2.5.3 圆的切线的判定 同步训练 2025-2026学年苏科版数学九年级上册

2.5.3 圆的切线的判定 同步训练 基础闯关 知识点一：圆心到直线的距离等于半径⇔直线是圆的切线 1.直角三角形的两直角边分别为 3cm，4 cm，以直角顶点为圆心，2.4 cm长为半径的圆与斜边的位置关系是( ) A.相交 B.相切 C.相离 D.无法确定 知识点二：已知直线经过圆上一点，证圆的切线 2.[几何直观]如图，在平面直角坐标系中，过格点A，B，C 作一圆弧，将点 B 与下列格点分别连线，当连线与圆弧相切时，该格点的坐标是( ) A.(0,3) B.(5,1) C.(2,3) D.(6,1) 3.如图所示，AB 是⊙O 的直径，点C为⊙O上一点,过点 B 作BD⊥CD，垂足为点 D,连接BC,BC 平分∠ABD. 求证:CD 为⊙O的切线. 知识点三：未知直线上的点在圆上，证圆的切线 4.如图, △ABC为等腰三角形，O是底边B C的中点,腰 AB与⊙O相切于点D,OB与⊙O相交于点E.求证：AC是⊙O的切线. 知识点四：切线的性质与判定的综合应用 5.如图，在△ABC中,AB＝AC，过AC延长线上的点O 作OD⊥AO，交BC的延长线于点D，以O 为圆心，OD 长为半径的圆过点B. (1)求证:直线 AB 与⊙O 相切. (2) 若AB = 5,⊙O 的半径为12,则tan∠BDO＝___________. 能力提升 6.如图所示，在△ABC中, AB＝AC,以AC为直径的⊙O 与 BC 相交于点E,与 BA 的延长线相交于点F，过点 E 作ED⊥AB 于点 D. (1)求证:DE 是⊙O 的切线. (2)若AB＝4AF ,求 tanB 的值. 7.如图，在△ABC中, AB＝AC，以AC 为直径的⊙O 与 AB 边相交于点D,与BC 边相交于点E,过点 E 作EF⊥AB，垂足为点 F. (1)求证:EF 是⊙O 的切线. (2)求证:点 E 是的中点. 8.如图,AB 是⊙O 的直径,点 C 是⊙O上一点, ∠CAB的平分线AD交于点 D,过点 D 作DE∥BC，交AC的延长线于点 E. (1)求证:DE 是⊙O 的切线. (2)过点 D 作DF⊥AB于点F ,连接BD.若OF＝1，BF＝2，求BD的长度. 培优创新 9.[推理能力]如图,AB 是⊙O 的直径,C 为⊙O上一点,连接AC,CE⊥AB于点E,D 是直径 AB 延长线上一点，且∠BCE＝∠BCD. (1)求证:CD 是⊙O 的切线. (2)若AD＝8，，求 CD 的长. 参考答案 1. B 2. B 3.证明:∵BC平分 ∠ABD，∴∠OBC＝∠DBC.∵OB＝OC，∴∠OBC＝∠OCB，∴∠OCB＝∠DBC，∴OC∥BD.∵BD⊥CD，∴OC⊥CD，∴CD为⊙O的切线. 4.证明:连接OD,OA,作OF⊥AC于点F. 因为△ABC为等腰三角形，O是底边BC的中点， ∴AO⊥BC，AO平分∠BAC.∵AB与⊙O 相切于点D,∴OD⊥AB,而 OF⊥AC,∴OF=OD,∴AC 是⊙O的切线. 5.(1)证明:连接OB,如图所示,∵AB=AC,∴∠ABC=∠ACB.∵∠ACB=∠OCD,∴∠ABC=∠OCD.∵OD⊥AO,∴∠COD=90°,∴∠D+∠OCD=90°.∵OB=OD,∴∠OBD=∠D,∴∠OBD+∠ABC=90°,即∠ABO=90°,∴AB⊥OB.∵点B在⊙O上,∴直线AB与⊙O相切. （2） 6.(1)证明:连接 AE,OE,CF.∵AC 为直径,∴∠AEC=∠AFC=90°. ∵AB=AC,∴∠BAE=∠CAE(三线合一). ∵OA = OE, ∴∠OEA =∠OAE,∴∠BAE =∠OEA,∴AB∥OE.∵ED⊥AB,∴ED⊥OE,即∠OED=90°.∵OE 为半径,∴DE 是⊙O的切线. (2)解:设 AF=a,则AB=AC=4a,可得 BF=5a.在Rt△AFC中,CF＝ 在 Rt△BFC 中, 7.证明:(1)如图,连接OD,OE.∵AB=AC,∴∠B=∠C. 又∵OE=OC,∴∠C=∠OEC,∴∠B=∠OEC,∴OE∥AB. ∵EF⊥AB,∴OE⊥EF.∵OE 是半径,∴EF 是⊙O的切线. (2)∵OE∥AB,∴∠A=∠COE,∠DOE=∠ODA.又∵OA =OD,∴∠A =∠ADO,∴∠DOE等于∠COE，∴，即点 E 是的中点. 8.(1)证明:连接OD.∵OA =OD,∴∠OAD=∠ADO. ∵AD 平分∠CAB,∴∠DAE =∠OAD,∴∠ADO=∠DAE,∴OD∥AE. ∵AB 是⊙O 的直径,∴∠ACB=90°. ∵DE∥BC,∴∠E=∠ACB=90°,∴∠ODE=180°-∠E=90°,∴DE 是⊙O的切线. (2)解:∵AB 是⊙O 的直径,∴∠ADB=90°.∵OF=1,BF=2,∴OB=3,∴AF=4,BA=6. ∵DF⊥AB,∴∠DFB=90°,∴∠ADB=∠DFB.又∵∠DBF=∠ABD,∴△DBF∽△ABD, ∴ 9.(1)证明:连接OC.∵AB是⊙O的直径,∴∠ACB=90°. ∵CE⊥AB,∴∠CEB=90°,∴∠ECB+∠ABC=∠ABC+∠CAB=90°,∴∠A=∠ECB. ∵∠BCE=∠BCD,∴∠A=∠BCD. ∵OC=OA,∴∠A=∠ACO,∴∠ACO=∠BCD,∴∠BCO+∠ACO=∠BCO+∠BCD=90°, ∴∠DCO=90°,∴CD 是⊙O 的切线. (2)解:∵∠A ∵∠D＝∠D，∠BCD＝∠A，∴△BD∽△ACD，∴ ∵AD＝8，∴CD＝4. 1 学科网（北京）股份有限公司 $