精品解析：山西省大同市卓越大联考2025-2026学年高一上学期11月期中联考数学试题

高一数学试题 注意事项： 1．答题前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在本试题相应的位置． 2．全部答案在答题卡上完成，答在本试题上无效． 3．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑．如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号．回答非选择题时，将答案用0.5mm黑色笔迹签字笔写在答题卡上． 4．考试结束后，将本试题和答题卡一并交回． 一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 已知命题，则命题的否定是（ ） A. B. C. D. 2. 下列命题中正确的是（ ） A. 方程的解的集合为 B. 很小的正整数可以构成集合 C. 若，，则 D. 不大于4的自然数组成的集合中的所有元素为1，2，3，4 3. 已知集合，则（ ） A. B. C. 且 D. 4. 已知实数，且，下列不等式或命题不一定成立的是（ ） A. B. 若，则 C. D. 若，则 5. 某企业生产智能台灯，总生产成本（单位：万元）与生产数量（单位：千台）的关系为：．企业希望总成本不超过5000万元，则生产数量的取值范围可以是（ ） A. B. C. D. 6. 若函数的定义域为，且，值域为，且，则的图像可能是（ ） A. B. C. D. 7. 已知，则（ ） A. B. C. D. 8. 已知函数，若在区间上既有最大值，又有最小值，则的最大值为（ ） A. 1 B. C. D. 3 二、多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9. 下列说法中，正确的有（ ） A. 对任意实数，都有 B. 若，则 C. 当且时，的最大值为 D. 若为任意实数，则 10. 下列结论中，正确的是（ ） A. 函数与的图像关于轴对称 B. 函数的单调增区间是 C. 函数的图像必过定点 D. 函数的图像与的图像有两个交点 11. 已知函数在上单调，且对任意，满足，．则（ ） A. B. 函数在上单调递减 C. 函数是奇函数 D. 若对任意，成立，则实数的取值范围是 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12. ___________． 13. 已知函数，则满足的实数的取值范围是___________． 14. 用表示非空集合中的元素的个数，定义．已知，且，若的所有可能取值构成集合，则___________． 四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15. 设集合，，全集． （1）当时，求和； （2）若命题，命题，且是的必要且不充分条件，求实数的取值范围． 16. 已知，，且． （1）求的最小值； （2）求的最小值． 17. 已知函数． （1）当时，解不等式； （2）解不等式； （3）若恒成立，求的值． 18. 已知函数． （1）求在上的值域； （2）解不等式； （3）若关于的方程在上有解，求的取值范围． 19. 已知函数和．若对任意，总存在，使，则称是在区间上的“阶关联函数”．若对任意，总存在，使，则称是区间上的“阶自关联函数”． （1）判断是否为区间上的1阶自关联函数（是大于1的常数）； （2）若是区间上的“3阶自关联函数”，求的值； （3）若是在区间上的“2阶关联函数”，求的取值范围． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 高一数学试题 注意事项： 1．答题前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在本试题相应的位置． 2．全部答案在答题卡上完成，答在本试题上无效． 3．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑．如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号．回答非选择题时，将答案用0.5mm黑色笔迹签字笔写在答题卡上． 4．考试结束后，将本试题和答题卡一并交回． 一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 已知命题，则命题的否定是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据全称量词命题的否定为特称量词命题即可得到答案. 【详解】根据全称量词命题的否定为特称量词命题得 命题的否定是. 故选：A. 2. 下列命题中正确的是（ ） A. 方程的解的集合为 B. 很小的正整数可以构成集合 C. 若，，则 D. 不大于4的自然数组成的集合中的所有元素为1，2，3，4 【答案】C 【解析】 【分析】根据集合中的元素满足互异性、确定性，可判断A、B错误；自然数包括0，故D错误；根据集合中的元素运算，可得C正确. 【详解】对于选项A，，解得或，故方程的解的集合为，故A错误； 对于选项B，“很小”不是一个确定的范围，与集合中元素满足确定性相矛盾，故不能构成一个集合，故B错误； 对于选项C，，故，故C正确； 对于选项D，不大于4的自然数包括0，1，2，3，4，故D错误. 故选：C 3. 已知集合，则（ ） A. B. C. 且 D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据交集含义即可得到答案. 【详解】根据交集含义得. 故选：B. 4. 已知实数，且，下列不等式或命题不一定成立的是（ ） A. B. 若，则 C. D. 若，则 【答案】C 【解析】 【分析】对于AD：根据不等式性质分析判断；对于B：利用作差法分析判断；对于C：举反例说明即可. 【详解】对于选项A：因为，由不等式性质可知一定成立，不合题意； 对于选项B：若，则， 因为，则，可得一定成立，不合题意； 对于选项C：例如，满足， 但，可知，符合题意； 对于选项D：若，由不等式性质可知一定成立，不合题意； 故选：C. 5. 某企业生产智能台灯，总生产成本（单位：万元）与生产数量（单位：千台）的关系为：．企业希望总成本不超过5000万元，则生产数量的取值范围可以是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据题意得到一元二次不等式，解出即可. 【详解】由题意得，结合， 解得， 因为，所以生产数量的取值范围为， 同时可入验证当时，此时，则BCD均错误. 故选：A. 6. 若函数的定义域为，且，值域为，且，则的图像可能是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】由函数的定义逐项判断即可， 【详解】对于A，图象中不含，不符合函数的定义域，故错误； 对于B，函数值中包含，不符合函数的值域，故错误； 对于C，函数值中包含，不符合函数的值域，故错误； 对于D，符合函数的定义域和值域，正确， 故选：D 7. 已知，则（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】通过计算，再结合的单调性即可求解. 【详解】因为， ， ， ， 所以， 由幂函数在单调递增， 所以， 故选：A 8. 已知函数，若在区间上既有最大值，又有最小值，则的最大值为（ ） A. 1 B. C. D. 3 【答案】C 【解析】 【分析】根据给定的分段函数，分段探讨函数的取值，再利用函数在开区间上既有最大值又有最小值的条件，列式求解即可. 【详解】由题意，当时，， 根据图像，可得当时，单调递减，值域为， 当时，单调递增，值域为， 当时，由，解得， 当时，， 根据图像，当时，单调递减，值域为， 当时，由，解得， 因为在区间上既有最大值，又有最小值， 所以，所以，所以， 即的最大值为. 故选：C 二、多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9. 下列说法中，正确的有（ ） A. 对任意实数，都有 B. 若，则 C. 当且时，的最大值为 D. 若为任意实数，则 【答案】BD 【解析】 【分析】选项A，当时，即可判断A错误；选项B，根据基本不等式即可判断B正确;选项C，根据基本不等式即可判断C错误；,选项D，移项化简得，可判断D正确. 【详解】对于选项A，当时，则，，所以，故A错误； 对于选项B，当时，，根据基本不等式，可得， 当且仅当，即时，等号成立，故B正确； 对于选项C，因为且，则，即，解得， 当且仅当，即时，等号成立，即的最大值为，故C错误； 对于选项D，因为，所以，故D正确. 故选：BD 10. 下列结论中，正确的是（ ） A. 函数与的图像关于轴对称 B. 函数的单调增区间是 C. 函数的图像必过定点 D. 函数的图像与的图像有两个交点 【答案】AC 【解析】 【分析】对于A：整理可得，即可判断对称性；对于B：根据复合函数单调性分析判断；对于C：根据指数函数定点分析判断；对于D：作出函数的图像，结合图象分析判断. 【详解】对于选项A：因为， 所以函数与的图像关于轴对称，故A正确； 对于选项B：显然函数的定义域为， 因为在内单调递减，在内单调递增， 且在定义域内单调递减， 则在内单调递增，在内单调递减， 所以函数的单调增区间是，故B错误； 对于选项C：令，解得，可得， 所以函数的图像必过定点，故C正确； 对于选项D：作出函数的图像，如图所示： 所以函数的图像与的图像有一个交点，故D错误； 故选：AC. 11. 已知函数在上单调，且对任意，满足，．则（ ） A. B. 函数在上单调递减 C. 函数是奇函数 D. 若对任意，成立，则实数的取值范围是 【答案】ACD 【解析】 【分析】对于A：赋值，令即可得结果；对于B：先求得，再结合题意即可判断；对于C：根据奇函数的定义分析判断即可；对于D：根据奇偶性和单调性可得，结合恒成立问题分析求解. 【详解】因为对任意，满足， 对于选项A：令，可得，即，故A正确； 对于选项B：因为，且， 可得，即， 又因为函数在上单调，所以函数在上单调递增，故B错误； 对于选项C：设， 令，可得， 即，可得， 所以函数是奇函数，故C正确； 对于选项D：因为，即， 可得， 又因为函数在上单调递增，则函数在上单调递增， 可得，且，整理可得， 因为在内单调递增，则在内单调递减， 可得，则， 所以实数的取值范围是，故D正确； 故选：ACD. 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12. ___________． 【答案】 【解析】 【分析】根据根式运算法则即可得到答案. 【详解】. 故答案为：. 13. 已知函数，则满足的实数的取值范围是___________． 【答案】 【解析】 【分析】分析可知函数为偶函数，且在内单调递增，结合题意可得，运算求解即可. 【详解】因为函数， 当，则，可得，可知函数为偶函数， 且当时，为增函数， 若，等价于，可得， 整理可得，解得， 所以实数的取值范围是. 故答案为：. 14. 用表示非空集合中的元素的个数，定义．已知，且，若的所有可能取值构成集合，则___________． 【答案】1 【解析】 【分析】解方程得到，由定义知道的值，再分类讨论得出结果. 【详解】解得或，即， ∵，∴或， 当时，方程，只有实数根， 所以且，得； 当时，方程， 时，方程有个不等的实数根，分别为和， 0不是方程的实数根， 若是方程的实数根，则， 若，则方程整理为， 方程的实数根，分别为，，此时，不满足条件， 若，则方程整理为， 方程的实数根，分别为，，此时，不满足条件， 若不是方程的实数根， 所以方程有个相等的实数根，即，得， 由上可知不符合题意， 综上：符合题意，. 故答案为：1 四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15. 设集合，，全集． （1）当时，求和； （2）若命题，命题，且是的必要且不充分条件，求实数的取值范围． 【答案】（1）；或 （2） 【解析】 【分析】（1）解不等式化简集合B，根据集合的交集和补集运算求解即可； （2）根据充分、必要条件分析可知集合B是集合A的真子集，再结合包含关系运算求解. 【小问1详解】 由题意可知：集合， 当时，则集合， 可得，或， 所以或. 【小问2详解】 若是的必要且不充分条件，则集合B是集合A的真子集， 且集合，， 则，解得， 所以实数的取值范围为. 16. 已知，，且． （1）求的最小值； （2）求的最小值． 【答案】（1）4； （2） 【解析】 【分析】（1）根据乘 “1”法即可求出最值； （2）配凑得，再求最值即可. 【小问1详解】 因为， 所以. 又因为，， 所以，当且仅当，即时取等号. 所以， 即当时，取得最小值4. 【小问2详解】 . 因为，，且，所以，当且仅当时取等. 所以. 即当时，取得最小值. 17. 已知函数． （1）当时，解不等式； （2）解不等式； （3）若恒成立，求的值． 【答案】（1） （2） 当时，不等式的解集为； 当时不等式的解集为； 当时，不等式的解集为； 当时，不等式的解集为； 当时，不等式的解集为. （3） 【解析】 【分析】（1）由一元二次不等式的求法即可求解； （2）通过，，，，分类讨论即可； （3）通过和两类情况讨论求解即可. 【小问1详解】 当时，可得， 即， 解得或， 即解集为； 【小问2详解】 由不等式 若，不等式即为，解得； 若，不等式可化为， 此时方程的两根分别为， 当时，即，不等式的解集为； 当时，，不等式的解集为； 当时，，不等式的解集为； 当时，，不等式的解集为； 综上可得：当时，不等式的解集为； 当时不等式的解集为； 当时，不等式的解集为； 当时，不等式的解集为； 当时，不等式的解集为. 【小问3详解】 恒成立， 当时，不等式为，得，不符合题意； 当时，恒成立，需满足： 解得：， 综上的值为. 18. 已知函数． （1）求在上的值域； （2）解不等式； （3）若关于的方程在上有解，求的取值范围． 【答案】（1） （2） （3） 【解析】 【分析】（1）换元后，利用二次函数的单调性即可得解； （2）令则原不等式化为，求出的范围再求的范围； （3）换元后求出的值域即为的范围. 【小问1详解】 令,则，所以，，在区间上单调递增，所以， 所以在上的值域为； 【小问2详解】 令则化为，化简得， 解得，即，解得，所以原不等式的解集为. 【小问3详解】 令因为，所以，则， 令，在单调递减，在单调递增，所以时取得最小值， 又时，，时，，所以时取得最大值， 所以 ，所以的取值范围是. 19. 已知函数和．若对任意，总存在，使，则称是在区间上的“阶关联函数”．若对任意，总存在，使，则称是区间上的“阶自关联函数”． （1）判断是否为区间上的1阶自关联函数（是大于1的常数）； （2）若是区间上的“3阶自关联函数”，求的值； （3）若是在区间上的“2阶关联函数”，求的取值范围． 【答案】（1）是； （2） （3） 【解析】 【分析】（1）由新函数定义即可求解； （2）根据给定的定义，当时，用表示并判断单调性，求出值域，借助集合的包含关系求解即得. （3）根据定义，先分析出在上值域的情况，然后结合区间与对称轴对进行分类讨论，从而求解出的取值范围. 【小问1详解】 对任意，取， ， 所以是区间上的1阶自关联函数； 【小问2详解】 由题意可知，对任意的，总存在，使成立， 即对任意的，总存在，使成立， 因为在上单调递减， 当时，，当时，， 因为对内的每一个，在内都存在唯一与之对应，且， 所以， 所以，解得. 【小问3详解】 由函数在上单调递减，得函数的值域为， 由函数是在区间上的“2阶关联函数”， 得对任意的，总存在时，使得成立， 于是，则在区间上的值域必定包含区间， 函数图象开口向上，对称轴为， 显然，， ①当时，在上单调递增，则， 即且 解得； ②当时，在上单调递减，则， 即且 解得：； ③当时，在上单调递减，在上单调递增， 则，即,解得： ， ④当时，在上单调递减，在上单调递增， 则，即且解得： ， 综上所以a的取值范围是. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $