精品解析：湖南省常德市临澧县2025-2026学年九年级上学期期中考试数学试题

2025年下学期期中质量监测试题卷 九年级数学 一、选择题：本题共10小题，每小题3分，共30分． 1. 若点在反比例函数（为常数，且）的图象上，则（ ） A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了待定系数法求反比例函数解析式，熟练掌握知识点是解题的关键． 将已知点的坐标代入反比例函数解析式，直接计算即可求出k的值． 【详解】解：∵点在反比例函数（为常数，且）的图象上， ∴将，代入，得： 解得：， 故选：B． 2. 把多项式进行配方，结果为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题主要考查完全平方公式，利用添项法，先加上一次项系数一半的平方使式子中出现完全平方式，再减去这个项，使整个式子的值不变，这种方法叫做配方法． 根据利用完全平方公式的特征求解即可； 【详解】解： 故选B． 3. 如图，在四边形中，，点在上，交于点，若，，则的长为（ ） A. 6 B. 3 C. 5 D. 9 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查平行线分线段成比例，掌握平行线分线段成比例是解题的关键．根据平行线分线段成比例即可解答． 【详解】解：∵在四边形中，，， ∴， ∴， 即， 解得， 故选：A． 4. 随着“低碳生活，绿色出行”理念的普及，新能源汽车已经逐渐成为人们喜爱的交通工具．某品牌新能源汽车的月销售量由一月份的8000辆增加到三月份的12000辆，设该汽车一月至三月销售量平均每月增长率为x，则可列方程为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查平均增长率问题，属于一元二次方程的应用．已知一月份销量为8000辆，三月份增至12000辆，需建立平均每月增长率x的方程．根据连续增长模型，每月销量为前一个月的倍，故三月份销量为，据此列方程即可． 【详解】设每月增长率为x，则二月份销量为，三月份销量为二月份的倍，即． 根据题意，三月份销量为辆，可得方程为：． 故选B． 5. 若是方程的根，则的值为（ ） A. 2025 B. 2029 C. 2037 D. 2013 【答案】C 【解析】 【分析】本题主要考查了一元二次方程的根的定义，熟练掌握方程的根的定义并对所求式子进行变形是解题的关键．先根据方程的根的定义，得到关于的等式，再对所求式子进行变形，代入计算． 【详解】解：∵是方程的根， ∴，即． ∴ ， ． 故选：C． 6. 如图，五边形是以坐标原点O为位似中心的位似图形，已知点的坐标分别为．若的长为3，则的长为（ ） A. B. 4 C. D. 5 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了位似图形的性质，相似三角形的判定与性质，熟练掌握位似图形的性质，相似三角形的判定与性质是解题的关键． 根据位似图形的性质得到，证明，即可求解． 【详解】解：∵五边形是以坐标原点O为位似中心的位似图形，点的坐标分别为 ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， 故选：C． 7. 观察下列表格，估计一元二次方程的一个解的大致范围是（ ） x 1.1 1.2 1.3 1.4 1.5 1.6 1.7 1.8 1.9 0.11 0.24 0.39 0.56 0.74 0.96 1.19 1.44 1.71 A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查估算一元二次方程近似解，根据表中数据可直接得出答案． 【详解】解：由表可知，时，随x的增大而增大， 当时，，当时，， 因此估计一元二次方程的一个解的大致范围是， 故选C． 8. 如图，在平面直角坐标系中，A，C两点在坐标轴上，四边形是面积为4的正方形．若函数的图象经过点，则满足的的取值范围为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题主要考查了正方形的性质、坐标与图形、反比例函数与不等式等知识点，掌握数形结合思想是解题的关键． 由题意可设点B的坐标为，易得，即点B的坐标为，再结合反比例函数图象即可解答． 【详解】解：∵四边形是面积为4的正方形，设点B的坐标为， ∴，解得：（已舍弃负值）． ∴点B的坐标为， ∵函数的图象经过点， ∴满足的的取值范围为． 故选A． 9. 在20世纪70年代，我国著名数学家华罗庚教授将黄金分割法作为一种“优选法”，在全国大范围推广，取得了很大的成果．如图，利用黄金分割法，所做将矩形窗框分为上下两部分，其中E为边的黄金分割点，即．已知为2米，则线段的长为（ ） A. 1 B. C. 1.5 D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题主要考查了黄金分割的应用，掌握黄金比是解题的关键． 根据点是的黄金分割点，可得，代入数值得出答案． 【详解】解：∵点是的黄金分割点，即， ， ， 米， 故选：B． 10. 如图，点A在线段上，在的同侧作等腰和等腰，其中，与、分别交于点P、M．对于下列结论结论正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】ABCD 【解析】 【分析】本题考查了等腰直角三角形的性质，勾股定理，相似三角形的性质和判断．在等积式和比例式的证明中应注意应用倒推的方法寻找相似三角形进行证明，进而得到答案． 根据等腰直角三角形的性质得到，根据平行线的判定定理得到，于是得到，可判定A；根据等腰直角三角形的性质得到，推出，根据相似三角形的性质得到，可判定B；由相似三角形的性质得到，推出得到，于是得到，可判定C；证明，根据相似三角形的性质即可得到结论，可判定D． 【详解】解：A、在等腰和等腰中， ， ， ，故此选项符合题意； B、∵等腰和等腰， ∴，， ， ， ， ， ， ，故此选项符合题意； C、， ， ， ， ， ，故此选项符合题意； D、由③知，， ， ， ， ， ∴， ， ， ，故此选项符合题意； 故选：ABCD． 二、填空题：本题共8小题，每小题3分，共24分． 11. 若，则的值为________． 【答案】4 【解析】 【分析】本题主要查了比例的性质．根据比例的性质解答即可． 【详解】解：∵， ∴． 故答案为：4 12. 如图，在中，点在边上，点在边上，请添加一个条件_________，使． 【答案】∠ADE=∠B（答案不唯一）． 【解析】 【分析】已知有一个公共角，则可以再添加一个角从而利用有两组角对应相等的两个三角形相似来判定或添加夹此角的两边对应成比例也可以判定． 【详解】解∶∵∠A=∠A， ∴根据两角相等的两个三角形相似，可添加条件∠ADE=∠B或∠AED=∠C证相似； 根据两边对应成比例且夹角相等，可添加条件证相似． 故答案为∶∠ADE＝∠B（答案不唯一）． 【点睛】此题考查了本题考查了相似三角形的判定，解题的关键是掌握相似三角形的判定方法． 13. 若关于x的一元二次方程有两个相等的实数根，则实数_________． 【答案】1 【解析】 【分析】本题考查了一元二次方程的，方程有两个不相等的实数根；当，方程有两个相等的实数根；当，方程没有实数根．根据一元二次方程根的判别式的意义，方程有两个相等的实数根，则有，得到关于的方程，解方程即可． 【详解】解：关于的一元二次方程有两个相等的实数根， ，即， 解得． 故答案为：1． 14. 如图是跷跷板示意图，支柱经过的中点O，与地面垂直于点M，，当跷跷板的一端A着地时，另一端B离地面的高度为________． 【答案】80 【解析】 【分析】本题考查的是相似三角形的判定和性质．过点B作交的延长线于N，求得，得到，根据相似三角形的性质解答即可． 【详解】解：过点B作交的延长线于N， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴另一端B离地面的高度为． 故答案为：80． 15. 机器狗是一种模拟真实犬只形态和部分行为的机器装置．已知一款机器狗的最快移动速度与载重后总质量的函数表达式为，当其载重后总质量时，它的最快移动速度___________． 【答案】4 【解析】 【分析】本题考查了反比例函数的应用，将代入计算即可． 【详解】解：当 时，（m/s）． 故答案为 4． 16. “儿童散学归来早，忙趁东风放纸鸢”．风筝古称纸鸢，起源于春秋战国时期，风筝制作技艺已被列入国家非物质文化遗产名录．为丰富校园生活，某校开展风筝制作活动，小言和哥哥制作了一大一小两个形状相同的风筝，风筝的形状如图所示，其中对角线．已知大、小风筝的对应边之比为，如果小风筝两条对角线的长分别为和，那么大风筝两条对角线长的和为________． 【答案】195 【解析】 【分析】本题考查了相似多边形的应用，证明大风筝和小风筝相似，相似比为，即可解决问题．熟练掌握相似多边形的判定与性质是解题的关键． 【详解】解：小言和哥哥制作了一大一小两个形状相同的风筝，大、小风筝的对应边之比为， 大风筝和小风筝相似，相似比为， 大风筝两条对角线长：小风筝两条对角线长， 大风筝两条对角线的长分别为和， 大风筝两条对角线长的和为， 故答案为：195． 17. 如图所示，在中，，，，点以的速度从点开始沿边向点移动，点以的速度从点开始沿边向点移动，且点，分别从点，同时出发，若有一点到达目的地，则另一点同时停止运动．要使，两点之间的距离等于，则需要经过___________． 【答案】## 【解析】 【分析】本题主要考查勾股定理以及一元二次方程的应用．根据勾股定理列出方程是解题的关键． 设经过，、之间的距离等于，先用含的代数式分别表示和的长度，进一步利用勾股定理建立方程求得答案即可； 【详解】解：设经过，、之间的距离等于， 由已知可得： ，， ， ， ， 解得：， (不合题意，舍去)， ∴需要经过秒，，两点之间的距离等于． 故答案为． 18. 如图，点为反比例函数图象上的点，其横坐标依次为．过点作轴的垂线，垂足分别为点；过点作于点，过点作于点，过点作于点．记的面积为，的面积为，的面积为． （1）当时，点的坐标为___________； （2）当时，___________(用含的代数式表示) 【答案】 ①. ②. 【解析】 【分析】本题考查了反比例函数与几何综合，图形类的规律探索. 正确识图是解题的关键． （1）先利用反比例函数求出点的坐标，进而求出点； （2）同理（1）求出，…，，，，……，再根据三角形的面积公式求出……，可以发现，由此找到规律，即可求解， 【详解】解：（1）当时， ， ∴，； ，； ∴，， ∵轴， ， ∴， （2）当时， ， 同理可得，，，……，， ∴，，……， ∴， ， ， …… ∴ ， ， ， 即：， 故答案为：（1），（2）. 三、解答题：本题共8小题，共66分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 19. 解方程：． 【答案】， 【解析】 【分析】本题考查了解一元二次方程，熟练掌握直接开平方法解一元二次方程是解题的关键． 先移项，再用直接开平方法求解即可． 【详解】解：， ， 或， 解得：或， ∴原方程的根为：，． 20. 在中，是斜边上的高． （1）证明：； （2）若，求的长． 【答案】（1） 证明：∵是斜边上的高． ∴， ∴， ∴ 又∵ ∴， （2） 【解析】 【分析】（1）根据三角形高的定义得出，根据等角的余角相等，得出，结合公共角，即可得证； （2）根据（1）的结论，利用相似三角形的性质即可求解． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 ∵ ∴， 又 ∴． 【点睛】本题考查了相似三角形的性质与判定，熟练掌握相似三角形的性质与判定是解题的关键． 21. 某学校要举办数学节，向全校学生征集数学节设计．如图，王博同学设计的矩形长，宽，为了使这个更美观，他要给添加一个边框，边框上、下、左、右的宽度相等，且添加边框后的整个图形的面积为，求边框的宽． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了一元二次方程的应用，找准等量关系，正确建立方程是解题关键．设边框的宽为，根据添加边框后的整个图形的面积为建立方程，解方程即可得． 【详解】解：设边框的宽为， 由题意得：， 解得：或（不符合题意，舍去）， 答：边框的宽为． 22. 数学是基础学科，物理研究也离不开数学知识的支撑．密闭容器内有一定质量的二氧化碳。当容器的体积（单位：）变化时，气体的密度（单位：）随之变化．已知密度与体积是反比例函数关系，它的图象如图所示，当时，． （1）求密度关于体积的函数解析式； （2）若，求密度的变化范围． 【答案】（1）（） （2） 【解析】 【分析】本题考查了反比例函数的应用，熟练利用待定系数法求得反比例函数解析式是解题的关键． （1）设密度的关于体积V的函数解析式为，将代入，即可解答； （2）将和代入（1）中求得的函数解析式，再结合反比例函数的性质，即可解答， 【小问1详解】 解：设密度的关于体积V的函数解析式为 ∵当时，， ∴， ∴， ∴密度关于体积V的函数解析式为； 【小问2详解】 解：当时，代入，可得， 解得：． 当时，代入，可得， 解得：． ∴当时，密度的变化范围为． 23. 设，是关于的方程的两根． （1）当时，求及m的值． （2）求证：． 【答案】（1），； （2） 证明：方程可化为， ∵， ∴原方程有两个不相同实数根， 由根与系数的关系得，， ∵， ∵， ∴． 【解析】 【分析】本题主要考查了根据一元二次方程的根的判别式判断一元二次方程的根的情况，一元二次方程根与系数的关系，解一元二次方程，方程的解，正确理解一元二次方程根的判别式，当时，方程有两个不相等的实数根；当时，方程有两个相等的实数根；当时，方程没有实数根；熟记：一元二次方程的两个根为，，则，是解题的关键． （）把代入方程求出，然后再解一元二次方程即可； （）利用根的判别式，根与系数的关系求解即可． 【小问1详解】 解：把代入方程得， ∴ ， ∴，即， 解方程得，，， 故，； 【小问2详解】 略 24. 某数学研究性学习小组在老师的指导下，利用课余时间进行测量活动． 活动主题 探究晒衣架的相关问题 活动过程 模型抽象 小红家阳台上放置了一个晒衣架，如图是晒衣架的侧面示意图，立杆，相交于点，、两点置于地面上．现将晒衣架完全张开，根据三角形的稳定性，扣链成一条直线起稳固作用，且． 数据信息 过点作于点，交于点，经测量与比对，有，，，，． 请根据表格中提供的信息，解决下列问题： （1）连接，求证：； （2）若小红的连衣裙挂在衣架上后总长度达到，则挂在晒衣架上是否会碰到地面？请通过计算说明． 【答案】（1） 证明：∵，， ∴， ∵ ， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴； （2） 小红的连衣裙会碰到地面，理由如下： ∵， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴， 设点到的距离为， 由（1）可知：， ∴， ∴， ∵， ∴小红的连衣裙会碰到地面． 【解析】 【分析】本题考查相似三角形的实际应用，熟练掌握相似三角形的判定方法，是解题的关键： （1）利用两边对应成比例及其夹角相等证明，得到，即可得证； （2）证明，求出的长，设点到的距离为，根据，求出的长，比较的长与连衣裙的长，进行判断即可． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 略 25. 如图，直线与轴和轴分别交于点和点，与反比例函数的图象在第一象限内交于点． （1）求反比例函数的表达式； （2）若在反比例函数图象上有一点，使得，求点的坐标； （3）对于点，我们定义：当点满足时，称点是点的等和点．试探究在反比例函数图象上是否存在点，使点的等和点在直线上？若存在，请求出点的坐标；若不存在，说明理由． 【答案】（1） （2）， （3）存在，点P的坐标为或 【解析】 【分析】（1）把代入，求出值，即可得到反比例函数的解析式，把代入，求出值，即可得到一次函数的解析式； （2）先求出直线的解析式,进而可得点，，再根据，即，由此列方程即可求出点D坐标； （3）根据等和点的关系和点、点所在的解析式，设点，点，根据等和点的坐标之间的关系可得方程，解方程求出的值，再把的值代入反比例函数解析式，即可求出符合要求的点的坐标． 【小问1详解】 解：把代入， 可得：， ， 反比例函数的解析式为， 【小问2详解】 解：把代入， 可得：， ， 直线的解析式为； 点， ，， 设点坐标为 ∵， ∴， ∴，解得：， 故点D坐标为，． 【小问3详解】 结论：存在，点的坐标为或， 解：点在图象上，点在直线上， 设点，点， 点是点的等和点， ， ， ， ，， 经检验，，均是原分式方程的根， 当时，，此时点的坐标为， 当时，，此时点的坐标为， 综上所述，在的图象上存在点，使点的等和点在直线上，点的坐标为或． 【点睛】本题主要考查了一次函数与反比例函数的综合性、求一次函数的解析式、求反比例函数的解析式、一元二次方程的应用，解决本题的关键是根据函数的图象与性质找到相应的点的坐标，再根据坐标求出解析式． 26. 四边形是平行四边形，连接，于点，交边于点． （1）如图1，求证：． （2）如图2，，，求的值． （3）如图3，，．将沿直线翻折得到，连接交边于点，连接．请补全图形，并求的长． 【答案】（1） 解：四边形是平行四边形， ， ； （2） （3） 【解析】 【分析】（1）根据即可得出； （2）证明出，得到，设，则，勾股定理求出，进而得到，，然后代入求解即可； （3）如图，连接，证明出B，E，F，在一条直线上，过P作于H，证明出，得到，，求出，，证明出，得到，代入数据求出，然后利用勾股定理求解即可． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 四边形是平行四边形，， ，， ， ， 设，则． ， ． ， ， ， ， ． ． 【小问3详解】 如图，连接， 由折叠得， ∵于点E，， ∴B，E，F，在一条直线上，过P作于H． 由折叠得，， 四边形是平行四边形， ， ， ． ，， ，， ， ． ，， ， ，即， ． 【点睛】此题考查了相似三角形的性质和判定，勾股定理，平行四边形的性质，等腰三角形的性质和判定，折叠的性质等知识，解题的关键是掌握以上知识点． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2025年下学期期中质量监测试题卷 九年级数学 一、选择题：本题共10小题，每小题3分，共30分． 1. 若点在反比例函数（为常数，且）的图象上，则（ ） A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 2. 把多项式进行配方，结果为（ ） A. B. C. D. 3. 如图，在四边形中，，点在上，交于点，若，，则的长为（ ） A. 6 B. 3 C. 5 D. 9 4. 随着“低碳生活，绿色出行”理念的普及，新能源汽车已经逐渐成为人们喜爱的交通工具．某品牌新能源汽车的月销售量由一月份的8000辆增加到三月份的12000辆，设该汽车一月至三月销售量平均每月增长率为x，则可列方程为（ ） A. B. C. D. 5. 若是方程的根，则的值为（ ） A. 2025 B. 2029 C. 2037 D. 2013 6. 如图，五边形是以坐标原点O为位似中心的位似图形，已知点的坐标分别为．若的长为3，则的长为（ ） A. B. 4 C. D. 5 7. 观察下列表格，估计一元二次方程的一个解的大致范围是（ ） x 1.1 1.2 1.3 1.4 1.5 1.6 1.7 1.8 1.9 0.11 0.24 0.39 0.56 0.74 0.96 1.19 1.44 1.71 A. B. C. D. 8. 如图，在平面直角坐标系中，A，C两点在坐标轴上，四边形是面积为4的正方形．若函数的图象经过点，则满足的的取值范围为（ ） A. B. C. D. 9. 在20世纪70年代，我国著名数学家华罗庚教授将黄金分割法作为一种“优选法”，在全国大范围推广，取得了很大的成果．如图，利用黄金分割法，所做将矩形窗框分为上下两部分，其中E为边的黄金分割点，即．已知为2米，则线段的长为（ ） A. 1 B. C. 1.5 D. 10. 如图，点A在线段上，在的同侧作等腰和等腰，其中，与、分别交于点P、M．对于下列结论结论正确的是（ ） A. B. C. D. 二、填空题：本题共8小题，每小题3分，共24分． 11. 若，则的值为________． 12. 如图，在中，点在边上，点在边上，请添加一个条件_________，使． 13. 若关于x的一元二次方程有两个相等的实数根，则实数_________． 14. 如图是跷跷板示意图，支柱经过的中点O，与地面垂直于点M，，当跷跷板的一端A着地时，另一端B离地面的高度为________． 15. 机器狗是一种模拟真实犬只形态和部分行为的机器装置．已知一款机器狗的最快移动速度与载重后总质量的函数表达式为，当其载重后总质量时，它的最快移动速度___________． 16. “儿童散学归来早，忙趁东风放纸鸢”．风筝古称纸鸢，起源于春秋战国时期，风筝制作技艺已被列入国家非物质文化遗产名录．为丰富校园生活，某校开展风筝制作活动，小言和哥哥制作了一大一小两个形状相同的风筝，风筝的形状如图所示，其中对角线．已知大、小风筝的对应边之比为，如果小风筝两条对角线的长分别为和，那么大风筝两条对角线长的和为________． 17. 如图所示，在中，，，，点以的速度从点开始沿边向点移动，点以的速度从点开始沿边向点移动，且点，分别从点，同时出发，若有一点到达目的地，则另一点同时停止运动．要使，两点之间的距离等于，则需要经过___________． 18. 如图，点为反比例函数图象上的点，其横坐标依次为．过点作轴的垂线，垂足分别为点；过点作于点，过点作于点，过点作于点．记的面积为，的面积为，的面积为． （1）当时，点的坐标为___________； （2）当时，___________(用含的代数式表示) 三、解答题：本题共8小题，共66分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 19. 解方程：． 20. 在中，是斜边上的高． （1）证明：； （2）若，求的长． 21. 某学校要举办数学节，向全校学生征集数学节设计．如图，王博同学设计的矩形长，宽，为了使这个更美观，他要给添加一个边框，边框上、下、左、右的宽度相等，且添加边框后的整个图形的面积为，求边框的宽． 22. 数学是基础学科，物理研究也离不开数学知识的支撑．密闭容器内有一定质量的二氧化碳。当容器的体积（单位：）变化时，气体的密度（单位：）随之变化．已知密度与体积是反比例函数关系，它的图象如图所示，当时，． （1）求密度关于体积的函数解析式； （2）若，求密度的变化范围． 23. 设，是关于的方程的两根． （1）当时，求及m的值． （2）求证：． 24. 某数学研究性学习小组在老师的指导下，利用课余时间进行测量活动． 活动主题 探究晒衣架的相关问题 活动过程 模型抽象 小红家阳台上放置了一个晒衣架，如图是晒衣架的侧面示意图，立杆，相交于点，、两点置于地面上．现将晒衣架完全张开，根据三角形的稳定性，扣链成一条直线起稳固作用，且． 数据信息 过点作于点，交于点，经测量与比对，有，，，，． 请根据表格中提供的信息，解决下列问题： （1）连接，求证：； （2）若小红的连衣裙挂在衣架上后总长度达到，则挂在晒衣架上是否会碰到地面？请通过计算说明． 25. 如图，直线与轴和轴分别交于点和点，与反比例函数的图象在第一象限内交于点． （1）求反比例函数的表达式； （2）若在反比例函数图象上有一点，使得，求点的坐标； （3）对于点，我们定义：当点满足时，称点是点的等和点．试探究在反比例函数图象上是否存在点，使点的等和点在直线上？若存在，请求出点的坐标；若不存在，说明理由． 26. 四边形是平行四边形，连接，于点，交边于点． （1）如图1，求证：． （2）如图2，，，求的值． （3）如图3，，．将沿直线翻折得到，连接交边于点，连接．请补全图形，并求的长． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $