3.3 垂径定理 课时训练 2025-2026学年 浙教版九年级上册数学

3.3 垂径定理 课时训练 1.下列命题中正确的是 ( ) A.过弦的中点的直线垂直于弦，并且平分弦所对的弧 B.过弦的中点的直线必过圆心 C.平分弦的直径垂直于弦 D.垂直于弦且过圆心的直线平分弦所对的弧 2.如图1是小明制作的一副弓箭，当弓箭不受力时，其弓臂部分可看成是如图2所示的圆弧 所在圆的圆心为O),弓弦部分AB 的长为4d m,点D是弓臂 的中点,OD 交 AB 于点 C,D,C两点之间的距离为 1 dm，则弓臂 所在圆的半径为 ( ) A.2d m B.2.5 dm C.3 dm D.4 dm 第2题图 第3题图 3.如图，将半径为2 cm的圆形纸片折叠后，圆弧恰好经过圆心O，则折痕 AB 的长为( ) A.2 cm 4.如图,AB 是⊙O 的直径,CD 是⊙O的弦,AB⊥CD,垂足为 E.若 8,OD=5,则 BE 的长为 ( ) A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 第4题图 第5题图 5.如图,⊙O 的半径为5,弦 点 C 在弦AB 上,延长CO 交⊙O于点D,则CD的取值范围是 ( ) 6.一面墙上有一个矩形门洞，其宽为1.5米，高为2 米，现要将其改造成圆弧形门洞(如图)，则改造后圆弧形门洞的最大高度是 ( ) A. 2.25米 B. 2.2米 C. 2.15米 D. 2.1米 第6题图 第7题图 7.如图,AB 是⊙O的弦,AB 长为8,P 是⊙O上一个动点(不与A，B重合)，过点O作OC⊥AP 于点 C,OD⊥PB 于点 D,则 CD的长为 ( ) A. 3 B. 2 D. 4 8.杭州亚运会开幕式出现一座古今交汇拱底桥，桥面呈拱形.该桥的中间拱洞可以看成一种特殊的圆拱桥，此圆拱桥的跨径(桥拱圆弧所对的弦的长)约为3.2 m，拱高(桥拱圆弧的中点到弦的距离)约为2 m ，则此桥拱的半径是 ( ) A. 1.62 m B. 1.64 m C. 1.14 m D. 3.56 m 9. 如图所示，⊙O 内有折线OABC,其中OA=2,AB=4,则 BC 的长为________. 第9题图 第10题图 10.如图，在直角 中，D,E分别是 AC,BC上的一点,且若以 DE 为直径的圆与斜边 AB 相交于M,N,则 MN的最大值是___________. 11.如图，将一个球放置在圆柱形玻璃瓶上，测得瓶高底面直径BC=12cm,球的最高点到瓶底面的距离为32 cm,则球的半径为__________ cm.(玻璃瓶厚度忽略不计) 第11题图 第12题图 12.如图,在⊙O中,弦AB=4,点 C 在AB 上移动,连接OC,过点 C 作CD⊥OC,交⊙O于点D，则CD 长的最大值为__________. 13.如图,半径为5 的⊙A与y轴交于点B(0,2),C(0,10),则点A 的横坐标为__________. 14.已知AB,CD是⊙O 的两条平行弦, 24,CD=10,⊙O的半径为13,则弦AB与CD 的距离为_____________. 15.如图,在⊙O中,弦AB的长为8，点C在 BO延长线上，且 (1)求⊙O的半径; (2)求 的正切值. 16.如图，一条公路的转弯处是一段圆弧 点O 是这段弧所在圆的圆心,点 C 是 的中点,点 D 是 AB 的中点,且则这段弯路所在圆的半径为多少? 17.如图,⊙O的半径长为12cm,弦 (1)求圆心到弦 AB 的距离； (2)如果弦AB 的两端点在圆周上滑动(AB弦长不变)，那么弦AB的中点形成什么样的图形? 18.如图，是一个半圆形桥洞的截面示意图，圆心为O，直径AB是河底截线,弦CD 是水位线,CD∥AB,于点E. (1)当测得水面宽 时，求此时水位的高度OE； (2)当水位的高度比(1)上升1m 时，有一艘宽为10m，船舱顶部高出水面2m 的货船要经过桥洞(船舱截面为矩形 MNPQ)，请通过计算判断该货船能否顺利通过桥洞? 19.已知:如图,AB 是⊙O 的弦， 点 C 是弦AB 上一动点(不与点 A，B重合)，连接CO并延长交⊙O于点 D,连接AD. (1)求弦AB的长; (2)当 时，求 的度数； (3)当AC 的长度为多少时,以A,C,D为顶点的三角形与以 B，O，C为顶点的三角形相似? 参考答案 1. D 2. B 3. D 4. B 5. D 6. A 7. D 8. B 9. 6 10. 4.8 11. 7.5 12. 2 13. 3 14.7 或17 解析:如图1,当AB,CD 在点O 的两侧, 作 于点M，延长MO交 CD 于点 N,连接OA,OC, ∴此时弦AB与CD 之间的距离为17； 如图2,当AB,CD在点O的同侧，作 于点Q,交 AB 于 点 P,连接OA,OC, ∴此时弦AB与CD 之间的距离为7， ∴弦AB 与CD 之间的距离为 17 或7. 15.解:(1)过点O作 垂足为D， ∵AB=8, 在 中， ∴⊙O的半径为5; (2)过点 C作( 垂足为E， ∥ 在 中， 在 中， 的正切值为 16.解:连接OD,则点 O,C,D共线. ∵D是AB的中点, 设圆的半径为 rm， 在 中， 解得 r=25, 答：这段弯路所在圆的半径为25 m. 17.解:(1)作 垂足为C，连接AO，则 在 中， 即圆心到弦 AB 的距离是 (2)形成一个以O为圆心， 为半径的圆.(答“以O为圆心，OC 长为半径的圆”亦可) 18.解: (1)∵OE⊥CD, 又∴此时水位的高度 (2)该货船能顺利通过桥洞； 理由：由(1)中水位高度为 5m 可知此时 延长 OE 交 MQ 于 F,连接OM,则 MQ, ∵货船宽为10 m，船舱顶部高出水面2m， 货船居中行驶时 ∴该货船能顺利通过桥洞. 19.解:(1)过点O作( 于点E， ∵在 中， (2)连接OA, ∵OA=OB=OD,∠B=30°,∠D=20°,∴∠OAB=∠B=30°,∠OAD=∠D=20°, ∴∠AOC=40°,∠AOB=120°,∴∠COB=80°,∴∠DOB=100°; (3)∵∠BCO=∠DAB+∠D,∴∠BCO>∠DAB,∠BCO>∠D, ∴要使△DAC与△BOC 相似,只能∠DCA=∠BCO=90°, ∴∠BOC=60°,∠BOD=120°,∴∠DAC=60°,∴△DAC∽△BOC, ∵∠BCO=90°,即OC⊥AB, ∴当 时，以A，C，D为顶点的三角形与以B，O，C为顶点的三角形相似. 1 学科网（北京）股份有限公司 $