24.1.3 弧、弦、圆心角（Word导学案）-【优翼·学练优】2025-2026学年九年级数学上册同步备课（人教版）

该初中数学导学案聚焦“弧、弦、圆心角”，核心知识点为三者关系定理及“同圆或等圆”条件的理解。通过知识链接（旋转三角形作图、思考圆的中心对称性）搭建学习支架，衔接旋转与圆的基本性质，为探究活动奠定基础。 以探究为主线，通过观察旋转圆、辨析判断等活动引导学生自主发现定理，典例与变式练习结合培养推理意识，当堂检测分层设计强化模型意识，助力学生用数学思维构建知识体系，提升问题解决能力。

第二十四章 圆 24.1 圆的有关性质 24.1.3 弧、弦、圆心角 学习目标：1.理解圆心角的概念，掌握圆的中心对称性和旋转不变性. 2.探索圆心角、弧、弦之间关系定理并利用其解决相关问题. 3.理解圆心角、弧、弦之间关系定理中的“在同圆或等圆”条件的意义. 重点：探索圆心角、弧、弦之间关系定理并利用其解决相关问题. 难点：理解圆心角、弧、弦之间关系定理中的“在同圆或等圆”条件的意义. 自主学习 一、知识链接 1.已知△AOB，作出绕O点旋转45°，60°的图形. 2.想一想 圆是中心对称图形吗？它的对称中心在哪里？ 课堂探究 二、要点探究 探究点1：圆心角的定义 问题1 观察在⊙O中，这些角有什么共同特点？ 概念学习 顶点在圆心的角，叫做圆心角，如∠AOB. 判一判 判别下列各图中的角是不是圆心角，并说明理由. 如图，圆心角∠AOB 所对的弧为.圆心角∠AOB所对的弦为AB. 想一想：圆心角、弧、弦之间有什么关系？ 探究点2：圆心角、弧、弦之间的关系 观察 1.将圆绕圆心旋转180°后，得到的图形与原图形重合吗？由此你得到什么结论呢？ 2.把圆绕圆心旋转任意一个角度呢？仍与原来的圆重合吗？ 在同圆中探究 在⊙O中，如果圆心角∠AOB =∠COD，那么与，弦AB与弦CD有怎样的数量关系？ 在等圆中探究 如图，在等圆中，如果圆心角∠AOB＝∠CO′D，你发现的等量关系是否依然成立？为什么？ 要点归纳：在同圆或等圆中，如果圆心角相等，那么它们所对的弧相等，所对的弦也相等； 在同圆或等圆中，如果两条弧相等，那么它们所对的圆心角相等，所对的弦也相等； 在同圆或等圆中，如果两条弦相等，那么它们所对的圆心角相等，所对的弧也相等． 想一想：定理“在同圆或等圆中，相等的圆心角所对的弧相等，所对的弦也相等．”中，可否把条件“在同圆或等圆中”去掉？为什么？ 辨一辨 1.等弦所对的弧相等. ( ) 2.等弧所对的弦相等. ( ) 3.圆心角相等，所对的弦相等. ( ) 探究点3：圆心角、弧、弦关系定理及推论的运用 典例精析 例1 如图，AB是⊙O的直径，，∠COD=35°，求∠AOE 的度数. 例2 如图，在⊙O中，，∠ACB=60°，求证：∠AOB=∠BOC=∠AOC. 例3 如图，已知AB、CD为⊙O的两条弦，.求证：AB＝CD. 变式1 如图，在⊙O中，AD=BC，求证：DC=AB． 变式2 如图，在⊙O中，DC=AB，求证：AD=BC． 3、 课堂小结 弧、弦、圆心角 圆心角定义 顶点在圆心的角 弧、弦、圆心角的关系定理及推论 在同圆或等圆中，如果圆心角相等，那么它们所对的弧相等，所对的弦也相等； 在同圆或等圆中，如果两条弧相等，那么它们所对的圆心角相等，所对的弦也相等； 在同圆或等圆中，如果两条弦相等，那么它们所对的圆心角相等，所对的弧也相等． 应用提醒 ①要注意前提条件； ②要灵活转化. 当堂检测 1.如果两个圆心角相等，那么 ( ) A.这两个圆心角所对的弦相等 B.这两个圆心角所对的弧相等 C.这两个圆心角所对的弦和弧分别相等 D.以上说法都不对 2.弦长等于半径的弦所对的圆心角等于 . 3.如图，AB、CD是⊙O的两条弦． (1) 如果AB=CD，那么 ， ． (2) 如果，那么_________， ． (3) 如果∠AOB=∠COD，那么 ， ． (4) 如果AB=CD，OE⊥AB于E，OF⊥CD于F，OE与OF相等吗？为什么？ 4.已知：如图，A、B、C、D在⊙O上，AB=CD．求证：∠AOC=∠DOB． 5.如图，AB为⊙O的直径，C、D是⊙O上的两点，且BD∥OC，求证：． 能力提升： 6.如图，在⊙O中，∠COD=2∠AOB，那么成立吗？CD=2AB也成立吗？请说明理由；如不成立，那它们之间的关系又是什么？ 参考答案 自主学习 一、知识链接 1.解：图略； 2.解：是，对称中心为圆心. 课堂探究 二、要点探究 探究点1：圆心角的定义 问题1： 顶点在圆心上 判一判 ①②③不是圆心角，因为三个角的顶点均不在圆心上；④是圆心角， 探究点2:圆心角、弧、弦之间的关系 观察：1. 重合，圆是中心对称图形. 2. 重合，圆是旋转对称图形，具有旋转不变性 问题1 在⊙O中，如果∠AOB= ∠COD，那么=，弦AB=弦CD. 问题2 成立. 想一想 不能去掉；如图，显然，＞，弦AB＞弦CD. 辨一辨：1.× 2.√ 3.× 探究点3:圆心角、弧、弦关系定理及推论的运用 典例精析 例1 解：∵，∴∠BOC=∠COD=∠DOE=35°，∴∠AOE=180°-3×35°=75°. 例2:证明：∵,∴ AB=AC，△ABC是等腰三角形．又∵∠ACB=60°，∴△ABC是等边三角形，AB=BC=CA.∴∠AOB＝∠BOC＝∠AOC. 例3：证明：∵，∴∴∴AB=CD. 变式1：证明：∵AD=BC，∴.∴∴∴DC=AB. 变式2：证明：∵DC=AB，∴∴∴∴AD=BC. 当堂检测 1.D 2.60 3.（1） ∠AOB=∠COD （2）AB =CD ∠AOB=∠COD (3) AB=CD （4）解：OE=OF.理由如下：∵OE⊥AB，OF⊥CD，AE=AB，CF=CD.∵AB=CD，∴AE=CF.∵OA=OC，∴Rt△AOE=Rt△COF.∴OE=OF. 4.证明：∵AB=CD（已知），∴.∴∠AOB=∠COD，∴∠AOB-∠BOC=∠COD-∠BOC， 即∠AOC=∠BOD． 5.证明：∵OB=OD，∴∠D=∠B，∵BD∥OC，∴∠D=∠COD，∠AOC=∠B， ∴∠AOC=∠COD，∴ 能力提升 答：成立，CD=2AB不成立.如图：取的中点E，连接OE，CE，DE，那么∠AOB=∠COE=∠DOE，所以 ，AB=CE=DE， 在△CDE中，CE+DE>CD，即CD＜2AB. 学科网（北京）股份有限公司 $