专题8.1 二分法与求方程近似解（举一反三讲义）高一数学苏教版必修第一册

本讲义聚焦函数零点与二分法核心知识点，先系统梳理函数零点的概念、与方程解的关系、零点存在定理及确定区间的方法，再递进讲解二分法的定义、区间中点及求近似解的步骤，构建从理论到应用的完整学习支架。 资料亮点在于题型分层设计，8大题型覆盖求零点、参数范围等，例题搭配多地阶段练习变式题实现举一反三。通过零点存在定理推理培养数学思维，二分法表格数据分析提升运算能力，课中辅助教师高效授课，课后助力学生查漏补缺。

专题8.1 二分法与求方程近似解（举一反三讲义） 【苏教版】 【题型1 求函数的零点】 2 【题型2 零点存在性定理的应用】 3 【题型3 求函数零点或方程根的个数】 5 【题型4 比较零点的大小关系】 7 【题型5 根据函数零点（方程根）的个数求参数范围】 9 【题型6 用二分法确定函数零点（方程根）所在的区间】 13 【题型7 用二分法求方程的近似解】 14 【题型8 用二分法求函数的近似值】 16 知识点1 函数的零点 1．函数的零点 (1)函数零点的概念：对于一般函数y=f(x)，我们把使f(x)=0的实数x叫做函数y=f(x)的零点.即函数的零点就是使函数值为零的自变量的值. (2)函数的零点与方程的解的关系 函数y=f(x)的零点就是方程f(x)=0的实数解，也就是函数y=f(x)的图象与x轴的公共点的横坐标.所以方程f(x)=0有实数解⇔函数y=f(x)有零点⇔函数y=f(x)的图象与x轴有公共点. (3)几种常见函数的零点 ①二次函数的零点 一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0)的实数根也称为函数y=ax2+bx+c(a≠0)的零点. ②正比例函数y=kx(k≠0)仅有一个零点0. ③一次函数y=kx+b(k≠0)仅有一个零点. ④反比例函数y=(k≠0)没有零点. ⑤指数函数y=ax(a>0,且a≠1)没有零点. ⑥对数函数y=(a>0,且a≠1)仅有一个零点1. ⑦幂函数y=xa，当a>0时，仅有一个零点0；当a≤0时，没有零点. 2．函数零点存在定理 (1)函数零点存在定理： 如果函数y=f(x)在区间[a,b]上的图象是一条连续不断的曲线，且有f(a)·f(b)<0，那么，函数y=f(x)在区间(a,b)内至少有一个零点，即存在c∈(a,b)，使得f(c)=0，这个c也就是方程f(x)=0的解. (2)函数零点存在定理的几何意义： 在闭区间[a,b]上有连续不断的曲线y=f(x)，且曲线的起始点(a,f(a))与终点(b,f(b))分别在x轴的两侧，则连续曲线与x轴至少有一个交点. 3．确定函数f(x)的零点所在区间的常用方法 (1)利用函数零点存在性定理：首先看函数y=f(x)在区间[a,b]上的图象是否连续，再看是否有f(a)·f(b)<0.若有，则函数y=f(x)在区间(a,b)内必有零点. (2)数形结合法：若一个函数(或方程)由两个初等函数的和(或差)构成，则可考虑用图象法求解，如f(x)= g(x) - h(x)，作出y=g(x)和y=h(x)的图象，其交点的横坐标即为函数f(x)的零点. 【题型1 求函数的零点】 【例1】（25-26高一上·江苏·阶段练习）函数的零点为（    ） A．1 B．－3 C．1和－3 D．和 【答案】C 【解题思路】根据零点定义令计算求解. 【解答过程】令，，即，解得或． 故选：C. 【变式1-1】（25-26高一上·全国·课前预习）函数的零点为（   ） A． B． C．或 D．和 【答案】D 【解题思路】直接解方程即得函数的零点. 【解答过程】令，即，解得, 所以函数的零点为和. 故选：D. 【变式1-2】（24-25高一上·湖南衡阳·阶段练习）已知函数，则函数的零点为（   ） A．， B．， C． D． 【答案】C 【解题思路】令分段求解即可. 【解答过程】因为， 当时，令，解得， 当时，令，解得（舍去）， 所以函数的零点为. 故选：C. 【变式1-3】（24-25高一上·广东·期末）若函数有一个零点是1，则函数的零点是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【解题思路】根据的零点是1可得，代入令即可求得的零点. 【解答过程】由题意可得，可得； 可得， 令，因此， 解得或或； 因此函数的零点是. 故选：D. 【题型2 零点存在性定理的应用】 【例2】（24-25高一上·陕西西安·期末）函数的零点所在区间是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【解题思路】由零点存在定理即可求解. 【解答过程】易知是上的增函数，又，，所以的零点所在区间是． 故选：A. 【变式2-1】（24-25高一上·浙江宁波·期末）已知函数，则的零点所在区间为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【解题思路】利用零点存在性定理判断各区间端点处的符号即可得出结论. 【解答过程】易知函数在上单调递增， 易知， ， 满足，因此的零点所在区间为. 故选：C. 【变式2-2】（24-25高一上·天津·期末）函数的零点所在区间为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【解题思路】结合对数函数性质分析当时，，判断函数在上的单调性，结合零点存在性定理判断结论. 【解答过程】当时，，所以， 故，所以函数在上没有零点， 设，且， 则， 故，， 所以，故函数在上单调递增， 又，， 所以函数的零点所在区间为. 故选：B. 【变式2-3】（24-25高一上·吉林长春·阶段练习）函数的零点所在区间为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【解题思路】由题可得,再结合零点存在定理,可选出答案. 【解答过程】是上的增函数, 又函数是上的增函数, 故是上的增函数. , , 因为,所以函数的零点所在区间是. 故选:B. 【题型3 求函数零点或方程根的个数】 【例3】（24-25高一上·江苏无锡·期末）函数的零点个数是（    ） A．0 B．1 C．2 D．3 【答案】C 【解题思路】先得到函数的单调性，由零点存在性定理得到存在唯一的，使得，又，故零点个数为2. 【解答过程】定义域为， 由于在上单调递增， 故在上单调递增， 其中，， 由零点存在性定值可知，存在唯一的，使得， 又，故的零点个数为2. 故选：C. 【变式3-1】（25-26高一上·全国·单元测试）函数的零点个数为（    ） A．0 B．1 C．2 D．3 【答案】C 【解题思路】根据题意，分析每一段零点个数，当时，易得一个零点，当，根据单调性及零点存在定理判断即可. 【解答过程】当时，令，解得， 当时，，， ，所以在上存在零点， 又因为在上单调递增，所以函数在上有唯一零点． 综上，的零点个数为2. 故选：C. 【变式3-2】（24-25高一上·云南昆明·期末）函数的零点个数是（    ） A．0 B．1 C．2 D．3 【答案】C 【解题思路】先将问题转化为与的图象的交点问题，再由两函数的单调性分析得至多只有两个零点，又由，得到的零点个数，从而得解. 【解答过程】要求的零点，即求与的图象的交点， 在同一坐标系中作出与的大致图象， 因为与在各自的定义域上都是单调递增， 且的增长速度相比的较慢， 所以两函数的图象至多只有两个交点，即至多只有两个零点， 又，， 所以有且只有两个零点. 故选：C. 【变式3-3】（24-25高三上·河北张家口·阶段练习）已知函数，则函数的零点个数是（    ） A．6 B．5 C．4 D．3 【答案】C 【解题思路】先利用零点和根的关系得到或，然后再利用函数的零点和函数交点的关系求零点的个数即可. 【解答过程】函数的零点， 即方程和的根，函数的图象，如下图所示： 由图可得方程和的根，共有4个根，即函数有4个零点． 故选：C． 【题型4 比较零点的大小关系】 【例4】（24-25高一上·重庆长寿·期末）已知函数的零点分别为，则的大小顺序为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【解题思路】将函数的零点问题转化成两个函数图象的交点问题，三个函数的零点均可看成对应函数与图象交点的横坐标，根据函数图象可以得到的大小关系. 【解答过程】 的零点可以看成函数与图象交点的横坐标，根据函数图象可知， 同理的零点可以看成函数与图象交点的横坐标，根据函数图象可知， 的零点可以看成函数与图象交点的横坐标，可得， 因此， 故选：D. 【变式4-1】（24-25高一上·河北唐山·期末）若函数，，的零点分别为，，，则（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【解题思路】根据条件，将零点问题转化成函数图象交点，再根据图象即可求出结果. 【解答过程】由，得到，由，得到， 由，得到， 在同一直角坐标系中，作出函数的图象，如图所示， 由图知，， 故选：B. 【变式4-2】（24-25高一上·河南·阶段练习）已知函数的零点分别为，则（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【解题思路】把函数零点转化为函数图象交点的横坐标，画出图形，数形结合得答案． 【解答过程】函数的零点为函数与的图象交点的横坐标， 函数的零点为函数与的图象交点的横坐标， 函数的零点为函数与的图象交点的横坐标． 在同一直角坐标系内作出函数、、与的图象如图： 由图可知，. 故选：B． 【变式4-3】（24-25高一上·天津南开·阶段练习）已知函数，，的零点依次为，，，则，，的大小关系是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【解题思路】根据题意，将函数的零点转化为两个基本函数的交点的横坐标，从而画出函数，，，的图象，观察函数图象，即可判断，，的大小关系. 【解答过程】令，则， 即的零点为函数与交点的横坐标， 令，则， 即的零点为函数与交点的横坐标， 令，则， 即的零点为函数与交点的横坐标， 画出函数，，，的图象，如图所示， 观察图象可知，函数，，的零点依次是点，，的横坐标， 由图象可知. 故选：C. 【题型5 根据函数零点（方程根）的个数求参数范围】 【例5】（25-26高三上·安徽·阶段练习）函数，若有2个零点，则实数的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【解题思路】将有2个零点转化为函数与有2个交点的问题，再数形结合即可求解. 【解答过程】，图象如下：    又有2个零点相当于与有2个交点， 根据图象可得，故， 则实数的取值范围为. 故选：A. 【变式5-1】（24-25高一上·广东清远·期末）已知函数，若关于的方程有5个不同的实数根，则实数的取值范围为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【解题思路】因为，所以或只需的图象与直线有3个交点，利用数形结合即可得 【解答过程】因为，所以或 因为关于的方程共有5个不同的实数根． 所以的图象与直线和直线共有5个不同的交点． 如图，的图象与直线有2个交点， 所以只需的图象与直线有3个交点，所以． 故选：D． 【变式5-2】（24-25高一上·北京密云·期末）已知函数函数．若有四个不同的零点，则的取值范围为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【解题思路】利用函数与方程的思想，将有四个不同的零点转化为函数与有四个不同的交点，作出图象，求得，利用对称性得，根据函数的图象特征可得，，借助于对勾函数的单调性即可求得的取值范围. 【解答过程】 由函数有四个不同的零点，可知函数与有四个不同的交点， 设这四个交点的横坐标从小到大依次为，如图所示，则，可得， 因点关于直线对称，故； 由可得， 则有，且，即得， 于是，， 因函数在上单调递减，故可得， 则的取值范围为. 故选：A. 【变式5-3】（24-25高一上·陕西西安·期末）定义在上的，满足对关于x的方程有8个不同的实数根，则实数a的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【解题思路】作出函数的图象，再变形给定方程得或，数形结合求出范围. 【解答过程】作出函数的图象，如图， 方程，解得或， 关于x的方程有8个不同的实数根， 而直线与函数的图象有4个交点，即方程有4个不同的实根， 因此直线与函数的图象有4个交点，由图象得， 所以实数a的取值范围是. 故选：A. 知识点2 二分法 1．二分法 (1)二分法的定义： 对于在区间[a,b]上图象连续不断且f(a)f(b)<0的函数y=f(x)，通过不断地把它的零点所在区间一分为二，使所得区间的两个端点逐步逼近零点，进而得到零点近似值的方法叫做二分法. (2)区间的中点：一般地，我们把x=称为区间(a,b)的中点. (3)用二分法求方程的近似解： 用二分法求方程的近似解：先找一个包含根的区间，然后多次将包含根的区间一分为二，直至根落在要求的区间内，即用区间中点将区间(a,b)一分为二，从而得到两个区间(a,)和(,b)，其中一个区间一定包含根，如若f(a)<0，f()>0，我们便知区间(a, )包含根，如图，不断重复上述步骤，根最终落在要求的区间内. (4)用二分法求函数零点的近似值的步骤 给定精确度ϵ，用二分法求函数y=f(x)零点x0的近似值的一般步骤如下： 1.确定零点x0的初始区间[a,b]，验证f(a)f(b)<0. 2.求区间(a,b)的中点c. 3.计算f(c)，并进一步确定零点所在的区间： ①若f(c)=0(此时x0=c)，则c就是函数的零点； ②若f(a)f(c)<0(此时x0∈(a,c))，则令b=c； ③若f(c)f(b)<0(此时x0∈(c,b))，则令a=c. 4.判断是否达到精确度ϵ：若|a-b|<ϵ，则得到零点近似值a(或b)；否则重复步骤2~4. 【题型6 用二分法确定函数零点（方程根）所在的区间】 【例6】（24-25高一上·贵州毕节·期末）已知函数，现用二分法求函数在内的零点的近似值，则使用两次二分法后，零点所在区间为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【解题思路】应用零点存在定理结合二分法，不断把区间一分为二计算求解. 【解答过程】由二分法可知，第一次计算，又，， 由零点存在性定理知零点在区间上， 所以第二次应该计算，又， 所以零点在区间上． 故选：A． 【变式6-1】（24-25高一下·江苏南京·期中）在用二分法求方程在上的近似解时，先构造函数，再依次计算得，，，，，则该近似解所在的区间可以是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【解题思路】利用二分法即可判断. 【解答过程】由题意，，，，，， 则由二分法可得近似解所在的区间为. 故选：C. 【变式6-2】（24-25高一上·江西吉安·期末）已知函数，用二分法求的零点近似值，零点所在大致区间为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【解题思路】根据二分法的定义和计算方法求解即可. 【解答过程】由函数的解析式可得函数的定义域为，且函数单调递增， 因为， ， ，， 结合函数零点存在定理可知函数的零点位于的区间为， 故选：B. 【变式6-3】（24-25高一上·北京·期末）设，用二分法求方程的近似解的过程中，有，，，则该方程的根所在的区间为（    ） A． B． C． D．不能确定 【答案】B 【解题思路】先判断函数的单调性，根据已知条件结合零点存在定理即可判断. 【解答过程】因为，根据函数解析式可分析得函数为单调递增的连续函数， 由已知，，所以， 根据零点存在定理定理可知，方程的根所在区间为， 故选：B. 【题型7 用二分法求方程的近似解】 【例7】（25-26高一上·全国·单元测试）用二分法求方程的近似解时，求得的部分函数值数据如表所示： x 1 2 1.5 1.75 1.875 1.8125 3 1.342 0.5793 则当精确度为0.1时，方程的近似解可取（    ） A．1.6 B．1.7 C．1.8 D．1.9 【答案】C 【解题思路】由二分法，结合表格可知函数的零点在区间内，然后根据选项判断即可. 【解答过程】由表格可得，函数的零点在区间内， 且，结合选项可知，方程的近似解可取1.8． 故选：C. 【变式7-1】（24-25高一上·全国·随堂练习）若函数的一个正数零点附近的函数值用二分法逐次计算，参考数据如下表： 那么方程的一个近似解（误差不超过0.025）为（    ） A．1.25 B．1.40625 C．1.4375 D．1.421875 【答案】D 【解题思路】利用零点存在性定理找到零点所在区间，即可获得方程的近似解 【解答过程】 ， ，零点在区间内， 即该方程的根在区间内，结合各选项，方程的近似解为1.421875. 故选：D. 【变式7-2】（24-25高一上·广东广州·阶段练习）已知函数在区间内单调且，用二分法求方程近似解时，至少需要求（   ）次中点值可以求得近似解（精确度为0.001）. A．4 B．7 C．10 D．13 【答案】C 【解题思路】根据二分法结合零点的近似值求解. 【解答过程】由所给区间的长度等于1，每经过一次操作，区间长度变为原来的一半， 经过n次操作后，区间长度变为， 则，解得，所以至少需要操作10次. 故选：C. 【变式7-3】（24-25高一上·湖南·阶段练习）已知函数在区间内的一个零点附近函数值用二分法逐次计算的结果如下表所示， 1 1.5 1.25 1.375 1.3125 0.875 0.2246 那么方程的一个近似根（精确度为0.1）为（   ） A．1 B．1.5 C．1.25 D．1.3125 【答案】D 【解题思路】由零点存在性定理和，得到方程的一个近似根为1.3125. 【解答过程】由于在R上为连续函数， ，， 且， 而，均不合要求， 故方程的一个近似根为1.3125，D正确 故选：D. 【题型8 用二分法求函数的近似值】 【例8】（24-25高一上·天津·阶段练习）已知函数的部分函数值如表所示: 那么函数的一个零点的近似值（精确度为）为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【解题思路】根据函数单调性结合零点存在性定理分析零点所在区间，再根据二分法可得结果. 【解答过程】根据题干所给数据可知，，，且函数在上为增函数， 由零点存在定理可知，函数的唯一零点在区间内， 区间长度为，结合选项可知，其近似值为. 故选：B. 【变式8-1】（24-25高一上·全国·课后作业）借助信息技术，用二分法求函数零点的近似值得到下表数据： 1.00 1.25 1.50 1.625 0.6931 0.4325 0.0879 -0.1193 则由表中的数据，可得函数的一个零点的近似值为（精确度为0.1）（    ） A．1.5625 B．1.25 C．1.4375 D．1.46875 【答案】A 【解题思路】利用零点存在性定了即可判断. 【解答过程】因为，故的零点在区间内， 区间长度为，因此需要取区间的中点1.5625， 两个区间和中必有一个满足区间端点的函数值符号相异， 此时区间长度，因此1.5625是一个近似解． 故选：A. 【变式8-2】（24-25高一上·湖南·期末）用二分法求函数的一个正零点的近似值（精确度为时，依次计算得到如下数据；，关于下一步的说法正确的是（    ） A．已经达到精确度的要求，可以取1.1作为近似值 B．已经达到精确度的要求，可以取1.125作为近似值 C．没有达到精确度的要求，应该接着计算 D．没有达到精确度的要求，应该接着计算 【答案】C 【解题思路】由二分法的定义直接求解即可. 【解答过程】由二分法的定义，可得正零点所在区间不断缩小，时的区间长度为， 故没有达到精确的要求，应该接着计算的值. 故选：C. 【变式8-3】（24-25高一上·全国·课前预习）用二分法求函数的一个零点的近似值，其参考数据如下： x 0.0625 0.09375 0.125 0.15625 0.1875 -0.4567 -0.1809 0.0978 0.3797 0.6647 根据上述数据，可得的一个零点近似值（误差不超过0.025）为（    ） A．0.09375 B．0.109375 C．0.125 D．0.078125 【答案】B 【解题思路】根据二分法的性质即可求解. 【解答过程】已知，，则函数的零点的初始区间为[0.09375，0.125]， 所以零点在区间[0.09375,0.125]上，， 所以可以作为的一个零点近似值， 故选：B. 2 / 30 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题8.1 二分法与求方程近似解（举一反三讲义） 【苏教版】 【题型1 求函数的零点】 2 【题型2 零点存在性定理的应用】 2 【题型3 求函数零点或方程根的个数】 3 【题型4 比较零点的大小关系】 3 【题型5 根据函数零点（方程根）的个数求参数范围】 3 【题型6 用二分法确定函数零点（方程根）所在的区间】 5 【题型7 用二分法求方程的近似解】 5 【题型8 用二分法求函数的近似值】 6 知识点1 函数的零点 1．函数的零点 (1)函数零点的概念：对于一般函数y=f(x)，我们把使f(x)=0的实数x叫做函数y=f(x)的零点.即函数的零点就是使函数值为零的自变量的值. (2)函数的零点与方程的解的关系 函数y=f(x)的零点就是方程f(x)=0的实数解，也就是函数y=f(x)的图象与x轴的公共点的横坐标.所以方程f(x)=0有实数解⇔函数y=f(x)有零点⇔函数y=f(x)的图象与x轴有公共点. (3)几种常见函数的零点 ①二次函数的零点 一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0)的实数根也称为函数y=ax2+bx+c(a≠0)的零点. ②正比例函数y=kx(k≠0)仅有一个零点0. ③一次函数y=kx+b(k≠0)仅有一个零点. ④反比例函数y=(k≠0)没有零点. ⑤指数函数y=ax(a>0,且a≠1)没有零点. ⑥对数函数y=(a>0,且a≠1)仅有一个零点1. ⑦幂函数y=xa，当a>0时，仅有一个零点0；当a≤0时，没有零点. 2．函数零点存在定理 (1)函数零点存在定理： 如果函数y=f(x)在区间[a,b]上的图象是一条连续不断的曲线，且有f(a)·f(b)<0，那么，函数y=f(x)在区间(a,b)内至少有一个零点，即存在c∈(a,b)，使得f(c)=0，这个c也就是方程f(x)=0的解. (2)函数零点存在定理的几何意义： 在闭区间[a,b]上有连续不断的曲线y=f(x)，且曲线的起始点(a,f(a))与终点(b,f(b))分别在x轴的两侧，则连续曲线与x轴至少有一个交点. 3．确定函数f(x)的零点所在区间的常用方法 (1)利用函数零点存在性定理：首先看函数y=f(x)在区间[a,b]上的图象是否连续，再看是否有f(a)·f(b)<0.若有，则函数y=f(x)在区间(a,b)内必有零点. (2)数形结合法：若一个函数(或方程)由两个初等函数的和(或差)构成，则可考虑用图象法求解，如f(x)= g(x) - h(x)，作出y=g(x)和y=h(x)的图象，其交点的横坐标即为函数f(x)的零点. 【题型1 求函数的零点】 【例1】（25-26高一上·江苏·阶段练习）函数的零点为（    ） A．1 B．－3 C．1和－3 D．和 【变式1-1】（25-26高一上·全国·课前预习）函数的零点为（   ） A． B． C．或 D．和 【变式1-2】（24-25高一上·湖南衡阳·阶段练习）已知函数，则函数的零点为（   ） A．， B．， C． D． 【变式1-3】（24-25高一上·广东·期末）若函数有一个零点是1，则函数的零点是（    ） A． B． C． D． 【题型2 零点存在性定理的应用】 【例2】（24-25高一上·陕西西安·期末）函数的零点所在区间是（    ） A． B． C． D． 【变式2-1】（24-25高一上·浙江宁波·期末）已知函数，则的零点所在区间为（   ） A． B． C． D． 【变式2-2】（24-25高一上·天津·期末）函数的零点所在区间为（   ） A． B． C． D． 【变式2-3】（24-25高一上·吉林长春·阶段练习）函数的零点所在区间为（   ） A． B． C． D． 【题型3 求函数零点或方程根的个数】 【例3】（24-25高一上·江苏无锡·期末）函数的零点个数是（    ） A．0 B．1 C．2 D．3 【变式3-1】（25-26高一上·全国·单元测试）函数的零点个数为（    ） A．0 B．1 C．2 D．3 【变式3-2】（24-25高一上·云南昆明·期末）函数的零点个数是（    ） A．0 B．1 C．2 D．3 【变式3-3】（24-25高三上·河北张家口·阶段练习）已知函数，则函数的零点个数是（    ） A．6 B．5 C．4 D．3 【题型4 比较零点的大小关系】 【例4】（24-25高一上·重庆长寿·期末）已知函数的零点分别为，则的大小顺序为（    ） A． B． C． D． 【变式4-1】（24-25高一上·河北唐山·期末）若函数，，的零点分别为，，，则（    ） A． B． C． D． 【变式4-2】（24-25高一上·河南·阶段练习）已知函数的零点分别为，则（    ） A． B． C． D． 【变式4-3】（24-25高一上·天津南开·阶段练习）已知函数，，的零点依次为，，，则，，的大小关系是（    ） A． B． C． D． 【题型5 根据函数零点（方程根）的个数求参数范围】 【例5】（25-26高三上·安徽·阶段练习）函数，若有2个零点，则实数的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【变式5-1】（24-25高一上·广东清远·期末）已知函数，若关于的方程有5个不同的实数根，则实数的取值范围为（   ） A． B． C． D． 【变式5-2】（24-25高一上·北京密云·期末）已知函数函数．若有四个不同的零点，则的取值范围为（   ） A． B． C． D． 【变式5-3】（24-25高一上·陕西西安·期末）定义在上的，满足对关于x的方程有8个不同的实数根，则实数a的取值范围是（    ） A． B． C． D． 知识点2 二分法 1．二分法 (1)二分法的定义： 对于在区间[a,b]上图象连续不断且f(a)f(b)<0的函数y=f(x)，通过不断地把它的零点所在区间一分为二，使所得区间的两个端点逐步逼近零点，进而得到零点近似值的方法叫做二分法. (2)区间的中点：一般地，我们把x=称为区间(a,b)的中点. (3)用二分法求方程的近似解： 用二分法求方程的近似解：先找一个包含根的区间，然后多次将包含根的区间一分为二，直至根落在要求的区间内，即用区间中点将区间(a,b)一分为二，从而得到两个区间(a,)和(,b)，其中一个区间一定包含根，如若f(a)<0，f()>0，我们便知区间(a, )包含根，如图，不断重复上述步骤，根最终落在要求的区间内. (4)用二分法求函数零点的近似值的步骤 给定精确度ϵ，用二分法求函数y=f(x)零点x0的近似值的一般步骤如下： 1.确定零点x0的初始区间[a,b]，验证f(a)f(b)<0. 2.求区间(a,b)的中点c. 3.计算f(c)，并进一步确定零点所在的区间： ①若f(c)=0(此时x0=c)，则c就是函数的零点； ②若f(a)f(c)<0(此时x0∈(a,c))，则令b=c； ③若f(c)f(b)<0(此时x0∈(c,b))，则令a=c. 4.判断是否达到精确度ϵ：若|a-b|<ϵ，则得到零点近似值a(或b)；否则重复步骤2~4. 【题型6 用二分法确定函数零点（方程根）所在的区间】 【例6】（24-25高一上·贵州毕节·期末）已知函数，现用二分法求函数在内的零点的近似值，则使用两次二分法后，零点所在区间为（   ） A． B． C． D． 【变式6-1】（24-25高一下·江苏南京·期中）在用二分法求方程在上的近似解时，先构造函数，再依次计算得，，，，，则该近似解所在的区间可以是（    ） A． B． C． D． 【变式6-2】（24-25高一上·江西吉安·期末）已知函数，用二分法求的零点近似值，零点所在大致区间为（    ） A． B． C． D． 【变式6-3】（24-25高一上·北京·期末）设，用二分法求方程的近似解的过程中，有，，，则该方程的根所在的区间为（    ） A． B． C． D．不能确定 【题型7 用二分法求方程的近似解】 【例7】（25-26高一上·全国·单元测试）用二分法求方程的近似解时，求得的部分函数值数据如表所示： x 1 2 1.5 1.75 1.875 1.8125 3 1.342 0.5793 则当精确度为0.1时，方程的近似解可取（    ） A．1.6 B．1.7 C．1.8 D．1.9 【变式7-1】（24-25高一上·全国·随堂练习）若函数的一个正数零点附近的函数值用二分法逐次计算，参考数据如下表： 那么方程的一个近似解（误差不超过0.025）为（    ） A．1.25 B．1.40625 C．1.4375 D．1.421875 【变式7-2】（24-25高一上·广东广州·阶段练习）已知函数在区间内单调且，用二分法求方程近似解时，至少需要求（   ）次中点值可以求得近似解（精确度为0.001）. A．4 B．7 C．10 D．13 【变式7-3】（24-25高一上·湖南·阶段练习）已知函数在区间内的一个零点附近函数值用二分法逐次计算的结果如下表所示， 1 1.5 1.25 1.375 1.3125 0.875 0.2246 那么方程的一个近似根（精确度为0.1）为（   ） A．1 B．1.5 C．1.25 D．1.3125 【题型8 用二分法求函数的近似值】 【例8】（24-25高一上·天津·阶段练习）已知函数的部分函数值如表所示: 那么函数的一个零点的近似值（精确度为）为（    ） A． B． C． D． 【变式8-1】（24-25高一上·全国·课后作业）借助信息技术，用二分法求函数零点的近似值得到下表数据： 1.00 1.25 1.50 1.625 0.6931 0.4325 0.0879 -0.1193 则由表中的数据，可得函数的一个零点的近似值为（精确度为0.1）（    ） A．1.5625 B．1.25 C．1.4375 D．1.46875 【变式8-2】（24-25高一上·湖南·期末）用二分法求函数的一个正零点的近似值（精确度为时，依次计算得到如下数据；，关于下一步的说法正确的是（    ） A．已经达到精确度的要求，可以取1.1作为近似值 B．已经达到精确度的要求，可以取1.125作为近似值 C．没有达到精确度的要求，应该接着计算 D．没有达到精确度的要求，应该接着计算 【变式8-3】（24-25高一上·全国·课前预习）用二分法求函数的一个零点的近似值，其参考数据如下： x 0.0625 0.09375 0.125 0.15625 0.1875 -0.4567 -0.1809 0.0978 0.3797 0.6647 根据上述数据，可得的一个零点近似值（误差不超过0.025）为（    ） A．0.09375 B．0.109375 C．0.125 D．0.078125 2 / 30 学科网（北京）股份有限公司 $