专题01 动圆问题探究（40题）（举一反三专项训练）数学沪教版九年级下册

专题01 动圆问题探究（40题）（举一反三专项训练） 【沪教版】 考卷信息： 本套训练卷共40题，涉及函数与动圆问题、三角形与动圆问题、四边形与动圆问题. 题型针对性较高，覆盖面广，选题有深度，可加强学生对动圆问题探究的理解！ 【题型1 函数与动圆问题】 1．（2025·广东韶关·三模）如图，在平面直角坐标系中，一次函数的图象与轴、轴分别交于、两点，点在线段上，与轴交于、两点，当与该一次函数的图象相切时，的长度是（    ） A．3 B．4 C．6 D．2 【答案】D 【分析】本题考查了一次函数的几何应用，切线的性质，勾股定理，由一次函数解析式可得，，即得，设与直线相切于点，连接，可得，， 由可得，进而即可求解，正确作出辅助线是解题的关键． 【详解】解：当时，；当时，， ∴，， ∴，， ∵， ∴， 如图，设与直线相切于点，连接， ∴，， 设， ∵， ∴， 即， 解得， ∴， ∴， ∴， 故选：D． 2．（24-25九年级上·黑龙江哈尔滨·阶段练习）如图，的半径为2，圆心P在函数的图象上运动，当与坐标轴相切时，点P的坐标为 ． 【答案】或 【分析】此题考查了圆与直线的位置关系、反比例函数图象的位置关系的一道综合题，熟练运用分类讨论的思想和准确把握动圆与坐标轴相切时点P的坐标特征是解此题的关键．分两种情况进行讨论：与x轴相切或与y轴相切，分别求解即可． 【详解】解：∵与坐标轴相切， ∴分两种情况讨论： ①当与x轴相切时， 则点P的纵坐标为2， ∴ ， ∴点P的坐标为． ②与y轴相切时， 则点P的横坐标为2， ∴ ∴ ∴点P的坐标为， 综上，点P的坐标为：或， 故答案为：或． 3．（24-25九年级上·江苏徐州·阶段练习）如图，一次函数的图像与轴交于点，与轴交于点，以为圆心的与轴相切，点以每秒个单位的速度从向轴正方向运动，同时的半径以每秒个单位的速度扩大，当运动了 秒时，与直线只有一个公共点． 【答案】1或7 【分析】本题考查了一次函数与相似三角形及直线与圆的位置关系，以及切线的性质的综合应用，可能在上，也可能在的延长线上，因而分两种情况进行讨论，作于点则，根据相似三角形的对应边的比相等，即可得到一个关于的方程，求得的值． 【详解】解：在中，令，则， 即的坐标是， 则； 令，得， 解得， 则的坐标是， ， 在中，， 当在线段上时，如图：作于点则， ， 即， 解得； 当在的延长线上时：如图（2）同理作于点则， ， 即， 解得． 故答案为：1或7． 4．已知⊙O是以坐标原点为圆心，半径为1，函数y=x与⊙O交于点A，点P（x，0）在x轴上运动，过点P且与OA平行的直线与⊙O有公共点，则x的范围是 ． 【答案】，且x≠0 【详解】考点：直线与圆的位置关系；坐标与图形性质． 分析：由题意得x有两个极值点，过点P与⊙O相切时，x取得极值，作出切线，利用切线的性质求解即可． 解：将OA平移至P’D的位置，使P’D与圆相切， 连接OD，由题意得，OD=1，∠DOP’=45°，∠ODP’=90°， 故可得OP’=，即x的极大值为， 同理当点P在y轴左边时也有一个极值点，此时x取得极小值，x=-， 综上可得x的范围为：-≤x≤． 又∵DP’与OA平行， ∴x≠0， 故答案为-≤x≤，且x≠0 5．如图，点在函数的图象上运动，为坐标原点，点为的中点，以点为圆心，为半径作，则当与坐标轴相切时，点的坐标为 ． 【答案】，或 【分析】本题考查了反比例函数图象上点的坐标特征、两点间的距离公式以及切线的性质，解题的关键是分圆与（或轴相切分类讨论．本题属于基础题，难度不大，解决该题型题目时，设出点的坐标，根据切线的性质，找出点坐标与半径之间的关系是关键．结合点在反比例函数图象上，设出点的坐标，由两点间的距离公式求出的长度，由点为的中点，即可找出的长度，再根据相切的两种不同形式分类，结合点的坐标以及圆的半径即可得出关于点横坐标的一元二次方程，解方程即可得出结论． 【详解】解：点为函数的图象上的点， 设点的坐标为，． ． 点为的中点， ． 与坐标轴相切分两种情况： ①与轴相切，此时有， 整理得：，解得：，或（舍去）， 解，得：，（舍去）， 此时点的坐标为，； ②与轴相切，此时有， 整理得：，解得：，或（舍去）， 解，得：，（舍去）， 此时点的坐标为． 综上可知：点的坐标为，或． 故答案为：，或． 6．如图所示，一次函数的图象与x轴、y轴分别交于点M，N，的半径为1，将以每秒1个单位的速度沿x轴向右作平移运动，当移动 秒时，直线恰好与相切． 【答案】 【分析】作平行于与相切，交x轴于点E，交y轴于点F，设直线的解析式为，由与相切结合三角形的面积即可得出关于b的含绝对值符号的方程，从而得出点E的坐标，根据运动的相对性即可得出结论． 【详解】作平行于与相切，交x轴于点E，交y轴于点F，如图所示， 设直线的解析式为， 即， 与相切，且的半径为1， ， 解得， 直线的解析式为或， 点E的坐标为或， 令中，则， ， 根据运动的相对性，且以每秒1个单位的速度沿x轴向右作平移运动， 移动的时间为或， 故答案为：． 【点睛】本题考查了直线与圆的位置关系，一次函数图像上点的坐标特征以及平移的性质，解题的关键是求出E、M的坐标，巧妙的利用运动的相对性变移圆为移直线． 7．如图，点A在第一象限上运动，始终保持，点在x轴正半轴上，点在y轴的负半轴上，则的最大值为 （用含m的式子表示）． 【答案】也可以写作 【分析】本题考查了坐标系中的动点问题（不含函数），用勾股定理解三角形，点与圆上一点的最值问题，解题关键是掌握上述知识点并能运用求解． 先得出点A在以为直径的圆上运动，且点A在第一象限，，从而可得当为的中点时，最大，再求得此时，从而可求得的最大值． 【详解】解：交轴于点， ∵点A在第一象限，始终保持，点在x轴正半轴上， ∴点A在以为直径的圆上运动，且点A在第一象限，， ∴当为的中点时，最大， ∵点， ∴， ∵点， ∴此时， ∴ 故答案为：． 8．如图,已知一次函数的图像与反比例函数的图像交于点,且与x轴交于点B,第二象限内点A在反比例函数的图像上,且以点A为圆心的圆与轴分别相切于点,则一次函数解析式为 ． 【答案】 【分析】本题考查反比例函数图像与性质,待定系数法求一次函数解析式,相切性质,正确求出A,C点坐标是解题的关键． 将点D代入中求出的值,再利用切线的性质结合正方形的判定与性质得出点A,C坐标,进而利用待定系数法求而出一次函数解析式． 【详解】解:∵点在反比例函数的图像上, ∴将代入中得:, ∴D的坐标为, ∵以点A为圆心的圆与轴分别相切于点, ∴四边形是正方形,, ∵第二象限内点A在反比例函数的图像上, ∴设,, ∴,即, ∴点B的坐标为, ∵一次函数的图像过,且与x轴交于点B, ∴将和代入中得: ,解得, ∴一次函数解析式为:． 9．如图，在平面直角坐标系中，直线与轴、轴分别交于点、，半径为的的圆心从点（点在直线上）出发以每秒个单位长度的速度沿射线运动，设点运动的时间为秒，则当 时，与坐标轴相切． 【答案】1或3或5 【分析】设与坐标轴的切点为，根据已知条件得到，，，求得，，，证明出是等腰直角三角形，，然后分三种情况进行讨论：①当与轴相切时，②如图，与轴和轴都相切时，③当点只与轴相切时． 【详解】解：设与坐标轴的切点为， 直线与轴、轴分别交于点、，点， 时，， 时，， 时，， ，，， 根据勾股定理：，，， 是等腰直角三角形，， ①当与轴相切时， 点是切点，的半径是1， 轴，， 是等腰直角三角形， ，， ， 点的速度为每秒个单位长度， ； ②如图，与轴和轴都相切时， ， ， 点的速度为每秒个单位长度， ； ③当点只与轴相切时， ， ， 点的速度为每秒个单位长度， ． 综上所述，则当或3或5秒时，与坐标轴相切， 故答案为：1或3或5． 【点睛】本题考查了切线的判定，等腰直角三角形的判定和性质、勾股定理，解题的关键是掌握切线的判定及性质，利用分类讨论的思想求解． 10．（2025·江苏常州·一模）在平面直角坐标系中，点的坐标为，点、是平面中的任意两个点，连接、、得到，如果是等腰直角三角形，且，那么我们称点、关于点关联，把其中一个点叫做另一个点的关联点． (1)已知点，在点、、中，点的关联点是______（填字母）； (2)点、分别在一次函数、的图像上运动，若点、关于点关联，求点的坐标． (3)已知点的坐标为，以点为圆心，1为半径作，若存在上的点和直线上的点关于点关联，请直接写出的取值范围． 【答案】(1)B、D (2)或 (3)或 【分析】（1）可证明都是等腰直角三角形，则有，据此可证明是等腰直角三角形，则点是点P的关联点；由，可知点C不是点P的关联点；证明是等腰直角三角形，得到，则可证明B、P、D三点共线，进而可证明是等腰直角三角形，则点D是点P的关联点； （2）分别过点P和点作y轴的垂线，垂足分别为H、G，设，证明，通过全等三角形的性质得到对应线段的长，进而可得，再由在直线上，得到，解方程即可得到答案；同理可求出的坐标； （3）如图3-1所示，都是以T为直角顶点的等腰直角三角形，设，仿照（2）通过一线三垂直模型，表示出点N和点K的坐标，进而得到点N和点K的轨迹都是一条直线，再分别求出与这两条直线相切时t的值即可得到答案． 【详解】（1）解：∵，，， ∴， 又∵， ∴都是等腰直角三角形， ∴， ∴， ∴是等腰直角三角形， ∴点是点P的关联点； 如图所示，∵， ∴点C不是点P的关联点； ∵，， ∴，且， ∴是等腰直角三角形， ∴， ∴，即B、P、D三点共线， ∵， ∴， ∴是等腰直角三角形， ∴点D是点P的关联点； （2）解：如图所示，分别过点P和点作y轴的垂线，垂足分别为H、G，设， ∴， ∵是等腰直角三角形，且， ∴，， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵在直线上， ∴， ∴， ∴， ∴； 同理可得， ∵在直线上， ∴， ∴， ∴， ∴； 综上所述，点Q的坐标为或； （3）解：如图3-1所示，都是以T为直角顶点的等腰直角三角形，设， 过点N和点Q分别作y轴的垂线，垂足分别为R、S， 同理可证明， ∴， ∴， ∴， ∴点N在直线上运动， 同理可得， ∴点K在直线上运动； 设直线与x轴交于V，与y轴交于U，则， ∴， ∴是等腰直角三角形， ∴； 如图3-2所示，当与直线刚好相切于点时，连接， ∴， ∴， ∴， ∴； 如图3-3所示，当与直线刚好相切时，同理可得此时， ∴， ∴； ∴当时，与直线有交点，即此时上一定存在点P是点Q的关联点； 设直线与x轴交于Z，与y轴交于W，则， ∴， ∴是等腰直角三角形， ∴； 如图3-4所示，当与直线刚好相切时，同理可得此时， ∴， ∴； 如图3-5所示，当与直线刚好相切时，同理可得此时， ∴， ∴； ∴当时，与直线有交点，即此时上一定存在点P是点Q的关联点； 综上所述，或． 【点睛】本题主要考查了切线的性质，解直角三角形，一次函数与几何综合，等腰直角三角形的性质与判定等待，利用分类讨论的思想求解是解题的关键． 【题型2 四边形与动圆问题】 1．如图，，点A、B分别在射线、射线上运动，四边形是矩形，且，，则的最大值为（    ） A． B． C． D．无最大值 【答案】A 【分析】首先判断出点O在经过点A，B的圆E上，求出圆的半径，过E作于G并延长，与交于点F，利用矩形的判定和性质和勾股定理求出，分析得出当O，E，D三点共线时，最大，求出即可． 【详解】解：∵，， ∴点O在经过点A，B的圆E上，且， ∴，即圆E的半径为， 过E作于G并延长，与交于点F， ∴，， ∵四边形是矩形， ∴， ∴四边形是矩形， ∴，，， ∴， ∴， 当O，E，D三点共线时，最大，且最大值为， 故选A． 【点睛】本题考查了矩形的判定和性质，圆周角定理，等腰直角三角形的判定和性质，勾股定理，最短路径，本题属于运动型问题，解题时要用动态的眼光审题，动中有静，学会构造圆，利用圆的性质分析题意． 2．如图，四边形ABCD是正方形，动点E、F分别从D、C两点同时出发，以相同的速度分别在边DC、CB上移动，当点E运动到点C时都停止运动，DF与AE相交于点P，若AD=8，则点P运动的路径长为（　　） A．8 B．4 C．4π D．2π 【答案】D 【分析】如图，连接AC、BD交于点O．首先证明∠DPE=∠APD=90°，即可推出点P的运动轨迹是以AD为直径的圆上的弧OD，由此即可解决问题. 【详解】解：如图，连接AC、BD交于点O． ∵DE=CF，AD=DC，∠ADE=∠DCF， ∴△ADE≌△DCF， ∴∠DAE=∠CDF， ∵∠DAE+∠AED=90°， ∴∠CDF+∠DEP=90°， ∴∠DPE=∠APD=90°， ∴点P的运动轨迹是以AD为直径的圆上的弧OD， ∴点P运动的路径长为 •2π•4=2π， 故选D 【点睛】本题考查正方形的性质、弧长公式、全等三角形的判定和性质等知识，解题关键是正确寻找全等三角形，判断出∠APD=90°这个突破点，属于中考常考题型． 3．（2025·河南南阳·二模）如图，在平面直角坐标系中，已知点，以点为圆心，的长为半径作圆，是⊙O上一动点，连接，以点为旋转中心，将顺时针旋转得，连接．若点从点出发，按照逆时针方向以每秒个单位长度运动，则第33秒时，点的坐标是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题主要考查了全等三角形的性质与判定，圆的基本知识，坐标与图形，点的坐标规律探索，根据点A坐标可得的半径为1，则的周长为，故每4秒点C走一圈，则第33秒时，点C走了圈，此时点C的坐标为，过点D作轴于E，证明，得到，则，可得． 【详解】解：∵， ∴， ∴的半径为1， ∴的周长为， ∵点从点出发，按照逆时针方向以每秒个单位长度运动， ∴每4秒点C走一圈， ∵， ∴第33秒时，点C走了圈， ∴第33秒时，点C的坐标为， ∵点C的坐标为，， ∴， 如图所示，过点D作轴于E， 由旋转的性质可得， 又∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， 故选：B． 4．（2025九年级下·江苏南京·专题练习）如图，在平面直角坐标系中， ，以点A为圆心，长为半径作圆，交x轴正半轴于点C，点D为上一动点，连接，以为边，在直线的上方作正方形，若点D从点O出发，按顺时针方向以每秒个单位长度的速度在上运动，则第秒结束时，点F的坐标为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】先根据点D的运动速度求出第秒结束时点D的位置，再证明，利用全等三角形的性质求出的长度，即可求解． 【详解】解：∵， ∴， ∴的周长为． ，， ∴第2022秒结束时和第6秒结束时，点D的位置相同，正方形的位置相同． ∵ ， ∴点D在x轴下方的圆弧上，且的长为． 连接AD，过点F作x轴的垂线，垂足为G，如下图所示． 设，则， ∴ ． 即． ∵ ， ∴ ． 又∵， ∴． 又∵ ∴ ． ∴． ∴， ∴点F的坐标为， 故选：A． 【点睛】本题考查点的运动规律、正方形的性质、弧长的计算、全等三角形的判定和性质等知识，解题的关键是根据点D的运动速度求出第2022秒结束时点D的位置． 5．如图，⊙O1的半径为1，正方形ABCD的边长为6，点O2为正方形ABCD的中心，O1O2垂直AB于P点，O1O2＝8．若将⊙O1绕点P按顺时针方向旋转360°，在旋转过程中，⊙O1与正方形ABCD的边只有一个公共点的情况一共出现（　　） A．3次 B．5次 C．6次 D．7次 【答案】B 【详解】解：如图， ∵⊙O1的半径为1，正方形ABCD的边长为6，点O2为正方形ABCD的中心，O1O2垂直AB于P点， 设O1O2交圆O1于M， ∴PM=8-3-1=4， 圆O1与以P为圆心，以4为半径的圆相外切， ∴根据图形得出有5次． 故选B． 6．（24-25九年级上·浙江杭州·期中）如图，在正方形中，，点E，F分别在上，相交于点G，连结．当点E从点C运动到点D的过程中，的最小值为 ． 【答案】 【分析】此题考查了正方形的性质、全等三角形的判定和性质、勾股定理、圆周角定理等知识．求出点G的运动轨迹是以为直径的，当O，G，D共线时，的值最小，再进一步求解即可． 【详解】解：如图，以为直径作，连接， ∵四边形是正方形， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴点G的运动轨迹是以为直径的，当O，G，D共线时，的值最小， 在正方形中，， ∴， ∴， ∴， 即的最小值为， 故答案为：． 7．（2025·江苏宿迁·一模）如图，在矩形中，，，点在边上运动，以为直径作圆与交于点，连接，则线段的最小值为 ． 【答案】 【分析】本题考查了圆周角定理的推论，勾股定理等知识，连接，取中点O，连接，判断点F 在以为直径的圆上运动，则当O、F、B三点共线，且F在线段上时，最小，最小值为，然后在中根据勾股定理求出，即可求解． 【详解】解：连接，取中点O，连接， ∵以为直径作圆与交于点， ∴， ∴， ∴点F在以为直径的圆上运动， ∴当O、F、B三点共线，且F在线段上时，最小，最小值为， 在矩形中，，， ∴，， ∴， ∴的最小值为， 故答案为：． 8．（2025·河南南阳·二模）在矩形中，，，动点P在上运动（点P不与B，C点重合），点E在线段上，且． （1）连结，则的最小值是 ； （2）当最小时，的长为 ． 【答案】 2 【分析】本题考查了矩形的性质，全等三角形的判定和性质，相似三角形的判定和性质，勾股定理等知识，灵活运用这些性质解决问题是解题的关键． （1）由余角的性质可得，则点E在以为直径的圆上运动，则当点E在上时，有最小值，由勾股定理可求解； （2）当与相切时，最小，由可证，，，由三角形的面积可求，通过证明 ，可得，即可求解． 【详解】解：（1）四边形是矩形， ，， ， ， ， ， 点E在以为直径的圆上运动， 如图，取的中点O，连接，交圆O于点E，此时有最小值， 点O是的中点， ， ， ， 故答案为：2； （2）当与相切时，最小， 连接，连接交于H， 由（1）可知：，，， 是的切线， ， ，， ， ，， ，， ， ， ， ，， ， ， ， ， 故答案为：． 9．（24-25九年级上·江苏宿迁·期中）已知正方形边长为2，点是正方形边上的动点，点在边上，且，线段、相交于点，连接，则点从点运动到点的过程中，线段扫过的面积是 ． 【答案】 【分析】本题考查正方形的性质、全等三角形的判定与性质、圆周角定理、点的运动轨迹问题的求解等知识与方法，正确地作出所需要的辅助线，得到点M的运动轨迹是解题的关键．先证明得到，进而证得，利用圆周角定理得到点M在以为直径的圆上运动，如图，设圆心为，连接、相交于O，连接，利用正方形的性质和圆周角定理得到点O在圆N上，根据图形结合已知得到在点从点A运动到点B的过程中，点M在劣弧上运动，点F在上运动，由线段扫过的面积求解即可． 【详解】解：如图，四边形是边长为2的正方形， ，， 在和中， ， ， ∴， ，即， ∴点M在以为直径的圆上运动，如图，设圆心为，连接、相交于O，连接， 则，，， ∴，即点O在圆N上， ∴，， ∵，， ∴当点E在点A处时，点F在点B处，这时点M在点A处，当点E在点B处时，点F在点C处，这时点M在点O处， ∴在点从点A运动到点B的过程中，点M在劣弧上运动，点F在上运动， ∴线段扫过的面积是 ， 故答案为：． 10．（24-25九年级上·浙江宁波·阶段练习）如图，，点、分别在射线、射线上运动，四边形是矩形，且，，则的最大值为 ． 【答案】/ 【分析】以为斜边作等腰直角三角形，则可得点O在以点E为圆心，的长为半径的圆上运动，则；过E作于G，并延长与交于点F，则，再证明四边形是矩形， 得到，，，可由勾股定理得到，则根据，可知当O，E，D三点共线时，最大，且最大值为． 【详解】解：如图所示，以为斜边作等腰直角三角形， ∴， ∵， ∴点O在以点E为圆心，的长为半径的圆上运动， ∴， 如图所示，过E作于G，并延长与交于点F， ∴，， ∵四边形是矩形， ∴， ∴四边形是矩形， ∴，，， ∴， ∴， ∵， 当O，E，D三点共线时，最大，且最大值为， 故答案为：． 【点睛】本题考查了矩形的判定和性质，圆周角定理，等腰直角三角形的判定和性质，勾股定理，最短路径，本题属于运动型问题，解题时要用动态的眼光审题，动中有静，学会构造圆，利用圆的性质分析题意． 11．（24-25九年级上·江苏常州·期中）如图， 四边形为矩形，，点E在边上，从点D运动到点C，运动速度为每秒2个单位，点F从点A开始沿射线方向运动，运动速度为每秒3个单位，当点E停止时，点F也随之停止．连接和交于点G，直线交直线于点 M，则的最小值为 ． 【答案】 【分析】如图1，设运动时间为秒，则，由，，证明，可求，如图1，记的中点为，则在以为直径的上运动，由题意知，、均为的切线，如图1，作的切线，交于，切点为，由题意知，的最小值为，由切线长定理可知，，，设，则，，由勾股定理得，，即，计算求解即可． 【详解】解：如图1， ∵矩形， ∴，，， 设运动时间为秒，则， ∵，， ∴， ∴， ∴， ∴， 如图1，记的中点为， ∴在以为直径的上运动， 由题意知，、均为的切线， 如图1，作的切线，交于，切点为， 由题意知，的最小值为， 由切线长定理可知，，， 设，则，， 由勾股定理得，，即， 解得，， 故答案为：． 【点睛】本题考查了矩形的性质，相似三角形的判定与性质，的圆周角所对的弦为直径，切线长定理，勾股定理等知识．明确线段最小值的情况是解题的关键． 12．如图，在四边形中，，，，，点E在线段上运动，点F在线段上，，则线段的最小值为 ． 【答案】8 【分析】本题主要考查了勾股定理，圆周角定理，解题的关键是作出辅助线，熟练掌握相关的判定和性质，设的中点为O，以为直径画圆，连接，设与的交点为点，证明，可知点F在以为直径的半圆上运动，当点F运动到与的交点时，线段有最小值，据此求解即可． 【详解】解：设的中点为O，以为直径画圆，连接，如图， 设与的交点为点， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴点F在以为直径的半圆上运动， ∴当点F运动到与的交点时，线段有最小值， ∵，， ∴， ∴， ∴的最小值为． 故答案为：8． 13．如图，在四边形中，，，，点N在线段上运动，点M在线段上，，则线段的最小值为 ． 【答案】 【分析】本题主要考查了圆周角定理的推论、勾股定理、三角形内角和定理等知识，根据题意分析得到点M的运动轨迹是解题的关键．设的中点为，以为直径画圆，连接，设与的交点为点，证明，可知点在以为直径的半上运动，当点运动到与的交点时，线段有最小值，据此求解即可． 【详解】解：设的中点为，以为直径画圆，连接，如下图， 设与的交点为点， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴点在以为直径的半上运动， ∴当点运动到与的交点时，线段有最小值， ∵，， ∴， ∴， ∴的最小值为 ． 故答案为：． 14．如图，已知四边形是矩形，，点E是线段上一个动点，分别以、为边向线段的下方作正方形、正方形，连接，过点B作直线的垂线，垂足是J，连接，求点E运动过程中，线段的最大值是 ． 【答案】/ 【分析】本题考查了点圆最值的知识点的应用，梯形的中位线的应用，还有矩形及正方形的性质，解题关键是找到图中的隐圆．这是隐圆问题，由梯形中位线可以得到一定经过以为边的正方形的中心，进而得到在以为直径的圆上运动，然后利用点圆最值即可求解． 【详解】解：如图，取中点，以为直径作，连接并延长交于点，作于，作于，交、于点、， 是梯形中位线， ， ， 是中点， 到、的距离均为4， 一定是以为边的正方形的中心点， 一定在以为直径的圆上运动， 当过点圆心时，最大， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ． 故答案为：． 15．如图，在矩形ABCD中，AB＝4，BC＝6，点E是BC的中点，点F在AD上运动，沿直线EF折叠四边形CDFE，得到四边形GHFE，其中点C落在点G处，连接AG，AH，则AG的最小值是 ． 【答案】2 【分析】如图，当A、G、E共线时，AG最小，先求出AE，根据AG＝AE﹣EG即可解决问题． 【详解】解：如图，依题意：点G在以点E为圆心，长为半径的圆上运动，当A、G、E共线时，AG最小， ∵四边形ABCD是矩形， ∴∠B＝90°，BE＝EC＝3，AB＝4， ∴AE＝＝＝5． 此时AG＝AE﹣EG＝5﹣3＝2． 故答案为2． 【点睛】本题考查了矩形的性质，勾股定理，点到圆的距离，明确点和圆的位置关系是解决本题的关键． 16．如图，点A在以为直径的半圆上，，，点D在线段上运动，点E与点D关于对称，点F与点D关于对称，点G与点D关于点A对称．连接、、、、、，则： （1）当四边形是正方形时， ； （2）当的一边与相切时，的长为 ． 【答案】 【分析】（1）先利用对称的性质得到，则可判断四边形为矩形，再根据圆周角定理，由为直径得到，则，由于点与点关于对称，则于，如图，设，在中利用含30度的直角三角形三边的关系得到，，接着利用正方形的性质得，则，所以，解得，于是得到； （2）当与相切时，设点为切点，连接交于，交于，如图，则，先证明，得到，同时有，，设，则，，所以，在中，可表示出，，然后根据30度的直角三角形得，即，解方程求出即可得到的长． 【详解】解：（1）∵点与点关于对称，点与点关于点对称， ∴，， ∵点与点关于对称，点与点关于对称， ∴，， ∴， ∴四边形为矩形， ∵为直径， ∴， 在中， ∵， ∴，， ∵点与点关于对称， ∴于，如图， 设， 在中， ∵，则， ∴，， ∵四边形是正方形， ∴， ∴为等腰直角三角形， ∴， 而， ∴，解得， ∴； 故答案为：； （2）当与相切时，设点为切点，连接交于，交于，如图，则， ∵四边形为矩形， ∴，， 而， ∴， ∴， ∵，， ∴设，则，， ∴， 在中，，， ∵， ∴，则， ∴，解得， ∴， 故答案为：． 【点睛】本题属于几何综合题，考查了圆周角定理、切线的性质和矩形的判定与性质，轴对称的性质，含的直角三角形的性质，正方形的性质等，理解并掌握相关图形的性质是解决问题的关键． 17．如图①，矩形与以为直径的半圆O在直线l的上方，线段与点E、F都在直线l上，且，，．点B以1个单位/秒的速度从点E处出发，沿射线方向运动，矩形随之运动，运动时间为t秒． (1)如图②，当时，求半圆O在矩形内的弧的长度； (2)在点B运动的过程中，当、都与半圆O相交时，设这两个交点为G、H．连接、，若为直角，求此时t的值． (3)当矩形为正方形时，连接，在点B运动的过程中，若直线与半圆只有一个交点，则t的取值范围是 ． 【答案】(1)半圆O在矩形内的弧的长度为 (2)t的值为8或9 (3)或 【分析】（1）通过判定为等边三角形，然后根据弧长公式求解； （2）通过判定，然后利用全等三角形的性质分析求解； （3）当半圆O与直线相切时，可求得，此时半圆O与直线只有一个交点；当点E与点A重合时，可求得，此时半圆O与直线有两个交点；当点F与点A重合时，可求得，此时半圆O与直线只有一个交点，即可得到t的取值范围． 【详解】（1）设与交于点M 当时， ∵ ∴ ∴ ∴ 在矩形中， ∴ 又∵ ∴ ∴是等边三角形   ∴ ∴ 即半圆O在矩形内的弧的长度为. （2）连接， ∵          ∴， ∵ ∴， 在和中， ∴ ∴ ∵      ∴ ∴ 在中， ∴     解得： 即t的值为8或9． （3）或 理由：当半圆O与直线相切时，过圆心O作于点P 则 ∵四边形为正方形 ∴ 又∵ ∴为等腰直角三角形 则 ∴ 则，此时半圆O与直线相切； 当点E与点A重合时，，此时半圆O与直线有两个交点； 当点F与点A重合时，，此时半圆O与直线只有一个交点， 则t的取值范围为或． 故答案为：或 【点睛】本题考查全等三角形的判定和性质，弧长公式的计算，勾股定理的应用，掌握全等三角形的判定（一线三垂直模型），结合勾股定理列方程是解题关键． 18．在矩形中，，，点P从点A出发沿边以的速度向点B移动（点P可以与点A重合），同时，点Q从点B出发沿以的速度向点C移动（点Q可以与点B重合），其中一点到达终点时，另一点随之停止运动，设运动时间为t秒． (1)如图1，几秒后，的面积等于？ (2)如图2，在运动过程中，若以P为圆心、为半径的与相切，求t值； (3)若以Q为圆心，为半径作⊙Q．如图3，若与四边形的边有三个公共点，则t的取值范围为 ．（直接写出结果，不需说理） 【答案】(1)2秒或4秒 (2) (3) 【分析】（1）由题意可知，，从而得到，，然后根据的面积为列方程求解即可； （2）如图1所示：连接．依据勾股定理可求得的长，然后依据切线长定理可知，从而可求得的长，由圆的半径相等可知，然后在中依据勾股定理列方程求解即可； （3）先求得与四边形有两个公共点时t的值，然后可确定出t的取值范围． 【详解】（1）解：由题意知，，，则， ∵ ∴， 解得或， 故当运动时间为2秒或4秒时，的面积为； （2）解：如图1，设切点为，连接． ∵， ∴与相切， ∴分别与，相切， ∴． ∵与相切， ∴， 在中，依据勾股定理可得． ∴． ∵， ∴，． 在中，依据勾股定理可得，， 解得； （3）解：（Ⅰ）当时，如图4所示： 与四边形有两个公共点； （Ⅱ）如图5所示： 当经过点D时，与四边形有两个公共点，则， 得方程， 解得： （舍），， ∴当，与四边形有三个公共点． 故答案为：． 【点睛】本题主要考查的是主要考查的是圆的综合应用，解答本题主要应用了三角形的面积公式、切线长定理、勾股定理、圆的性质，依据题意列出关于t的方程是解题的关键． 【题型3 三角形与动圆问题】 1．如图，一个半径为的圆形纸片在边长为的等边三角形内任意运动，则在该等边三角形内，这个圆形纸片“不能接触到的部分”的面积是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】过圆形纸片的圆心作两边的垂线，垂足分别为，，连，则在中，可求得．四边形的面积等于三角形的面积的2倍，还可求出扇形的面积，所求面积等于四边形的面积减去扇形的面积的三倍． 【详解】解：如图，当圆形纸片运动到与的两边相切的位置时， 过圆形纸片的圆心作两边的垂线，垂足分别为，， 连接，则中，，，． 则，． 由题意，，得， 圆形纸片不能接触到的部分的面积为． 故选：A． 【点睛】本题考查了轨迹，扇形面积的计算、等边三角形的性质和切线的性质，求出四边形的面积与扇形的面积是解题的关键． 2．如图，在等边三角形中，，点为边上一动点，连接，在左侧构造三角形，使得，．当点由点运动到点的过程中，点的运动路径长为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】由圆内接四边形的性质得出A，O，P，C四点共圆，根据圆周角定理得出点在的角平分线上运动，进而得出O点的运动轨迹为线段，当点在点时，，由∠OCB的正切值求出OB的长，当点在点时，△AOO′是等边三角形，从而得出OO′的长； 【详解】如图，∵，， ∴、、、四点共圆， ∵，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴点在的角平分线上运动， ∴点的运动轨迹为线段， 当点在点时，， 当点在点时，， ∴， ∵， ∴， ∵，， ∴△AOO′是等边三角形， ∴， ∴点的运动路径长为， 故选：B． 【点睛】本题考查圆内接四边形的性质（对角互补），圆周角定理，等边三角形的性质和判定，解直角三角形，由圆周角定理得出O点的运动轨迹为线段OO′是解题的关键． 3．（24-25九年级上·江苏无锡·期末）如图，在等腰直角三角形中，，点在以斜边为直径的半圆上，为的中点，则点沿半圆由点运动至点的过程中，线段的最小值为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】取的中点，连接、、，根据直角三角形的斜边中线等于斜边一半，得出，再结合等腰三角形三线合一的性质，得到，从而推出点的运动轨迹是以为直径的圆上，取的中点，以长为半径作，交、于点、，过点作于，即点在运动，利用等腰直角三角形的性质，求出，连接交于点，此时线段有最小值，先利用勾股定理求出，再根据求解即可． 【详解】解：如图，取的中点，连接、、， 在等腰直角三角形中，， ，， 点是的中点， ， ， ， 为的中点， ，， ， 点的运动轨迹是以为直径的圆上， 取的中点，以长为半径作，交、于点、，过点作于，即点在运动， ， ， ，， ，， ， ， 连接交于点，此时线段有最小值， 在中，， ， 故选：D． 【点睛】本题是圆与三角形综合题，考查了等腰三角形的判定和性质，勾股定理，直角三角形的斜边中线，直径所对圆周角、点到圆的距离等知识，确定点的运动轨迹是解题关键． 4．（24-25九年级下·安徽安庆·阶段练习）如图，在平面直角坐标系中，已知点，，，点P在以为圆心，1为半径的圆上运动，且始终满足，则a的最大值是 ． 【答案】 【分析】本题考查了直角三角形的性质，勾股定理的应用，点和圆的位置关系； 首先求出，根据条件可知，然后求出上到点A的最大距离即可． 【详解】解：∵，，， ∴，， ∴， ∵， ∴， 如图，延长交于M，当点P与M重合时，最大，即a最大， ∵，， ∴， ∴， ∴a的最大值为． 故答案为：． 5．（24-25九年级上·广东中山·期末）如图， 在平面直角坐标系中， 已知点，，，点在以为圆心， 为半径的上运动， 且始终满足， 则的取值范围是 ． 【答案】 【分析】本题考查了圆的性质，直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半，两点间的距离，连接，分别交于点，由，，，则为中点，直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半可求出，从而转化为转化为以为圆心，为半径的圆与有公共点时求的取值范围，即与重合时有最小值，与重合时有最大值，即有，再求出，代入即可，掌握知识点的应用是解题的关键． 【详解】解：如图，连接，分别交于点， ∵，，， ∴为中点， ∵， ∴， ∴转化为以为圆心，为半径的圆与有公共点时求的取值范围，即与重合时有最小值，与重合时有最大值， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴的取值范围是， 故答案为：． 6．如图，点A在第一象限上运动，始终保持，点在x轴正半轴上，点在y轴的负半轴上，则的最大值为 （用含m的式子表示）． 【答案】也可以写作 【分析】本题考查了坐标系中的动点问题（不含函数），用勾股定理解三角形，点与圆上一点的最值问题，解题关键是掌握上述知识点并能运用求解． 先得出点A在以为直径的圆上运动，且点A在第一象限，，从而可得当为的中点时，最大，再求得此时，从而可求得的最大值． 【详解】解：交轴于点， ∵点A在第一象限，始终保持，点在x轴正半轴上， ∴点A在以为直径的圆上运动，且点A在第一象限，， ∴当为的中点时，最大， ∵点， ∴， ∵点， ∴此时， ∴ 故答案为：． 7．（2025·安徽淮北·一模）如图，在中，，，，点P从点A出发沿方向运动，到点B时停止运动，连接，点A关于直线的对称点，连接，． （1）线段的长为 ； （2）在运动的过程中，点到直线距离的最大值是 ． 【答案】 【分析】本题考查了解直角三角形、含30度角的直角三角形的性质、圆的性质、轴对称的性质，较难的是题（2），正确找出点的运动轨迹是解题关键． （1）过点作于点，先根据含30度角的直角三角形的性质可得，解直角三角形可得，再解直角三角形可得，从而可得的长，然后根据轴对称的性质可得，由此即可得； （2）先确定点在以点为圆心、长为半径的圆的一段圆弧上，再根据圆的性质可得当时，点到直线的距离最大，然后根据含30度角的直角三角形的性质可得的长，再求出的长，由此即可得． 【详解】解：（1）如图，过点作于点， ∵，， ∴，， ∵， ∴， ∴， 由轴对称的性质得：， 故答案为：． （2）由轴对称的性质得：， ∴如图，点在以点为圆心、长为半径的圆的一段圆弧上， 由圆的性质可知，当时，点到直线的距离最大， 如图，，交于延长线于点，则即为所求， ∵在中，， ∴， ∴， 即在运动的过程中，点到直线距离的最大值是， 故答案为：． 8．（24-25九年级上·江苏泰州·阶段练习）如图，在中，，点D为边上一动点，连接，以为斜边在右侧作，，连接，随着点D的运动，的最小值为 ． 【答案】 【分析】本题主要考查了圆周角定理、勾股定理、直角三角形的性质、四点共圆等知识点，正确作出辅助线、发现点E的轨迹是解题的关键． 如图：过C作于H，由勾股定理、直角三角形的性质、等腰三角形的性质可得、、，即为等腰直角三角形；如图：取的中点O，连接，易证点C、D、H、E四点共圆，根据圆周角定理可得，进而得到点E在过H且与夹角为的直线上，记该直线为l以及，最后根据垂线段最短以及勾股定理即可解答． 【详解】解：如图：过C作于H， ∵， ∴，，， ∴为等腰直角三角形， 如图：取的中点O，连接， ∴， ∴点C、D、H、E四点共圆， ∵， ∴， ∴点E在过H且与夹角为的直线上，记该直线为l， ∴ 当时，取最小值，则， ∴， ∴． 故答案为：． 9．（24-25九年级上·江苏苏州·阶段练习）如图，在等腰中，斜边，点在以为直径的半圆上，为的中点，当点沿半圆从点运动至点时，点运动的路径长是 ． 【答案】 【分析】本题考查了中位线的性质，求弧长，勾股定理，圆周角定理；连接、，取、的中点、，连接、、．首先证明，推出点的轨迹是半圆，由此即可解决问题． 【详解】解：如图，连接、，取、的中点、，连接、、． 是直径， ， ，， ，同理， ，， ， ， 点的轨迹是半圆 ，，， ，， 点运动的路径长是 故答案为：． 10．（24-25九年级上·浙江金华·期中）如图，在平面直角坐标系中，已知点、、，点在以为圆心，2为半径的上运动，且始终满足，则的取值范围是 ． 【答案】 【分析】本题考查坐标与图形的性质，连接，连接交于点G，延长交于点F．由点D、A、B的坐标可知点D是的中点，根据“在直角三角形中，斜边上的中线等于斜边的一半”得；当点C运动到点G时，的值最小，当点C运动到点F时，的值最大；利用平面坐标系中两点间的距离公式求出，根据圆E的半径求出的最小值与最大值，从而求出m的最小值和最大值即可． 【详解】解：如图，连接，，连接交于点G，延长交于点F． ∵，，， ∴，， ∴点D是的中点， ∵， ∴， ∵， ∴， ∵中，， ∴，解得， 当点C运动到点G时，三点共线，不构成三角形，此时的值最小，此时， 当点C运动到点F时，三点共线，不构成三角形，此时的值最大，此时， ∴， ∴． 故答案为：． 11．（2025·山东·二模）如图，点是上一个动点，点在外一个定点，已知是等边三角形．当点在上运动时，点的位置也跟着发生改变，则的最小面积为 ． 【答案】/ 【分析】如图，以为边作等边，连接，可证，然后可得点的运动轨迹是以点为圆心，长为半径的圆上，要使得 面积最小，则求出点到线段的最小距离，点到的最小值为，最后求出面积即可． 【详解】解：如图，以为边作等边，连接， ∵ ∴ ，即， 在和 中， ∴ ∴ ∴点的运动轨迹是以点为圆心，长为半径的圆上， 要使得 面积最小，则点到线段的距离最小， ∵是边长为2的等边三角形， ∴点到的距离为， ∴点到的最小值为， ∴面积最小值为： ． 故答案为：． 【点睛】本题考查动点轨迹圆相关知识点，全等三角形的判定，勾股定理的运用，构造辅助圆的方法求最值问题，解题关键是利用构造全等三角形找到动点的轨迹，再求出圆上一点到定点线段距离的最小值． 12．（2025·河南信阳·三模）如图1，在中，，，，点D，E分别为，的中点．如图2，将绕点C顺时针旋转，设旋转角为，记直线与直线的交点为点P，交于点O，则在运动过程中，点P到直线距离的最大值为 ；点P运动的长度为 ． 【答案】 / / 【分析】本题考查了圆周角定理，切线的性质，相似三角形的判定和性质，解直角三角形．利用两边对应成比例且夹角相等证明，推出，得到点在以为直径的圆上，如图，取的中点，以的长为半径作，以点为圆心，的长为半径作．当是的切线时，点到直线的距离最大．过点作，交的延长线于点，连接，据此利用解直角三角形求解即可． 【详解】解：∵，， ∴， ∴， 又∵， ∴， ∴点在以为直径的圆上， 如图，取的中点，以的长为半径作，以点为圆心，的长为半径作．当是的切线时，点到直线的距离最大． 如图，过点作，交的延长线于点，连接， ∵是的切线， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵点的运动轨迹为点点点， ∴点运动的长度为， ∵，， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∴点到直线距离的最大值为． 故答案为：；． 2 / 30 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题01 动圆问题探究（40题）（举一反三专项训练） 【沪教版】 考卷信息： 本套训练卷共40题，涉及函数与动圆问题、三角形与动圆问题、四边形与动圆问题. 题型针对性较高，覆盖面广，选题有深度，可加强学生对动圆问题探究的理解！ 【题型1 函数与动圆问题】 1．（2025·广东韶关·三模）如图，在平面直角坐标系中，一次函数的图象与轴、轴分别交于、两点，点在线段上，与轴交于、两点，当与该一次函数的图象相切时，的长度是（    ） A．3 B．4 C．6 D．2 2．（24-25九年级上·黑龙江哈尔滨·阶段练习）如图，的半径为2，圆心P在函数的图象上运动，当与坐标轴相切时，点P的坐标为 ． 3．（24-25九年级上·江苏徐州·阶段练习）如图，一次函数的图像与轴交于点，与轴交于点，以为圆心的与轴相切，点以每秒个单位的速度从向轴正方向运动，同时的半径以每秒个单位的速度扩大，当运动了 秒时，与直线只有一个公共点． 4．已知⊙O是以坐标原点为圆心，半径为1，函数y=x与⊙O交于点A，点P（x，0）在x轴上运动，过点P且与OA平行的直线与⊙O有公共点，则x的范围是 ． 5．如图，点在函数的图象上运动，为坐标原点，点为的中点，以点为圆心，为半径作，则当与坐标轴相切时，点的坐标为 ． 6．如图所示，一次函数的图象与x轴、y轴分别交于点M，N，的半径为1，将以每秒1个单位的速度沿x轴向右作平移运动，当移动 秒时，直线恰好与相切． 7．如图，点A在第一象限上运动，始终保持，点在x轴正半轴上，点在y轴的负半轴上，则的最大值为 （用含m的式子表示）． 8．如图,已知一次函数的图像与反比例函数的图像交于点,且与x轴交于点B,第二象限内点A在反比例函数的图像上,且以点A为圆心的圆与轴分别相切于点,则一次函数解析式为 ． 9．如图，在平面直角坐标系中，直线与轴、轴分别交于点、，半径为的的圆心从点（点在直线上）出发以每秒个单位长度的速度沿射线运动，设点运动的时间为秒，则当 时，与坐标轴相切． 10．（2025·江苏常州·一模）在平面直角坐标系中，点的坐标为，点、是平面中的任意两个点，连接、、得到，如果是等腰直角三角形，且，那么我们称点、关于点关联，把其中一个点叫做另一个点的关联点． (1)已知点，在点、、中，点的关联点是______（填字母）； (2)点、分别在一次函数、的图像上运动，若点、关于点关联，求点的坐标． (3)已知点的坐标为，以点为圆心，1为半径作，若存在上的点和直线上的点关于点关联，请直接写出的取值范围． 【题型2 四边形与动圆问题】 1．如图，，点A、B分别在射线、射线上运动，四边形是矩形，且，，则的最大值为（    ） A． B． C． D．无最大值 2．如图，四边形ABCD是正方形，动点E、F分别从D、C两点同时出发，以相同的速度分别在边DC、CB上移动，当点E运动到点C时都停止运动，DF与AE相交于点P，若AD=8，则点P运动的路径长为（　　） A．8 B．4 C．4π D．2π 3．（2025·河南南阳·二模）如图，在平面直角坐标系中，已知点，以点为圆心，的长为半径作圆，是⊙O上一动点，连接，以点为旋转中心，将顺时针旋转得，连接．若点从点出发，按照逆时针方向以每秒个单位长度运动，则第33秒时，点的坐标是（    ） A． B． C． D． 4．（2025九年级下·江苏南京·专题练习）如图，在平面直角坐标系中， ，以点A为圆心，长为半径作圆，交x轴正半轴于点C，点D为上一动点，连接，以为边，在直线的上方作正方形，若点D从点O出发，按顺时针方向以每秒个单位长度的速度在上运动，则第秒结束时，点F的坐标为（    ） A． B． C． D． 5．如图，⊙O1的半径为1，正方形ABCD的边长为6，点O2为正方形ABCD的中心，O1O2垂直AB于P点，O1O2＝8．若将⊙O1绕点P按顺时针方向旋转360°，在旋转过程中，⊙O1与正方形ABCD的边只有一个公共点的情况一共出现（　　） A．3次 B．5次 C．6次 D．7次 6．（24-25九年级上·浙江杭州·期中）如图，在正方形中，，点E，F分别在上，相交于点G，连结．当点E从点C运动到点D的过程中，的最小值为 ． 7．（2025·江苏宿迁·一模）如图，在矩形中，，，点在边上运动，以为直径作圆与交于点，连接，则线段的最小值为 ． 8．（2025·河南南阳·二模）在矩形中，，，动点P在上运动（点P不与B，C点重合），点E在线段上，且． （1）连结，则的最小值是 ； （2）当最小时，的长为 ． 9．（24-25九年级上·江苏宿迁·期中）已知正方形边长为2，点是正方形边上的动点，点在边上，且，线段、相交于点，连接，则点从点运动到点的过程中，线段扫过的面积是 ． 10．（24-25九年级上·浙江宁波·阶段练习）如图，，点、分别在射线、射线上运动，四边形是矩形，且，，则的最大值为 ． 11．（24-25九年级上·江苏常州·期中）如图， 四边形为矩形，，点E在边上，从点D运动到点C，运动速度为每秒2个单位，点F从点A开始沿射线方向运动，运动速度为每秒3个单位，当点E停止时，点F也随之停止．连接和交于点G，直线交直线于点 M，则的最小值为 ． 12．如图，在四边形中，，，，，点E在线段上运动，点F在线段上，，则线段的最小值为 ． 13．如图，在四边形中，，，，点N在线段上运动，点M在线段上，，则线段的最小值为 ． 14．如图，已知四边形是矩形，，点E是线段上一个动点，分别以、为边向线段的下方作正方形、正方形，连接，过点B作直线的垂线，垂足是J，连接，求点E运动过程中，线段的最大值是 ． 15．如图，在矩形ABCD中，AB＝4，BC＝6，点E是BC的中点，点F在AD上运动，沿直线EF折叠四边形CDFE，得到四边形GHFE，其中点C落在点G处，连接AG，AH，则AG的最小值是 ． 16．如图，点A在以为直径的半圆上，，，点D在线段上运动，点E与点D关于对称，点F与点D关于对称，点G与点D关于点A对称．连接、、、、、，则： （1）当四边形是正方形时， ； （2）当的一边与相切时，的长为 ． 17．如图①，矩形与以为直径的半圆O在直线l的上方，线段与点E、F都在直线l上，且，，．点B以1个单位/秒的速度从点E处出发，沿射线方向运动，矩形随之运动，运动时间为t秒． (1)如图②，当时，求半圆O在矩形内的弧的长度； (2)在点B运动的过程中，当、都与半圆O相交时，设这两个交点为G、H．连接、，若为直角，求此时t的值． (3)当矩形为正方形时，连接，在点B运动的过程中，若直线与半圆只有一个交点，则t的取值范围是 ． 18．在矩形中，，，点P从点A出发沿边以的速度向点B移动（点P可以与点A重合），同时，点Q从点B出发沿以的速度向点C移动（点Q可以与点B重合），其中一点到达终点时，另一点随之停止运动，设运动时间为t秒． (1)如图1，几秒后，的面积等于？ (2)如图2，在运动过程中，若以P为圆心、为半径的与相切，求t值； (3)若以Q为圆心，为半径作⊙Q．如图3，若与四边形的边有三个公共点，则t的取值范围为 ．（直接写出结果，不需说理） 【题型3 三角形与动圆问题】 1．如图，一个半径为的圆形纸片在边长为的等边三角形内任意运动，则在该等边三角形内，这个圆形纸片“不能接触到的部分”的面积是（   ） A． B． C． D． 2．如图，在等边三角形中，，点为边上一动点，连接，在左侧构造三角形，使得，．当点由点运动到点的过程中，点的运动路径长为（   ） A． B． C． D． 3．（24-25九年级上·江苏无锡·期末）如图，在等腰直角三角形中，，点在以斜边为直径的半圆上，为的中点，则点沿半圆由点运动至点的过程中，线段的最小值为（   ） A． B． C． D． 4．（24-25九年级下·安徽安庆·阶段练习）如图，在平面直角坐标系中，已知点，，，点P在以为圆心，1为半径的圆上运动，且始终满足，则a的最大值是 ． 5．（24-25九年级上·广东中山·期末）如图， 在平面直角坐标系中， 已知点，，，点在以为圆心， 为半径的上运动， 且始终满足， 则的取值范围是 ． 6．如图，点A在第一象限上运动，始终保持，点在x轴正半轴上，点在y轴的负半轴上，则的最大值为 （用含m的式子表示）． 7．（2025·安徽淮北·一模）如图，在中，，，，点P从点A出发沿方向运动，到点B时停止运动，连接，点A关于直线的对称点，连接，． （1）线段的长为 ； （2）在运动的过程中，点到直线距离的最大值是 ． 8．（24-25九年级上·江苏泰州·阶段练习）如图，在中，，点D为边上一动点，连接，以为斜边在右侧作，，连接，随着点D的运动，的最小值为 ． 9．（24-25九年级上·江苏苏州·阶段练习）如图，在等腰中，斜边，点在以为直径的半圆上，为的中点，当点沿半圆从点运动至点时，点运动的路径长是 ． 10．（24-25九年级上·浙江金华·期中）如图，在平面直角坐标系中，已知点、、，点在以为圆心，2为半径的上运动，且始终满足，则的取值范围是 ． 11．（2025·山东·二模）如图，点是上一个动点，点在外一个定点，已知是等边三角形．当点在上运动时，点的位置也跟着发生改变，则的最小面积为 ． 12．（2025·河南信阳·三模）如图1，在中，，，，点D，E分别为，的中点．如图2，将绕点C顺时针旋转，设旋转角为，记直线与直线的交点为点P，交于点O，则在运动过程中，点P到直线距离的最大值为 ；点P运动的长度为 ． 2 / 30 学科网（北京）股份有限公司 $