6.2反比例函数的图象与性质 教学设计2025-2026学年北师大版数学九年级上册

该初中数学教学设计聚焦反比例函数的图象绘制与性质归纳，通过复习一次函数“列表—描点—连线”的研究路径进行类比导入，结合200m自由泳时间与速度的实际问题唤醒旧知，搭建新知学习支架。 特色在于“自主作图+合作探究”模式，借助几何画板动态演示双曲线生成、错误对比及k值影响，小组通过“找茬+归纳”活动观察图象特征，落实数形结合。体现数学眼光（发现k与图象分布关系）、数学思维（逻辑归纳性质），提升学生动手与观察能力，助力教师突破抽象概念难点。

教学设计 课程基本信息 课题 反比例函数的图象与性质 课型 新授课 学科 初中数学 年级 九年级 学段 初中 版本章节 北师大版九年级上册第六章反比例函数第二节第一课时 教学目标 1. 知识与技能：能正确画出简单反比例函数的图象，掌握图象的分布特征 2. 过程与方法：通过“列表—描点—连线”画图象的过程，体会数形结合思想，提升动手操作和观察分析能力，能从图象中初步归纳反比例函数的简单性质。 3. 情感态度与价值观：感受数学图象的直观性和美感，激发对函数学习的兴趣，培养严谨的作图习惯和合作探究意识。 教学重难点 1. 经历画反比例函数的图象、归纳得到反比例函数的图象特征和性质的过程 (重点、难点) 2. 会画反比例函数图象，了解和掌握反比例函数的图象和性质. (重点) 3. 能够初步应用反比例函数的图象和性质解题. (重点、难点) 学情分析 1. 知识基础：学生已掌握正比例函数、一次函数的图象（直线）与性质，熟悉“列表—描点—连线”的作图方法，对函数“数”与“形”的对应关系有初步认知，但对双曲线这种曲线型图象缺乏接触。 2. 能力特点：具备基本的动手操作、观察归纳能力，但抽象思维和数形结合能力仍需提升，对反比例函数中“k的符号影响图象分布”的逻辑关联易混淆。 3. 学习难点：一是作图时易因取值不当（如忽略x≠0）导致图象与坐标轴相交，二是难以快速建立“函数表达式—图象特征—性质”的双向转化，三是对“双曲线无限接近坐标轴但不相交”的理解较模糊。 4. 学习习惯：喜欢动手实践、小组合作的学习形式，但部分学生作图不规范、观察不细致，需要通过具体示例和针对性纠错强化习惯。 教学准备 教师准备： - 课件（含反比例函数图象的几何画板）； - 任务单（含分层列表取值表、图象探究问题链、当堂检测题）； - 教具（坐标系黑板贴、不同k值的反比例函数图象卡片）。 学生准备： 1. 工具准备：直尺、圆规、坐标纸、铅笔、橡皮（提前强调作图规范工具）； 2. 知识预习：回顾正比例函数、一次函数的作图步骤和性质，预习反比例函数定义； 3. 预习任务：完成简单的反比例函数表达式辨析（如判断哪些是y=k/x形式，k≠0），带着疑问进课堂。 教学过程 教学任务 教学内容 设计意图 创新设计(含AI应用) 一、复习回顾 1.你能写出 200 m自由泳比赛中，游泳所用的时间 t(s) 和游泳速度 v(m/s) 之间的数量关系吗？ 2. 一次函数的研究路径是什么?我们如何研究一次函数的图象与性质？我们研究了一次函数的哪些性质? 1. 用实际问题快速关联反比例函数表达式，唤醒学生对反比例函数定义的记忆。 2. 回顾一次函数的研究路径与性质，为类比学习反比例函数的图象与性质做铺垫，让学生明确本节课的研究思路（和一次函数的研究方法一致），降低学习难度。 二、讲授新课 自主学习：画反比例函数的图象 （一）请画出反比例函数的图象 列表 x … …… 描点 连线：用光滑的曲线顺次连接各点，即可得到反比例函数 的图象 在画反比例函数图象时应注意哪几点？ 1、列表时：自变量的值可以选取一些互为相反数的值这样既可简化计算，又便于对称性描点；（不能取0) 2、列表描点时：要尽量多取一些数值，多描一些点，这样既可以方便连线,又较准确地表达函数的变化趋势; 3、连线时：一定要养成按自变量从小到大的顺序，依次用光滑的曲线顺次连接各点，从中体会函数的增减性. (三）请用相同的方法画出的图象 1. 自主学习环节： - 通过“列表—描点—连线”的完整流程，让学生亲身体验反比例函数图象（双曲线）的生成过程，强化对图象形状、分布的直观认知。 - 自主操作中暴露易错点（如x取0、连线不光滑等），后续可针对性纠错，比直接讲解更深刻。 2. 注意点总结： - 明确作图规范，帮助学生建立严谨的作图习惯，同时理解“为何这样做”（如取相反数是利用对称性、多描点是保证准确性），不是机械记忆步骤。 1. 动态演示列表→描点→连线： - 在几何画板中输入函数 ，动态生成取值列表并同步在坐标系中“出现”对应点，再用平滑曲线自动连接，同时标注“曲线无限接近坐标轴但不相交”的提示。 2. 对比错误与正确作图： - 设置“错误示例”按钮：点击后展示x取0、用直线段连线、取值过少的错误图象，再切换到正确图象，让学生直观辨析差异，加深对注意点的理解。 最终结论：设计意图是落实自主体验与规范作图，几何画板创新可动态化、对比化呈现作图过程与关键点。 合作探究：反比例函数图象的对比研究 观察以上两个函数图象，它们又怎样的相同点和不同点，请完成下列问题： ①图象是由_________组成的，通常称为_________ ②图象分别在第几象限？ ③在每一象限内，图象的升降趋势是什么？即在每一个象限内，随着x的增加，y的值是如何变化的？ ④以上两个函数图象是中心对称图形吗？如果是，请找出对称中心。 ⑤以上两个函数图象是轴对称图形吗？如果是，请找出对称轴。 ⑥图象与坐标轴是否有交点，能说明这是为什么吗？ 1. 对比研究的核心价值： - 通过两个函数图象的直接对比，让学生直观发现“k的符号”与图象分布、增减性的关联，避免单一图象学习的片面性。 - 问题①到⑥从“图象组成→位置→增减性→对称性→与坐标轴关系”逐步深入，引导学生系统归纳反比例函数的图象特征，培养观察、对比、归纳的能力，落实“数形结合”思想。 2. 合作探究的作用： - 以小组合作形式开展，促进学生互相交流观察结果、纠正认知偏差（比如容易忽略“在每一个象限内”的增减性前提），同时培养合作探究的学习习惯。 1. 互动式对比工具 - 改变k的值实时对比图象的位置、趋势变化，强化“k的符号是关键”的认知。 - 增加“对称性验证”交互：在图象上取一点，自动显示其关于原点、直线 y=x 的对称点，验证中心对称和轴对称，让抽象的对称性变直观。 2. “找茬+归纳”活动创新： - 先让小组完成“图象找茬”（找两个图象的不同点），再过渡到“归纳相同点”，最后用“关键词卡片”（如“双曲线”“k符号”“象限”“增减性”）梳理结论，让探究更具趣味性，降低归纳难度。 最终结论：设计意图是通过对比落实图象特征的系统归纳，创新可借助互动工具或趣味活动让探究更高效直观。 评价任务 1.如图，这是下列四个函数中哪一个函数的图象（ ） A B C D 2．分别画出函数的图象  3.在同一平面直角坐标系中画出函数与函数y=x-1的图象，并利用图象求出其交点坐标。 1. 第1题（选择题）： - 直接考查学生对反比例函数图象形状、分布的掌握，同时对比一次函数图象（直线），强化函数图象类型的区分，快速检测“图象识别”的基础能力。 2. 第2题（画图题）： - 落实“列表—描点—连线”的作图技能，通过 对比画图，巩固“k的符号影响图象分布”的核心知识，同时检验作图规范（如是否取0、连线是否光滑）。 3. 第3题（图象交点题）： - 融合反比例函数与一次函数的图象绘制，考查数形结合的应用能力——既需要正确画图，又要通过图象找交点，为后续“函数交点的代数求解”做铺垫，同时提升综合应用函数图象的能力。 整体设计意图：从“识别图象→规范作图→综合应用”分层考查，覆盖本节课“图象形状、分布、作图方法”的核心目标，同时诊断学生的知识漏洞与能力短板。 作业设计 必做：练习册基础巩固 选做：练习册巩固提升 板书设计/课堂小结 板书设计： 小结：本节课以“类比一次函数研究方法”为思路，核心落实三大目标：一是掌握“列表—描点—连线”的规范作图方法，成功画出反比例函数的双曲线图象；二是通过对比k=4和k=-4的函数图象，归纳出图象的分布、增减性、对称性等关键性质；三是体会数形结合思想，建立“函数表达式—图象特征—性质”的双向关联。 教学反思 一、亮点与成效 1. 类比迁移降低学习难度：通过回顾一次函数的研究路径，让学生快速明确本节课探究逻辑，有效衔接旧知与新知，符合九年级学生的认知规律。 2. 实践探究凸显主体地位：设计“自主作图+合作对比”的活动，让学生在动手操作中体验双曲线的生成过程，在小组交流中梳理性质，充分调动学习主动性。 3. 技术辅助突破难点：借助几何画板动态演示作图过程、对比错误与正确图象，直观呈现“曲线无限接近坐标轴”“k值对图象的影响”，化解抽象概念理解难题。 二、不足与改进 1. 作图指导需更细致：部分学生仍存在取值单一、连线不光滑的问题，后续可在任务单中增加分层取值示例，课堂上增加针对性巡视指导，强化作图规范。 2. 个体差异关注不够：小组合作中部分学困生参与度较低，后续可设计“师徒结对”帮扶模式，任务单设置基础层、提升层习题，满足不同层次学生需求。 —8— 学科网（北京）股份有限公司 $