证的全等三角形的性质即可得；⑤无法说明成立，从而得出与题意不符，由此即可得结论． 【详解】解：如图，延长交于点G， 四边形是正方形， ，， 又， ， ，，即，故①④正确； 在与中， ，， ， ，故②正确； ，， ，故③正确； 现有条件不能得出，故⑤错误； 综上可知，正确结论是①②③④， 故答案为：①②③④． 三、解答题：本题共8小题，满分72分．在答题纸写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤． 17. 用你喜欢的方法解下列一元二次方程： （1） ； （2）． 【答案】（1），； （2）， 【解析】 【分析】本题考查了解一元二次方程，解题的关键是掌握一元二次方程的解法：直接开平方法，配方法，公式法，因式分解法等． （1）利用因式分解法解一元二次方程即可； （2）利用因式分解法解一元二次方程即可． 【小问1详解】 或 解得，； 【小问2详解】 或 解得，． 18. 关于x的一元二次方程有两个不相等的实数根． （1）求的取值范围； （2）若方程的两个根为，，且，求的值． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）根据一元二次方程有两个不相等的实数根，得出，把字母和数代入求出的取值范围； （2）根据两根之积为：，把字母和数代入求出的值． 【小问1详解】 解：， ∵有两个不相等的实数， ∴， 解得：； 【小问2详解】 ∵方程的两个根为，， ∴， ∴， 解得：，（舍去）． 即：． 【点睛】本题主要考查根与系数的关系、根的判别式，解题的关键是掌握，是方程的两根时，，． 19. 已知：如图，在菱形中，E，F分别是和上的点，且． 求证：（1）； （2）． 【答案】见解析． 【解析】 【分析】（1）根据菱形的性质和全等三角形的判定方法“ ”即可证明 ; （2）由（1）可知，所以 进而得到． 【详解】（1）证明四边形是菱形， , , , , , 在 和 中， , ; （2）, , ． 【点睛】本题是简单的推理证明题，主要考查菱形的边的性质，同时综合利用全等三角形的判定方法及等腰三角形的性质． 20. 盛大的阅兵仪式，每一位学生都感到无比骄傲和自豪，宸宸和点点两位同学想观看电影《南京照相馆》，由于观影人数较多，他们相约各自在网上购买同一场次的票，选座时只剩如图所示的五个空座位了． （1）若宸宸随机选择座位，选择座位1的概率为_______；（直接填空） （2）宸宸和点点各自随机选择座位（同一时间没有其他人在线选座），用列表或画树状图的方法求两位同学选择的座位左右相邻的概率． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】本题考查了列表格法或画树状图法求概率，利用概率公式计算是解答此题的关键． （1）根据概率公式计算可得； （2）列表格列出所有的等可能结果，从中找到左右相邻的两数的结果数，利用概率公式计算可得． 【小问1详解】 解：∵共有5个座位， ∴宸宸抽出座位1的概率为， 【小问2详解】 解：根据题意列表如下： 宸宸 点点 1 2 3 4 5 1 2 3 4 5 由表格可知共有20种结果，且每种结果出现的可能性是相同的，其中两位同学选择的座位左右相邻的有6种，分别是，所以两位同学选择的座位左右相邻的概率是． 21. 如图是一个几何体的三种视图． （1）这个几何体的名称是________； （2）根据图中尺寸，计算这个几何体的侧面积．（结果保留） 【答案】（1）圆柱 （2） 【解析】 【分析】本题考查了由三视图判断几何体，解题的关键是掌握常见几何体的三视图及圆柱的侧面积公式． （1）根据俯视图和左视图可以判断出该几何体是柱体，根据主视图判断为圆柱； （2）根据圆柱的底面直径和高，再利用圆柱的侧面积公式计算即可； 【小问1详解】 解：根据三视图即可得出该几何体是圆柱， 故答案为：圆柱． 【小问2详解】 解：由图可知，圆柱的底面圆的直径是4，高为6， 则圆柱的侧面积为：． ∴这个几何体的侧面积为． 22. 如图，在平行四边形中，过点作交边于点，点在边上，且． （1）求证：四边形是矩形； （2）若平分，且，求线段的长． 【答案】（1）见解析 （2） 【解析】 【分析】本题考查平行四边形的性质、矩形的判定和性质、勾股定理、等腰三角形的判定和性质等知识，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题； （1）首先证明，，推出四边形是平行四边形，再证明即可解决问题； （2）分别在，中，利用勾股定理求出、即可． 【小问1详解】 证明：四边形是平行四边形， ，， ， ， 四边形是平行四边形， ， ， 四边形是矩形； 【小问2详解】 解：平分，， ， ， ，， ， ， ， 在中，，即的长是． 23. “骑车戴头盔，放心平安归”．越来越多的人上下班会选择骑行电动车，佩戴头盔更能保证大家的行车安全．某商店统计了某品牌头盔的销售量，四月份售出350个，六月份售出504个，且从四月份到六月份月增长率相同． （1）求该品牌头盔销售量的月增长率； （2）经市场调研发现，此种品牌头盔如果每个盈利10元，月销售量为500个，若在此基础上每个涨价1元则月销售量将减少20个，现在既要使月销售利润达到6000元，又要尽可能让顾客得到实惠，那么该品牌每个头盔应涨价多少元？ 【答案】（1）该品牌头盔销售量的月增长率为 （2）该品牌的每个头盔应涨价5元 【解析】 【分析】本题主要考查了利用一元二次方程解决实际问题，利用二次函数解决最值问题，解题的关键是熟练掌握二次函数的性质． （1）设该品牌头盔销售量的月增长率为，找出等量关系列出方程求解即可； （2）设该品牌头盔每个应涨价元，找出等量关系列出方程求解即可． 【小问1详解】 解：设该品牌头盔销售量的月增长率为， 由题意得， 解得，（不符合题意，舍去）． 答：该品牌头盔销售量的月增长率为； 【小问2详解】 解：设该品牌头盔每个应涨价元． 由题意，得， 整理得， 解得，． ∵要尽可能让顾客得到实惠， ． 答：该品牌的每个头盔应涨价5元． 24. 小刘在学习相似三角形的判定定理1“两角分别相等的两个三角形相似”时，发现当三角形为直角三角形时会产生丰富的比例关系．请你根据小刘的思路，完成下列问题． 【感知】如图①，在中，D、E分别是边、上的点，且，易证． 【探究】如图②，在中，点D与点B重合，且 （1）求证：； （2）如图③，当时，则图中共有_____组相似三角形，线段、、的数量关系为______． 【应用】（3）如图④，在中，作于点D，作于点E、作于点F．若，，则的值为______． 【答案】（1）见解析（2）图中共有3组相似三角形， 线段、、的数量关系为（3） 【解析】 【分析】本题考查了相似三角形的性质和判定，熟练掌握并运用相似三角形的性质和判定是解题的关键． （1）根据两角分别相等的两个三角形相似证明即可； （2）根据两角分别相等的两个三角形相似可依次证得，，，再根据相似三角形的性质可得，即可得解； （3）根据（2）中的结论可得，，即可得解． 【详解】解：（1）解：，， ． （2）解：， ， ， ， ， ， ，， ， ， ， ， ， 图中共有3组相似三角形， 线段、、的数量关系为． （3）解：由（2）可知，，， ， ． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2025-2026学年度第一学期期中质量监测九年级数学试题 说明： 1．考试时间为120分钟，满分120分． 2．选择题答案用2B铅笔涂在答题纸答题相应位置上； 3．考试时，不允许使用科学计算器； 4．不得用铅笔或红色笔在答题纸上答题． 一、选择题：本大题共10小题，每小题3分，共30分．在每小题给出的四个选项中，只有个选项是正确的． 1. 下列判断不正确的是（ ） A. 四个角相等的四边形是矩形 B. 对角线垂直的平行四边形是菱形 C. 对角线相等的平行四边形是矩形 D. 对角线相等且垂直的四边形是菱形 2. 如图，菱形中，，对角线与相交于点，过点作，交边于点，连接，则（ ） A. B. C. D. 3. 如图，在矩形中，，，对角线和交于点，过点作垂直于，交于点，则的长为（ ） A. 3 B. 4 C. 5 D. 2 4. 用配方法解一元二次方程，则方程可变形为（ ） A. B. C. D. 5. 若关于x的一元二次方程有两个不相等的实数根，则a的取值范围是（ ） A. B. C. 且 D. 且 6. 随着人工智能技术的飞速发展，某科技公司投入研发资金进行人工智能项目开发．已知该公司在年投入研发资金为万元，到年累计共投入研发资金万元，若这两年投入研发资金的年平均增长率相同，求该公司投入研发资金的年平均增长率是多少？设年平均增长率为，则下列方程正确的是（ ） A. B. C. D. 7. 甲骨文是我国已发现最早的成熟文字，代表了早期中华文明的辉煌成就．正面分别印有甲骨文“美”“丽”“山”“河”的四张卡片如图所示，它们除正面外完全相同．把这四张卡片背面朝上洗匀，从中随机抽取两张，则这两张卡片正面恰好是甲骨文“丽”和“山”的概率是（ ） A. B. C. D. 8. 某物体的三视图如图所示，与它对应的物体是（） A. B. C. D. 9. 如图，直线，直线分别交、、于点A、B、C，直线分别交、、于点D、E、F，与相交于点H，如果，那么的值等于（ ） A. B. C. D. 10. 如图，在中，．分别以点为圆心，大于的长为半径画弧，两弧相交于点，作直线分别交，于点．以为圆心，长为半径画弧，交于点，连结．则下列说法错误的是（ ） A. B. C. D. 二、填空题：本题共6小题，每小题填对得3分，共18分．只要求在答题纸上填写最后结果． 11. 中国结寓意团圆、美满，以独特的东方神韵体现中国人民的智慧和深厚的文化底蕴，小陶家有一个菱形中国结装饰．测得，，则该菱形的面积为______ 12. 根据表格对应值，判断关于一元二次方程的一个解的范围是___________． 0 1 2 13. 若实数分别满足：且，则：______． 14. 如图，在中，，，点从点开始沿边向点以每秒的速度移动，点从点开始沿边向点以每秒的速度移动．如果、分别从、同时出发，经过______秒钟后，以点，，为顶点的三角形与相似． 15. 如图，在平面直角坐标系中，的顶点为，，，以点O为位似中心，在第二象限内作与的相似比为2的放大的位似图形，则点C的坐标为________． 16. 如图，在正方形中，为边上一点，为延长线上一点，且，连接．给出下列几个结论：①；②；③；④；⑤．其中正确结论是__________． 三、解答题：本题共8小题，满分72分．在答题纸写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤． 17. 用你喜欢方法解下列一元二次方程： （1） ； （2）． 18. 关于x的一元二次方程有两个不相等的实数根． （1）求的取值范围； （2）若方程的两个根为，，且，求的值． 19. 已知：如图，在菱形中，E，F分别是和上的点，且． 求证：（1）； （2）． 20. 盛大的阅兵仪式，每一位学生都感到无比骄傲和自豪，宸宸和点点两位同学想观看电影《南京照相馆》，由于观影人数较多，他们相约各自在网上购买同一场次的票，选座时只剩如图所示的五个空座位了． （1）若宸宸随机选择座位，选择座位1的概率为_______；（直接填空） （2）宸宸和点点各自随机选择座位（同一时间没有其他人在线选座），用列表或画树状图的方法求两位同学选择的座位左右相邻的概率． 21. 如图是一个几何体三种视图． （1）这个几何体的名称是________； （2）根据图中尺寸，计算这个几何体侧面积．（结果保留） 22. 如图，在平行四边形中，过点作交边于点，点在边上，且． （1）求证：四边形是矩形； （2）若平分，且，求线段的长． 23. “骑车戴头盔，放心平安归”．越来越多的人上下班会选择骑行电动车，佩戴头盔更能保证大家的行车安全．某商店统计了某品牌头盔的销售量，四月份售出350个，六月份售出504个，且从四月份到六月份月增长率相同． （1）求该品牌头盔销售量的月增长率； （2）经市场调研发现，此种品牌头盔如果每个盈利10元，月销售量为500个，若在此基础上每个涨价1元则月销售量将减少20个，现在既要使月销售利润达到6000元，又要尽可能让顾客得到实惠，那么该品牌每个头盔应涨价多少元？ 24. 小刘在学习相似三角形的判定定理1“两角分别相等的两个三角形相似”时，发现当三角形为直角三角形时会产生丰富的比例关系．请你根据小刘的思路，完成下列问题． 【感知】如图①，在中，D、E分别是边、上的点，且，易证． 【探究】如图②，在中，点D与点B重合，且 （1）求证：； （2）如图③，当时，则图中共有_____组相似三角形，线段、、的数量关系为______． 【应用】（3）如图④，在中，作于点D，作于点E、作于点F．若，，则的值为______． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $