3.3 垂径定理（1） 课件 2024-2025学年浙教版九年级数学上册

3.3 垂径定理（1） 第3章 圆的基本性质 浙教版 九年级上册 学习目标 学习目标 1.掌握垂径定理. 2.会运用垂径定理解决一些简单的几何问题. 类比 思想 定义 图形的旋转 性质 应用 三要素：旋转中心，旋转方向，旋转角度 ①图形经过旋转所得的图形和原图形全等； ②对应点到旋转中心的距离相等； ③任何一对对应点与旋转中心连线所成的角度 等于旋转角度. ①作图； ②利用旋转解决线段、角和面积的有关问题. 平移 轴对称 数学抽象 逻辑推理 复习回顾 在描述判定方法（SAS）时我们要注意强调这个角是两边的夹角. 3 复习回顾 （２）正方形是轴对称性图形吗？如果是，它有几条对称轴？ （１）什么是轴对称图形？　 【解析】（1）如果一个图形沿着一条直线对折，两侧的图形能完全重合，这个图形就是轴对称图形。 （2）是，有4条对称轴。 【思考1】回答下列问题 在描述判定方法（SAS）时我们要注意强调这个角是两边的夹角. 4 新知学习 【思考2】圆是轴对称图形吗？如果是，它的对称轴是什么，它有几条对称轴？ 【新知1】圆的轴对称性 圆是轴对称图形，任何一条直径所在直线都是它的对称轴．　 在描述判定方法（SAS）时我们要注意强调这个角是两边的夹角. 5 新知学习 【思考3】 （1）如图，在⊙O中任意作一条弦AB，观察此时的图形，它还是轴对称图形吗，若是，你能作出它的对称轴吗？ E （2）沿垂直于弦AB的直径CD所在的直线对折，你发现哪些点、线段、圆弧会相互重合？ 点A与点B重合 AE与BE重合 AE=BE ， 【结论】垂直于弦的直径平分这条弦，并且平分弦所对的弧. 在描述判定方法（SAS）时我们要注意强调这个角是两边的夹角. 6 新知学习 已知： 如图，CD是⊙O的直径，CD⊥AB， 求证：AE=BE，， E 证明：连结OA，OB. ∵OA=OB， ∴AE=BE. ∵CD⊥AB， ∵∠AEO=∠BEO=Rt∠， ∴沿直径CD对折时，射线EA与射线EB重合， ∴点A与点B重合, ∴. ∴， 在描述判定方法（SAS）时我们要注意强调这个角是两边的夹角. 7 新知学习 E 垂直于弦的直径平分这条弦，并且平分弦所对的弧. ∵CD是直径，CD⊥AB， 几何语言： 分一条弧成相等的两条弧的点，叫做这条弧的中点. ∴AE=BE， 如图，C是 【新知2】垂径定理 【新知3】弧的中点 在描述判定方法（SAS）时我们要注意强调这个角是两边的夹角. 8 例题探究 【例1】已知 作法: 1.连结AB. ∴点E就是所求的的中点 2.作AB的垂直平分线CD， 交 在描述判定方法（SAS）时我们要注意强调这个角是两边的夹角. 9 例题探究 【例2】一条排水管的截面如图所示，已知排水管的半径OB=10，水面宽AB=16，求截面圆心O到水面的距离OC. 解：过点O作OC⊥AB，垂足为C. 答：截面圆心O到水面的距离为6. 8 10 ∵OC⊥AB，AB=16， ∴BC=AB=8. 在Rt由勾股定理，得 在描述判定方法（SAS）时我们要注意强调这个角是两边的夹角. 10 新知学习 半径 弦心距 半弦长 弓高 构造直角三角形 知二求二 圆心到圆的一条弦的距离叫做弦心距 【新知4】弦心距 在描述判定方法（SAS）时我们要注意强调这个角是两边的夹角. 11 例题探究 【例3】已知⊙O的半径为25 cm，弦AB＝40 cm，弦CD＝48 cm，AB∥CD，则两条平行弦AB，CD之间的距离为_______________． 8 cm或22 cm 在描述判定方法（SAS）时我们要注意强调这个角是两边的夹角. 12 例题探究 在描述判定方法（SAS）时我们要注意强调这个角是两边的夹角. 13 例题探究 ∵⊙O的半径为25 cm，∴OB＝OD＝25 cm. ∴在Rt△OMB和Rt△OND中，根据勾股定理可得OM＝15 cm， ON＝7 cm.∴MN＝OM－ON＝8 cm. 情况二：如图②， 连结OB，OD，过点O作OM⊥AB， 垂足为M，延长MO交CD于点N. ∵OM⊥AB，AB∥CD， 在描述判定方法（SAS）时我们要注意强调这个角是两边的夹角. 14 例题探究 在描述判定方法（SAS）时我们要注意强调这个角是两边的夹角. 15 例题探究 【例4】 如图，在平面直角坐标系中，点A的坐标是(20，0)，点B的坐标是(16，0)，点C，D在以OA为直径的半圆M上，且四边形OCDB是平行四边形，则点C的坐标为______． 在描述判定方法（SAS）时我们要注意强调这个角是两边的夹角. 16 例题探究 在描述判定方法（SAS）时我们要注意强调这个角是两边的夹角. 17 例题探究 【例5】如图，在⊙O中，弦AB＝1，点C在AB上移动，连结OC，过点C作CD⊥OC交⊙O于点D，则CD的最大值为______. 在描述判定方法（SAS）时我们要注意强调这个角是两边的夹角. 18 例题探究 【例6】如图，某地有一座圆弧形的拱桥，桥下的水平宽度AB为7.2 m，拱顶高出水面2.4 m，现有一艘宽(EF)为3 m，船舱顶部为长方形，并高出水面2 m的货船要经过这里，此货船能顺利通过这座拱桥吗？说明理由． 在描述判定方法（SAS）时我们要注意强调这个角是两边的夹角. 19 例题探究 在描述判定方法（SAS）时我们要注意强调这个角是两边的夹角. 20 【1】如图，⊙O是一个盛有水的容器的横截面，⊙O的半径为10 cm.水的最深处到水面AB的距离为4 cm，则水面AB的宽度为________cm. 16 学以致用 在描述判定方法（SAS）时我们要注意强调这个角是两边的夹角. 21 【2】如图，在⊙O中，已知AB是直径，P为AB上一点(P与A，B两点不重合)，弦MN过点P，∠NPB＝45°.若AP＝2，BP＝6，则MN的长为________． 学以致用 在描述判定方法（SAS）时我们要注意强调这个角是两边的夹角. 22 【3】如图，射线PG平分∠EPF，O为射线PG上的一点，以O为圆心，10为半径作⊙O，分别与∠EPF两边相交于点A，B和点C，D，连结OA，此时有OA∥PE. (1)求证：AP＝AO； 证明：∵PG平分∠EPF， ∴∠DPO＝∠BPO. ∵OA∥PE，∴∠DPO＝∠POA. ∴∠BPO＝∠POA. ∴AP＝AO. 学以致用 在描述判定方法（SAS）时我们要注意强调这个角是两边的夹角. 23 (2)若弦AB＝12，求OP的长． 学以致用 在描述判定方法（SAS）时我们要注意强调这个角是两边的夹角. 24 学以致用 【4】不过圆心的直线l交⊙O于C，D两点，AB是⊙O的直径，AE⊥l，垂足为点E，BF⊥l，垂足为点F. (1)在下图的三个圆中分别补画出满足上述条件的具有不同位置关系的图形； (2)请你观察(1)中所画图形，写出一个各图都具有的两条线段相等的结论(不再标注其他字母，找结论的过程中所连辅助线不能出现在结论中，不写推理过程)； (3)请你选择(1)中的一个图形，证明(2)所得出的结论． 在描述判定方法（SAS）时我们要注意强调这个角是两边的夹角. 25 学以致用 解：(1)三种情形，如题图所示．　 (2)结论：EC＝FD或ED＝FC．　 (3)选择图1为例，证明如下：过点O作OG⊥CD于点G，则CG＝GD．∵AE⊥CD，BF⊥CD，∴AE∥OG∥BF，∴四边形AEFB为梯形．又∵AB为⊙O的直径，∴OA＝OB，∴EG＝GF，∴EG－CG＝GF－GD，EG＋GD＝GF＋CG，∴EC＝DF，ED＝FC． 在描述判定方法（SAS）时我们要注意强调这个角是两边的夹角. 26 课堂总结 圆的轴对称性 垂径定理 半径 弦心距 半弦长 作图 证明、计算线段 方程思想 在描述判定方法（SAS）时我们要注意强调这个角是两边的夹角. 27 分两种情况讨论． 情况一：如图①，连结OB，OD， 过点O作OM⊥AB，垂足为M，OM交CD于点N. ∵OM⊥AB，AB∥CD， ∴BM＝AB＝20 cm，ON⊥CD. ∴DN＝CD＝24 cm. ∴BM＝AB＝20 cm，ON⊥CD. ∴DN＝CD＝24 cm. ∵⊙O的半径为25 cm，∴OB＝OD＝25 cm. ∴在Rt△OMB和Rt△OND中，根据勾股定理可得 OM＝15 cm，ON＝7 cm.∴MN＝OM＋ON＝22 cm . 综上可得，两条平行弦AB，CD之间的距离为8 cm或 22 cm. 【解析】 ∵四边形OCDB是平行四边形，点B(16，0)， ∴CD∥OA，CD＝OB＝16. 如解图，过点M作MF⊥CD于点F，则CF＝FD＝8. 过点C作CE⊥OA于点E. ∵点A(20，0)，∴OE＝OM－ME＝eq \f(1,2)OA－CF＝eq \f(1,2)×20－8＝2. 连结MC，则MC＝eq \f(1,2)OA＝10， ∴在Rt△CME中，由勾股定理，得CE＝eq \r(MC2－ME2)＝6， ∴点C的坐标为(2，6)． eq \f(1,2) 解：此货船能顺利通过这座拱桥．理由如下： 作弧所在的圆心O，过点O作AB的垂线交AB于点C， 交MN于点D，连结OA，OM. 由题意，知AC＝3.6 m，DM＝CE＝1.5 m． 设半径为r m，则OA2＝OC2＋AC2，即r2＝(r－2.4)2＋3.62，解得r＝3.9， ∴OC＝r－2.4＝3.9－2.4＝1.5(m)． 在Rt△ODM中，OD＝eq \r(OM2－DM2)＝eq \r(3.92－1.52)＝3.6(m)， ∴CD＝OD－OC＝3.6－1.5＝2.1(m)． ∵2.1 m＞2.0 m， ∴此船能顺利通过这座拱桥． 2 解：过点O作OH⊥AB于点H，则AH＝HB. ∵AB＝12，∴AH＝6. 由(1)可知PA＝OA＝10，∴PH＝PA＋AH＝16. 在Rt△OAH中，OH＝＝＝8， 在Rt△OPH中，OP＝＝8 . $$