专题01 等差数列、等比数列6种题型归类（压轴题专项训练）数学苏教版2019选择性必修第一册

专题01等差数列与等比数列的性质及前n项和 目录 类型一、等差数列、等比数列的判定 类型二、等差数列与等比数列性质（角标和、单调性）的运用 类型三、等差数列与等比数列的前n项和 类型四、等差数列与等比数列前n项和性质（片段和、奇偶项）的应用 类型五、数列的情境应用问题 类型六、数列中的恒成立求参问题 压轴专练 类型一、等差数列与等比数列的判定 1、等差数列的四种判断方法和两种证明方法 (1)定义法（或者）(是常数)是等差数列． (2)等差中项法： ()是等差数列． (3)通项公式：(为常数)是等差数列．（可以看做关于的一次函数） (4)前项和公式：(为常数)是等差数列．(可以看做关于的二次函数，但是不含常数项） 提醒;证明一个数列是等差数列,只能用定义法或等差中项法 2、等比数列的判断（证明） 1、定义：（或者）（可判断，可证明） 2、等比中项法：验证（特别注意）（可判断，可证明） 3、通项公式法：验证通项是关于的指数型函数（只可判断） 例1.（1）“存在，使得”是“为等差数列”的（   ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】B 【分析】分别根据充分性、必要性的概念及等差数列的性质定义判断即可. 【详解】必要性：若为等差数列，设其公差为，则， 故存在，使得，故满足必要性； 充分性：若存在，使得， 则，两式相减可得， 所以可知数列中的奇数项，偶数项分别成等差数列，但数列不一定是等差数列， 如时，数列，故不满足充分性. 所以“存在，使得”是“为等差数列”的必要不充分条件， 故选：B （2）在正项数列中，设甲：，乙：是等比数列，则（   ） A．甲是乙的充分条件但不是必要条件 B．甲是乙的必要条件但不是充分条件 C．甲是乙的充要条件 D．甲既不是乙的充分条件也不是乙的必要条件 【答案】A 【分析】根据等比数列的定义和通项公式，结合充分条件、必要条件的定义即可判断. 【详解】令，则， 令，则， 以此类推，得， 则数列是以为首项，为公比的等比数列. 若数列是等比数列，设其公比为，则， 所以，， 得， 当时，； 当时，不成立. 所以甲是乙的充分不必要条件. 故选：A 变式1-1．（多选）已知数列是等比数列，则（   ） A．数列是等比数列 B．数列是等比数列 C．数列是等比数列 D．数列是等比数列 【答案】AB 【详解】根据题意，数列是等比数列，设其公比为q，则 对于选项A：因为，所以数列是等比数列，故A正确； 对于选项B：因为 ，所以数列为等比数列，故B正确； 对于选项CD：例如，则，所以数列不是等比数列，故C错误； 则，所以数列不是等比数列，故D错误. 故选：AB. 变式1-2．对任意数列，下列说法一定正确的是（       ） A．若数列是等差数列，则数列是等比数列 B．若数列是等差数列，则数列是等差数列 C．若数列是等比数列，则数列是等比数列 D．若数列是等比数列，则数列是等差数列 【答案】AD 【解析】 【分析】 根据等差数列和等比数列的定义逐一判断可得选项. 【详解】 解：对于A，设数列的公差为d，因为，所以公比为非零常数，所以数列是等比数列，故A正确； 对于B，不妨设而不是等差数列，故B不正确； 对于C，不妨令，数列是等比数列，而，所以此时数列不是等比数列，故C不正确； 对于D，设数列的公比为q，则，所以公差为常数，所以是等差数列，故D正确， 故选：AD. 变式1-3．已知数列满足：，，. (1)证明：是等差数列，并求的通项公式； 【答案】(1)证明见解析， 【分析】（1）根据条件，利用等差数列定义，即可证明结果，利用等差数列的通项公式得到，再利用累加法，即可求出结果； 【详解】（1）因为，所以为常数， 又，所以数列是公差为，首项为的等差数列. 所以， 当时，， 所以，又，所以，又，满足， 所以数列的通项公式为. 变式1-4．若数列满足，且．证明：数列为等比数列． 【答案】证明见解析 【详解】因为， 所以，则， 因为，所以， 所以，又， 所以数列为等比数列 变式1-5.在数列中，已知，且 (1)求，的值； (2)是否存在实数，使得数列为等差数列？若存在，求出的值；若不存在，请说明理由． 【答案】(1)， (2)存在， 【分析】（1）根据条件，利用递推关系，令和，即可求出结果； （2）先假设数列为等差数列，根据条件得到为常数，从而得到，即可求出结果. 【详解】（1）因为，且， 所以，. （2）假设数列为等差数列， 因为，所以， 当，得到为常数， 故存在实数，使得数列为等差数列，. 类型二、等差数列与等比数列性质的运用 1、等差数列的有关性质 （1）通项公式：(为常数)（可以看做关于的一次函数） （2）若，则；若，则； （3）对有穷等差数列，与首末两项“等距离”的两项之和等于首末两项的和， 即 （4）下标成等差数列的项组成以md为公差的等差数列 （5）若分别是公差为的等差数列,则有 数列 结论 公差为d的等差数列(c为任一常数) 公差为cd的等差数列(c为任一常数) 公差为2d的等差数列(k为常数) 公差为的等差数列(p,q为常数) 2等比数列的有关性质 （1）相隔等距离的项组成的数列仍是等比数列，即，，，…仍是等比数列，公比为(). (2)若，则，其中. 特别地，若，则，其中 推广：若，则． （3）等比数列与单调性 当或时，是递增数列； 当或时，是递减数列； 当时，为常数列； 当时，为摆动数列，所有的奇数项（偶数项）同号，奇数项与偶数项异号 （4）等比数列与0无关，任何一项都不能为0 例2.（1）已知数列为等差数列，.设甲：；乙：，则甲是乙的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】A 【详解】数列为等差数列，其首项为，公差为，， 若，则，， 则可得，所以甲是乙的充分条件； 若等差数列为常数列，则任意的，都有， 所以甲不是乙的必要条件； 综上，甲是乙的充分不必要条件. 故选：A. （2）设是由正数组成的等比数列，公比，且，那么（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据等比数列的性质，设，，， 则A，B，C成等比数列，然后利用等比中项的性质可求得答案 【详解】设，，， 则A，B，C成等比数列，公比为，且, 由条件得， 所以，所以，所以. 故选：B 变式2-1．在各项均为正数的等比数列中，，则的最大值是__． 【答案】 【分析】根据题意，将变形可得，又由基本不等式的性质可得，计算可得答案. 【详解】根据题意，在各项均为正数的等比数列中，， 即， ∴，当且仅当，即公比为1时等号成立， 故的最大值是. 故答案为：. 变式2-2．（多选）已知等差数列的公差,则下列四个命题中真命题为（ ） A．数列是递增数列 B．数列是递增数列 C．数列是递增数列 D．数列是递增数列 【答案】AD 【详解】对于A，等差数列的公差，则数列是递增数列，正确； 对于B，不妨取，则不是递增数列，B错误； 对于C，不妨取，则不是递增数列，C错误； 对于D，由于等差数列的公差，随n的增大而增大，随n的增大而增大， 故也随n的增大而增大，即数列是递增数列，D正确，故选：AD 变式2-3．（多选）关于递增等比数列，下列说法正确的是（    ）． A．当时， B．当时， C．当时， D． 【答案】AC 【分析】利用等比数列的性质，逐个选项进行判断即可求解 【详解】A．当，时，从第二项起， 数列的每一项都大于前一项，所以数列递增，正确； B．当，时，为摆动数列，故错误； C．当，时，数列为递增数列，故正确； D．，当时，， 此时，当时，，，故错误 故选AC． 类型三、等差数列与等比数列的前n项和 1、等差数列的前n项和 （1）；： （2）当为奇数时， 。 （3）等差数列前项和公式可变形为.当时，它是关于的二次函数，表示为(，为常数) （3）求等差数列的前项和的最值通常有两种思路 ①通项法：①若a1＞0，d＜0，则Sn必有最大值，其n的值可用不等式组来确定；②若a1＜0，d＞0，则Sn必有最小值，其n的值可用不等式组来确定． ②二次函数法：等差数列{an}中，由于Sn＝na1＋ d＝n2＋n，可用求函数最值的方法来求前n项和的最值，这里应由n∈N*及二次函数图象的对称性来确定n的值． ③不等式组法：借助Sn最大时，有 (n≥2，n∈N*)，解此不等式组确定n的范围，进而确定n的值和对应Sn的值(即Sn的最值)． 2、等比数列的前n项和 首项为，公比为的等比数列的前项和的公式为 例3.（1）设等差数列的前项和为，若，，则的最大值为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】因为数列为等差数列， 由； 由. 所以. 所以等差数列是首项为正数的递减数列，且前6项为正，从第7项开始为负数. 所以最大. 故选：B （2）等比数列{an}的各项均为实数，其前n项和为Sn，已知,，则的值是（    ） A．28     B．32     C．35     D．41 【答案】B 【分析】设等比数列的公比为，易知，由等比数列前项和公式列方程组求得，，然后由通项公式计算． 【详解】设等比数列的公比为，易知， ∵S3，S6， ∴，解得. 则a827＝32. 故选：B. 变式3-1．已知数列的前项和满足，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】当时，，解得； 当时，，即， 数列是以为首项，为公比的等比数列，所以， 所以， 因为，所以. 故选：B 变式3-2．设数列的前项和为，当时，，，成等差数列，若，且，则的最大值为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据等差中项写出式子，由递推式及求和公式写出和，进而得出结果. 【详解】解：由，，成等差数列，可得， 则，，， 可得数列中，每隔两项求和是首项为，公差为的等差数列. 则， ， 则的最大值可能为. 由，，可得. 因为，，，即，所以，则 ，当且仅当时，，符合题意， 故的最大值为. 故选：A. 变式3-3．已知无穷等比数列中，，它的前n项和为，则下列命题正确的是（       ） A．数列是递增数列 B．数列是递减数列 C．数列存在最小项 D．数列存在最大项 【答案】C 【分析】对AB，举公比为负数的反例判断即可 对CD，设等比数列公比为，分和两种情况讨论，再得出结论即可 【详解】对AB，当公比为时，此时，此时既不是递增也不是递减数列； 对CD，设等比数列公比为，当时，因为，故，故，此时，易得随的增大而增大，故存在最小项，不存在最大项； 当时，因为，故，故，，因为，故当为偶数时，，随着的增大而增大，此时无最大值，当时有最小值；当为奇数时，，随着的增大而减小，故无最小值，有最大值.综上，当时，因为，故当时有最小值，当时有最大值 综上所述，数列存在最小项，不一定有最大项，故C正确；D错误 故选：C 变式3-4.（多选）已知等差数列的前n项和为，，且，则（    ） A． B． C．当时，取最小值 D．当时，n的最大值为10 【答案】ABD 【详解】设等差数列的公差为， 依题意， 所以异号，而，所以，，A选项正确. 则， 所以，B选项正确. 由于，则，所以等差数列的前项为负数， 从第项起为正数，所以当时，最小，所以C选项错误. ， 所以当时，n的最大值为10，所以D选项正确. 故选：ABD 变式3-5.已知数列是等差数列， 前n项和，若满足，则使最大的为 （    ） A．2021 B．2022 C．4041 D．4042 【答案】D 【详解】等差数列的前n项和为，由，且， 得，，，则数列的公差， 于是数列是递减的等差数列，当时，，当时，， 又，因此， ，，所以使最大的为. 故选：D 类型四、等差数列与等比数列前n项和性质及应用 1、设等差数列（公差为d）和的前n项和分别为， （1）数列是等差数列，首项为，公差为． （2）构成公差为的等差数列． （3）若数列共有项，则，； 若数列共有项，则，． （4）， （5）将等差数列前n项和公式，整理成关于n的函数可得. 当时，关于n的表达式是一个常数项为零的二次函数式，即点在其相应的二次函数的图象上，这就是说等差数列的前n项和公式是关于n的二次函数，它的图象是抛物线上横坐标为正整数的一系列孤立的点 ②分类讨论：将每段解析式代入不等式中解，求出解后求并集 ③借助单调性和奇偶性求解 2、 等比数列前n项和的性质 （1）等比数列前n项和的常用性质：，即，其中 （2）若项数为，则，若项数为，则． （3）当时，连续项的和（如）仍组成等比数列（公比为，）．注意：这里连续m项的和均非零． 例4.（1）已知等差数列的首项为，前项和为，若，且，则的取值范围为 ． 【答案】 【解析】设等差数列的公差为， ，， 数列是以为首项，为公差的等差数列， ，解得：； ，，解得：， 即的取值范围为. （2）等比数列的前n项和为，已知，，则（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据为等比数列可求的值. 【详解】因为且为等比数列，故为等比数列， 故，解得， 故选：B. 变式4-1．已知各项为正的等比数列的前5项和为3，前15项和为39，则该数列的前10项和为（    ） A． B． C．12 D．15 【答案】C 【分析】利用等比数列的性质可得，代入数据即可得到答案 【详解】解：由等比数列的性质可得也为等比数列， 又，故可得即， 解得或，因为等比数列各项为正，所以， 故选：C 变式4-2．关于等差数列和等比数列，下列四个选项中正确的有（    ） A．若数列的前n项和（a，b，c为常数），则数列为等差数列 B．若数列的前n项和，则数列为等比数列 C．数列是等差数列，为前n项和，则，，，…仍为等差数列 D．数列是等比数列，为前n项和，则，，，…仍为等比数列 【答案】BC 【分析】由得，进而可判断A和B；由等差数列的性质判断C；举反例判断D. 【详解】根据题意，依次分析选项： 对于选项A：因为，， 当时，， 所以，所以只有当时，数列成等差数列，故A错误； 对于选项B：因为，， 当时，，当时，，符合上式， 所以，则数列成等比数列，故B正确； 对于选项C：数列是等差数列，为前项和，则，，，是公差为（为的公差）的等差数列，故C正确； 对于选项D：令，则，，，是常数列，显然不是等比数列，故D错误. 故选：BC. 变式4-3．（1）已知等差数列和的前项和分别为和，且，则（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】利用等差数列和的前项和的性质可得：，，即可得出． 【详解】由等差数列前项和公式可设： ，，， 从而， ， 所以， 故选：C （2）.已知，分别是等差数列，的前n项和，且，则（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据条件，利用等差数列的性质得，再结合条件，即可求解. 【详解】因为是等差数列， 所以，又， 所以， 故选：C. （3）（多选）已知两个等差数列、的前项和分别为和，且，则使得为整数的的取值可以是（ ） A． B． C． D． 【答案】ACD 【详解】由等差中项以及等差数列求和公式可得 ， 又因为，.故选：ACD. （4）已知等差数列与的前项和分别为，，且，则的值为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据题意，设，，由，即可求解结果． 【详解】因为，为等差数列，且， 所以可设，， 则， ， . 故选：D. 变式4-4.（1）已知等差数列共有项，奇数项之和为60，偶数项之和为54，则 ． 【答案】10 【详解】奇数项有项，偶数项有项，所以奇数项和为，偶数项和为， 故，解得. 故答案为：10 （2）已知一个等比数列的项数是是偶数，其奇数项之和1011，偶数项之和为2022，则这个数列的公比为（      ）. A．8 B． C．4 D．2 【答案】D 【分析】设该等比数列为,其项数为项，公比为,利用等比数列的求和公式表示出奇数项之和与偶数项之和，两式相除即可求解. 【详解】设该等比数列为,其项数为项，公比为, 由题意易知， 设奇数项之和为,偶数项之和为， 易知奇数项组成的数列是首项为，公比为的等比数列， 偶数项组成的数列是首项为，公比为的等比数列， 则，， 所以,即. 所以这个数列的公比为2. 故选:D. 类型五、数列的情境应用问题 数列应用问题的本质是将实际问题抽象为等差数列、等比数列或递推数列模型，关键在于识别情境中的 “变化规律” 例5．我国古代天文学和数学著作《周髀算经》中记载：一年有二十四个节气，每个节气的晷长损益相同（晷是按照日影测定时刻的仪器，晷长即为所测量影子的长度），二十四节气及晷长变化如图所示，相邻两个节气晷长减少或增加的量相同，周而复始．已知雨水的晷长为9.5尺，立冬的晷长为10.5尺，则冬至所对的晷长为（    ） A．11.5尺 B．13.5尺 C．12.5尺 D．14.5尺 【答案】B 【分析】设相邻两个节气晷长减少或增加的量为,则立冬到冬至增加,冬至到雨水减少4,冬至的晷长为,根据题意，结合等差数列的性质，列出方程组求解即得. 【详解】设相邻两个节气晷长减少或增加的量为,则立冬到冬至增加,冬至到雨水减少4,冬至的晷长为,则,解得, 故选：B. 变式5-1《算学启蒙》是中国最早的科普著作．该书中有名的是“堆垛问题”，其中有一道问题如下：今有三角锥垛果子．每面底子四十四个，问共积几何？含义如下：把一样大小的果子堆垛成正三棱锥形（如图所示，给出了5层三角锥垛俯视示意图），底面每边44个果子，顶部仅一个果子，从顶层向下数，每三角锥垛层的果子数分别为1，3，6，10，15，21，……共有44层．问全垛共有多少个果子?则该三角锥垛从顶层向下数前40层的果子总数为（    ）（参考公式：）    A．12341 B．11480 C．10280 D．8436 【答案】B 【详解】因为三角锥垛层的果子数分别为1，3，6，10，15，21，……构成数列， 观察得数列的通项公式为， 设其前项和为，则 ， 所以. 故选：B 变式5-2．.“中国剩余定理”又称“孙子定理”，原文如下：今有物不知其数，三三数之剩二（除以3余2），五五数之剩三（除以5余3），七七数之剩二（除以7余2），问物几何？现有这样一个相关的问题：已知正整数满足五五数之剩三，将符合条件的所有正整数按照从小到大的顺序排成一列，构成数列，记数列的前项和为，则的最小值为（    ） A．23 B． C． D．33 【答案】B 【分析】先求出，得，则，利用基本不等式求解，要注意等号成立时条件． 【详解】由题意，可知所有正整数为3，8，13，18，… 即数列为5的非负整数倍加3， 故， 数列是以3为首项，5为公差的等差数列， ， ， 当且仅当，即时，等号成立， 当时，， 当时， 所以当时，取得最小值且最小值为. 故选：B. 变式5-3．某家庭打算为子女储备“教育基金”，计划从2021年开始，每年年初存入一笔专用存款，便这笔款到2027年底连本带息共有40万元收益.如果每年的存款数额相同，依年利息并按复利计算（复利是一种计算利息的方法，即把前一期的利息和本金加在一起算作本金，再计算下一期的利息），则每年应该存入约（   ）万元.（参考数据：，） A．5.3 B．4.1 C．7.8 D．6 【答案】A 【详解】设每年应该存入万元， 则2021年初存入的钱到2027年底本利和为， 2022年初存入的钱到2027年底本利和为， ……， 2027年存入的钱到2027年底本利和为 则，即，解得：. 故选：A 变式5-4．我国古代数学典籍《九章算术》第七章“盈不足”中有一道两鼠穿墙问题：“今有垣厚五尺，两鼠对穿，大鼠日一尺，小鼠日一尺，大鼠日自倍，小鼠日自半，问何日相逢？”描述的问题是：有五尺厚的墙，两只老鼠从墙的两边相对分别打洞穿墙，大､小鼠第一天都进一尺，以后每天，大鼠加倍，小鼠减半，则（    ）天后两鼠相遇. A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】C 【详解】设天后能打穿，则，化简为， 令，则，又由函数的单调性可知在内有唯一零点，所以至少需要天. 故选：C. 变式5-5．十九世纪下半叶集合论的创立，奠定了现代数学的基础，著名的“康托三分集”是数学理性思维的构造产物，具有典型的分形特征，其操作过程如下：将闭区间均分为三段，去掉中间的区间段，记为第1次操作；再将剩下的两个区间分别均分为三段，并各自去掉中间的区间段，记为第2次操作；…；每次操作都在上一次操作的基础上，将剩下的各个区间分别均分为三段，同样各自去掉中间的区间段；操作过程不断地进行下去，剩下的区间集合即是“康托三分集”.设第次操作去掉的区间长度为，数列满足：，则数列中的取值最大的项为（    ） A．第3项 B．第4项 C．第5项 D．第6项 【答案】C 【详解】由题可知， 由此可知，所以， 因为， 令，解得（舍）， 由此可知时时，故的取值最大， 故选：C. 变式5-6．北京天坛的圜丘坛为古代祭天的场所，分上、中、下三层，上层中心有一块圆形石板(称为天心石)，环绕天心石砌9块扇面形石板构成第一环，向外每环依次增加9块，下一层的第一环比上一层的最后一环多9块，向外每环依次也增加9块，已知每层环数相同，且下层比中层多729块，则三层共有扇面形石板(不含天心石) A．3699块 B．3474块 C．3402块 D．3339块 【答案】C 【详解】设第n环天石心块数为，第一层共有n环， 则是以9为首项，9为公差的等差数列，， 设为的前n项和，则第一层、第二层、第三层的块数分 别为，因为下层比中层多729块， 所以， 即 即，解得， 所以.故选：C 类型六、数列中的恒成立问题 恒成立求参数核心思路：转化为“找数列的最值” ①若要求“对任意n，aₙ≥λ”（λ是参数）恒成立→λ≤aₙ的最小值（因为λ要比所有aₙ都小，才满足每个aₙ≥λ）； ②若要求“对任意n，aₙ≤λ”恒成立→λ≥aₙ的最大值（因为λ要比所有aₙ都大，才满足每个aₙ≤λ）； ③若要求“对任意n，Sₙ≥λ”（Sₙ是前n项和）→λ≤Sₙ的最小值； ④若要求“对任意n，Sₙ≤λ”→λ≥Sₙ的最大值 例6．（1）已知数列满足，记数列的前项和为，若对任意的恒成立，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】利用退一作差法求得，求得的表达式，结合二次函数的性质求得的取值范围. 【详解】由， 当时，， 当时，由得， 两式相减并化简得， 也符合上式，所以， 令， 为常数， 所以数列是等差数列，首项， 所以， 对称轴为， 由于对任意的恒成立， 所以，解得， 所以的取值范围是. 故选：A （2）已知首项为1的等比数列的各项均为正数，且，，成等差数列，若恒成立，则的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】首先根据题意得到，根据题意得到，再利用对勾函数的性质求解即可. 【详解】因为，，成等差数列，所以， 又因为的首项为1，各项均为正数的等比数列， 所以，解得或（舍去），所以. 若恒成立，所以. 设，令，解得， 所以在为减函数，在为增函数. 而当时，即时，， 所以当时，即时，取得最小值为， 所以. 故选：B 变式6-1已知数列满足，记数列的前项和为，若对任意的恒成立，则实数的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【分析】利用退一作差法求得，求得的表达式，结合二次函数的性质求得的取值范围. 【详解】由， 当时，， 当时，由得， 两式相减并化简得， 也符合上式，所以， 令， 为常数， 所以数列是等差数列，首项， 所以， 对称轴为， 由于对任意的恒成立， 所以，解得， 所以的取值范围是. 变式6-2记数列的前项和为. （1）求通项公式； （2）设，记的前项和为.若对于且恒成立，求实数的取值范围. 【答案】（1） （2） 【分析】（1）利用与的关系证得数列是等比数列，从而求得； （2）先利用错位相减法求得，再将问题转化为，其中，利用作差法证得，从而得解. 【详解】（1）， 当时，， 两式相减，得，整理得， 当时，， 经检验，满足， 数列是以为首项，2为公比的等比数列， . （2）由（1）得， ， ， 两式相减得， ， 又对于且恒成立，即， 等价于对于且恒成立， 令，则， 则有， 所以当时，，当时，， 所以，则. 变式6-3已知数列的前项和为，，是6与的等差中项. （1）求数列的通项公式； （2）是否存在正整数，使不等式恒成立，若存在，求出的最大值；若不存在，请说明理由. 【答案】（1） （2）存在，11 【分析】（1）法一：根据是与的等差中项，利用等差中项得，由关系得，从而可得数列通项. 法二：根据是与的等差中项，利用等差中项得，根据该式的结构特征，利用构造法，可构造出等比数列，从而求得，进而利用关系得到数列的通项. （2）根据（1）知数列是等比数列，所以可以得到其前项和;代入化简，为奇数时恒成立，为偶数时将其转化为二次函数在固定区间恒成立问题，利用单调性可判断是否存在这样的正整数. 【详解】（1）法一：因为是与的等差中项，所以（）， 即，（）①，当时有 ②， ①-②得：，即对都成立， 又根据①有，即，所以，所以. 所以数列是首项为1,公比为的等比数列. 法二： 因为是与的等差中项， 所以（），即，（）， 由此得（），又， 所以数列是以为首项，为公比的等比数列，得，即（）， 所以，当时，， 又时也适合上式，所以. （2）根据（1）的结论知：数列是首项为1，公比为的等比数列， 所以其前项和为（），原问题等价于（）①恒成立. 当为奇数时，①左边恒为负，右边恒为正，所以对任意正整数不等式恒成立； 当为偶数时，①等价于恒成立， 令，有，则①等价于在恒成立， 因为为正整数，二次函数的对称轴显然在轴左侧， 当时二次函数为增函数，故只须，解得，， 所以存在符合要求的正整数，且其最大值为11 压轴专练 一、单选题 1．数列是公差不为零的等差数列，，若成等比数列，则（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据等比数列的定义和等差数列的通项公式求出答案即可. 【详解】因为成等比数列，所以. 设等差数列的公差为，则， 因为，所以. 所以，化简得， 解得或(舍去)， 所以. 故选：C. 2．已知数列中且满足，则的前30项和（    ） A．225 B．30 C．255 D．285 【答案】C 【分析】根据递推式得为奇数时，为偶数时，再应用分组求和、等差数列前n项和公式求和. 【详解】当为奇数时，，，此时， 当为偶数时，，，此时， 所以. 故选：C 3．已知等比数列，满足，则下面说法正确的是（    ） A．若，则数列是递增数列 B．若，则数列是递减数列 C．若，则数列是递增数列 D．若，则数列是递增数列 【答案】D 【分析】先根据题意用表示出公比，再根据选项讨论当的取值范围不同时数列的增减情况即可. 【详解】由等比数列，则公比， 对于选项A，若，则公比，故，又，数列是递减数列，故选项A错误. 对于选项B，若，则公比，又，数列是递增数列，故选项B错误. 对于选项C，若，则公比，故，又，数列是递减数列，故选项C错误. 对于选项D，若，则公比，故，又，数列是递增数列，故选项D正确. 故选：D. 4．已知等差数列的公差为，前项和为，则“”是“”的（   ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】C 【分析】利用等差数列的前项和公式，结合充分必要条件的定义进行判断即可. 【详解】充分性：已知， 由， 可得：，即充分性成立； 必要性：已知， 可得：，得：，即必要性成立； 综上可得：“”是“”的充要条件. 故选：C 5．在正项等比数列中，，是方程的两个根，则（    ） A．3 B．6 C．9 D．12 【答案】B 【分析】由韦达定理、等比数列通项公式的下标和性质求解即可. 【详解】因为，是方程的两个根，所以， 在正项等比数列中，有，所以，又，所以， 所以． 故选：B. 6．某生物兴趣小组在显微镜下拍摄到一种黏菌的繁殖轨迹，如图1所示．通过观察发现，该黏菌繁殖符合如下规律：①黏菌沿直线繁殖一段距离后，就会以该直线为对称轴分叉（分叉的角度为60°），再沿直线繁殖，…；②每次分叉后沿直线繁殖的距离约为前一段沿直线繁殖的距离的一半，于是该组同学将整个繁殖过程抽象为如图2所示的一个数学模型：黏菌从圆形培养皿的中心开始，沿直线繁殖到，然后分叉向与方向继续繁殖，其中，且与关于所在直线对称，．若，为保证黏菌在繁殖过程中不会碰到培养皿壁，则培养皿的半径（，单位：cm）至少为（   ） A．7 B．8 C．9 D．10 【答案】B 【分析】由题意可得黏菌每次繁殖在方向上前进的距离和为两个无穷递缩等比数列的和，借助等比数列求和公式计算即可得解. 【详解】由题意可知，，只要计算出黏菌沿直线一直繁殖下去， 在方向上的距离的范围，即可确定培养皿的半径的范围， 依题意可知黏菌的繁殖规律， 由此可得每次繁殖在方向上前进的距离依次为：． 则， 黏菌无限繁殖下去，每次繁殖在方向上前进的距离和即为两个无穷递缩等比数列的和， 如 ， 综合可得培养皿的半径（，单位：cm）至少为8cm. 故选：B． 7．设等差数列的前项和为，若有最大值，且，则中最大的是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】利用等差数列的性质可知，，依次分析选项即可得到的最大值. 【详解】因为等差数列的前项和为，且有最大值，所以公差， 由，可得，故有最大值为， 又，单调递减，且， 所以当时，,单调递减，单调递增，此时最大； 当时，，，则， ，则， 同理可得均大于0，则 综上，最大； 故选：B 8．已知无穷等比数列各项均为正整数、公比为，前项和为，若，则下列说法不正确的是（    ） A． B．是等比数列 C．是公差为2的等差数列 D． 【答案】C 【分析】先根据条件求解出数列的首项和公比判断A，然后根据等比数列通项公式和前n项和公式计算判断D，结合等比等差数列的定义判断判断BC. 【详解】对于A，因为无穷等比数列各项均为正整数、公比为，前项和为， 则，解得，A正确； 对于B，当时，，， 因为，， 所以是首项为，公比为的等比数列；B正确 对于C，当时，，， 因为，所以是公差为1的等差数列.C错误. 对于D，当时，.D正确. 故选：C. 二、多选题 9．对于数列，以下选项正确的有（    ） A．若均是等差数列，则也是等差数列 B．若均是等比数列，则也是等比数列 C．若均是等差数列，则也是等差数列 D．若均是等比数列，则也是等比数列 【答案】AD 【分析】利用等差、等比数列的定义判断各项的正误即可. 【详解】若的公差分别为， 为定值，即为等差数列， 不一定为定值，即不是等差数列，A对，C错， 若的公比分别为，， ，不一定为定值，即不是等比数列， 为定值，即为等比数列，B错，D对. 故选：AD 10．已知等差数列满足，，记为的前项和，则下列说法正确的是（   ） A． B．是递增数列 C． D．使得的的最小值为14 【答案】ACD 【分析】由题意可得，从而得出等差数列中前7项为正，从第8项起均为负，结合等差数列的性质和前项和的公式对选项进行判断即可. 【详解】由，，可得， 设等差数列的公差为，，所以是递减数列，B选项错误； 因为，所以，所以，A选项正确； 所以为正，从第8项起均为负，，故选项C正确； 所以， 所以的的最小值为14，故选项D正确. 故选：ACD. 11．已知等比数列的公比不为1且相邻三项调整次序后可为等差数列，若，存在实数使得对任意恒成立，则下列说法正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】BCD 【分析】由等比数列的通项公式及等差中项的性质求得公比或，根据恒成立确定，应用等比数列前n项和得，进而得，结合已知，即可判断各项正误. 【详解】设等比数列的公比为，相邻三项为， 则或或， 故或或，故或， 若，则， 当为奇数时，，时，故， 当为偶数时，，时，故，与题设矛盾； 所以，此时， 当为奇数时，当为偶数时，则， 所以在上单调递增，则， 由恒成立，故. 故选：BCD 三、填空题 12．已知数列和都是等差数列，且前项和分别为，，若，则 ． 【答案】 【分析】由题可设，，然后表示出即可求解. 【详解】数列、为等差数列，且 ， 可设，， 则， 所以. 故答案为：. 13．已知正项等比数列的前项和为，且，则 . 【答案】52 【分析】由题意，根据等比数列的性质可知成等比数列，结合等比中项的应用计算即可求解. 【详解】因为为正项等比数列，所以也成等比数列， 则， 即， 两式相除得， 所以， 所以， 所以， 所以， 所以， 解得， 所以. 故答案为：52 14．设为首项大于0，公差不为0的等差数列，为的前项和，且成等比数列，则使得不等式成立时对应最小正整数n为 ． 【答案】5 【分析】设等差数列的首项为，公差为，根据依次成等比数列，得到，再代入等差数列求和公式将不等式化为，求解即可. 【详解】设等差数列的首项为，公差为， 因为成等比数列，所以，即， 化简得，由得， 所以，所以， 又，所以，所以或（舍去）， 所以最小整数的值为5. 故答案为：5 四、解答题 15．已知数列的前项和为等比数列，公比为2，且为等差数列. (1)求与的通项公式： (2)记，且，求的取值集合. 【答案】(1)，. (2) 【分析】（1）根据即可求，根据条件计算等比数列的首项及公比即可得到； （2）根据是单调递增数列，通过列举可求解. 【详解】（1）由得， 当时，， 当时，， 当时，上式也成立，所以. 依题意，，， 解得，所以. （2）由（1）得, 令， ∴单调递增. 所以为单调递增数列 由得 故满足的取值集合为. 16．已知等差数列的公差，其前项和为，且． (1)求的通项公式； (2)若数列满足，且时，恒成立，试求实数的最小值． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）利用等差数列前n项和及通项公式基本量的运算求解即可； （2）先判断数列的单调性，然后利用单调性求解数列最大值即可求解. 【详解】（1）由，可得，解得． 所以． （2）因为，且时，恒成立，所以， 因为时，，所以， 所以时，数列单调递减， 所以，所以，即实数的最小值为． 17．已知公差不为0的等差数列的前项和为，且依次成等比数列. (1)求的通项公式； (2)对于任意，求实数的取值范围. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据等差数列通项公式结合等比中项计算求解； （2）先把转化为，再根据的单调性得出最大项，最后得出参数范围. 【详解】（1）设等差数列的公差为， 由已知可得， 因为，解得， 又， 得， 所以. （2）由（1）可知，则， 由可得， 令， ， 当时，， 当时，， 则数列的最大项为， 故， 即实数的取值范围为. 18．设等差数列的公差为，且，令，且，． (1)求数列的通项公式； (2)设不等式对任意正整数均成立，求实数的取值范围． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据等差数列通项公式代入化简可得，进而可得，代入即可解得，进而可得； （2）构造数列，则，判断数列单调性，分为奇数和为偶数两种情况讨论数列的最小项，即可得解. 【详解】（1）由数列为等差数列，且， 则，则， 所以， 则， 又， 即， 解得或， 又，则， 所以； （2）由（1）得， 又， 设，则， 又，所以恒成立， 则数列为单调递增数列； 当为奇数时，恒成立，即； 当为偶数时，恒成立，即，； 综上所述. 19．已知正项数列的的前n项为，且满足，等比数列是递增数列，，为其前n项和，且满足． (1)分别求，的通项公式； (2)当时，若对任意的恒成立，求实数的最大值． 【答案】(1)， (2) 【分析】（1）根据得出的递推公式，从而可判断为等差数列，利用等比数列的求和公式计算出公比，即可得出其通项公式； （2）分别求出与的前项和，分离参数得出，设，判断函数的单调性，求出的最小值即可得出的取值范围． 【详解】（1）由于，故， 当时，得 ， ， ， 故是以2为公差的等差数列， 又当时，得， ， ， 等比数列是递增数列，，故公比， 由可得，解得， 故； （2）数列的前项和， 数列的前项和， 由可得，故对任意的恒成立， 设，则， 当时，，则； 当时，，则； 故， ，故实数的最大值为 1 / 10 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题01等差数列与等比数列的性质及前n项和 目录 类型一、等差数列、等比数列的判定 类型二、等差数列与等比数列性质（角标和、单调性）的运用 类型三、等差数列与等比数列的前n项和 类型四、等差数列与等比数列前n项和性质（片段和、奇偶项）的应用 类型五、数列的情境应用问题 类型六、数列中的恒成立求参问题 压轴专练 类型一、等差数列与等比数列的判定 1、等差数列的四种判断方法和两种证明方法 (1)定义法（或者）(是常数)是等差数列． (2)等差中项法： ()是等差数列． (3)通项公式：(为常数)是等差数列．（可以看做关于的一次函数） (4)前项和公式：(为常数)是等差数列．(可以看做关于的二次函数，但是不含常数项） 注意;证明一个数列是等差数列,只能用定义法或等差中项法 2、等比数列的判断（证明） 1、定义：（或者）（可判断，可证明） 2、等比中项法：验证（特别注意）（可判断，可证明） 3、通项公式法：验证通项是关于的指数型函数（只可判断） 例1.（1）“存在，使得”是“为等差数列”的（   ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 （2）在正项数列中，设甲：，乙：是等比数列，则（   ） A．甲是乙的充分条件但不是必要条件 B．甲是乙的必要条件但不是充分条件 C．甲是乙的充要条件 D．甲既不是乙的充分条件也不是乙的必要条件 变式1-1．（多选）已知数列是等比数列，则（   ） A．数列是等比数列 B．数列是等比数列 C．数列是等比数列 D．数列是等比数列 变式1-2．（多选）对任意数列，下列说法一定正确的是（       ） A．若数列是等差数列，则数列是等比数列 B．若数列是等差数列，则数列是等差数列 C．若数列是等比数列，则数列是等比数列 D．若数列是等比数列，则数列是等差数列 变式1-3．已知数列满足：，，.证明：是等差数列，并求的通项公式； 变式1-4．若数列满足，且．证明：数列为等比数列． 变式1-5.在数列中，已知，且 (1) 求，的值； (2)是否存在实数，使得数列为等差数列？若存在，求出的值；若不存在，请说明理由． 类型二、等差数列与等比数列性质的运用 1、等差数列的有关性质 （1）通项公式：(为常数)（可以看做关于的一次函数） （2）若，则；若，则； （3）对有穷等差数列，与首末两项“等距离”的两项之和等于首末两项的和， 即 （4）下标成等差数列的项组成以md为公差的等差数列 （5）若分别是公差为的等差数列,则有 数列 结论 公差为d的等差数列(c为任一常数) 公差为cd的等差数列(c为任一常数) 公差为2d的等差数列(k为常数) 公差为的等差数列(p,q为常数) 2等比数列的有关性质 （1）相隔等距离的项组成的数列仍是等比数列，即，，，…仍是等比数列，公比为(). (2)若，则，其中. 特别地，若，则，其中 推广：若，则． （3）等比数列与单调性 当或时，是递增数列； 当或时，是递减数列； 当时，为常数列； 当时，为摆动数列，所有的奇数项（偶数项）同号，奇数项与偶数项异号 （4）等比数列与0无关，任何一项都不能为0 例2.（1）已知数列为等差数列，.设甲：；乙：，则甲是乙的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 （2）设是由正数组成的等比数列，公比，且，那么（    ） A． B． C． D． 变式2-1．在各项均为正数的等比数列中，，则的最大值是__． 变式2-2．（多选）已知等差数列的公差,则下列四个命题中真命题为（ ） A．数列是递增数列 B．数列是递增数列 C．数列是递增数列 D．数列是递增数列 变式2-3．（多选）关于递增等比数列，下列说法正确的是（    ）． A．当时， B．当时， C．当时， D． 类型三、等差数列与等比数列的前n项和 1、等差数列的前n项和 （1）；： （2）当为奇数时， 。 （3）等差数列前项和公式可变形为.当时，它是关于的二次函数，表示为(，为常数) （3）求等差数列的前项和的最值通常有两种思路 ①通项法：①若a1＞0，d＜0，则Sn必有最大值，其n的值可用不等式组来确定；②若a1＜0，d＞0，则Sn必有最小值，其n的值可用不等式组来确定． ②二次函数法：等差数列{an}中，由于Sn＝na1＋ d＝n2＋n，可用求函数最值的方法来求前n项和的最值，这里应由n∈N*及二次函数图象的对称性来确定n的值． ③不等式组法：借助Sn最大时，有 (n≥2，n∈N*)，解此不等式组确定n的范围，进而确定n的值和对应Sn的值(即Sn的最值)． 2、等比数列的前n项和 首项为，公比为的等比数列的前项和的公式为 例3.（1）设等差数列的前项和为，若，，则的最大值为（   ） A． B． C． D． （2）等比数列{an}的各项均为实数，其前n项和为Sn，已知,，则的值是（    ） A．28     B．32     C．35     D．41 变式3-1．已知数列的前项和满足，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 变式3-2．设数列的前项和为，当时，，，成等差数列，若，且，则的最大值为（    ） A． B． C． D． 变式3-3．已知无穷等比数列中，，它的前n项和为，则下列命题正确的是（       ） A．数列是递增数列 B．数列是递减数列 C．数列存在最小项 D．数列存在最大项 变式3-4.（多选）已知等差数列的前n项和为，，且，则（    ） A． B． C．当时，取最小值 D．当时，n的最大值为10 变式3-5.已知数列是等差数列， 前n项和，若满足，则使最大的为 （    ） A．2021 B．2022 C．4041 D．4042 类型四、等差数列与等比数列前n项和性质及应用 1、设等差数列（公差为d）和的前n项和分别为， （1）数列是等差数列，首项为，公差为． （2）构成公差为的等差数列． （3）若数列共有项，则，； 若数列共有项，则，． （4）， （5）将等差数列前n项和公式，整理成关于n的函数可得. 当时，关于n的表达式是一个常数项为零的二次函数式，即点在其相应的二次函数的图象上，这就是说等差数列的前n项和公式是关于n的二次函数，它的图象是抛物线上横坐标为正整数的一系列孤立的点 ②分类讨论：将每段解析式代入不等式中解，求出解后求并集 ③借助单调性和奇偶性求解 2、 等比数列前n项和的性质 （1）等比数列前n项和的常用性质：，即，其中 （2）若项数为，则，若项数为，则． （3）当时，连续项的和（如）仍组成等比数列（公比为，）．注意：这里连续m项的和均非零． 例4.（1）已知等差数列的首项为，前项和为，若，且，则的取值范围为 ． （2）等比数列的前n项和为，已知，，则（    ） A． B． C． D． 变式4-1．已知各项为正的等比数列的前5项和为3，前15项和为39，则该数列的前10项和为（    ） A． B． C．12 D．15 变式4-2．（多选）关于等差数列和等比数列，下列四个选项中正确的有（    ） A．若数列的前n项和（a，b，c为常数），则数列为等差数列 B．若数列的前n项和，则数列为等比数列 C．数列是等差数列，为前n项和，则，，，…仍为等差数列 D．数列是等比数列，为前n项和，则，，，…仍为等比数列 变式4-3．（1）已知等差数列和的前项和分别为和，且，则（    ） A． B． C． D． （2）.已知，分别是等差数列，的前n项和，且，则（    ） A． B． C． D． （3）（多选）已知两个等差数列、的前项和分别为和，且，则使得为整数的的取值可以是（ ） A． B． C． D． （4）已知等差数列与的前项和分别为，，且，则的值为（    ） A． B． C． D． 变式4-4.（1）已知等差数列共有项，奇数项之和为60，偶数项之和为54，则 ． （2）已知一个等比数列的项数是是偶数，其奇数项之和1011，偶数项之和为2022，则这个数列的公比为（      ）. A．8 B． C．4 D．2 类型五、数列的情境应用问题 数列应用问题的本质是将实际问题抽象为等差数列、等比数列或递推数列模型，关键在于识别情境中的 “变化规律” 例5．我国古代天文学和数学著作《周髀算经》中记载：一年有二十四个节气，每个节气的晷长损益相同（晷是按照日影测定时刻的仪器，晷长即为所测量影子的长度），二十四节气及晷长变化如图所示，相邻两个节气晷长减少或增加的量相同，周而复始．已知雨水的晷长为9.5尺，立冬的晷长为10.5尺，则冬至所对的晷长为（    ） A．11.5尺 B．13.5尺 C．12.5尺 D．14.5尺 变式5-1《算学启蒙》是中国最早的科普著作．该书中有名的是“堆垛问题”，其中有一道问题如下：今有三角锥垛果子．每面底子四十四个，问共积几何？含义如下：把一样大小的果子堆垛成正三棱锥形（如图所示，给出了5层三角锥垛俯视示意图），底面每边44个果子，顶部仅一个果子，从顶层向下数，每三角锥垛层的果子数分别为1，3，6，10，15，21，……共有44层．问全垛共有多少个果子?则该三角锥垛从顶层向下数前40层的果子总数为（    ）（参考公式：）   A．12341 B．11480 C．10280 D．8436 变式5-2．.“中国剩余定理”又称“孙子定理”，原文如下：今有物不知其数，三三数之剩二（除以3余2），五五数之剩三（除以5余3），七七数之剩二（除以7余2），问物几何？现有这样一个相关的问题：已知正整数满足五五数之剩三，将符合条件的所有正整数按照从小到大的顺序排成一列，构成数列，记数列的前项和为，则的最小值为（    ） A．23 B． C． D．33 变式5-3．某家庭打算为子女储备“教育基金”，计划从2021年开始，每年年初存入一笔专用存款，便这笔款到2027年底连本带息共有40万元收益.如果每年的存款数额相同，依年利息并按复利计算（复利是一种计算利息的方法，即把前一期的利息和本金加在一起算作本金，再计算下一期的利息），则每年应该存入约（   ）万元.（参考数据：，） A．5.3 B．4.1 C．7.8 D．6 变式5-4．我国古代数学典籍《九章算术》第七章“盈不足”中有一道两鼠穿墙问题：“今有垣厚五尺，两鼠对穿，大鼠日一尺，小鼠日一尺，大鼠日自倍，小鼠日自半，问何日相逢？”描述的问题是：有五尺厚的墙，两只老鼠从墙的两边相对分别打洞穿墙，大､小鼠第一天都进一尺，以后每天，大鼠加倍，小鼠减半，则（    ）天后两鼠相遇. A．1 B．2 C．3 D．4 变式5-5．十九世纪下半叶集合论的创立，奠定了现代数学的基础，著名的“康托三分集”是数学理性思维的构造产物，具有典型的分形特征，其操作过程如下：将闭区间均分为三段，去掉中间的区间段，记为第1次操作；再将剩下的两个区间分别均分为三段，并各自去掉中间的区间段，记为第2次操作；…；每次操作都在上一次操作的基础上，将剩下的各个区间分别均分为三段，同样各自去掉中间的区间段；操作过程不断地进行下去，剩下的区间集合即是“康托三分集”.设第次操作去掉的区间长度为，数列满足：，则数列中的取值最大的项为（    ） A．第3项 B．第4项 C．第5项 D．第6项 变式5-6．北京天坛的圜丘坛为古代祭天的场所，分上、中、下三层，上层中心有一块圆形石板(称为天心石)，环绕天心石砌9块扇面形石板构成第一环，向外每环依次增加9块，下一层的第一环比上一层的最后一环多9块，向外每环依次也增加9块，已知每层环数相同，且下层比中层多729块，则三层共有扇面形石板(不含天心石) A．3699块 B．3474块 C．3402块 D．3339块 类型六、数列中的恒成立问题 恒成立求参数核心思路：转化为“找数列的最值” ①若要求“对任意n，aₙ≥λ”（λ是参数）恒成立→λ≤aₙ的最小值（因为λ要比所有aₙ都小，才满足每个aₙ≥λ）； ②若要求“对任意n，aₙ≤λ”恒成立→λ≥aₙ的最大值（因为λ要比所有aₙ都大，才满足每个aₙ≤λ）； ③若要求“对任意n，Sₙ≥λ”（Sₙ是前n项和）→λ≤Sₙ的最小值； ④若要求“对任意n，Sₙ≤λ”→λ≥Sₙ的最大值 例6．（1）已知数列满足，记数列的前项和为，若对任意的恒成立，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． （2）已知首项为1的等比数列的各项均为正数，且，，成等差数列，若恒成立，则的取值范围是（   ） A． B． C． D． 变式6-1已知数列满足，记数列的前项和为，若对任意的恒成立，则实数的取值范围是（ ） A. B. C. D. 变式6-2记数列的前项和为. （1）求通项公式； （2）设，记的前项和为.若对于且恒成立，求实数的取值范围. 变式6-3已知数列的前项和为，，是6与的等差中项. （1）求数列的通项公式； （2）是否存在正整数，使不等式恒成立，若存在，求出的最大值；若不存在，请说明理由. 压轴专练 一、单选题 1．数列是公差不为零的等差数列，，若成等比数列，则（    ） A． B． C． D． 2．已知数列中且满足，则的前30项和（    ） A．225 B．30 C．255 D．285 3．已知等比数列，满足，则下面说法正确的是（    ） A．若，则数列是递增数列 B．若，则数列是递减数列 C．若，则数列是递增数列 D．若，则数列是递增数列 4．已知等差数列的公差为，前项和为，则“”是“”的（   ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 5．在正项等比数列中，，是方程的两个根，则（    ） A．3 B．6 C．9 D．12 6．某生物兴趣小组在显微镜下拍摄到一种黏菌的繁殖轨迹，如图1所示．通过观察发现，该黏菌繁殖符合如下规律：①黏菌沿直线繁殖一段距离后，就会以该直线为对称轴分叉（分叉的角度为60°），再沿直线繁殖，…；②每次分叉后沿直线繁殖的距离约为前一段沿直线繁殖的距离的一半，于是该组同学将整个繁殖过程抽象为如图2所示的一个数学模型：黏菌从圆形培养皿的中心开始，沿直线繁殖到，然后分叉向与方向继续繁殖，其中，且与关于所在直线对称，．若，为保证黏菌在繁殖过程中不会碰到培养皿壁，则培养皿的半径（，单位：cm）至少为（   ） A．7 B．8 C．9 D．10 7．设等差数列的前项和为，若有最大值，且，则中最大的是（   ） A． B． C． D． 8．已知无穷等比数列各项均为正整数、公比为，前项和为，若，则下列说法不正确的是（    ） A． B．是等比数列 C．是公差为2的等差数列 D． 二、多选题 9．对于数列，以下选项正确的有（    ） A．若均是等差数列，则也是等差数列 B．若均是等比数列，则也是等比数列 C．若均是等差数列，则也是等差数列 D．若均是等比数列，则也是等比数列 10．已知等差数列满足，，记为的前项和，则下列说法正确的是（   ） A． B．是递增数列 C． D．使得的的最小值为14 11．已知等比数列的公比不为1且相邻三项调整次序后可为等差数列，若，存在实数使得对任意恒成立，则下列说法正确的是（    ） A． B． C． D． 三、填空题 12．已知数列和都是等差数列，且前项和分别为，，若，则 ． 13．已知正项等比数列的前项和为，且，则 . 14．设为首项大于0，公差不为0的等差数列，为的前项和，且成等比数列，则使得不等式成立时对应最小正整数n为 ． 四、解答题 15．已知数列的前项和为等比数列，公比为2，且为等差数列. (1)求与的通项公式： (2)记，且，求的取值集合. 16．已知等差数列的公差，其前项和为，且． (1)求的通项公式； (2)若数列满足，且时，恒成立，试求实数的最小值． 17．已知公差不为0的等差数列的前项和为，且依次成等比数列. (1)求的通项公式； (2)对于任意，求实数的取值范围. 18．设等差数列的公差为，且，令，且，． (1)求数列的通项公式； (2)设不等式对任意正整数均成立，求实数的取值范围． 19．已知正项数列的的前n项为，且满足，等比数列是递增数列，，为其前n项和，且满足． (1)分别求，的通项公式； (2)当时，若对任意的恒成立，求实数的最大值． 1 / 10 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $