专题02 有界匀强磁场模型 讲义 -2025-2026学年高二下学期物理人教版选择性必修第二册

本高中物理讲义聚焦有界匀强磁场模型这一核心知识点，系统梳理带电粒子在匀强磁场中的运动规律（匀速直线与匀速圆周运动），明确圆心确定、半径计算、偏向角及运动时间的分析思路，进而分类探究直线、平行、圆形、多边形等常见磁场边界模型，构建“规律-方法-模型-应用”的学习支架。 资料通过分类建构磁场边界模型（如直线边界对称性、圆形边界径向出入）培养科学思维，结合实战例题（如圆柱面磁场约束、正方形磁场粒子偏转）强化科学推理与几何关系应用。课中辅助教师高效讲解临界与多解问题，课后学生可通过例题解析与点拨回顾方法，弥补知识盲点，提升解决复杂磁场运动问题的能力。

专题02 有界匀强磁场模型 模型梳理 模型01 带电粒子在有界匀强磁场中的运动 4 模型02 带电粒子在有界匀强磁场中运动的临界问题 8 模型03 带电粒子在有界匀强磁场中运动的多解问题 12 ▒　　▒　　▒　　▒　　▒　　▒　　▒　　▒　　▒　　▒　　▒ 一、带电粒子在匀强磁场中的运动规律 1．若v∥B，带电粒子(不计重力)所受洛伦兹力F＝0，所以粒子在磁场中做匀速直线运动。 2．若v⊥B，此时初速度方向、洛伦兹力的方向均与磁场方向垂直，粒子在垂直于磁场方向的平面内运动。 (1)洛伦兹力与粒子的运动方向垂直，只改变粒子速度的方向，不改变粒子速度的大小。 (2)带电粒子在垂直于磁场的平面内做匀速圆周运动，洛伦兹力提供向心力。 3．带电粒子在匀强磁场中做圆周运动的半径和周期 (1)由qvB＝m，可得r＝。 (2)由r＝和T＝，可得T＝。 二、带电粒子在匀强磁场中运动的基本分析思路 1．圆心的确定 圆心位置的确定通常有以下两种基本方法： (1)已知入射方向和出射方向时，可以过入射点和出射点作垂直于入射方向和出射方向的直线，两条直线的交点就是圆弧轨道的圆心(如图甲所示，P为入射点，M为出射点)。 (2)已知入射方向和出射点的位置时，可以过入射点作入射方向的垂线，连接入射点和出射点，作连线的中垂线，这两条垂线的交点就是圆弧轨道的圆心(如图乙所示，P为入射点，M为出射点)。 2．半径的确定 (1)r＝；(2)几何关系。 3．粒子速度偏向角 速度的偏向角φ＝圆弧所对的圆心角(回旋角)θ＝弦切角α的2倍。(如图) 4．粒子在匀强磁场中运动时间的确定 方法一：周期一定时，由圆心角求：t＝·T； 方法二：v一定时，由弧长求：t＝＝。 1．常见磁场边界模型 种类 图形 特点 直线 边界 进出磁场具有对称性 平行 边界 存在临界条件 圆形 边界(进出磁场具有对称性) (1)沿径向射入必沿径向射出，如图甲所示． (2)不沿径向射入时，如图乙所示． 射入时粒子速度方向与半径的夹角为θ，射出磁场时速度方向与半径的夹角也为θ. 多边形边界或角形区域磁场 带电粒子在多边形边界或角形区域磁场运动时，会有不同的临界情景，解答该类问题主要把握以下两点： (1)射入磁场的方式：①从某顶点射入；②从某边上某点以某角度射入． (2)射出点的判断：经常会判断是否会从某顶点射出． ①当α≤θ时，可以过两磁场边界的交点，发射点到两磁场边界的交点距离为d＝2Rsin α，如图甲所示． ②当α>θ时，不能通过两磁场边界的交点，粒子的运动轨迹会和另一个边界相切，如图乙所示． 模型01 带电粒子在有界匀强磁场中的运动 【实战1】（2025秋•雁塔区校级期中）在可控核聚变中用磁场来约束带电粒子的运动，叫磁约束。如图所示是一磁约束装置的简化原理图，真空中有一匀强磁场，磁场边界为两个半径分别为和的同轴圆柱面，磁场的方向与圆柱轴线平行，其横截面如图所示。一速率为的氘核从圆心沿半径方向进入磁场。已知氘核质量为，电荷量为，忽略重力。为使该氘核的运动被约束在图中实线圆所围成的区域内，磁场的磁感应强度最小为 A． B． C． D． 【答案】 【分析】根据洛伦兹力提供向心力，结合磁感应强度越小时，半径越大，为使该氘核的运动被约束在图中实线圆所围成的区域内，最大半径时与实线圆相内切分析求解。 【解答】解：根据牛顿第二定律得 解得 磁感应强度越小时，半径越大，为使该氘核的运动被约束在图中实线圆所围成的区域内，最大半径时与实线圆相内切，如图所示 有 解得 代入半径公式得 故正确，错误； 故选：。 【实战2】（2025秋•广东月考）如图所示，一束电子以不同的速率沿图示方向飞入一正方形匀强磁场区域，下列判断正确的是 A．电子可从边射出 B．电子速率越大在匀强磁场中运动的轨道半径越小 C．从点射出的电子比从点射出的电子速率小 D．从边射出的电子在匀强磁场中运动的时间相等 【答案】 【分析】电子在匀强磁场中运动时，其轨迹为圆弧，偏转方向由左手定则确定。速率越大，电子所受洛伦兹力越大，导致轨道半径增大而非减小。从不同位置射出的电子速率不同，轨道半径大的电子速率更大。所有电子在磁场中运动的周期相同，从边射出的电子运动轨迹均为半圆，因此运动时间相等。 【解答】解：、根据左手定则判断，电子进入磁场后沿顺时针方向偏转，因此不可能从边射出，故错误； 、由洛伦兹力公式可得轨道半径，解得电子速率越大时轨道半径越大，故错误； 、通过几何分析可知，从点射出的电子轨道半径大于从点射出的电子，因此从点射出的电子速率更大，故错误； 、由周期公式可知所有电子周期相同，且从边射出的电子恰好完成半圈运动，故运动时间，故正确。 故选：。 【实战3】（2025春•临沧期末）如图所示，在直角三角形区域（含边界）内存在垂直于纸面向里、磁感应强度大小为的匀强磁场，，点处的粒子源持续将比荷为的带正电粒子以大小和方向不同的速度射入磁场中，不计粒子的重力及粒子之间的相互作用，则粒子在磁场中运动的最长时间为　　 A． B． C． D． 【答案】 【分析】根据带电粒子在匀强磁场中的圆周运动规律，分析运动时间与圆心角的关系，再通过几何关系确定最大圆心角，进而计算最长时间。 【解答】解：粒子沿边界方向射入磁场从边射出磁场时转过的圆心角最大，粒子在磁场中的运动时间最长，粒子运动轨迹如图所示 由几何知识可知，其偏转得圆心角 根据洛伦兹力提供向心力，根据牛顿第二定律有 根据圆周运动中周期定义，粒子运动周期 解得 故粒子在磁场中运动得时间 结合题意解得，故正确，错误； 故选：。 ◊ ◊ 点拨 ◊ ◊ 1．直线边界 从某一直线边界射入的粒子，再从这一边界射出时，速度与边界的夹角相等，如图所示。 2．平行边界 3．圆形边界 (1)在圆形磁场区域内，沿半径方向射入的粒子，必沿半径方向射出，如图甲所示。 (2)在圆形磁场区域内，不沿半径方向射入的粒子，入射速度方向与半径的夹角为θ，出射速度方向与半径的夹角也为θ，如图乙所示。 4．三角形边界 如图所示是等边三角形ABC区域内某带正电的粒子垂直AB方向进入磁场的临界轨迹示意图，粒子能从AC间射出的两个临界轨迹如图甲、乙所示。 模型02 带电粒子在有界匀强磁场中运动的临界问题 【实战4】（2025秋•莱西市期中）如图所示，长为的两极板水平放置，板间距离为，板间有垂直纸面向里的匀强磁场，磁感应强度为，一质量为、电荷量为的粒子以速度沿两板中间射入，不计粒子所受重力。为使粒子能打在上极板，则的范围是 A． B． C． D． 【答案】 【分析】要解决这个问题，我们需要分析粒子在磁场中的圆周运动，通过确定粒子能打在上极板的临界轨迹，结合几何关系和洛伦兹力提供向心力的公式来推导磁感应强度的范围。 【解答】解：粒子在垂直纸面向里的匀强磁场中运动，洛伦兹力提供向心力，即： 由此可推导出圆周运动的半径公式： 轨迹1（恰好从上极板右边缘射出，：此时圆周运动的半径最大，设为。 由几何关系，根据勾股定理： 解得： 轨迹2（恰好从上极板左边缘射出）：此时圆周运动的半径最小，设为。 由几何关系（粒子从中间射入，到上极板左边缘的竖直位移为，直接得： 根据半径公式，半径与磁感应强度成反比 对于最大半径，对应最小磁感应强 对于最小半径，对应最大磁感应强度 因此，磁感应强度的范围为： 故错误，正确。 故选：。 【实战5】（2025秋•灌云县期中）如图，在竖直平面内的直角坐标系中，轴上方存在垂直纸面向里的匀强磁场，磁感应强度大小为。在第二象限内，垂直纸面且平行于轴放置足够长的探测薄板，到轴的距离为，上、下表面均能接收粒子。位于原点的粒子源，沿平面向轴上方各个方向均匀发射相同的带正电粒子。已知粒子电荷量为、质量为、速度大小均为。不计粒子的重力、空气阻力及粒子间的相互作用，则 A．粒子在磁场中做圆周运动的半径为 B．薄板的上表面接收到粒子的区域长度为 C．薄板的下表面接收到粒子的区域长度为 D．薄板接收到的粒子在磁场中运动的最短时间为 【答案】 【分析】根据洛伦兹力提供向心力，当粒子沿轴正方向射出时，上表面接收到的粒子离轴最近，结合当粒子恰能通过点到达薄板上方时，薄板上表面接收点距离轴最远分析求解。 【解答】解：．根据洛伦兹力提供向心力有 可得半径大小为，故错误； ．当粒子沿轴正方向射出时，上表面接收到的粒子离轴最近，如图轨迹1，可知 当粒子恰能通过点到达薄板上方时，薄板上表面接收点距离轴最远，如图轨迹2，可知 故上表面接收到粒子的区域长度为，故正确； ．粒子可以恰好打到下表面点；当粒子沿轴正方向射出时，粒子下表面接收到的粒子离轴最远，如图轨迹3，根据几何关系此时离轴距离为，故下表面接收到粒子的区域长度为，故错误； ．粒子恰好打到下表面点时转过的圆心角最小，用时最短，有，故错误。 故选：。 ◊ ◊ 点拨 ◊ ◊ 解决带电粒子在有界匀强磁场中运动的临界问题的关键，通常以题目中的“恰好”“最大”“至少”等为突破口，寻找临界点，确定临界状态，根据匀强磁场边界和题设条件画好轨迹，建立几何关系求解。 (1)刚好穿出或刚好不能穿出匀强磁场的条件是带电粒子在匀强磁场中运动的轨迹与边界相切。 (2)当以一定的速率垂直射入匀强磁场时，运动的弧长越长、圆心角越大，则带电粒子在有界匀强磁场中的运动时间越长。 (3)比荷相同的带电粒子以不同的速率v进入磁场时，圆心角越大的，运动时间越长。 模型03 带电粒子在有界匀强磁场中运动的多解问题 【实战6】（2025•福建模拟）用磁场来约束等离子体中带电粒子的运动，主要为可控核聚变提供理论与技术支持。磁约束的基本原理是带电粒子在磁场中受的洛伦兹力，某实验小组设计了一个模拟磁约束的小实验（研究粒子的运动过程不超过1个周期），如图，匀强磁场存在于两个中心重合的正方形区域之间，正方形边长，边长为。现点处有一粒子源能向各方向发射速率为的正电粒子，若要把粒子束缚在图示磁场中，则　　 A．若不让粒子从边出射，的最小值为 B．若不让粒子从边出射，的最小值为 C．若不让粒子从边出射，的最小值为 D．若不让粒子从边出射，的最小值为 【答案】 【分析】根据洛伦兹力提供向心力，结合要求最小，则最大，综合几何关系分析求解。 【解答】解：由洛伦兹力提供向心力有 解得运动的半径为 可知要求最小，则最大，由图根据几何关系 可知 联立解得解得。 故错误，正确。 故选：。 【实战7】（多选）（2025秋•杭州期中）据报道，我国“天宫”空间站采用霍尔推进器控制姿态和修正轨道。图甲为某种霍尔推进器的放电室（两个半径接近的同轴圆筒间的区域）的示意图。为了粗略了解离子在放电室里的运动情况，小明将“放电室”简化为：在长为的圆筒区域内，存在水平向右的匀强电场和匀强磁场（如图乙所示），电场强度大小为，磁感应强度大小为。某质量为，电荷量为的正离子从圆筒中心轴线的点进入圆筒区域，其速度平行于磁场方向的分量大小为，垂直于磁场方向的分量大小为，圆筒半径足够大，不计离子重力，则 A．若，，离子在圆筒里运动的时间为 B．若，，离子在圆筒里运动加速度大小不变 C．若，，离子在圆筒里运动洛伦兹力大小为 D．若，，离子从点穿出圆筒，至少为 【答案】 【分析】对离子在复合场中受力分析，根据水平方向的分速度和受力，可知其在水平方向做匀加速直线运动，即可得到其在圆筒里运动的时间；根据离子在垂直于磁场方向的速度，结合磁场方向、左手定则，可得到洛伦兹力大小、分析加速度大小是否变化；根据离子在水平方向的速度、垂直于磁场方向的速度，可知其在两个方向的运动特点，可知若使离子从点穿出圆筒，其在圆筒里运动的时间为圆周运动周期的整数倍，结合水平方向匀变速运动的特点，即可得到的最小值。 【解答】解：、对离子在复合场中受力分析，水平方向只受到水平向右的电场力，可知其在水平方向做匀加速直线运动， 若，，则水平方向：，解得时间：，故正确； 、离子在垂直于磁场方向的速度时，结合磁场方向水平向右，根据左手定则，可知在垂直于磁场方向做匀速圆周运动，洛伦兹力大小，指向圆心； 若，根据左手定则，可知该分速度不会导致离子受到洛伦兹力，即若，时，洛伦兹力大小为； 若，，洛伦兹力大小，指向圆心，指向圆心方向的加速度大小为：，不变； 电场力为，水平方向的加速度大小为，两个加速度大小不变，互相垂直，即合加速度大小不变，故正确，错误； 、若，，离子在水平方向：， 粒子在垂直于磁场方向做匀速圆周运动：，，解得：； 可知若使离子从点穿出圆筒，其在圆筒里运动的时间为圆周运动周期的整数倍，即：， 当时，为最小值，解得：，故错误。 故选：。 【实战8】（多选）（2025•五华区模拟）如图所示，是一个边长为的正方形，它是磁感应强度为的匀强磁场横截面的边界线。一带电粒子从边的中点与边成角且垂直于磁场方向射入，若该带电粒子所带电荷量为、质量为（重力可忽略），下列说法正确的是 A．该带电粒子在磁场中飞行时间可能为 B．该带电粒子在磁场中飞行时间可能为 C．带电粒子的速度为时，带电粒子飞行时间最长 D．带电粒子的速度为时，带电粒子从边飞出磁场 【答案】 【分析】根据带电粒子在磁场中仅受洛伦兹力作用做匀速圆周运动，结合粒子电性，由左手定则判断其向为偏转，可画出多个可能的运动轨迹，根据临界条件下的不同轨迹，结合几何关系，可得到圆心角最大、最小的轨迹，结合圆周运动特点，即可得到飞行时间的可能值范围；根据飞行时间最长时的轨迹，结合几何关系，可得到其半径，结合洛伦兹力提供向心力，即可计算其速度；根据带电粒子的速度，可计算其半径，根据几何关系，可判断其轨迹。 【解答】解：、由题意可知，可知带电粒子在磁场中只受洛伦兹力作用，它做匀速圆周运动，粒子带正电，由左手定则可知它将向方向偏转，带电粒子可能的轨道如下图所示： 这些轨道的圆心均在与方向垂直的上。带电粒子在磁场中运动， 洛伦兹力提供向心力，有：，得，运动的周期为； 由周期表达式可知，带电粒子做匀速圆周运动的周期与半径、速率均没有关系，这说明了它在磁场中运动的时间仅与轨迹所对的圆心角大小有关； 由图可以发现带电粒子从入射边进入，又从入射边飞出时，其轨迹所对的圆心角最大， 带电粒子从边飞出的轨迹中，与相切的轨迹的半径，是它所有可能轨迹半径中的临界半径， 当时，在磁场中运动时间是变化的，当时，在磁场中运动的时间是相同的，也是在磁场中运动时间最长的。 由上图可知，三角形和三角形均为等腰三角形，由几何关系可知：，轨迹所对的圆心角为， 运动的最长时间为：，解得：； 由图还可以得到：，解得：； 即时，粒子在磁场中的运动时间相同，为：，带电粒子的速度满足：，故错误； 、结合选项的分析图可知，粒子从边射出时，圆心角最小，临界情况为：，即其在磁场中的运动时间范围为：，故正确； 、当时，，若从边出磁场，其轨迹如下图： 由几何关系可知：，，，解得：，符合条件，即粒子从边射出合理，故正确。 故选：。 【实战9】（多选）（2025•湖南模拟）如图所示，在坐标系的Ⅰ、Ⅳ象限有垂直纸面向里的匀强磁场，在轴上的点同时以相同速率沿纸面内向各个方向发射大量相同带电粒子（粒子重力不计），其中粒子沿平行轴正方向发射，经磁场偏转后到达轴上的点，则下列说法正确的有　　 A．轴上有粒子射出磁场的长度为 B．轴上有粒子射出磁场的长度为 C．先后到达点的两个粒子在磁场中运动的时间差为 D．先后到达点的两个粒子在磁场中运动的时间差为 【答案】 【分析】根据带电粒子在匀强磁场中做圆周运动的规律，通过几何关系确定轨道半径，再分析粒子在磁场中运动的最远位置及到达同一位置的时间差判断选项。 【解答】解：、根据题意分析可知，设粒子在磁场中运动的轨道半径为，作出粒子的运动的轨迹如图所示 根据几何关系分析得 解得 令粒子能到达轴的最高点为，对应弦长为直径，则长度 粒子能到达轴的最低点为，对应轨迹与轴相切，则长度 则轴上有粒子射出磁场的长度为，故正确，错误； 、根据题意分析可知，粒子的偏转角 解得 后到达点的粒子轨迹如图所示，根据几何关系可知，其偏转角 根据带电粒子在磁场中运动时间与圆心角的关系可知，粒子在磁场中运动的时间 粒子在磁场中运动的时间 它们到达点的时间差，故正确，错误。 故选：。 ◊ ◊ 点拨 ◊ ◊ 多解的原因： (1)磁场方向不确定形成多解； (2)带电粒子电性不确定形成多解； (3)临界状态不唯一形成多解； (4)运动的往复性形成多解。 解决此类问题，首先应画出粒子的可能轨迹，然后找出圆心、半径的可能情况。 学科网（北京）股份有限公司 $