专题02 数列求通项8种题型归类（压轴题专项训练）数学苏教版2019选择性必修第一册

专题02数列求通项归类 目录 类型一、公式法求数列通项 类型二、与的递推关系求数列通项 类型三、累加法（）求数列通项 类型四、累乘法（）求数列通项 类型五、构造法（、、）求数列通项 类型六、倒数法（）与取对数法求数列通项 类型七、不动点法求数列通项 类型八、隔项等差与隔项等比数列 压轴专练 类型一、公式法求数列通项 公式法：若在已知数列中存在：的关系，可采用求等差数列、等比数列的通项公式的求法，确定数列的通项 例1．已知数列满足，设，，则 ． 【答案】 【分析】由题意可得，，即有，从而得数列是等差数列，公差为2，首项，即可得答案. 【详解】解：因为，， 所以，， 又因为，， 所以，， 所以数列是等差数列，公差为2，首项， 所以. 故答案为： 变式1-1．数列满足，，则（ ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】∵， ∴， ∴数列是等差数列，首项为，公差为﹣1． ∴， ∴． ∴． 故选：C． 变式1-2．已知是各项均为正数的数列的前项和，，，则数列的通项公式为 . 【答案】 【分析】先利用题给条件求得，则数列是公比为的等比数列，再由题意求得其首项的值，进而求得数列的通项公式即可. 【详解】由题意，. 又，所以，，， 数列是公比为的等比数列. 又，，. 故答案为：. 变式1-3．在数列中，若，，，则数列的通项公式为___________. 【答案】 【分析】由已知得，从而有数列是等差数列，公差，根据等差数列的通项公式可求得答案. 【详解】解：因为，所以， 所以数列是等差数列，公差， 所以，所以.故答案为： 类型二、与的递推关系求数列通项 1、利用求通项时，要注意检验时的情况。 已知求的三个步骤： （1）先利用求出. （2）用替换中的得到一个新的关系，利用便可求出当时的表达式． （3）对时的结果进行检验，看是否符合时的表达式， 如果符合，则可以把数列的通项公式合写； 如果不符合，则应该分与两段来写． 2、已知数列的前n项和的相关条件求数列通项公式的基本思路是两个： 将和转化为项,即利用将和转化为项. （2）可将条件看作是数列的递推公式，先求出，然后题目即转化为已知数列的前n项和，求数列通项公式 例2.已知数列的前项和为，若，则的最大值为（    ） A． B． C． D．1 【答案】C 【分析】根据数列递推式，采用两式相减的方法推出，结合等比数列通项公式求出表达式，结合单调性，即可求得答案. 【详解】由题意知，故时，， 当时，，，则， 即，故，又， 所以为首项是，公比为的等比数列， 故， 随n的增大而减小，且数列的奇数项均为负值，偶数项为正值， 故时，取最大值，最大值为 变式2-1．设数列的前项和为，且，则（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】当时，求出的值，当且时，由可得，两式作差推导出为等差数列，确定该数列的首项和公差，可求出的通项公式，进而可得出的表达式，逐项判断即可. 【详解】因为数列的前项和为，且， 当时，则，解得， 当且时，由可得， 上述两式作差可得，整理可得， 等式两边同时除以可得， 所以数列是以为首项，公差为的等差数列， 所以，所以， 对于AB选项，，，则，A错B对； ， 对于CD选项，，， 所以，，CD都错. 故选：B. 变式2-2．设数列的前n项和为,若且（n≥2）则的通项公式 ． 【答案】 【分析】本题主要考查求数列的通项公式其中，将数列，判断 是公差为 ，首项为的等差数列 【详解】解：时，由 可得化为 是公差为 ，首项为的等差数列，，时， ，又因为 ， 故答案为. 变式2-3．已知数列的前项和为，则数列的通项公式为 . 【答案】 【分析】根据的关系即可作差求解. 【详解】由可得， 两式相减可得， 当时，， 故， 故答案为： 变式2-4．已知各项均为正数的数列的前项和为，且，（且）． (1)求的通项公式； 【答案】(1) 【分析】（1）根据的关系可得为等差数列，即可求解，进而可得， 【详解】（1）当时，， 即，解得． 因为（）， 所以（）， 又（，），， 所以（）， 又， 所以数列是以1为首项，1为公差的等差数列， 所以，所以． 当时，， 当时，，满足上式， 所以数列的通项公式为． 变式2-5．已知数列满足，设数列的前项和为，则满足的实数的最小值为 ． 【答案】 【分析】先将代入题干表达式计算出的值，当时，由，可得，两式相减进一步计算即可推导出数列的通项公式，再根据数列的通项公式及等比数列的求和公式推导出前项和的表达式，最后根据不等式的性质即可计算出实数的最小值． 【详解】由题意，当时，， 当时，由， 可得， 两式相减，可得， 解得， 当时，不满足上式， ， 则当时，， 当时， ， 当时，也满足上式， ，， ，且对任意恒成立， ，即实数的最小值为． 故答案为：. 类型三、累加法（）求数列通项 累加法（叠加法） 若数列满足，则称数列为“变差数列”， 求变差数列的通项时，利用恒等式 求通项公式的方法称为累加法。 具体步骤： 将上述个式子相加（左边加左边，右边加右边）得： = 整理得：= 例3．在数列中，，，则（ ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】在数列{an}中，a1＝2， ∴an+1﹣an＝ ∴an＝a1+（a2﹣a1）+（a3﹣a2）+…+（an﹣an﹣1） ＝2+ln2+ ＝2+lnn，故2+ln10 故选：A 变式3-1．已知数列满足，，则（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】由题意可得， 所以，，…，， 上式累加可得 ， 又，所以. 变式3-2．在数列中，已知，且对于任意的，都有，则数列的通项公式为 A． B． C． D． 【答案】D 【分析】令m=1得，再利用累加法求数列的通项公式. 【详解】令m=1,得， 所以. 故选D 变式3-3．已知数列满足，求数列的通项公式． 【答案】. 【分析】得到，利用累加法求出通项公式. 【详解】由得， 则 变式3-4.如图，在杨辉三角中，斜线l的上方从1按箭头所示方向可以构成一个“锯齿形”数列：1，3，3，4，6，5，10，…，将该数列中的奇数项依次取出组成一个新的数列，则（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据题意数列中…，观察数列特点可知，利用累加法求得，再由裂项求和计算可得出结果. 【详解】根据题意数列中…， 观察数列特点可知， 则， 显然满足上式，则， ， . 故选：D. 类型四、累乘法（）求数列通项 累乘法求通项 1、适用于：…………这是广义的等比数列 2、若， 则，，……，，， 两边分别相乘得： 例4．已知数列的递推公式为则通项公式______. 【答案】 【分析】由已知递推公式,用裂项相乘求通项公式. 【详解】当时，        ;,满足上式, 变式4-1．在数列中，若，则（    ） A．1012 B．1013 C．2024 D．2024 【答案】B 【分析】由题意先求出，再将已知式化简后运用累乘迭代法求得，即可求得. 【详解】在中，取，可得，代入解得， 又由可得， 于是， 故. 故选：B. 变式4-2．已知数列满足，其中，则（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据题意，由累乘法代入计算，即可得到结果. 【详解】由题意，得，，． 由累乘法，得， 即， 又，所以． 故选：C． 变式4-3．数列中，满足，，则 ． 【答案】/ 【分析】先利用“累乘法”求数列的通项公式，再利用“裂项求和法”求和. 【详解】因为，所以. 所以，，，…，（）. 各式相乘，可得：， 显然满足上式，则， 所以数列的前项和为， 所以. 故答案为：. 变式4-4．已知数列满足，，则 ， . 【答案】 0 2023 【详解】令可得：，所以， 令可得：，所以， 由可得：， 所以， ， ……， ，以上个式子相加可得： ，所以， 则. 故答案为：0；2023. 类型五、构造法（、、）求数列通项 1、形如型 ①若时，数列为等差数列； ②若时，数列为等比数列； ③若，时，数列为线性递推数列，其通项可通过待定系数法构造辅助数列来求。 （1）待定系数法：设，得， 与题设比较系数得：，所以 所以有： 因此数列构成以为首项，以为公比的等比数列。 （2）逐项相减法（阶差法）：有时我们从递推关系中把换成 有，两式相减有：，从而化为公比为的等比数列，进而求得通项公式， 再利用累加法即可求得通项公式。我们可以看到此方法比较复杂。 2、形如：（其中是常数，且） ①若时，即：累加即可。 ②若时，即：求通项方法有以下三种方法： （1）两边同除以.目的是把所求数列构造成等差数列，即：， 令，则，然后累加法求通项。 （2）两边除以.目的是把所求数列构造成等比数列，即：， 令，则可化为，然后待定系数法求通项即可。 （3）待定系数法：目的是把所求数列构造成等差数列 设，通过比较系数，求出，转化为等比数列求通项。 注意：应用待定系数法时，要求，否则待定系数法会失效。 3、形如（其中，是常数，且） （1）逐项相减法（阶差法） （2）待定系数法 通过配凑可转化为 解题基本步骤： ①确定 ②设等比数列，公比为 ③列出关系式，即 ④比较系数求， ⑤解得数列的通项公式，并得出数列的通项公式 4、形如型的递推式： 用待定系数法，化为特殊数列的形式求解．方法为：设，比较系数得，可解得，于是是公比为的等比数列，这样就化归为型． 例5.（1）已知数列中，，，则 ． 【答案】 【分析】由递推公式构造，通过等比数列通项公式即可求解； 【详解】由， 可得：， 所以是首项为，公比为3的等比数列， 所以， 所以， 故答案为： （2）在数列中，已知，且，则该数列的通项公式为 . 【答案】 【详解】令， 则， 由条件得，解得， 即， 故数列是首项为，公比为4的等比数列， 从而，故. 故答案为：. （3）已知数列满足，且，则数列的通项公式 ． 【答案】 【分析】利用条件构造数列，可得数列为等差数列即求. 【详解】∵， ∴， 即．又，， ∴数列是以3为首项，1为公差的等差数列， ∴， ∴数列的通项公式． （4）在数列中，，且对任意的，都有，则数列的通项公式为 ； 【答案】 【详解】由，可得 又，， 所以. 所以首项为，公比为的等比数列. 所以. 所以. 又满足上式，所以 变式5-1在数列中，，则 ． 【答案】 【详解】因为， 所以，所以， 所以数列是一个等比数列， 所以，所以． 故答案为：． 变式5-2．已知数列的前n项和为，，且，则通项公式为 ． 【答案】 【详解】 又 是以2为公比和首项的等比数列 ， 即 变式5-3．数列满足，则数列的通项公式为 . 【答案】 【分析】根据给定的递推公式，利用构造法，结合等比数列通项求解即得. 【详解】数列中，由，得，即， 而，，于是数列是首项为3，公比为的等比数列， 因此，即， 所以数列的通项公式为. 故答案为： 变式5-4．已知数列满足，，，则的通项公式为 ． 【答案】 【分析】将两边同时加，结合等比数列的定义证明可得，再构造数列，求解首项分析即可； 【详解】由可得，且， 故是以2为首项，3为公比的等比数列，故， 所以，又， 故，即 类型六、倒数法（）与取对数法求数列通项 1.倒数法 （1）形如：（为常数，）的数列，通过两边同除“倒”过来，变形为，即：，从而构造出新的等差数列，先求出的通项，即可求得. （2）形如（为常数，，，）的数列，通过两边同除“倒”过来，变形为，可通过换元：，化简为：（可用“待定系数法”构造等比数列） 2.对数法 已知用求通项公式，其本质是取对数 例6．（1）已知数列满足，则的最小值为 . 【答案】 【分析】利用数列递推式，可得数列是以10为首项，1为公差的等差数列，可得数列的通项，再利用函数的单调性，即可求的最小值． 【详解】解： ， 数列是以10为首项，1为公差的等差数列 在上单调递减，在上单调递增 时，取得最小值为 故答案为： （2）数列满足，下列说法正确的是（    ） A．存在正整数，使得 B．存在正整数，使得 C．对任意正整数，都有 D．数列单调递增 【答案】C 【分析】由，可判断A，由，得，两边取对数可得，从而可判断B，C,进一步可得，从而数列单调递减，可判断D. 【详解】数列满足. ，所以A不正确. 由，得 两边取以2为底的对数，可得 所以数列是等比数列，且 则，所以，即 当时，，，所以，即,所以B不正确. 所以，则数列单调递减. 所以D不正确. 故选:C. 变式6-1.（1）已知数列满足.则的通项公式为 ； 【答案】 【分析】根据已知转化为，得出数列是等差数列，求出，继而得出答案. 【详解】由，得，且， 所以，所以. 所以数列是以1为首项，2为公差的等差数列， 所以， 故. （2）已知数列满足，，，则（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】取倒数法求通项，将变形可得数列为等差数列，计算即可得. 【详解】，即， 可得，又， 即有数列是首项为1，公差为4的等差数列， 可得， 即. 变式6-2．已知，点在函数的图像上，其中，证明数列是等比数列，并求数列的通项公式； 【答案】证明见解析， 【分析】将代入比式中可求得为定值，且，所以等比数列，由首项及公比可求得通项，从而求得的通项公式； 【详解】由题， 所以是首项为，公比为2的等比数列， 所以， 变式6-3．在数列中，已知，，则的通项公式为 ． 【答案】 【详解】由， 两边取倒数得，即， 又因为，所以是首项为，公差为的等差数列， 所以， 故. 类型七、不动点法求数列通项 1、定义：方程的根称为函数的不动点． 利用函数的不动点，可将某些递推关系所确定的数列化为等比数列或较易求通项的数列，这种求数列通项的方法称为不动点法． 2、在数列中，已知，且时，（是常数）， （1）当时，数列为等差数列； （2）当时，数列为常数数列； （3）当时，数列为等比数列； （4）当时，称是数列的一阶特征方程，其根叫做特征方程的特征根，这时数列的通项公式为：； 3、形如，，（是常数）的二阶递推数列都可用特征根法求得通项，其特征方程为（*）． （1）若方程（*）有二异根、，则可令（、是待定常数）； （2）若方程（*）有二重根，则可令（、是待定常数）． (其中、可利用，求得) 4、设，满足递推关系，初值条件． 令 ，即 ，令此方程的两个根为， (1)若,则有 （其中） (2)若,则有 （其中） 5、设函数有两个不同的不动点,且由确定着数列,那么当且仅当时, 例7．已知数列满足，，则 【答案】 【分析】由递推公式找到对应的不动点方程，巧用“不动点法”求数列的通项公式. 【详解】求不动点，设，令得：，所以； ，所以， 因为，所以是首项为3，公比为2的等比数列， 从而，故. 故答案为： 变式7-1已知数列{an}中，，，求{an}的通项. 【答案】an=1+ 【详解】∵{an}的特征函数为：， 由， ∴ ∴数列{an-1}是公比为的等比数列， ∴an-1=an=1+. 变式7-2．已知数列{an}中，a1=3，，则{an}的通项公式为 . 【答案】 【详解】∵{an}的特征函数为：， 由， 设 即， ∴数列是首项为2，公比为的等比数列. ∴， ∵a1=3，∴ 变式7-3．已知数列满足，，则= 【答案】 【详解】令，求出该方程的唯一不动点， 于是. ∴数列是公差为的等差数列， 从而，解得. 类型八、隔项等差与隔项等比数列 1.隔项等差数列（和为等差） 已知数列，满足，（k≠0） 则； ；或则称数列为隔项等差数列，其中： ①构成以为首项的等差数列，公差为； ②构成以为首项的等差数列，公差为； 2.隔项等比数列（积为等比） 已知数列，满足， 则； （其中为常数）；或则称数列为隔项等比数列，其中： ①构成以为首项的等比数列，公比为； ②构成以为首项的等比数列，公比为； 例8．已知数列中，对任意的,都有，，则的通项公式为 ． 【答案】 【详解】由条件，可得： 两式相减得： 因为，所以，数列的奇数项是首项为3，公差为4的等差数列； 偶数项是首项为1公差为4的等差数列． 综上： 变式8-1已知各项均为正数的数列满足：，,则数列的通项公式为 . 【答案】 【详解】解：由， 当时，， ∴，又，，∴。 当时，， ∴为奇数时， ；当时，， ∴为偶数时，，∴ 变式8-2．已知数列满足，，，，则数列的通项公式为 【答案】 【分析】由 得,分奇偶项分别求通项，最后写出通项公式； 【详解】由 ，得 以上两式相比，得, 由，得, 所以，数列是首项为3，公比4为的等比数列，, 数列是首项为6，公比为4的等比数列，, 综上，数列的通项公式为 . 变式8-3．已知数列满足，则数列的通项公式为 【答案】(1)； 【分析】（1）由题可得的奇数项和偶数项分别是等比数列，利用等比数列的通项公式即得； （2）由题可得，然后根据裂项相消法即得. 【详解】（1）由，可得， 两式相除得， 所以的奇数项和偶数项分别是以4为公比的等比数列， 由，，可得， 当为奇数时，， 当为偶数时，， 所以 变式8-4．在数列中，已知，，则的通项公式为 ． 【答案】 【分析】通过凑配法证得是等比数列. 【详解】（由，得， 即， 所以是首项为，公比为的等比数列. . 压轴专练 1．已知数列满足，则（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】通过构造法可得数列是等比数列，结合等比数列的通项公式计算可得结果. 【详解】∵，∴，即， ∴数列是首项为，公比为的等比数列， ∴，故， ∴. 故选：D. 2．已知数列的前项和为，其中，，则（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据题意构造得，由等比数列定义和通项公式可得，从而得解. 【详解】因为， 所以，所以， 而，故， 所以数列是首项为，公比为的等比数列， 所以， 即，所以． 故选：C 3.设数列的前项和为．若，，则（   ） A．61 B．121 C．125 D．364 【答案】D 【详解】因为，①， 所以当时，， 当时，②， ①-②得，， 所以， 又，所以数列是以为首项，为公比的等比数列， 所以. 故选：D. 4．已知为数列的前项和，若，，则的值为（   ） A．23 B．24 C．25 D．26 【答案】B 【分析】利用递推公式求出，然后利用累乘法求解即可. 【详解】当时，， 由， 由，得， 两式相减得，， 所以， 故选：B 5.已知数列 满足 ，则 （     ） A．3 B．2 C． D． 【答案】B 【详解】因为 ， 所以当 时， ，则 ，故B正确. 故选：B. 6．已知数列满足，设，则数列的前项和为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据条件，利用与间的关系，得到，从而有，再利用裂项相消法，即可求解. 【详解】因为①， 当时，②， 由①②得到，得到， 又时，，满足，所以，则， 所以， 则数列的前项和为， 故选：D. 7.已知数列满足，且，若，则（    ） A．253 B．506 C．1012 D．2024 【答案】B 【分析】将式子变形为,可得为常数列，即可求解. 【详解】因为，所以. 因为，所以，故为常数列， 所以. 由，解得. 故选：B 8.已知数列满足，，，则（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】由，得， 所以，，，，（，）， 累乘可得，又，得. 设①， 则②， ①-②得， ， ， . 故选：C. 9.（多选题）已知数列中，，，，其前项和为，则（   ） A． B． C． D． 【答案】ABD 【分析】由题意可得、，结合等差数列的定义和通项公式可得，即可判断AB；结合数列的单调性即可判断C；结合放缩法计算即可判断D. 【详解】由，得， 所以数列是以为公差的等差数列， 而，，所以，得，故A正确； 所以，得，故B正确； 令，解得，对于， 为正，且依次递增； 为负，且依次递增， 所以，故C错误； ，故D正确. 故选：ABD 10.若数列满足（，且），，则 . 【答案】 【详解】因为（，且），， 所以； 经验证，时，，符合条件. 故答案为：. 11.已知数列满足，且，则 . 【答案】 【分析】推导出数列为常数列，可得出，即得出的值. 【详解】因为数列满足，且， 则，所以， 所以数列为常数列，故， 因此，. 故答案为：. 12.数列满足， 且，的前项和为，则满足不等式的的最大值是 . 【答案】5 【详解】，，且， 是以为首项, 为公比的等比数列.   ,  . , ，即， , , 的最大值是. 故答案为：5. 13.已知数列满足，求数列的通项公式； 【答案】 【详解】由，得， 因此数列是以为首项，3为公差的等差数列，， 所以数列的通项公式. 1 / 10 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题02数列求通项归类 目录 类型一、公式法求数列通项 类型二、与的递推关系求数列通项 类型三、累加法（）求数列通项 类型四、累乘法（）求数列通项 类型五、构造法（、、）求数列通项 类型六、倒数法（）与取对数法求数列通项 类型七、不动点法求数列通项 类型八、隔项等差与隔项等比数列 压轴专练 类型一、公式法求数列通项 公式法：若在已知数列中存在：的关系，可采用求等差数列、等比数列的通项公式的求法，确定数列的通项 例1．已知数列满足，设，，则 ． 变式1-1．数列满足，，则（ ） A． B． C． D． 变式1-2．已知是各项均为正数的数列的前项和，，，则数列的通项公式为 . 变式1-3．在数列中，若，，，则数列的通项公式为___________. 类型二、与的递推关系求数列通项 1、利用求通项时，要注意检验时的情况。 已知求的三个步骤： （1）先利用求出. （2）用替换中的得到一个新的关系，利用便可求出当时的表达式． （3）对时的结果进行检验，看是否符合时的表达式， 如果符合，则可以把数列的通项公式合写； 如果不符合，则应该分与两段来写． 2、已知数列的前n项和的相关条件求数列通项公式的基本思路是两个： 将和转化为项,即利用将和转化为项. （2）可将条件看作是数列的递推公式，先求出，然后题目即转化为已知数列的前n项和，求数列通项公式 例2.已知数列的前项和为，若，则的最大值为（    ） A． B． C． D．1 变式2-1．设数列的前项和为，且，则（    ） A． B． C． D． 变式2-2．设数列的前n项和为,若且（n≥2）则的通项公式 ． 变式2-3．已知数列的前项和为，则数列的通项公式为 . 变式2-4．已知各项均为正数的数列的前项和为，且，（且）． (1)求的通项公式； 变式2-5．已知数列满足，设数列的前项和为，则满足的实数的最小值为 ． 类型三、累加法（）求数列通项 累加法（叠加法） 若数列满足，则称数列为“变差数列”， 求变差数列的通项时，利用恒等式 求通项公式的方法称为累加法。 具体步骤： 将上述个式子相加（左边加左边，右边加右边）得： = 整理得：= 例3．在数列中，，，则（ ） A． B． C． D． 变式3-1．已知数列满足，，则（    ） A． B． C． D． 变式3-2．在数列中，已知，且对于任意的，都有，则数列的通项公式为 A． B． C． D． 变式3-3．已知数列满足，求数列的通项公式． 变式3-4.如图，在杨辉三角中，斜线l的上方从1按箭头所示方向可以构成一个“锯齿形”数列：1，3，3，4，6，5，10，…，将该数列中的奇数项依次取出组成一个新的数列，则（   ） A． B． C． D． 类型四、累乘法（）求数列通项 累乘法求通项 1、适用于：…………这是广义的等比数列 2、若， 则，，……，，， 两边分别相乘得： 例4．已知数列的递推公式为则通项公式______. 变式4-1．在数列中，若，则（    ） A．1012 B．1013 C．2024 D．2024 变式4-2．已知数列满足，其中，则（    ） A． B． C． D． 变式4-3．数列中，满足，，则 ． 变式4-4．已知数列满足，，则 ， . 类型五、构造法（、、）求数列通项 1、形如型 ①若时，数列为等差数列； ②若时，数列为等比数列； ③若，时，数列为线性递推数列，其通项可通过待定系数法构造辅助数列来求。 （1）待定系数法：设，得， 与题设比较系数得：，所以 所以有： 因此数列构成以为首项，以为公比的等比数列。 （2）逐项相减法（阶差法）：有时我们从递推关系中把换成 有，两式相减有：，从而化为公比为的等比数列，进而求得通项公式， 再利用累加法即可求得通项公式。我们可以看到此方法比较复杂。 2、形如：（其中是常数，且） ①若时，即：累加即可。 ②若时，即：求通项方法有以下三种方法： （1）两边同除以.目的是把所求数列构造成等差数列，即：， 令，则，然后累加法求通项。 （2）两边除以.目的是把所求数列构造成等比数列，即：， 令，则可化为，然后待定系数法求通项即可。 （3）待定系数法：目的是把所求数列构造成等差数列 设，通过比较系数，求出，转化为等比数列求通项。 注意：应用待定系数法时，要求，否则待定系数法会失效。 3、形如（其中，是常数，且） （1）逐项相减法（阶差法） （2）待定系数法 通过配凑可转化为 解题基本步骤： ①确定 ②设等比数列，公比为 ③列出关系式，即 ④比较系数求， ⑤解得数列的通项公式，并得出数列的通项公式 4、形如型的递推式： 用待定系数法，化为特殊数列的形式求解．方法为：设，比较系数得，可解得，于是是公比为的等比数列，这样就化归为型． 例5.（1）已知数列中，，，则 ． （2）在数列中，已知，且，则该数列的通项公式为 . （3）已知数列满足，且，则数列的通项公式 ． （4）在数列中，，且对任意的，都有，则数列的通项公式为 ； 变式5-1在数列中，，则 ． 变式5-2．已知数列的前n项和为，，且，则通项公式为 ． 变式5-3．数列满足，则数列的通项公式为 . 变式5-4．已知数列满足，，，则的通项公式为 ． 类型六、倒数法（）与取对数法求数列通项 1.倒数法 （1）形如：（为常数，）的数列，通过两边同除“倒”过来，变形为，即：，从而构造出新的等差数列，先求出的通项，即可求得. （2）形如（为常数，，，）的数列，通过两边同除“倒”过来，变形为，可通过换元：，化简为：（可用“待定系数法”构造等比数列） 2.对数法 已知用求通项公式，其本质是取对数 例6．（1）已知数列满足，则的最小值为 . （2）数列满足，下列说法正确的是（    ） A．存在正整数，使得 B．存在正整数，使得 C．对任意正整数，都有 D．数列单调递增 变式6-1.（1）已知数列满足.则的通项公式为 ； （2）已知数列满足，，，则（    ） A． B． C． D． 变式6-2．已知，点在函数的图像上，其中，证明数列是等比数列，并求数列的通项公式； 变式6-3．在数列中，已知，，则的通项公式为 ． 类型七、不动点法求数列通项 1、定义：方程的根称为函数的不动点． 利用函数的不动点，可将某些递推关系所确定的数列化为等比数列或较易求通项的数列，这种求数列通项的方法称为不动点法． 2、在数列中，已知，且时，（是常数）， （1）当时，数列为等差数列； （2）当时，数列为常数数列； （3）当时，数列为等比数列； （4）当时，称是数列的一阶特征方程，其根叫做特征方程的特征根，这时数列的通项公式为：； 3、形如，，（是常数）的二阶递推数列都可用特征根法求得通项，其特征方程为（*）． （1）若方程（*）有二异根、，则可令（、是待定常数）； （2）若方程（*）有二重根，则可令（、是待定常数）． (其中、可利用，求得) 4、设，满足递推关系，初值条件． 令 ，即 ，令此方程的两个根为， (1)若,则有 （其中） (2)若,则有 （其中） 5、设函数有两个不同的不动点,且由确定着数列,那么当且仅当时, 例7．已知数列满足，，则 变式7-1已知数列{an}中，，，求{an}的通项. 变式7-2．已知数列{an}中，a1=3，，则{an}的通项公式为 . 变式7-3．已知数列满足，，则= 类型八、隔项等差与隔项等比数列 1.隔项等差数列（和为等差） 已知数列，满足，（k≠0） 则； ；或则称数列为隔项等差数列，其中： ①构成以为首项的等差数列，公差为； ②构成以为首项的等差数列，公差为； 2.隔项等比数列（积为等比） 已知数列，满足， 则； （其中为常数）；或则称数列为隔项等比数列，其中： ①构成以为首项的等比数列，公比为； ②构成以为首项的等比数列，公比为； 例8．已知数列中，对任意的,都有，，则的通项公式为 ． 变式8-1已知各项均为正数的数列满足：，,则数列的通项公式为 . 变式8-2．已知数列满足，，，，则数列的通项公式为 变式8-3．已知数列满足，则数列的通项公式为 变式8-4．在数列中，已知，，则的通项公式为 ． 压轴专练 1．已知数列满足，则（    ） A． B． C． D． 2．已知数列的前项和为，其中，，则（    ） A． B． C． D． 3.设数列的前项和为．若，，则（   ） A．61 B．121 C．125 D．364 4．已知为数列的前项和，若，，则的值为（   ） A．23 B．24 C．25 D．26 5.已知数列 满足 ，则 （     ） A．3 B．2 C． D． 6．已知数列满足，设，则数列的前项和为（    ） A． B． C． D． 7.已知数列满足，且，若，则（    ） A．253 B．506 C．1012 D．2024 8.已知数列满足，，，则（    ） A． B． C． D． 9.（多选题）已知数列中，，，，其前项和为，则（   ） A． B． C． D． 10.若数列满足（，且），，则 . 11.已知数列满足，且，则 . 12.数列满足， 且，的前项和为，则满足不等式的的最大值是 . 13.已知数列满足，求数列的通项公式； 1 / 10 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $