精品解析：四川省资阳市安岳中学2025-2026学年高一上学期期中考试数学试题

安岳中学高2025级第一学期半期考试 数 学 试 卷 一、单选题（本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.） 1. 集合，则（ ） A. B. C. D. 2. 已知函数，则（ ） A. B. C. D. 3. 已知均为实数，则下列说法正确的是（ ） A. 若，则 B. 若，则 C. 若，则 D. 若，则 4. “”是“一元二次方程有两个正实根”的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 5. 设命题，关于的方程有实数解，则命题的否定是（ ） A. ，关于的方程没有实数解 B. ，关于的不等式有实数解 C. ，关于的方程没有实数解 D. ，关于的不等式有实数解 6. 给定函数，用表示函数中的较大者，即，则的最小值为（ ） A. 0 B. C. D. 2 7. 函数，若对任意、（），都有成立，则实数a的取值范围为（ ） A. B. C. D. 8. 我们把定义域为且同时满足以下两个条件的函数称为“函数”：①对任意的，总有；②若，则有成立，给出下列三个结论：其中正确结论的个数是（ ） （1）若为“函数”，则； （2）函数在上是“函数”； （3）函数在上是“函数”（为有理数集）． A. 0 B. 1 C. 2 D. 3 二、多选题（本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.） 9. 下列命题正确的是（ ） A. 是定义域上的减函数 B. “”的否定是真命题 C. 与是同一函数 D. 集合中只有一个元素，则 10. 已知定义在上的函数满足：，且当时，，若，则（　　） A. B. 在上单调递减 C. 不等式的解集是 D. 11. 已知关于x的不等式的解集为，则下列结论正确的是（ ） A. B. 的最大值为 C. 的最小值为20 D. 的最小值为 三、填空题（本题共3小题，每小题5分，共15分） 12. 已知、为实数，且函数，是偶函数，则_____. 13. 函数的最大值是_______. 14. 已知定义域为的函数满足对于任意两个不相等的实数，，都有，若关于的不等式在上恒成立，则的取值范围为________． 四、解答题（本题共5小题，共77分.解答题应写出文字说明、证明过程或演算步骤.） 15. 已知函数的定义域为，集合. （1）若，求； （2）若“”是“”的必要不充分条件，求实数的取值范围. 16. 如图，某农场紧急围建一个面积为的矩形场地，要求矩形场地的一面利用现有旧墙（利用旧墙需要先进行维修），其余三面修建新墙，与旧墙平行的那面新墙上，需预留宽的入口（入口不需建墙）.已知旧墙的维修费用为28元/，新墙的造价为100元/，旧墙的使用长度为，修建此矩形场地的总费用为（单位：元）. （1）写出关于的表达式； （2）当为何值时，修建此围墙所需费用最少？并求出最少费用. 17. 已知函数是定义在的奇函数，且. （1）求函数的解析式； （2）求证：函数在上是减函数； （3）求函数在上的最大值和最小值. 18. 已知函数 （1）若在区间上是单调函数，求的取值范围 （2）若，恒成立，求的取值范围 （3）求不等式解集. 19. 若关于的函数，当时，函数的最大值为，最小值为，令函数，我们不妨把函数称之为函数的“共同体函数”. （1）①若函数，当时，求函数的“共同体函数”的值；②若函数（为常数），求函数的“共同体函数”的解析式； （2）记函数的最大值为，请问是否存在实数，使得函数的“共同体函数”的最小值等于.若存在，求出的值；若不存在，请说明理由. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 安岳中学高2025级第一学期半期考试 数 学 试 卷 一、单选题（本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.） 1. 集合，则（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据分式不等式的解法，求出集合中的元素，根据集合交集的概念，求出结果即可. 【详解】由题意得，即，解得， 即，所以. 故选：C. 2. 已知函数，则（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】应用分段函数求解函数值. 【详解】因为函数，则. 故选：A. 3. 已知均为实数，则下列说法正确的是（ ） A. 若，则 B. 若，则 C. 若，则 D. 若，则 【答案】D 【解析】 【分析】利用不等式的性质依次分析即可得到正确选项. 【详解】当时，，所以选项A错误； 因为，所以，所以，选项B错误； 因为，所以 ，由，，得，即，选项C错误； 因为，所以，，于是，则，选项D正确. 故选：D 4. “”是“一元二次方程有两个正实根”的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 【答案】B 【解析】 【分析】根据一元二次方程根的分布可得出关于实数的不等式组，求出实数的取值范围，再利用集合的包含关系判断可得出结论. 【详解】设一元二次方程的两个正实根分别为、， 由题意可得，解得， 因为， 所以，“”是“一元二次方程有两个正实根”的必要不充分条件. 故选：B. 5. 设命题，关于的方程有实数解，则命题的否定是（ ） A. ，关于的方程没有实数解 B. ，关于的不等式有实数解 C. ，关于的方程没有实数解 D. ，关于的不等式有实数解 【答案】C 【解析】 【分析】利用全称量词命题的否定直接判断得解. 【详解】命题“，关于的方程有实数解”是全称量词命题， 其否定是存在量词命题，命题的否定是：，关于的方程没有实数解. 故选：C 6. 给定函数，用表示函数中的较大者，即，则的最小值为（ ） A. 0 B. C. D. 2 【答案】C 【解析】 【分析】根据题意求的解析式，作函数图象，结合图象求最值. 【详解】令，即，解得或； 令，即，解得； 可知：， 又，， 作出函数的图象（图中实线部分）， 由图可知：的最小值为. 故选：C. 7. 函数，若对任意、（），都有成立，则实数a的取值范围为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据题意得出函数在上单调递减，再利用分段函数的单调性列不等式组即可得出结果. 【详解】由对任意、（），都有成立，可知在上单调递减， 所以，解得，即实数a的取值范围为. 故选：C. 8. 我们把定义域为且同时满足以下两个条件的函数称为“函数”：①对任意的，总有；②若，则有成立，给出下列三个结论：其中正确结论的个数是（ ） （1）若为“函数”，则； （2）函数在上是“函数”； （3）函数在上是“函数”（为有理数集）． A. 0 B. 1 C. 2 D. 3 【答案】C 【解析】 【分析】根据给定条件，利用“函数”的定义逐一判断各命题得解. 【详解】对于（1），取，得，即，又，则，（1）正确； 对于（2），函数在上单调递增，， ， 因此，函数在上是“函数”，（2）正确； 对于（3），，取， 得， 因此函数在上不是“函数”，（3）错误， 所以正确结论的个数是2. 故选：C 二、多选题（本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.） 9. 下列命题正确的是（ ） A. 是定义域上的减函数 B. “”的否定是真命题 C. 与是同一函数 D. 集合中只有一个元素，则 【答案】BC 【解析】 【分析】对于A，由幂函数的单调性判断；对于B，先得到命题的否定，再根据命题真假判断即可；对于C，根据同一函数的定义判断；对于D，易得也符合题意． 【详解】对于A，在和单调递减， 在定义域不单调，故A错误； “”的否定是“”， 又，则“”的否定是真命题，故B正确； 对于C，由于，与的对应法则一样，定义域也一样， 所以它们表示同一函数，故C正确； 对于D，当时，集合也只有一个元素，故D错误； 故选：BC． 10. 已知定义在上的函数满足：，且当时，，若，则（　　） A. B. 在上单调递减 C. 不等式的解集是 D. 【答案】ACD 【解析】 【分析】令，判断A；利用函数单调性定义可判断出在上单调递增，判断B；利用题中条件变形不等式，利用函数单调性转化不等式，解出即可判断C；由题可得，求和判断D． 【详解】对于，令，得，即，正确； 对于B，根据题意，， 对任意，则， 所以，即， 所以在上单调递增，B错误； 对于，又， 所以原不等式等价于， 因为在上单调递增，所以，解得正确； 对于D，根据，则， ， ，D正确． 故选：ACD． 11. 已知关于x的不等式的解集为，则下列结论正确的是（ ） A. B. 的最大值为 C. 的最小值为20 D. 的最小值为 【答案】BD 【解析】 【分析】A由韦达定理可判断选项正误；BD由基本不等式可判断选项正误；C由A选项分析利用二次函数知识可判断选项正误. 【详解】对于A，因的解集为， 则的解为与1，由韦达定理， 则，两式相除，得， 故，则A错误； 对于B，由基本不等式，，当且仅当取等号，故B正确； 对于C，由A，， 当且仅当时取等号，故C错误； 对于D，由基本不等式，， 当且仅当，即时取等号，故D正确. 故选：BD 三、填空题（本题共3小题，每小题5分，共15分） 12. 已知、为实数，且函数，是偶函数，则_____. 【答案】 【解析】 【分析】根据定义域关于原点对称及求出参数的值. 【详解】因为函数，是偶函数， 所以，解得，又，即， 所以，所以，解得， 所以. 故答案为： 13. 函数的最大值是_______. 【答案】 【解析】 【分析】令，从而将问题转化成求二次函数在上的最大值，利用二次函数的性质，即可求解. 【详解】由，得到，所以函数的定义域为， 令，则，所以，对称轴为，其图象开口向下， 所以当时，取到最大值，最大值为， 故答案为：. 14. 已知定义域为的函数满足对于任意两个不相等的实数，，都有，若关于的不等式在上恒成立，则的取值范围为________． 【答案】 【解析】 【分析】根据单调性的性质可判断是上的增函数，即可将问题转化为在上恒成立，对讨论，结合二次函数的性质即可求解. 【详解】由，可知是上的增函数， 则由不等式在上恒成立，可得在上恒成立， 即在上恒成立． 当时，，解得． 当时，在上恒成立． 当，且，解得． 当，且，解得． 当，且，解得． 故的取值范围为． 故答案为: 四、解答题（本题共5小题，共77分.解答题应写出文字说明、证明过程或演算步骤.） 15. 已知函数的定义域为，集合. （1）若，求； （2）若“”是“”的必要不充分条件，求实数的取值范围. 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）由求出，再利用即可求出集合最后应用交集定义计算求解； （2）由题设是的真子集，求出，再利用集合间的包含关系即可求出结果. 【小问1详解】 由，解得或， 所以函数的定义域为集合或. 当时，， 所以， 所以，所以. 【小问2详解】 因为 “”是“”的必要不充分条件，所以是的真子集， 因为， 又因为或， 所以或，解得或， 故的取值范围为. 16. 如图，某农场紧急围建一个面积为的矩形场地，要求矩形场地的一面利用现有旧墙（利用旧墙需要先进行维修），其余三面修建新墙，与旧墙平行的那面新墙上，需预留宽的入口（入口不需建墙）.已知旧墙的维修费用为28元/，新墙的造价为100元/，旧墙的使用长度为，修建此矩形场地的总费用为（单位：元）. （1）写出关于的表达式； （2）当为何值时，修建此围墙所需费用最少？并求出最少费用. 【答案】（1） （2）当时，修建此围墙所需费用最少，最少费用为3000元 【解析】 【分析】（1）根据已知条件列式得出修建新墙费用和维修旧墙费用即可得出总费用； （2）结合（1）应用基本不等式计算结合取等条件计算求解. 【小问1详解】 依题意，新墙总长度为，修建新墙费用为元，维修旧墙费用为元， 因此， 所以修建此矩形场地的总费用. 【小问2详解】 由（1）知， 当时，， 当且仅当，即时，， 所以当时，修建此围墙所需费用最少，最少费用为3000元. 17. 已知函数是定义在的奇函数，且. （1）求函数的解析式； （2）求证：函数在上是减函数； （3）求函数在上的最大值和最小值. 【答案】（1） （2） 任取，则 ， 因为，则，， 所以，即， 因此函数在上是减函数. （3）最大值为，最小值为 【解析】 【分析】（1）由奇函数的定义可得出的值，再由可得出的值，即可得出函数的解析式； （2）利用函数单调性的定义可证得结论成立； （3）利用函数的单调性可得出函数在上的最大值和最小值. 【小问1详解】 因为函数是定义在的奇函数， 则，即，解得，则， 又因为，可得，故， 此时满足，即函数为奇函数， 所以； 【小问2详解】 略 【小问3详解】 因为函数在上是减函数， 故，， 因此函数在上的最大值为，最小值为. 18. 已知函数 （1）若在区间上是单调函数，求的取值范围 （2）若，恒成立，求的取值范围 （3）求不等式解集. 【答案】（1）或 （2） （3） 当时，不等式的解集为； 当时，不等式的解集为； 当时，不等式的解集为. 【解析】 【分析】（1）根据单调得对称轴与区间的位置关系，从而得的取值范围； （2）根据判别式法列不等式，求解即可； （3）分三种情况进行讨论即可求解. 【小问1详解】 函数开口向上，对称轴为， 因为在区间上是单调函数，故或， 由得或，解得或. 【小问2详解】 由题意，恒成立， 又，所以，即，解得， 结合得，. 【小问3详解】 即， 当时，，则不等式的解集为； 当时，不等式即为，则不等式的解集为； 当时，，则不等式的解集为 . 综上所述：当时，不等式的解集为； 当时，不等式的解集为； 当时，不等式的解集为. 19. 若关于的函数，当时，函数的最大值为，最小值为，令函数，我们不妨把函数称之为函数的“共同体函数”. （1）①若函数，当时，求函数的“共同体函数”的值；②若函数（为常数），求函数的“共同体函数”的解析式； （2）记函数的最大值为，请问是否存在实数，使得函数的“共同体函数”的最小值等于.若存在，求出的值；若不存在，请说明理由. 【答案】（1）①2025；② （2）存在， 【解析】 【分析】（1）①时，，利用性质求解最大值和最小值，即可得解； ②按照和分类讨论，利用性质求解最大值和最小值，即可求解. （2）分、、、四种情况讨论，分别利用二次函数的性质求出的最小值，解方程即可得解. 【小问1详解】 ①时，，，随的增大而增大， 时，，，， . ②， 当时随的增大而增大， 时，，时，， ， 当0时，随的增大而减小，时，， 时，，， 综上，. 【小问2详解】 ， 时，， ①当即时，， 时，， 时，， ，时，； ②当即时，， 时，， 时，， ，则时，； ③当时，，， 时，， ，时，； ④当时，时，， 时，， ，， 最小值为，， 符合题意. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $