专题5.1 直线与圆的最值与范围问题8种题型（培优热点专练）（全国通用）2026年高考数学二轮复习高效培优系列

专题 直线与圆的最值与范围 内容导航 热点解读 题型突破 限时训练 热点内容解读 深度剖析 解读热点：分析解读热点考查内容，精准预测命题方向。 热点题型突破 逐一剖析 解题归纳：对热点的各类题型逐一突破，归纳解题方法与技巧。 热点限时训练 模拟实战 巩固提升：限时完成题目训练，提升解题能力。 近三年： 1、考查内容与频率：“直线与圆的最值与范围”问题是解析几何的基础核心考点，在近三年的高考全国卷及各省市试卷中出现频率极高。 2、考查重点：命题重点集中在利用直线与圆、圆与圆的位置关系，通过距离公式、斜率公式、圆的参数方程等工具，求解距离、斜率、截距、长度（弦长、切线长）、面积等几何量的取值范围或最值。其核心目标是检验考生的数形结合思想和基本代数变形能力。 预测2026年： 将继续以选择题或填空题为主，考查内容、频率、题型、难度将保持稳定，命题将重点考查几何意义的转化与运用。考生需要具备从复杂条件中识别出“隐形圆”轨迹的能力，并能熟练运用直线与圆相切时判别式为零这一关键条件来求解临界值。同时，利用圆的参数方程进行三角代换以求最值的方法，仍是重要的命题方向，需重点关注最值问题与向量、函数、三角函数等知识的简单结合，体现基础知识的综合运用能力。 题型01 与斜率、倾斜角有关的范围问题 解｜题｜策｜略 1、  几何条件代数化 即先将题目中关于直线位置、变化的几何约束条件，准确地转化为关于斜率 k 或倾斜角 α 的不等式（或方程），然后通过求解这个不等式（或方程）来确定范围。 2、 数形结合 画图定性：首先根据题意画出满足条件的直线大致位置，直观判断倾斜角的大致范围。 找临界：确定倾斜角变化的边界（通常是垂直或水平位置）。 转化求解： 若已知的是斜率k的范围，则根据 k = tanα 的单调性求解。在 (0°, 90°) 和 (90°, 180°) 上，tanα 分别单调递增。 若已知的是几何条件（如直线与线段相交、在两直线之间等），先求出斜率的范围，再转化为倾斜角范围。 注意直角：时刻检查是否存在斜率不存在（α = 90°）的情况，并判断它是否包含在范围内。 1．（2025·江西新余·一模）已知直线的方程为，则直线的倾斜角的取值范围为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【知识点】直线的倾斜角 【分析】求出直线的斜率的取值范围，利用直线倾斜角与斜率的关系可得出直线的倾斜角的取值范围. 【详解】直线的斜率为，设该直线的倾斜角为，则， 又因为，故. 故选：D. 2．（2025·安徽马鞍山·一模）设点，，若直线与线段没有公共点，则实数a的取值范围为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【知识点】已知两点求斜率、直线与线段的相交关系求斜率范围、直线过定点问题 【分析】由直线方程可判断直线的斜率和经过的定点，结合题意作图，需使成立，解之即得. 【详解】由可知直线的斜率为，且经过定点， 由点，可得直线的斜率分别为：， 作图如下，由图知，要使直线与线段没有公共点， 需使，解得. 故选：C. 3．（2025·河南信阳·模拟预测）已知矩形ABCD四个顶点分别为，一质点从线段AB上某一点M处（不包含端点），沿与AB夹角为60°的方向射到边BC上，再依次反射到边CD，DA和AB上（入射角等于反射角），则的取值范围为 ． 【答案】 【知识点】已知两点求斜率 【详解】如图所示，质点由出发依次经BC，CD，DA反射后到达线段AB，相当于直线与线段MN相交，则 又因为，且， 即，所以， 故答案为：. 4．（2025·福建泉州·模拟预测）已知是圆C：上任意一点，则的最小值为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【知识点】由直线与圆的位置关系求参数 【分析】的几何意义为直线的斜率，再根据直线与圆得交点即可得出答案. 【详解】设，变形得， 于是的几何意义为圆上点与定点连线的斜率， 圆的圆心为，半径为， 由是圆上任意一点，得圆与直线有公共点， 因此圆心到直线的距离不大于圆的半径， 则，解得， 所以的最小值为. 故选：B 5．（2025·上海浦东新·模拟预测）已知直线过点，且上至少有一点到点的距离为2，则的倾斜角的最大值为 . 【答案】 【知识点】由直线与圆的位置关系求参数、直线的倾斜角、求点到直线的距离 【分析】依题意，直线l与以为圆心，2为半径作圆C至少有一个交点，根据直线与圆的位置关系求出直线倾斜角的范围即可. 【详解】以为圆心，2为半径作圆C，如图所示， 依题意直线l与圆C至少有一个交点， ①当直线l的科率不存在时，直线l与圆C有2个交点，此时直线l的倾斜角； ②当直线l的斜率存在时，设为，则，即 依题意，解得或， 此时直线l的倾斜角 综上所述，直线l的倾斜角， 故直线l的倾斜角的最大值为． 故答案为： 题型02 与两点距离、点到直线的距离有关的最值与范围 解｜题｜策｜略 在几何问题上，求与距离相关的最值时，核心为“两点之间，线段最短”或“点到直线的距离，垂线段最短”这两个最基本的几何公理。 动态问题处理： 1、 找定点：如动直线过某定点，找到这个定点，就找到了问题的“锚点”。 2、 找轨迹：如题目给出动点，若能找到该动点的运动轨迹，问题就能迎刃而解了。 1．（2025·上海奉贤·二模）直线上的动点和直线上的动点，则点与点之间距离的最小值是 ． 【答案】 【知识点】求平行线间的距离 【分析】利用平行线之间的距离公式求解即可. 【详解】直线和直线互相平行， 故点与点之间距离的最小值即两条直线间的距离， 且两条直线间的距离：. 故答案为： 2．（2025·北京昌平·二模）已知半径为1的圆经过原点，其圆心到直线的距离为，则的最大值为（    ）． A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】D 【知识点】求点到直线的距离、圆上点到定直线（图形）上的最值（范围） 【分析】先判定该圆圆心的轨迹，再转化为圆上的点到直线的距离的最值问题进行求解. 【详解】因为半径为1的圆经过原点，所以其圆心的轨迹是以原点为圆心，1为半径的圆， 而原点到直线的距离为， 所以圆心到直线的距离的最大值为. 故选：D. 3．（2025·河南信阳·模拟预测）是圆上的动点，是直线上的动点，则的最小值为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【知识点】直线与圆的位置关系求距离的最值、求点到直线的距离、圆上点到定直线（图形）上的最值（范围） 【分析】判断圆与直线的位置关系为相离，可得的最小值为圆心到直线的距离减去半径. 【详解】由题意得，圆的圆心为，半径. 因为到直线的距离， 当且仅当时，等号成立， 所以直线与该圆相离， 所以的最小值为. 故选：C. 4．（2025·江苏南京·二模）设，过定点的动直线和过定点的动直线交于点，点到直线的距离为，则的取值范围为 . 【答案】 【知识点】轨迹问题——圆、求点到直线的距离、直线过定点问题 【分析】先分析两条直线经过的定点，得出的坐标，根据两直线的位置关系分析可得的运动轨迹是挖去一点的圆，然后判断出直线和圆相切，从而得解. 【详解】动直线 过定点 ， 动直线 即 过定点 . 因为，所以直线与直线垂直， 又直线的斜率一定存在， 注意到时，满足，但此时直线垂直轴，斜率不存在， 故点在以为直径的圆上（去除点）， 圆心为 ，半径 ， 圆心到直线 的距离为 所以圆与直线 相切（切点不是点），的最小值为0； 圆的直径，且点到直线 的距离为，所以， 即的取值范围为 . 故答案为： 5．（2025·安徽·模拟预测）已知点，为圆上两点，，点为线段的中点，点为直线上的动点，则的最小值为（     ） A．3 B．4 C．5 D． 【答案】A 【知识点】轨迹问题——圆、求点到直线的距离、圆上点到定直线（图形）上的最值（范围） 【分析】先根据垂径定理得出，即可得出点的轨迹为圆，则问题转化为求圆上的动点到定直线的距离的最小值. 【详解】圆的圆心坐标为，半径， 因为点为线段的中点，， 则， 所以点的轨迹是以为圆心，半径为的圆， 点在直线上， 可得圆心到直线的距离， 所以的最小值为. 故选：A    题型03 与直线与圆的位置关系有关的最值与范围 解｜题｜策｜略 1. 如果直线是动直线，则分析直线与圆不同的位置关系时，目标值的变化，关键在相切时。 2. 根据圆心到直线的最短距离为圆心到直线的垂线，半径不变这两个原则去分析目标值的变化 1．（2025·湖南·一模）已知点为直线上的一个动点，为圆上任意两个不重合的点，记的最小值为的最大值为，则（　　） A． B． C． D． 【答案】A 【知识点】求点到直线的距离、二倍角的余弦公式、判断直线与圆的位置关系 【分析】根据题意分析得当，分别为圆的切线，且最小时，最大，此时最小，再利用二倍角公式即可得，再根据最大时为钝角，所以的最大值为1，即.即可得. 【详解】由题意得的标准方程为，所以圆心，半径为2， 如图：    所以圆心到直线的距离为，所以直线与相离， 所以当分别为圆的切线，且最小时， 最大，又，则最大， 所以最大，此时最小， 此时． 显然的最大值为1，故． 故选：A 2．（2025·浙江金华·一模）若圆上存在两点，直线上存在点，使得，则实数的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【知识点】由直线与圆的位置关系求参数、求点到直线的距离 【分析】将题干条件，结合几何知识转化为圆心到直线的距离需满足，解该不等式即可求解． 【详解】当直线与圆相交时，如图所示，若A、B离直线越近时，直至与直线和圆C的两交点重合，此时， 若A、B相距越来越近时，直至A、B两点重合，此时， 所以一定存在A、B及P，使得； 当直线与圆相切时，同直线与圆相交分析可知，一定存在A、B及P，使得； 当直线与圆没有公共点时，对直线上的任一点P，若A、B相距越来越近时，直至A、B两点重合时，仍有， 另一方面，若PB与圆C相切于B，PA与圆C相切于A，此时必为该P点所能达到的最大情况，如图所示， 由图可知，，CP最短时， 即等于圆心C到直线的距离d，最大，也最大，同时最大， 所以若圆上存在两点，直线上存在点，使得， 则必有，解得，又因为圆的半径， 圆心到直线的距离， 所以，解得． 故选：A． 3．（2025·福建·模拟预测）已知直线与圆交于不同的两点A，B，若存在最小值且最小值不大于，则的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【知识点】由直线与圆的位置关系求参数 【分析】先根据存在最小值分析出，再根据最小值不大于列出关于r的不等式即可求解． 【详解】将直线方程变形为，则可知直线恒过定点， 圆的圆心，则， 若，则直线可和圆O相切，如图所示，此时A、B重合，若直线与圆O交于不同的两点A，B， 则可不断趋于0，不存在最小值，与题意不符，故， 即P在圆O内，直线与圆O一定交于两点A、B，此时对于任意给定的半径r， 根据圆的性质，当时，弦AB最短，最小，此时弦长， 在中，，当时，为等边三角形，此时， 由题意，已知最小值不大于，则最小值对应的弦AB满足， 即，解得， 综上所述，． 故选：C． 4．（2025·江西新余·模拟预测）过直线上的任意一点作圆的两条切线，切点分别为A，B，则点到直线AB的距离的最大值为（    ） A．1 B．2 C． D． 【答案】C 【知识点】相交圆的公共弦方程、圆上点到定直线（图形）上的最值（范围） 【分析】根据几何性质知M，A，B，C四点在以MC为直径的圆上，与圆相减得直线AB的方程，又是以原点为圆心、1为半径的圆上的点，所求距离转化为原点到直线AB的距离加半径，即，结合二次函数性质求得最值即可. 【详解】设，则， 由几何性质知M，A，B，C四点在以MC为直径的圆上， 即该圆方程为，即， 与圆相减得直线AB的方程为. 又， 故是以原点为圆心、1为半径的圆上的点， 故点到直线AB的距离的最大值为原点到直线AB的距离加半径1， 即， 当且仅当时等号成立， 所以点到直线AB的距离的最大值为. 故选：C. 题型04 由圆上点到直线距离为定值的个数求最值与范围 解｜题｜策｜略 1. 几何转化：圆上点到直线的距离为  的点的轨迹，是与 平行且距离为  的两条直线 和 。 2. 问题等价于 “圆与两条平行直线 和 有几个公共点”。 3. 分类讨论：通过比较圆心  到直线 的距离 与圆的半径 ，以及定值  之间的关系，来确定交点个数。 1．（2025·全国一卷·高考真题）已知圆上到直线的距离为1的点有且仅有2个，则r的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【知识点】坐标法的应用——直线与圆的位置关系、求点到直线的距离、圆上点到定直线（图形）上的最值（范围） 【分析】先求出圆心到直线的距离，然后结合图象，即可得出结论. 【详解】由题意， 在圆中，圆心，半径为， 到直线的距离为的点有且仅有 个， ∵圆心到直线的距离为：，    故由图可知， 当时， 圆上有且仅有一个点（点）到直线的距离等于； 当时， 圆上有且仅有三个点（点）到直线的距离等于； 当则的取值范围为时， 圆上有且仅有两个点到直线的距离等于. 故选：B. 2．（2025·山东青岛·三模）若圆上总存在两个点到点的距离为3，则实数取值范围是 【答案】 【知识点】由直线与圆的位置关系求参数 【分析】由题意，将问题转化为圆与圆有两个公共点，即两圆相交，从而运用两点间的距离公式建立不等式关系，求出实数的取值范围． 【详解】根据题意，圆的圆心为，半径， 若圆上总存在两个点到点的距离为3， 则圆与圆有两个公共点，即两圆相交， 因为的圆心为，半径， 所以，即， 则，即或，实数的取值范围是． 故答案为：． 3．（2025·四川·三模）已知圆上恰有两个点到直线的距离为2，则m的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【知识点】由直线与圆的位置关系求参数 【分析】求得圆心到直线的距离，由求解即可. 【详解】由题意可得圆，则圆心，半径， 则圆心到直线l的距离. 因为圆上恰有两个点到直线l的距离为2， 所以，即，又， 解得：. 故选：B 题型05 与圆的弦长有关的最值与范围 解｜题｜策｜略 通常问题是求过定点的直线与圆的相交弦长的最短与最长。 1、 当直线过圆心时，与圆的相交弦是最长的，为直径的长度 2、 当直线垂直于定点与圆心的连线时，此时的相交弦时最短的，根据半径与定点与圆心连线的长度可求得。 1．（2025·全国·模拟预测）已知圆的方程为，直线的方程为，直线被圆截得的弦中长度为整数的共有 条. 【答案】8 【知识点】直线过定点问题、方程与不等式、直线与圆的位置关系求距离的最值、圆的弦长与中点弦 【分析】方法一：先求出直线过定点，再判断出点在圆内，从而得到直线被圆所截的弦长的取值范围是，再结合圆的对称性即可得到结果； 方法二：先求出圆心到直线的距离，再求出弦长，分析出要使弦长为整数须满足（为平方数），再通过换元令转化成关于的方程有解的问题，通过判别式大于0，求出的范围及的值即可得到结果. 【详解】方法一：直线可化为 ， 由可得，即直线过定点， 因为，所以点在圆内， 当点为直线被圆截得的弦的中点时，弦长最短， 点到圆心的距离， 所以直线被圆截得的最短弦长为， 最长的弦为直径，长度为10，所以弦长的取值范围是. 由圆的对称性可知弦长为7，8，9的直线各两条， 弦长为6，10的直线各一条， 所以截得的弦中长度为整数的直线共有8条. 方法二：方程法. 圆的圆心到直线的距离， 故弦长为， 要使弦长为整数，令（为平方数）， 整理得，令， 整理得（*）， ， 解得，即， 则，即， 当或100时，，方程（*）各有一解， 当时，，方程（*）各有两个不同的解， 即方程（*）共有8个不同的解，因此符合题意的直线有8条. 故答案为：8. 2．（2025·贵州黔东南·三模）直线与圆交于两点，若的最大值为4，则的最小值为 ． 【答案】 【知识点】圆的弦长与中点弦、已知圆的弦长求方程或参数 【分析】先结合题意并利用圆的性质得到，进而分析出当最大时，的值最小，再利用圆的性质得到此时，进而结合斜率公式求出，再利用点到直线的距离公式求出，最后利用勾股定理求出的最小值即可. 【详解】因为直线与圆交于两点， 所以当的值最大时，其为圆的直径，而的最大值为4，得到， 则圆的方程为，设圆心到直线的距离为， 如图，记圆心，直线必过定点， 由圆的性质得，当时，最大，此时的值最小， 由斜率公式得，此时， 由题意得，则， 由点到直线的距离公式得， 由勾股定理得，解得， 综上可得的最小值为. 故答案为： 3．（2025·江苏泰州·模拟预测）已知直线与圆相交于A，B两点，若，则实数k的取值范围为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【知识点】已知圆的弦长求方程或参数 【分析】求出弦心距不大于1，由点到直线距离公式解不等式可得． 【详解】圆的圆心坐标为，半径为， 当弦长时，弦心距， 若，则， 即，解得， 故选：C. 4．（2025·辽宁沈阳·一模）已知直线被圆截得的最短弦长为，则 ． 【答案】 【知识点】直线过定点问题、过圆内定点的弦长最值（范围）、圆的弦长与中点弦、已知圆的弦长求方程或参数 【分析】根据定点及两点间距离公式得出圆心到直线距离的最大值，进而结合圆的弦长公式，得到弦长，计算即可求解. 【详解】由题意，圆，可得圆心，半径， 过定点 则圆心到直线的距离为， 可得截得弦长为， 弦长取得最小值时，. 故答案为：. 题型06 代数式的几何意义与最值与范围 解｜题｜策｜略 将代数式转化为几何意义，然后进行数形结合来求最值。 1、 若遇到带平方跟开方的，联想到两点间的距离公式，把它构造成两个点。 2、 遇到跟x、y有关的代数式，可以联想到点到直线的距离，两平行直线的距离公式 3、 熟悉圆的方程、直线方程，把代数式转化成圆上点或者直线上点，将代数问题转化为几何问题。 1．（2025·辽宁·三模）函数（）的最小值（    ） A．4 B． C．5 D． 【答案】B 【知识点】坐标法的应用——点到直线的距离 【分析】当时，将函数转化为直线上点P到直线的距离与到点的距离之和，作出图象，结合图象及点到线的距离公式求解即可. 【详解】当时，，可视为与两点间的距离，则P是直线上的动点，，可视为点到直线的距离，设与y轴交于点，过点P作，垂足为B，画出示意图如下： 则待求为的最小值，当三点共线，且时，点A到直线的距离为所求的最小值，此时，. 故选：B. 2．（2025·陕西西安·一模）已知，满足，则的最小值为 . 【答案】 【知识点】用两点间的距离公式求函数最值 【分析】把问题转化为两点之间线段最短，再求两点之间的距离即可. 【详解】因为， 所以. 所以表示圆上的点到与到的距离和. 如图：    所以（当为线段与圆的交点时取等号）. 故答案为： 3．（2025·山东·一模）实数满足，则的最小值为（    ） A．2 B．1 C．0 D． 【答案】B 【知识点】求点到直线的距离 【分析】由点到线的距离公式求解最小值，即可求解. 【详解】， 其中为两点与距离的平方， 所以其最小值即为到直线距离的平方，即， 所以的最小值为1， 故选：B 4．（2025·湖北武汉·模拟预测）实数满足，则的最小值为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【知识点】求平面两点间的距离、轨迹问题——圆、基本不等式求和的最小值 【分析】由条件可得点为圆上的一点，点是曲线上的一点，，结合关系和基本不等式求的最小值，由此可得结论. 【详解】因为，所以点为圆上的一点， 因为，所以点是曲线上的一点， 所以， 如图： 因为，为原点，， 所以，当且仅当为线段与圆的交点时取等号， 又，故，当且仅当或时等号成立， 所以，当且仅当或时等号成立， 所以，当且仅当或时等号成立， 所以当或时，取最小值，最小值为， 所以当或时，取最小值，最小值为， 故选：B. 题型07 与新定义有关的最值与范围 解｜题｜策｜略 1、 理解题目中的给出的定义，如果能画出轨迹，既可以使用几何方法，与平时常用的知识点结合，如两点间的距离最短、点到直线的垂线最短，求出最值。 2、 如果没法得到轨迹，可以尝试用代数方法，根据基本不等式、求导等方式去求取最值。 1．（2025·湖南长沙·三模）已知点，定义A，B两点间的曼哈顿距离，欧氏距离．在平面直角坐标系xOy中，已知点，点满足，点满足，则的最大值为（ ） A． B． C． D． 【答案】D 【知识点】求平面两点间的距离、轨迹问题——圆、距离新定义、圆上点到定直线（图形）上的最值（范围） 【分析】利用给定的定义求出点的轨迹并画出图形，结合圆的性质求出最大值. 【详解】设，由，得，因此点在以原点为圆心，1为半径的圆及内部， 设，由，得，点在以 为顶点的正方形及内部，当且仅当点与之一重合时，， 所以. 故选：D 2．（2025·河南·二模）已知曲线，点在曲线上，则下列结论错误的是（   ） A．曲线围成的图形的面积为 B．的最小值为 C．点到直线的距离的最大值为 D．曲线有且仅有2条对称轴 【答案】D 【知识点】由方程研究曲线的性质、已知切线求参数、圆上点到定直线（图形）上的最值（范围） 【分析】根据曲线方程画出图象，再数形结合一一判断即可. 【详解】因为曲线， 当且时，曲线的方程可化为； 当且时，曲线的方程可化为； 当且时，曲线的方程可化为； 当且时，曲线的方程可化为. 曲线的图像如图所示：    由图可知，曲线围成的图形的面积为四个半圆的面积与边长为的正方形面积的和， 从而曲线围成的图形的面积为，故A正确； 表示点与点的连线的斜率， 由图可知当（且）与直线相切时取得最小值， 设切线为，则，解得或（舍去）， 所以的最小值为，故B正确； 点到直线的距离， 结合图象可知点到直线的距离的最大值为，故C正确； 由曲线的图像可知，曲线围成的图形有4条对称轴， 分别是轴、轴、第一、三象限角平分线以及第二、四象限角平分线，故D错误； 故选：D 3．（2025·辽宁大连·模拟预测）若点为上一动点，为直线上一动点，其中．记，则最小值的取值范围是 ． 【答案】. 【知识点】用导数判断或证明已知函数的单调性、求点到直线的距离、圆上点到定直线（图形）上的最值（范围）、直线过定点问题 【分析】首先根据题意确定直线过定点，然后分析图象，确定取最小值时的位置，得出的最小值为，利用直线的横截距之差用表示出，然后根据的范围求出最小值的范围. 【详解】因为直线方程为，化简得，说明直线必过点. 由圆心到直线的距离，解得，由题意，所以直线与圆相离. 如图，作一条纵截距为负数且平行于的直线与圆相切，要使最小，点应位于切点处， 作轴交直线于点，过点作直线于点. 当点位于点的左方时，因为，即，则； 当点位于点的右方时，同理可得. 所以的最小值为. 设直线与圆相切，则有，即， 则切线的横截距为，而直线的横截距为，所以. 设 则， 所以在上单调递减，且， 综上，最小值的取值范围是. 故答案为：. 4．（2025·湖北十堰·三模）定义：表示点到曲线上任意一点的距离的最小值．已知是圆上的动点，圆，则的取值范围为 ． 【答案】 【知识点】圆上点到定直线（图形）上的最值（范围） 【分析】记为坐标原点，作出图形，求出的取值范围，即可得出的取值范围. 【详解】记为坐标原点，圆的圆心为原点，圆的半径为，    由圆的几何性质可知，， 且，即，即， 当且仅当点时，取最小值，当且仅当点时，取最大值， 故. 故答案为：. 题型08 直线与圆的最值与范围综合题 解｜题｜策｜略 主要考察动直线、动圆、直线上的动点、圆上的动点等距离相关的最值与范围问题。 1、 利用点到直线的垂线最短、两点间距离的最短，来求最短距离 2、 由动点向圆做切线，考察切线的变化。此时可以用动点与圆心的距离d，半径r来求切线长，在根据d的变化来确定切线长的变化。 3、 动直线与圆相交弦长。找到动直线过的定点，则动直线过圆心时，截的弦最长，动直线与定点圆心确定的直线垂直时，截的弦最短 1．（2025·广东深圳·模拟预测，多选）设动直线：交圆：于A，B两点（点为圆心），则下列说法正确的有（    ） A．直线l过定点 B．当取得最小值时， C．当最小时，其余弦值为 D．的最大值为24 【答案】AD 【知识点】由直线与圆的位置关系求参数、用定义求向量的数量积、圆的弦长与中点弦、直线过定点问题 【分析】对于A将直线方程整理为，令即可求定点，进而判断，对于B根据几何知识得到当直线与过点和的直线垂直时，利用即可求解，进而判断，对于C根据几何知识得到当直线与过点和的直线垂直时最小，然后利用勾股定理和余弦定理求余弦值即可；对于D，根据外心的结论得到，然后求最值即可. 【详解】对于A：由有，令有， 所以，所以直线l过定点，故A正确； 对于B：点在圆内，圆的圆心为，当取得最小值时，直线与过点和的直线垂直， 所以，解得，故B错误； 对于C：当最小时，此时最小，当最小时，直线与过点和的直线垂直， 则，由余弦定理有，故C错误； 对于D：，即的最大值为24，故D正确， 故选：AD. 2．（2025·湖南·一模，多选）已知圆，直线，点为圆上一点，点为坐标原点，则下列叙述正确的有（　　） A．的最小值为 B．当时，直线与圆相切 C．的最小值为 D．若圆上有且仅有三个点到直线的距离为，则 【答案】AC 【知识点】由直线与圆的位置关系求参数 【分析】对于A，利用由求解即可；对于B，利用直线与圆位置关系求解即可；对于C，由的几何意义为圆上一点与原点连线的斜率，结合斜率公式即可求解；对于D，根据几何关系，得圆心到直线的距离，利用点到直线的距离公式即可求解. 【详解】已知圆的方程可化为， 故圆心，半径， 对于A：因为为圆上一点，所以，故A正确； 对于B：当时，直线， 根据点到直线的距离公式，得圆心到直线的距离， 所以直线与圆不相切，故B错误； 对于C的几何意义为圆上一点与原点连线的斜率， 设，则直线的方程为， 当直线与圆相切时，圆心到直线的距离， 解得，所以，故C正确； 对于D：因为圆的半径，要使圆上有且仅有三个点到直线的距离为， 则圆心到直线的距离， 由点到直线的距离公式，即，解得，故D错误． 故选：AC． 3．（2025·辽宁·三模，多选）已知直线与x轴、y轴交于两点，点P为圆上的动点，则（   ） A．直线与圆C相离 B． 的面积为12 C．当最小时， D．点P到直线距离的最大值为 【答案】AC 【知识点】切线长、判断直线与圆的位置关系、圆上点到定直线（图形）上的最值（范围） 【分析】根据直线与圆的位置关系的判定方法，可得判定A正确；由点到直线的距离公式，结合三角形的面积公式，可判定B错误；当当最小时，直线与圆相切，利用切线长公式，可判定C正确；根据圆的性质，可得判定D错误. 【详解】由圆，可得圆心为，半径为， 对于A中，圆心坐标到直线的距离为， 所以直线与圆相离，所以A正确； 对于B中，由点C到直线的距离为，则的面积，所以B项错误； 对于C中，如图所示，当最小时，直线与圆相切，此时，所以C正确； 对于D中，由点P到直线距离的最大值为，所以D错误． 故选：AC. 4．（2025·河北·模拟预测，多选）已知是圆上的一点，是圆上的一点，为直线上一点，则下列说法正确的是（   ） A．的最大值为 B．的最小值为 C．的最小值为 D．的最大值为 【答案】ACD 【知识点】求点关于直线的对称点、圆上点到定直线（图形）上的最值（范围）、定点到圆上点的最值（范围） 【分析】对于A，由两圆圆心距离加上两半径即可得解判断；对于B，设，直接由坐标计算数量积，再结合一元二次函数性质即可得解判断；对于C，作圆和点N关于l对称的圆和点，由图即可求解最小值判断；对于D，作图观察得到当P位于N一侧且三点共线时取得最大值为，再求出最大值即可得解. 【详解】由题意可得圆圆心为，半径为3，圆圆心为，半径为1， 则两圆心距离，即两圆相离， 对于A，由题意可得两圆上的点的距离最大值为，故A正确； 对于B，由题可设，则， 所以当时，取得最小值为，故B错误； 对于C，因为点关于直线对称的点为， 所以点关于直线对称的点为， 所以如图，作圆和点N关于l对称的圆， 则由图可知当对称圆的圆心和对称点以及M、四点共线时可得的最小值为，故C正确； 对于D，如图可知当P位于N一侧且三点共线时取得最大值为， 而最大值为，故D正确. 故选：ACD 5．（2025·湖北武汉·三模，多选）已知圆，直线与圆交于，两点，点为圆上异于，的任意一点，若，，则（   ） A． B．面积的最大值为 C．直线的方程为 D．满足到直线的距离为的点有且仅有3个 【答案】BD 【知识点】由直线与圆的位置关系求参数、圆内接三角形的面积、圆上点到定直线（图形）上的最值（范围） 【分析】根据给定条件，利用向量夹角公式求解判断A；利用圆的性质求出面积最大值判断B；求出直线方程判断C；利用直线与圆的位置关系判断D. 【详解】对于A，依题意，， 则，而，解得，A错误； 对于B，，圆心到直线距离， 因此点到直线距离的最大值为，面积的最大值为，B正确； 对于C，由，得，直线的斜率， 设直线的方程为，则，解得，由， 得，即，因此，直线的方程为，C错误； 对于D，由圆半径为，圆心到直线距离为， 得圆上到直线距离为的点有且仅有3个，因此符合条件的点有且仅有3个，D正确. 故选：BD （建议用时：30分钟） 1．（2025·江西萍乡·一模）已知直线的斜率为，则的最大值为 . 【答案】/0.25 【知识点】直线斜率的定义、基本不等式求和的最小值 【分析】先求出直线的斜率，化简可得，再利用基本不等式即可求得的最大值. 【详解】， 当且仅当时取等号，所以k的最大值为. 故答案为：. 2．（2025·安徽合肥·模拟预测）长度为2的线段AB的两个端点分别在x轴及y轴上运动，则线段AB的中点到直线距离的最大值为（    ） A．1 B． C．2 D．3 【答案】D 【知识点】轨迹问题——圆、求点到直线的距离、圆上点到定直线（图形）上的最值（范围） 【分析】确定的中点的轨迹方程为圆，结合圆心到直线的距离即可求解. 【详解】设， 由题意可得：， 设的中点坐标为，则， 所以，即线段的中点的轨迹是以为圆心，1为半径的圆， 圆心到的距离为：， 所以线段的中点到直线距离的最大值为， 故选：D 3．（2025·甘肃白银·模拟预测）已知直线：，是圆：上的一动点，则点到直线的距离的取值范围为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【知识点】直线与圆的位置关系求距离的最值、圆上点到定直线（图形）上的最值（范围）、直线过定点问题 【分析】先将直线方程变形求出直线所过的定点，再结合点与圆的位置关系，分析点到直线距离的最值情况，进而确定距离的取值范围. 【详解】直线：，可化为， 由，解得，，所以过定点， 又因为点在圆上，且，圆的圆心为，半径， 所以当，且，，三点共线时，点到直线的距离最大，最大为， 此时，所以直线的斜率为1，即，无解， 故直线不存在，所以； 当直线与圆相交或相切时，点到直线的距离最小，最小为0， 故点到直线的距离的取值范围为． 故选：B． 4．（2025·甘肃·模拟预测）若圆上恰有三个不同的点到直线的距离为1，则 . 【答案】 【知识点】由直线与圆的位置关系求参数、求点到直线的距离 【分析】先求出圆的圆心坐标和半径，以及圆心到的距离，结合题意可得圆的半径为，进而建立方程求解即可. 【详解】由圆，即，则， 圆的圆心坐标为，半径为， 圆心到的距离为， 因为圆上恰有三个不同的点到的距离为1，所以圆的半径为， 则，解得. 故答案为：. 5．（2025·吉林·模拟预测）平面上的整点（横纵坐标都是整数的点）到直线的距离的最小值为 ． 【答案】/0.08 【知识点】求点到直线的距离 【分析】设整点，由点到线的距离公式，得到是5的倍数，进而可求解. 【详解】设整点，则， ，，， ，是5的倍数， ，，． 故答案为： 6．（2025·上海松江·二模）已知点为直线上的点，过点作圆的切线，切点为，则最大值为 . 【答案】/ 【知识点】直线与圆的位置关系求距离的最值、求点到直线的距离、圆上点到定直线（图形）上的最值（范围） 【分析】结合图象得到，问题转化成求最小值即可求解. 【详解】圆的圆心，半径， ， 当最小时，最大. 的最小值为圆心到直线的距离， 根据点到直线距离公式， 所以. 故答案为：.      7．（2025·天津·二模）已知点P，Q在直线l：上运动，点H在圆C：上，且有，则的面积的最大值为 . 【答案】3 【知识点】由圆心（或半径）求圆的方程、求点到直线的距离、圆上点到定直线（图形）上的最值（范围） 【分析】利用圆的性质求出点到直线距离的最大值，进而求出面积的最大值. 【详解】圆C：的圆心，半径， 则点到直线的距离， 因此圆上的点到直线距离的最大值为，又， 所以的面积的最大值为. 故答案为：3 8．（2025·四川资阳·模拟预测）数学美的表现形式不同于自然美或艺术美那样直观，它蕴藏于特有的抽象概念、公式符号、推理论证、思维方法等之中，揭示了规律性，是一种科学的真实美.在平面直角坐标系中，曲线C：就是一条形状优美的曲线，曲线C围成的图形的周长是为 ；若是曲线C上任意一点，的最小值为 . 【答案】 【知识点】由方程研究曲线的性质、圆上点到定直线（图形）上的最值（范围） 【分析】分类讨论去掉绝对值可得曲线的四段关系式，从而作出曲线的图象，由曲线图象判断即可． 【详解】曲线C：， 当，时，曲线C的方程可化为； 当，时，曲线C的方程可化为； 当，时，曲线C的方程可化为； 当，时，曲线C的方程可化为， 所以曲线C的图象如图所示，    曲线C由4个半圆以及坐标原点组成，其周长为； 到直线的距离， 当，时，曲线C的方程可化为 曲线为圆心为，半径为的圆的一部分，如图所示， 而到直线的距离为， 由圆的性质得曲线C上一点到直线的距离最小为， 故的最小值为. 故答案为：；. 【点睛】关键点点睛：本题关键在于分情况讨论，得到不同情况下函数的图像，从而求解. 9．（2025·广东广州·模拟预测，多选）已知圆，直线，直线与圆交于，两点，则（   ） A．直线过定点 B．的最小值为2 C．的取值范围为 D．当圆上恰有三个点到直线的距离等于时， 【答案】ACD 【知识点】数量积的坐标表示、圆的弦长与中点弦、直线过定点问题、已知点到直线距离求参数 【分析】对于选项A，将直线整理成，得到，此方程组的解构成的点就是直线恒过的定点；对于选项B，先求出的圆心和半径，由直线过定点，可知过定点的直径是最长的弦，过定点且与这条直径所在直线垂直的直线与圆相交的弦长是最短的弦，求出定点到圆心的距离，则的最小值为代入数值即可得解；对于选项C，由求出，结合余弦定理求出的范围，利用向量的数量积的定义得到，由的范围得解；对于选项D，由圆上恰有三个点到直线的距离等于，得到圆心到直线的距离等于，利用点到直线的距离公式求出圆心到直线的距离，则，计算即可得解. 【详解】对于选项A，直线，， ，，直线过定点，选项A正确； 对于选项B，的圆心为，半径为， 直线过定点，过定点的直径是最长的弦， 过定点且与这条直径所在直线垂直的直线与圆相交的弦长是最短的弦， 定点到圆心的距离为， 的最小值为，选项B错误； 对于选项C，，， ， ，，， ， ，，，选项C正确； 对于选项D，圆上恰有三个点到直线的距离等于， 圆心到直线的距离等于， ，圆心 圆心到直线的距离， ，选项D正确. 故选：ACD. 10．（2025·山东聊城·模拟预测，多选）已知圆与轴相交于两点，且与直线不相交．则下列选项正确的是（    ） A．的取值范围是 B．为坐标原点，则的最小值为6 C．当圆与直线相切时，（在下方） D．若，过上一点作圆的切线（为切点），则切线长的最小值为3 【答案】CD 【知识点】基本不等式求和的最小值、由直线与圆的位置关系求参数、直线与圆的位置关系求距离的最值、圆的弦长与中点弦 【分析】由圆的标准方程得到半径，再与轴相切可得半径范围可得A错误；由切割线定理和基本不等式结合题意可得B错误；当圆与直线相切时，，过作轴垂线（为垂足），连接，由勾股定理结合图形可得C正确；连接，由勾股定理表示出，再当与垂直时求出最小值可得D正确. 【详解】对于A，由题可知，圆的半径为，且圆与轴相切， 由题意，，即的取值范围是，故A错误； 对于B，设圆与轴的切点为，根据切割线定理， 于是，当且仅当时等号成立， 若和相等，则圆与轴相切，与题意不符，故无法取得最小值，故B错误； 对于C，当圆与直线相切时，，过作轴垂线（为垂足），连接，如图1， 则为直角三角形，于是， 此时，故C正确； 对于D，连接，易知为直角三角形，如图2， 于是， 当与垂直时，最小，即最小， 此时，， 所以的最小值为3，故D正确. 故选：CD． 1 / 10 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题 直线与圆的最值与范围 内容导航 热点解读 题型突破 限时训练 热点内容解读 深度剖析 解读热点：分析解读热点考查内容，精准预测命题方向。 热点题型突破 逐一剖析 解题归纳：对热点的各类题型逐一突破，归纳解题方法与技巧。 热点限时训练 模拟实战 巩固提升：限时完成题目训练，提升解题能力。 近三年： 1、考查内容与频率：“直线与圆的最值与范围”问题是解析几何的基础核心考点，在近三年的高考全国卷及各省市试卷中出现频率极高。 2、考查重点：命题重点集中在利用直线与圆、圆与圆的位置关系，通过距离公式、斜率公式、圆的参数方程等工具，求解距离、斜率、截距、长度（弦长、切线长）、面积等几何量的取值范围或最值。其核心目标是检验考生的数形结合思想和基本代数变形能力。 预测2026年： 将继续以选择题或填空题为主，考查内容、频率、题型、难度将保持稳定，命题将重点考查几何意义的转化与运用。考生需要具备从复杂条件中识别出“隐形圆”轨迹的能力，并能熟练运用直线与圆相切时判别式为零这一关键条件来求解临界值。同时，利用圆的参数方程进行三角代换以求最值的方法，仍是重要的命题方向，需重点关注最值问题与向量、函数、三角函数等知识的简单结合，体现基础知识的综合运用能力。 题型01 与斜率、倾斜角有关的范围问题 解｜题｜策｜略 1、  几何条件代数化 即先将题目中关于直线位置、变化的几何约束条件，准确地转化为关于斜率 k 或倾斜角 α 的不等式（或方程），然后通过求解这个不等式（或方程）来确定范围。 2、 数形结合 画图定性：首先根据题意画出满足条件的直线大致位置，直观判断倾斜角的大致范围。 找临界：确定倾斜角变化的边界（通常是垂直或水平位置）。 转化求解： 若已知的是斜率k的范围，则根据 k = tanα 的单调性求解。在 (0°, 90°) 和 (90°, 180°) 上，tanα 分别单调递增。 若已知的是几何条件（如直线与线段相交、在两直线之间等），先求出斜率的范围，再转化为倾斜角范围。 注意直角：时刻检查是否存在斜率不存在（α = 90°）的情况，并判断它是否包含在范围内。 1．（2025·江西新余·一模）已知直线的方程为，则直线的倾斜角的取值范围为（   ） A． B． C． D． 2．（2025·安徽马鞍山·一模）设点，，若直线与线段没有公共点，则实数a的取值范围为（   ） A． B． C． D． 3．（2025·河南信阳·模拟预测）已知矩形ABCD四个顶点分别为，一质点从线段AB上某一点M处（不包含端点），沿与AB夹角为60°的方向射到边BC上，再依次反射到边CD，DA和AB上（入射角等于反射角），则的取值范围为 ． 4．（2025·福建泉州·模拟预测）已知是圆C：上任意一点，则的最小值为（    ） A． B． C． D． 5．（2025·上海浦东新·模拟预测）已知直线过点，且上至少有一点到点的距离为2，则的倾斜角的最大值为 . 题型02 与两点距离、点到直线的距离有关的最值与范围 解｜题｜策｜略 在几何问题上，求与距离相关的最值时，核心为“两点之间，线段最短”或“点到直线的距离，垂线段最短”这两个最基本的几何公理。 动态问题处理： 1、 找定点：如动直线过某定点，找到这个定点，就找到了问题的“锚点”。 2、 找轨迹：如题目给出动点，若能找到该动点的运动轨迹，问题就能迎刃而解了。 1．（2025·上海奉贤·二模）直线上的动点和直线上的动点，则点与点之间距离的最小值是 ． 2．（2025·北京昌平·二模）已知半径为1的圆经过原点，其圆心到直线的距离为，则的最大值为（    ）． A．1 B．2 C．3 D．4 3．（2025·河南信阳·模拟预测）是圆上的动点，是直线上的动点，则的最小值为（    ） A． B． C． D． 4．（2025·江苏南京·二模）设，过定点的动直线和过定点的动直线交于点，点到直线的距离为，则的取值范围为 . 5．（2025·安徽·模拟预测）已知点，为圆上两点，，点为线段的中点，点为直线上的动点，则的最小值为（     ） A．3 B．4 C．5 D． 题型03 与直线与圆的位置关系有关的最值与范围 解｜题｜策｜略 1. 如果直线是动直线，则分析直线与圆不同的位置关系时，目标值的变化，关键在相切时。 2. 根据圆心到直线的最短距离为圆心到直线的垂线，半径不变这两个原则去分析目标值的变化 1．（2025·湖南·一模）已知点为直线上的一个动点，为圆上任意两个不重合的点，记的最小值为的最大值为，则（　　） A． B． C． D． 2．（2025·浙江金华·一模）若圆上存在两点，直线上存在点，使得，则实数的取值范围为（    ） A． B． C． D． 3．（2025·福建·模拟预测）已知直线与圆交于不同的两点A，B，若存在最小值且最小值不大于，则的取值范围为（    ） A． B． C． D． 4．（2025·江西新余·模拟预测）过直线上的任意一点作圆的两条切线，切点分别为A，B，则点到直线AB的距离的最大值为（    ） A．1 B．2 C． D． 题型04 由圆上点到直线距离为定值的个数求最值与范围 解｜题｜策｜略 1. 几何转化：圆上点到直线的距离为  的点的轨迹，是与 平行且距离为  的两条直线 和 。 2. 问题等价于 “圆与两条平行直线 和 有几个公共点”。 3. 分类讨论：通过比较圆心  到直线 的距离 与圆的半径 ，以及定值  之间的关系，来确定交点个数。 1．（2025·全国一卷·高考真题）已知圆上到直线的距离为1的点有且仅有2个，则r的取值范围是（   ） A． B． C． D． 2．（2025·山东青岛·三模）若圆上总存在两个点到点的距离为3，则实数取值范围是 3．（2025·四川·三模）已知圆上恰有两个点到直线的距离为2，则m的取值范围是（   ） A． B． C． D． 题型05 与圆的弦长有关的最值与范围 解｜题｜策｜略 通常问题是求过定点的直线与圆的相交弦长的最短与最长。 1、 当直线过圆心时，与圆的相交弦是最长的，为直径的长度 2、 当直线垂直于定点与圆心的连线时，此时的相交弦时最短的，根据半径与定点与圆心连线的长度可求得。 1．（2025·全国·模拟预测）已知圆的方程为，直线的方程为，直线被圆截得的弦中长度为整数的共有 条. 2．（2025·贵州黔东南·三模）直线与圆交于两点，若的最大值为4，则的最小值为 ． 3．（2025·江苏泰州·模拟预测）已知直线与圆相交于A，B两点，若，则实数k的取值范围为（   ） A． B． C． D． 4．（2025·辽宁沈阳·一模）已知直线被圆截得的最短弦长为，则 ． 题型06 代数式的几何意义与最值与范围 解｜题｜策｜略 将代数式转化为几何意义，然后进行数形结合来求最值。 1、 若遇到带平方跟开方的，联想到两点间的距离公式，把它构造成两个点。 2、 遇到跟x、y有关的代数式，可以联想到点到直线的距离，两平行直线的距离公式 3、 熟悉圆的方程、直线方程，把代数式转化成圆上点或者直线上点，将代数问题转化为几何问题。 1．（2025·辽宁·三模）函数（）的最小值（    ） A．4 B． C．5 D． 2．（2025·陕西西安·一模）已知，满足，则的最小值为 . 3．（2025·山东·一模）实数满足，则的最小值为（    ） A．2 B．1 C．0 D． 4．（2025·湖北武汉·模拟预测）实数满足，则的最小值为（   ） A． B． C． D． 题型07 与新定义有关的最值与范围 解｜题｜策｜略 1、 理解题目中的给出的定义，如果能画出轨迹，既可以使用几何方法，与平时常用的知识点结合，如两点间的距离最短、点到直线的垂线最短，求出最值。 2、 如果没法得到轨迹，可以尝试用代数方法，根据基本不等式、求导等方式去求取最值。 1．（2025·湖南长沙·三模）已知点，定义A，B两点间的曼哈顿距离，欧氏距离．在平面直角坐标系xOy中，已知点，点满足，点满足，则的最大值为（ ） A． B． C． D． 2．（2025·河南·二模）已知曲线，点在曲线上，则下列结论错误的是（   ） A．曲线围成的图形的面积为 B．的最小值为 C．点到直线的距离的最大值为 D．曲线有且仅有2条对称轴 3．（2025·辽宁大连·模拟预测）若点为上一动点，为直线上一动点，其中．记，则最小值的取值范围是 ． 4．（2025·湖北十堰·三模）定义：表示点到曲线上任意一点的距离的最小值．已知是圆上的动点，圆，则的取值范围为 ． 题型08 直线与圆的最值与范围综合题 解｜题｜策｜略 主要考察动直线、动圆、直线上的动点、圆上的动点等距离相关的最值与范围问题。 1、 利用点到直线的垂线最短、两点间距离的最短，来求最短距离 2、 由动点向圆做切线，考察切线的变化。此时可以用动点与圆心的距离d，半径r来求切线长，在根据d的变化来确定切线长的变化。 3、 动直线与圆相交弦长。找到动直线过的定点，则动直线过圆心时，截的弦最长，动直线与定点圆心确定的直线垂直时，截的弦最短 1．（2025·广东深圳·模拟预测，多选）设动直线：交圆：于A，B两点（点为圆心），则下列说法正确的有（    ） A．直线l过定点 B．当取得最小值时， C．当最小时，其余弦值为 D．的最大值为24 2．（2025·湖南·一模，多选）已知圆，直线，点为圆上一点，点为坐标原点，则下列叙述正确的有（　　） A．的最小值为 B．当时，直线与圆相切 C．的最小值为 D．若圆上有且仅有三个点到直线的距离为，则 3．（2025·辽宁·三模，多选）已知直线与x轴、y轴交于两点，点P为圆上的动点，则（   ） A．直线与圆C相离 B． 的面积为12 C．当最小时， D．点P到直线距离的最大值为 4．（2025·河北·模拟预测，多选）已知是圆上的一点，是圆上的一点，为直线上一点，则下列说法正确的是（   ） A．的最大值为 B．的最小值为 C．的最小值为 D．的最大值为 5．（2025·湖北武汉·三模，多选）已知圆，直线与圆交于，两点，点为圆上异于，的任意一点，若，，则（   ） A． B．面积的最大值为 C．直线的方程为 D．满足到直线的距离为的点有且仅有3个 （建议用时：30分钟） 1．（2025·江西萍乡·一模）已知直线的斜率为，则的最大值为 . 2．（2025·安徽合肥·模拟预测）长度为2的线段AB的两个端点分别在x轴及y轴上运动，则线段AB的中点到直线距离的最大值为（    ） A．1 B． C．2 D．3 3．（2025·甘肃白银·模拟预测）已知直线：，是圆：上的一动点，则点到直线的距离的取值范围为（   ） A． B． C． D． 4．（2025·甘肃·模拟预测）若圆上恰有三个不同的点到直线的距离为1，则 . 5．（2025·吉林·模拟预测）平面上的整点（横纵坐标都是整数的点）到直线的距离的最小值为 ． 6．（2025·上海松江·二模）已知点为直线上的点，过点作圆的切线，切点为，则最大值为 . 7．（2025·天津·二模）已知点P，Q在直线l：上运动，点H在圆C：上，且有，则的面积的最大值为 . 8．（2025·四川资阳·模拟预测）数学美的表现形式不同于自然美或艺术美那样直观，它蕴藏于特有的抽象概念、公式符号、推理论证、思维方法等之中，揭示了规律性，是一种科学的真实美.在平面直角坐标系中，曲线C：就是一条形状优美的曲线，曲线C围成的图形的周长是为 ；若是曲线C上任意一点，的最小值为 . 9．（2025·广东广州·模拟预测，多选）已知圆，直线，直线与圆交于，两点，则（   ） A．直线过定点 B．的最小值为2 C．的取值范围为 D．当圆上恰有三个点到直线的距离等于时， 10．（2025·山东聊城·模拟预测，多选）已知圆与轴相交于两点，且与直线不相交．则下列选项正确的是（    ） A．的取值范围是 B．为坐标原点，则的最小值为6 C．当圆与直线相切时，（在下方） D．若，过上一点作圆的切线（为切点），则切线长的最小值为3 1 / 10 学科网（北京）股份有限公司 $