精品解析：福建省厦门市第一中学2025-2026学年高一上学期期中数学试题

福建省厦门第一中学2025-2026学年度 第一学期期中考试 高一年数学试卷 满分：150分 考试时间：120分钟 命题：张帆 审核：周翔 注意事项： 1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上． 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑．如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号．回答非选择题时，将答案写在答题卡上．写在本试卷上无效． 3．考试结束后，考生只须将答题卡交回． 一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 已知命题，则是（ ） A. B. C. D. 2. 已知全集，那么是（ ） A. B. C. D. 3. 是的（ ） A. 充要条件 B. 充分不必要条件 C. 必要不充分条件 D. 既不充分也不必要条件 4. 设函数，则下列函数中为奇函数的是（ ） A. B. C. D. 5. 已知函数的图象如图所示，则函数的图象大致是（ ） A. B. C. D. 6. 厦门一中即将迎来120周年校庆，在一百二十年的历史中，培养出的优秀学子在祖国的各行各业发光发热，其中就包括多名优秀的飞行员．飞行员是一项对身体要求很高的职业，已知大气压强（单位：）和海拔高度（单位：）之间的关系为（为自然对数的底数，是常数），根据实验知海拔高度处的大气压强是，则当飞机飞行在海拔高度、飞机飞行在海拔高度时，飞机所受的大气压强约是B飞机所受的大气压强的（ ） A. 0.67倍 B. 0.92倍 C. 1.09倍 D. 1.5倍 7. 已知，且，则的最小值为（ ） A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 8. 已知函数，设，则的大小关系为（ ） A. B. C. D. 二、多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的四个选项中，有多个选项符合题目要求，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9. 下列函数满足的是（ ） A. B. C. D. 10. 已知．下列对应关系可以视作的函数的是（ ） A. B. C. D. 11. 已知函数与的图象如图所示，则（ ） A. 为奇函数 B. 在上单调递减 C. 在上单调递增 D. 的值域为 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12. 计算：__________． 13. 若函数，则___________． 14. 已知实数，且满足，则的最大值是___________． 四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15. 已知全集，集合 （1）当时，求； （2）若“”是“”成立的必要条件，求的取值范围． 16. 某企业为紧抓“长江大保护战略”带来的历史性机遇，决定开发生产一款大型净水设备.生产这种设备的年固定成本为400万元，每生产台（）需要另投入成本（万元），当年产最不足75台时，（万元）；当年产量不少于75台时，（万元）.若每台设备的售价为90万元，经过市场分析，该企业生产的净水设备能全部售完. （1）求年利润（万元）关于年产量（台）的函数关系式； （2）年产量为多少台时，该企业在这一净水设备的生产中获利最大？最大利润是多少？ 17. 已知函数． （1）当时，求该函数的值域； （2）若对于恒成立，求的最小值． 18. 已知． （1）用定义证明：在上单调递增； （2）若在上单调递减，求的取值范围； （3）求在内的最大值． 19. （1）已知函数，满足：且 （i）证明：； （ii）证明：是偶函数，并写出一个符合题意的； （2）求出所有的函数，满足，，且对于一切，．（其中表示正实数） 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 福建省厦门第一中学2025-2026学年度 第一学期期中考试 高一年数学试卷 满分：150分 考试时间：120分钟 命题：张帆 审核：周翔 注意事项： 1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上． 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑．如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号．回答非选择题时，将答案写在答题卡上．写在本试卷上无效． 3．考试结束后，考生只须将答题卡交回． 一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 已知命题，则是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据存在量词命题的否定是全称量词命题可得. 【详解】命题的否定是. 故选：B. 2. 已知全集，那么是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】由集合的运算逐项判断可得. 【详解】 对于A，，故A错误； 对于B，，故B错误； 对于C，，故C错误； 对于D，，故D正确. 故选：D. 3. 是的（ ） A. 充要条件 B. 充分不必要条件 C. 必要不充分条件 D. 既不充分也不必要条件 【答案】D 【解析】 【分析】利用作差法，然后判断是否能推出，进而即得. 【详解】由， 如果，也不能推出，即不能推出， 同理，也不能推出， 所以是的既不充分也不必要条件， 故选：D 4. 设函数，则下列函数中为奇函数的是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】由，写出各项对应函数的解析式，利用函数奇偶性的定义依次判断各项对应函数的奇偶性. 【详解】因为， A：，而，显然不是奇函数，不符； B：，定义域为，显然不关于原点对称，不符； C：，其中且定义域为，易知为奇函数； D：，定义域为，显然不关于原点对称，不符； 故选：C 5. 已知函数的图象如图所示，则函数的图象大致是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】由图可知的两个根其中一个根在，另一个根在，结合，可得的范围，结合指数的单调性即可判断. 【详解】的图象与x轴的交点的横坐标为方程的两个根， 由可得两根为， 又，所以， 由可知，为增函数， 又由，得，所以的图象与y轴的交点在x轴上方， 只有C选项满足题意， 故选：C 6. 厦门一中即将迎来120周年校庆，在一百二十年的历史中，培养出的优秀学子在祖国的各行各业发光发热，其中就包括多名优秀的飞行员．飞行员是一项对身体要求很高的职业，已知大气压强（单位：）和海拔高度（单位：）之间的关系为（为自然对数的底数，是常数），根据实验知海拔高度处的大气压强是，则当飞机飞行在海拔高度、飞机飞行在海拔高度时，飞机所受的大气压强约是B飞机所受的大气压强的（ ） A. 0.67倍 B. 0.92倍 C. 1.09倍 D. 1.5倍 【答案】C 【解析】 【分析】根据给定信息，求出，再分别求得当飞机飞行在海拔高度、飞机飞行在海拔高度时，两飞机各自所受的大气压强，从而求得飞机所受的大气压强约是B飞机所受的大气压强的倍. 【详解】由题可知，，所以. 当时，； 当时，. 因为. 所以飞机所受的大气压强约是B飞机所受的大气压强的倍. 故选：C. 7. 已知，且，则的最小值为（ ） A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 【答案】D 【解析】 【分析】由题意可得，利用基本不等式，结合常数代换法即可求解. 【详解】，由题意得， 所以 ， 当且仅当，即时等号成立， 所以的最小值为4. 故选：D. 8. 已知函数，设，则的大小关系为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】利用函数的奇偶性和复合函数的单调性来确定函数值的大小. 【详解】由恒成立，故的定义域为， 由，故为偶函数， 则， 又， ， 故， 当时，，令， 令，由对勾函数性质可得该函数在上单调递增， 故在上单调递增，故． 故选： B． 二、多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的四个选项中，有多个选项符合题目要求，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9. 下列函数满足的是（ ） A. B. C. D. 【答案】AB 【解析】 【分析】利用函数恒等式进行赋值证明即可作出判断. 【详解】由可知：，故A正确； 由可知：，故B正确； 由可知：，故C错误； 由可知：，故D错误； 故选：AB. 10. 已知．下列对应关系可以视作的函数的是（ ） A. B. C. D. 【答案】ABD 【解析】 【分析】由函数的定义，验证ABD选项，由函数表达得到定义域，判断C选项. 【详解】A选项，，，，A选项正确； B选项，，，，B选项正确； C选项，∵函数的定义域为，，C选项不正确； D选项，，，，D选项正确； 故选：ABD. 11. 已知函数与的图象如图所示，则（ ） A. 为奇函数 B. 在上单调递减 C. 在上单调递增 D. 的值域为 【答案】ABD 【解析】 【分析】由奇函数的定义可得A；由复合函数的单调性可得B和C；由两函数的单调性可得D. 【详解】由图象知，定义域为，是偶函数，在上单调递增，在上单调递减； 定义域为，是奇函数，在上单调递增，在上单调递增； 对于A，定义域为， 又因为，所以是奇函数，故A正确； 对于B，由图象知，在单调递减，在单调递增，在上单调递减，故B正确； 对于C，，由图象知， 因为在上单调递增，所以， 又因为在上单调递减，所以， 即在上单调递减，故C错误； 对于D，记与轴交于点，与轴交于点， 由图可知，当从趋近于0时，的函数值从0趋近于的函数值从一个定值趋近于， 所以的值从0趋近于，即的值可以取到， 又为奇函数，所以的值域为，故D正确． 故选：ABD． 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12. 计算：__________． 【答案】21 【解析】 【分析】由指数和对数的运算性质即可求解. 【详解】 ， 故答案为：21 13. 若函数，则___________． 【答案】 【解析】 【分析】利用换元法求函数解析式即可. 【详解】令，则，代入原式得：, 展开整理得：， 用代替得：. 故答案为： 14. 已知实数，且满足，则的最大值是___________． 【答案】## 【解析】 【分析】将等式整理为关于的二次方程，由题意得方程存在两个正根，由判别式和两根之和建立方程组，解得的范围，从而得到最大值. 【详解】将原式整理得：，依题意，这个关于的方程有正根． 因为两根之积为1，故有两个正根． 可列不等式组：，解得，结合，可得． 故答案为：. 四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15. 已知全集，集合 （1）当时，求； （2）若“”是“”成立的必要条件，求的取值范围． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）由一元二次不等式结合对数的运算解出两集合，再由集合的运算可得； （2）先由已知得到是的子集，再由集合间的包含关系可得. 【小问1详解】 当时，， 由，得，所以， 所以， 所以. 【小问2详解】 因为“”是“”成立的必要条件，则“”是“”的充分条件， 所以是的子集. 因为， 所以， 解得，即实数的取值范围是. 16. 某企业为紧抓“长江大保护战略”带来的历史性机遇，决定开发生产一款大型净水设备.生产这种设备的年固定成本为400万元，每生产台（）需要另投入成本（万元），当年产最不足75台时，（万元）；当年产量不少于75台时，（万元）.若每台设备的售价为90万元，经过市场分析，该企业生产的净水设备能全部售完. （1）求年利润（万元）关于年产量（台）的函数关系式； （2）年产量为多少台时，该企业在这一净水设备的生产中获利最大？最大利润是多少？ 【答案】（1）；（2）当年产量为台时，利润最大，为（万元） 【解析】 【分析】（1）根据条件，利润等于设备的售价减去投入成本，再减去年固定成本即可求解； （2）对（1）中的函数关系式分别利用二次函数和基本不等式求两段的最大值，再取最大的即可求解. 【详解】解：当年产量不足75台时，利润； 当年产量不少于75台时，利润， 所以年利润（万元）关于年产量（台）的函数关系式为： . （2）由（1）得当时，，开口向下，对称轴为，故当时，（万元）； 当时，由于，当且仅当时等号成立，所以（万元）. 综上，当年产量为台时，利润最大，为（万元） 17. 已知函数． （1）当时，求该函数的值域； （2）若对于恒成立，求的最小值． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）令，得到，通过二次函数即可求解； （2）令，转换成对于恒成立，再通过参变分离，求最值即可求解. 【小问1详解】 因为， 令，则， 函数转化为， 则二次函数， 故函数在上单调递减，在上单调递增， 所以当时，取到最小值，即， 由，可知当时，取到最大值，即， 故当时，函数的值域为. 【小问2详解】 由于对于恒成立， 令，则，即对于恒成立， 即对于恒成立，时，显然成立； 所以当时，恒成立. 因为函数在上单调递增，也在上单调递增， 所以函数在上单调递增， 则时，， 故当时，对于恒成立． 所以的最小值为. 18. 已知． （1）用定义证明：在上单调递增； （2）若在上单调递减，求的取值范围； （3）求在内的最大值． 【答案】（1） 任取，则； 因为， 所以， 所以， 故在单调递增； （2） （3） 【解析】 【分析】（1）用函数单调性的定义证明单调性； （2）由（1）可知在单调递增，而在上单调递减，说明在上恒成立，参变分离后得解； （3）通分整理,再用换元法令,根据的范围及函数单调性得解. 【小问1详解】 略 【小问2详解】 由（1）可知，在单调递增，且时，，则， 由复合函数单调性的知识可知，在上单调递减的充要条件是， 即，即恒成立， 由于，所以； 【小问3详解】 ， 令，因为，所以， 所以在上单调递减， 故当，即时取到最大值. 19. （1）已知函数，满足：且 （i）证明：； （ii）证明：是偶函数，并写出一个符合题意的； （2）求出所有的函数，满足，，且对于一切，．（其中表示正实数） 【答案】 （1）（i）证明：，令， ，即， ； （ii）证明：已知函数的定义域为，关于原点对称， ，令，， ，， 令，可得，， 若，则，不满足， ， 令，得，是偶函数． . （2） 【解析】 【分析】（1）（i）利用已知条件等式，运用赋值法证明结论； （ii）根据偶函数定义，利用赋值法证明抽象函数是偶函数． （2）利用已知条件，结合函数单调性，利用赋值法求出抽象函数解析式． 【详解】（1）（i）略 （ii）证明略. 令，定义域为关于原点对称， 则，满足乘法性， ，满足偶函数定义， 且时，，满足， 是一个符合题意的函数． （2），令，则，解得， 令，，即，其中， 令，同理可得， 设①，其中， 由单调性知：，即②， ①除以②，得， 由指数函数的性质可知，，即， 是唯一满足题意的函数． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $