专题01 特殊平行四边形 6大高频考点（期末真题汇编，河南专用）九年级数学上学期北师大版

函学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 专题01 特殊平行四边形 ☆6大高频考点概览 考点01利用菱形的性质求线段长 考点02根据矩形的性质求线段长 考点03矩形与折叠问题 考点04斜边中线等于斜边的一半 考点05根据正方形的性质证明 考点06证明四边形是正方形 考点01 利用菱形的性质求线段长 1.(24-25九上河南郑州郑州经济技术开发区外国语学校期末)一个菱形的对角线长分别是3和4，则该菱 形的周长为()· A.5 B.10 C.15 D.20 2.(24-25九上·河南实验中学.期末)菱形ABCD的边长为4，∠BAD=60°，对角线AC、BD交于点O,点P为 线段AO上的一个动点，连接PB,将线段PB绕点B顺时针旋转60°至QB,连接OQ,则线段OQ长的最小值 为，最大值为· 3.(24-25九上·河南许昌期末)如图，在平面直角坐标系中，菱形0ABC的顶点B的坐标为(0,4)，点A在第 一象限，∠A0C=60°，将菱形0ABC绕原点O沿顺时针方向旋转，每次旋转60°，旋转第一次得到四边形0A1 B1C'1（点C1与点A重合)，则旋转第四次得到的点B4的坐标是() 1/8 函学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 A(C B A A.(0,-4) B.（-2,-23 c.(23,-2 D.（-2V3,-2 4.(24-25九上河南安阳殷都区·期末)如图，在平面直角坐标系中，菱形0ABC的顶点A在x轴正半轴上， 顶点B,C在第一象限，∠A0C=60°，点A的坐标为(6,0)，将菱形0ABC绕原点O逆时针旋转，每次旋转 60°，则第2025次旋转结束时，点B的对应点B2025的坐标为() VA A A.（-9,33 B.(0,63 C.(33,-9) D.（-9,-33 5.(24-25九上·河南焦作期末)如图，菱形ABCD的边长为4，∠ABC=60°，对角线AC与BD相交于点0，点E 为线段BD上一动点（不与点B重合），连接AE,将线段AE绕点A逆时针旋转60得到AF,则线段OF的最小 值为，最大值为一· B 目目 考点02 根据矩形的性质求线段长 6.(2425九上河南郑州中原区期末如图，在矩形ABCD中，两条对角线AC与BD相交于点0，AD=8,OA=5, 则AB的长为() δ A,6 B.7 C.8 D.11 2/8 函学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 7.(24-25九上河南三门峡期末)如图，在矩形ABCD中，AB=2,BC=1,将矩形ABCD绕点A顺时针旋转， 得到矩形AB'CD',边CD交AB于点E,当点C的对应点C恰好落在线段CB的延长线上时，AE的长是· B 目目 考点03 矩形与折叠问题 8,(24-25九上河南南阳镇平县·期末)如图，在矩形纸片ABCD中，AD=10,AB=6,折叠纸片，使点A落 在BC边上的点A'处，折痕交AB边于点T,交AD边于点S,P为A'T的中点，连接BP,则线段BP长度的取值 范围是 S D B 9.(24-25九上河南南阳方城县期末)如图，点P是矩形ABCD的边BC上的动点，沿直线AP将△PAB折叠， 点B落在点B位置.己知：AB=6,BC=4,则当点B恰好落在矩形的对称轴上时，BP的长为， D B 10.(24-25九上·河南南阳邓州期末)在矩形ABCD中，AB=2,BC=3,点E为边AB上一点（不与点A,B 重合)，将矩形ABCD沿CE折叠，使点B的对应点F落在矩形ABCD的某条对称轴上时，则BE的长 为 目目 考点04 斜边中线等于斜边的一半 11.(24-25九上·河南南阳桐柏县·期末)如图，公路AC,BC互相垂直，公路AB的中点M与点C被湖隔开，若 测得AB的长为6.4km,则M,C两点间的距离为( ) 3/8 函学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 M B A.3km B.3.2km C.12.8km D.距离不确定 12.(24-25九上·河南周口淮阳区期末)如图，在△ABC中，D,E分别是AB,AC的中点，AC=12,F是线 段DE上一点，连接AF,CF,EF=3DF.若LAFC=90,则BC的长度是· B 13.(24-25九上·河南周口郸城县名校联考·期末)如图，小逸同学利用刻度直尺（单位：cm)测量三角形纸 片的尺寸，点B,C分别对应刻度尺上的刻度2和8，D为BC的中点，若∠BAC=90°，则AD的长为() B D TI中WWWW中WT 123456789 A.3cm B.4cm C.4.5cm D.5cm 14.(24-25九上·河南濮阳·期末)如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，∠A=30°，AB=4,点E是线段AB上 一点，连接CE,把CE绕点C逆时针旋转60到CE',连接BE,EE',当BE=1时，则AE=一· B 15.(24-25九上·河南商丘夏邑县期末)如图，矩形ABCD中，AB=2W5,BC=8.点P是BC边上一动点，点 M为线段AP上一动点，∠ADM=∠BAP,则BM的最小值为· 4/8 函学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 M 16.(24-25九上·河南信阳狮河区·期末)如图，在Rt△ABC中∠ACB=90°，BC=6,AC=8,将斜边中线0C 绕点O旋转得对应线段OD,在点D落于直线AB下方的前提下，若OD与△ABC的直角边平行，则BD的长 为一 B 目目 考点05 根据正方形的性质证明 17.(24-25九上河南信阳狮河区期末)如图，点E是正方形ABCD内一点，将△BEC绕点C顺时针旋转，使点 B与点D重合. (I)2ECF=°； (②)若∠BCF=170°，求∠DCE的度数； (3)BE与DF的位置关系是 18.(24-25九上·河南郑州高新技术产业开发区期末)如图，在正方形ABCD中，点M,N分别是边CD,BC 上的点，且DM=CN,线段AM,DN相交于点E. 5/8 函学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 (I)请用无刻度的直尺和圆规过点B作AM的垂线，交AM于点P,交AD于点Q(保留作图痕迹，不写作 法)； (2)根据(1)中所作图形，判断四边形BNDQ的形状，并说明理由。 19.(24-25九上·河南许昌禹州期末)如图，E为正方形ABCD边BC上一点，连接AE,将AE绕点A顺时针旋 转45得到线段AF,连接BF.若AD=2,则线段BF长度的最小值为· D B 20.(24-25九上河南驻马店平舆县期末)如图，正方形ABCD和正方形CEFG的边长分别为a和b,正方形CEFG 绕点C旋转，给出以下结论：①BE=DG;②BG=BE;③BE⊥DG;④DE2+BG2=2a2+2b2其中正确 结论的序号是() D B A.①②③ B.①②④ C.①③④ D.②③④ 21.(24-25九上河南开封祥符区期末)【问题情景】 数学实践小组的同学利用两个正方形进行了如下的探究与操作： 将正方形ABCD的点D和正方形EFGH的点E重合，并旋转正方形EFGH同时确保点H在正方形ABCD内部， 在旋转中同学们尝试对此情景进行画图，提出了不同的研究方向. D(E D(E D(E 图1 图2 图3 (1)【思考尝试】 如图1，同学们发现，连接AH、CF后，随着旋转，AH和CF有着一定的数量关系，请在图1中补全图形， 6/8 函学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 并证明AH和CF的数量关系； (2)【应用迁移】 如图2，励志小组继续旋转EFGH,发现AHF三点共线时，可以由正方形ABCD和正方形EFGH的边长求出AH 的长，若AB=2N2,EH=V2,请你思考并求AH的长， (3)【拓展探究】励志小组在旋转正方形EFGH时，发现并提出新的探究点：如图3，连接AG、BG,当正方 形EFGH旋转时，△ABG的形状和面积也随之改变，若AB=2V2,EH=V2,直接写出△ABG的面积的取值 范围。 目目 考点06 证明四边形是正方形 22.(24-25九河南平顶山期末)下列说法正确的是（) A.对角线相等的四边形是矩形 B,对角线互相平分的矩形是正方形 C.对角线互相垂直的四边形是菱形 D.对角线相等的菱形是正方形 23.(24-25九上河南焦作·期末)如图，口ABCD中，点O是AD的中点，连接C0并延长，交BA的延长线于点 E. B ()请添加一个条件 使四边形AEDC为菱形，并说明理由； ②在1)的条件下，能= 四边形AEDC是正方形； (3)若CD=A0=V3,LADC=60°，四边形AEDC的面积是 24.(2425九上·河南实验中学期末)如图，在△ABC中，∠CAB=90°，AD是BC边上的中线， B A (I)尺规作图：在直线AC右侧作射线AE‖BC,在射线AE上截取AF=CD,连接CF.(保留作图痕迹，不写 作法) 7/8 函学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 (②)当△ABC满足什么条件时，四边形ADCF为正方形，并说明理由. 25.(24-25九上河南郑州管城区期末)如图，矩形ABCD中，AB=3,BC=8,点P,Q分别为AD,BC上 一个动点，点P从A点出发，以每秒1个单位长度的速度向点D运动点Q从C点出发，以每秒1个单位 长度的速度向点B运动.两点同时出发，当点P到达点D时，两点同时停止运动，连接AQ,BP,交点为 点E,连接DQ,CP,交点为点F,设点P的运动时间为t秒， P D F E B Q (I)求证：四边形PEQF为平行四边形： (2)当四边形PEQF为矩形时，求t的值； (3)试判断四边形PEQF能否为菱形和正方形，若能，请求出t的值：若不能，请说明理由. 8/8 专题01 特殊平行四边形 6大高频考点概览 考点01 利用菱形的性质求线段长 考点02 根据矩形的性质求线段长 考点03 矩形与折叠问题 考点04 斜边中线等于斜边的一半 考点05 根据正方形的性质证明 考点06 证明四边形是正方形 地 城 考点01 利用菱形的性质求线段长 1．(24-25九上·河南郑州郑州经济技术开发区外国语学校·期末)一个菱形的对角线长分别是3和4，则该菱形的周长为（    ）． A．5 B．10 C．15 D．20 【答案】B 【分析】本题考查菱形的性质，根据菱形的对角线互相垂直且平分，结合勾股定理求出菱形的边长，进而求出菱形的周长即可． 【详解】解：如图，菱形中，对角线， 则：， ∴， ∴该菱形的周长为； 故选B． 2．(24-25九上·河南实验中学·期末)菱形的边长为4，，对角线、交于点，点为线段上的一个动点，连接，将线段绕点顺时针旋转至，连接，则线段长的最小值为 ，最大值为 ． 【答案】 1 2 【分析】本题考查旋转的性质、全等三角形的判定与性质、等边三角形的判定与性质、菱形的性质，在上取点，使，连接，由旋转得，，，由菱形的性质可得，，，进而可得为等边三角形，则，，证明，可得．由题意知，点为的中点，可知当时，取得最小值，当点与点或点重合时，取得最大值，进而可得答案，解题的关键是理解题意，灵活运用所学知识解决问题． 【详解】解：在上取点，使，连接， 由旋转得，，， ． 四边形为菱形， ，，． ， 为等边三角形， ，， ，， ． 在和中， ， ， ． ， ， 点为的中点． 当时，取得最小值，当点与点或点重合时，取得最大值， 的最大值为2， 即线段长的最大值为2． ，， ， ， ， 即线段长的最小值为1． 故答案为：1；2． 3．(24-25九上·河南许昌·期末)如图，在平面直角坐标系中，菱形的顶点B的坐标为，点A在第一象限，，将菱形绕原点O沿顺时针方向旋转，每次旋转，旋转第一次得到四边形（点与点A重合），则旋转第四次得到的点的坐标是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查菱形的性质，坐标与图形变化-旋转．如图，旋转第四次得到菱形，过作轴于，连接交于，由菱形的性质推出，，，由含30度角的直角三角形的性质求出，，，，求出，即可得到的坐标． 【详解】解：如图，旋转第四次得到菱形， 过作轴于，连接交于， 四边形是菱形， ，，， 的坐标是， ， ， ， ， ， ， ， ， 的坐标是． 故选：D． 4．(24-25九上·河南安阳殷都区·期末)如图，在平面直角坐标系中，菱形的顶点A在x轴正半轴上，顶点B，C在第一象限，，点A的坐标为．将菱形绕原点O逆时针旋转，每次旋转，则第2025次旋转结束时，点B的对应点的坐标为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了旋转的性质，菱形的性质，直角三角形的性质，勾股定理，过点作轴于点D，求出点B的坐标为，即，根据将菱形绕原点O逆时针旋转，每次旋转，每6次一个循环，得出第次旋转结束时点B的对应点与点B正好关于原点对称，根据关于原点对称点特点求出结果即可，掌握旋转的性质是解题的关键． 【详解】解：过点作轴于点D，如图所示： 则， ∵四边形为菱形， ∴，， ∵， ∴， ∴，， ∴点B的坐标为，即， ∵将菱形绕原点O逆时针旋转，每次旋转， ∴每6次一个循环， ∵， ∴第次旋转结束时点B的对应点与点B正好关于原点对称， ∴第2025次旋转结束时，点B的对应点的坐标为， 故选：D． 5．(24-25九上·河南焦作·期末)如图，菱形的边长为，，对角线与相交于点，点为线段上一动点（不与点重合）．连接，将线段绕点逆时针旋转得到，则线段的最小值为 ，最大值为 ．    【答案】 【分析】连接，由菱形的性质可知，，，则可证明是等边三角形，则，，证明，故有，点在等边中平分线上运动，当时，最小，根据直角三角形的性质可得出，当与点重合时，最大，过作于点，设与交于点，连接，由勾股定理求出，通过等边三角形的性质和线段和差求出，再由勾股定理即可求解． 【详解】解：如图，连接，    ∵四边形是菱形， ∴，，， ∵， ∴是等边三角形， ∴，， ∴， 同理可证：是等边三角形， 由旋转性质可知：，， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴点在等边中平分线上运动， ∴当时，最小，如图，    ∵， ∴， 当与点重合时，最大，如图，过作于点，设与交于点，连接，    由上可知， ∴， ∵是等边三角形，， ∴， ∴，， ∴， ∴， ∵四边形是菱形， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， 综上可知：的最小值为，最大值为， 故答案为：，． 【点睛】本题考查了菱形的性质，直角三角形的性质，全等三角形的判定与性质，勾股定理，等边三角形的判定与性质，旋转的性质，掌握知识点的应用是解题的关键． 地 城 考点02 根据矩形的性质求线段长 6．(24-25九上·河南郑州中原区·期末)如图，在矩形中，两条对角线与相交于点，，，则的长为（   ） A．6 B．7 C．8 D．11 【答案】A 【分析】本题考查了矩形的性质，勾股定理，掌握矩形的对角线互相平分是解题关键．由矩形的性质可得，，，，再利用勾股定理求解即可． 【详解】解：四边形是矩形，，， ，，， ， 故选：A． 7．(24-25九上·河南三门峡·期末)如图，在矩形中，，，将矩形绕点顺时针旋转，得到矩形，边交于点，当点的对应点恰好落在线段的延长线上时，的长是 ． 【答案】 【分析】本题考查了旋转的性质，三角形全等的判定和性质，勾股定理的应用等，连接根据矩形的性质得到，即，根据旋转的性质即可得到；根据矩形的性质得到，根据旋转的性质得到，证得，根据全等三角形的性质得到，设，则，根据勾股定理列方程即可得到结论． 【详解】解：连接如图， ∵四边形为矩形， ∴，即， ∵将矩形绕点A顺时针旋转，得到矩形， ∴， ∴； ∵四边形为矩形， ∴， ∵， ∴， ∵将矩形绕点A顺时针旋转，得到矩形， ∴， ∴， 在与中， ， ∴， ∴， 设，则， 在中，， 由勾股定理，得， 解得， ∴． 故答案为： 地 城 考点03 矩形与折叠问题 8．(24-25九上·河南南阳镇平县·期末)如图，在矩形纸片中，，折叠纸片，使点A落在边上的点处，折痕交边于点，交边于点S，P为的中点，连接，则线段长度的取值范围是 ． 【答案】 【分析】本题是四边形综合题，考查了矩形的性质，折叠的性质，直角三角形的性质，勾股定理等知识，灵活运用这些性质进行推理是本题的关键． 根据题意，由折叠的性质以及直角三角形的性质，知，分以下两种情况当时，最长， 最长；当时，最短，最短，分别讨论，设，则，结合勾股定理即可得出线段长度的取值范围，线段长度的取值范围即可求解． 【详解】由折叠的性质可知：， 在中，P为的中点 ， 由题可得：当时，最长，最长值为6，如下图： 当时，最短，如下图： 设，则， 在中， ，， ， ， 在中，由勾股定理得：， 解得：， ， ． 9．(24-25九上·河南南阳方城县·期末)如图，点是矩形的边上的动点，沿直线将折叠，点落在点位置．已知：，则当点恰好落在矩形的对称轴上时，的长为 ． 【答案】或 【分析】本题考查矩形与折叠，勾股定理，轴对称的性质，矩形的对称轴为对边中点形成线段所在的直线，据此分情况讨论，分别画出图形，根据折叠和勾股定理求解即可． 【详解】解：如图1，取、的中点、，则直线是矩形的对称轴，当点恰好落在上时，连接， ∵垂直平分， ∴， 由折叠可得，， ∴， ∴为等边三角形， ∴， ∴， ∵，， ∴， 解得； 如图2，取、的中点、，则直线是矩形的对称轴，当点恰好落在上时，连接， ∵矩形，， ∴，， ∵、的中点、， ∴，四边形是矩形， ∴， 由折叠可得，， ∴， ∴， ∵中，，，，， ∴， 解得， 综上所述，的长为或， 故答案为：或． 10．(24-25九上·河南南阳邓州·期末)在矩形中，，，点E为边上一点（不与点A，B重合），将矩形沿折叠，使点B的对应点F落在矩形的某条对称轴上时，则的长为 ． 【答案】或 【分析】本题考查了矩形与折叠问题、勾股定理、矩形的判定与性质、二次根式的应用等知识，正确分两种情况讨论是解题关键．先根据矩形的性质可得，，，再分两种情况：①当点在横向对称轴上时，②当点在纵向对称轴上时，利用勾股定理求出的长，根据折叠的性质可得，然后在和中，利用勾股定理求解即可得． 【详解】解：∵在矩形中，，， ∴，，． ①如图，当点在横向对称轴上时，则垂直平分和，， ∴，， 由折叠的性质得：，， ∴， ∴， 设，则， 在中，，即， 解得， 即； ②如图，当点在纵向对称轴上时，则垂直平分和， 过点作于点， ∴四边形是矩形， ∴，， 由折叠的性质得：，， ∵在中，，， ∴， 设，则， 在中，，即， 解得， 即； 综上，的长为或， 故答案为：或． 地 城 考点04 斜边中线等于斜边的一半 11．(24-25九上·河南南阳桐柏县·期末)如图，公路，互相垂直，公路的中点与点被湖隔开，若测得的长为，则，两点间的距离为（ ） A． B． C． D．距离不确定 【答案】B 【分析】本题考查直角三角形斜边中线的性质，关键是掌握在直角三角形中，斜边上的中线等于斜边的一半．由直角三角形斜边中线的性质得到． 【详解】解：∵， ∴， ∵是斜边的中线，， ∴， ∴M，C两点间的距离为， 故选：B． 12．(24-25九上·河南周口淮阳区·期末)如图，在中，D，E分别是，的中点，，F是线段上一点，连接，，．若，则的长度是 ． 【答案】16 【分析】本题考查了三角形中位线定理，直角三角形斜边中线的性质，掌握三角形的中位线平行于第三边，且等于第三边的一半是解题的关键． 先根据直角三角形斜边中线的性质得到，再根据求出，最后根据三角形中位线定理即可求解． 【详解】解：∵，点E为的中点， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵D，E分别是，的中点， ∴是中位线， ∴， 故答案为：16． 13．(24-25九上·河南周口郸城县名校联考·期末)如图，小逸同学利用刻度直尺（单位：）测量三角形纸片的尺寸，点，分别对应刻度尺上的刻度2和8，为的中点，若，则的长为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了直角三角形的性质，斜边上的中线等于斜边的一半，据此作答即可． 【详解】解：根据题意得：， ∵D为的中点，， ∴， 故选：A． 14．(24-25九上·河南濮阳·期末)如图，在中，，，，点是线段上一点，连接，把绕点逆时针旋转到，连接，，当时，则 ． 【答案】1或3/3或1 【分析】取中点记为点，连接，根据直角三角形斜边上中线的性质可证明为等边三角形，再，分两种情况讨论，根据全等三角形对应边相等即可求解． 【详解】解：取中点记为点，连接， ∵，， ∴，， ∴为等边三角形， ∴，， 当点在左侧： 由旋转得：， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴； 当点在右侧： 同上可得：， ∴ ， 故答案为：1或3． 【点睛】本题考查了旋转的性质，等边三角形的判定与性质，全等三角形的判定与性质，直角三角形斜边上中线的性质等知识点，难度较大，注意分类讨论． 15．(24-25九上·河南商丘夏邑县·期末)如图，矩形中，，．点是边上一动点，点为线段上一动点．，则的最小值为 ． 【答案】2 【分析】本题考查矩形的性质，勾股定理，直角三角形斜边中线的性质，两点之间，线段最短等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，应用直角三角形性质解决问题． 取的中点O，连接，，证明，推出，点M在以O为圆心，4为半径的上，利用勾股定理求出，可得结论． 【详解】解：如图，取的中点O，连接，． ∵四边形是矩形， ∴，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵点O是的中点 ∴， ∴， ∴点M在以O为圆心，4为半径的上， ∵ ∴ ∴的最小值为2． 故答案为：2． 16．(24-25九上·河南信阳浉河区·期末)如图，在中，，，将斜边中线绕点旋转得对应线段，在点落于直线下方的前提下，若与的直角边平行，则的长为 ． 【答案】或 【分析】本题主要考查了直角三角形斜边上的中线的性质、矩形的判定与性质、勾股定理、旋转的性质等知识，解题关键是分情况讨论，避免遗漏．首先根据勾股定理解和直角三角形斜边上的中线的性质解得，的值，由旋转的性质可得．分两种情况讨论：①当时，设与交于点，易得为的中位线，进而可得，，，然后由勾股定理计算的长；②当时，设与交于点，过点作，交延长线于点，易得为的中位线，进而求得，，的值，再证明四边形为矩形，可得，，然后在中，由勾股定理解得的长即可． 【详解】解：∵，，， ∴， ∵为斜边上的中线， ∴， 根据题意，将绕点旋转得对应线段，且与的直角边平行， 则， 分两种情况讨论： ①当时，如下图，设与交于点， 则，即， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴在中，； ②当时，如下图，设与交于点，过点作，交延长线于点， 则，即， ∵ ∴ ∴，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴四边形为矩形， ∴，， ∴， ∴在中，． 综上所述，的长为或． 故答案为：或． 地 城 考点05 根据正方形的性质证明 17．(24-25九上·河南信阳浉河区·期末)如图，点是正方形内一点，将绕点顺时针旋转，使点与点重合． (1)______； (2)若，求的度数； (3)与的位置关系是______． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】本题考查旋转，多边形的内角和，全等三角形的性质和判定，熟练掌握旋转的性质是解题的关键； （1）根据旋转的性质即可求解； （2）根据题意可知，即可得到，进而求解； （3）延长交于，根据结合四边形的内角和的定义，即可求解； 【详解】（1）解：将绕点顺时针旋转，使点与点重合， 即； 故答案为： （2）解：将绕点顺时针旋转至， ， ， 又，， ， ； （3）解：延长交于， ， ， ， ; ； 与的位置关系是； 故答案为： 18．(24-25九上·河南郑州高新技术产业开发区·期末)如图，在正方形中，点M，N分别是边，上的点，且，线段，相交于点E． (1)请用无刻度的直尺和圆规过点B作的垂线，交于点P，交于点Q（保留作图痕迹，不写作法）； (2)根据（1）中所作图形，判断四边形的形状，并说明理由． 【答案】(1)见解析 (2)四边形为平行四边形，理由见解析 【分析】（1）根据几何语言画出对应的图形即可； （2）由正方形得，，，再证明，得到，再根据，可得，即，再结合，得到，进而即可得证． 【详解】（1）解：如图 （2）四边形为平行四边形，理由如下： 四边形为正方形， ，， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， 四边形为平行四边形． 【点睛】本题考查了作图——复杂作图，垂线的作法，正方形的性质，全等三角形的判定与性质，平行四边形的判定，掌握以上知识是解题的关键． 19．(24-25九上·河南许昌禹州·期末)如图，E为正方形边上一点，连接，将绕点A顺时针旋转得到线段，连接．若，则线段长度的最小值为 ． 【答案】/ 【分析】如图，连接，在上截取，连接，证明，可得．当时，的值最小．过点M作于点N，再进一步求解即可． 【详解】解：如图，连接，在上截取，连接， ∵正方形，， ∴，，， ∵，， ∴， ∵， ∴， ． 当时，的值最小． 过点M作于点N， ∴， ． 故线段长度的最小值为． 故答案为： 【点睛】本题考查的是正方形的性质，勾股定理的应用，全等三角形的判定与性质，等腰直角三角形的性质，旋转的性质，作出合适的辅助线是解本题的关键． 20．(24-25九上·河南驻马店平舆县·期末)如图，正方形和正方形的边长分别为a和b，正方形绕点C旋转，给出以下结论：①；②；③；④.其中正确结论的序号是（   ） A．①②③ B．①②④ C．①③④ D．②③④ 【答案】C 【分析】本题考查旋转的性质、正方形的性质、全等三角形的判定及勾股定理，判定④的关键是熟练运用勾股定理解决问题． 连接的交点为M，交点为N，根据正方形的性质易证，即可证得，由此进一步判断①③正确；根据勾股定理可得，即可证得④正确．无法证明④正确，即可得到答案. 【详解】解：如图：连接的交点为M，交点为N， ∵四边形，四边形为正方形， ∴， ∴， ∴， ∴，故①正确； ∵， ∴， ∵， ∴ ∴， ∴, 故③正确； ∵， ∴， ∴， ∴． ∵， ∴． ∴，故④正确， 无法证明， 故②不正确， 故选：C． 21．(24-25九上·河南开封祥符区·期末)【问题情景】 数学实践小组的同学利用两个正方形进行了如下的探究与操作： 将正方形的点D和正方形的点E重合，并旋转正方形同时确保点H在正方形内部，在旋转中同学们尝试对此情景进行画图，提出了不同的研究方向． (1)【思考尝试】 如图1，同学们发现，连接、后，随着旋转，和有着一定的数量关系，请在图1中补全图形，并证明和的数量关系； (2)【应用迁移】 如图2，励志小组继续旋转，发现三点共线时，可以由正方形和正方形的边长求出的长，若，，请你思考并求的长． (3)【拓展探究】励志小组在旋转正方形时，发现并提出新的探究点：如图3，连接、，当正方形旋转时，的形状和面积也随之改变，若，，直接写出的面积的取值范围． 【答案】(1)补全图形见解析，，证明见解析 (2) (3)． 【分析】（1）根据题意补全图形，利用证明即可证明； （2）连接，，利用正方形的性质求得，，由，推出，，证明，设，在中，利用勾股定理列式计算即可求解； （3）当点运动到线段上时，有最小值，当点运动到延长线上时，有最大值，据此画出图形，利用三角形的面积公式即可求解． 【详解】（1）解：补全图形如图所示： .证明如下： ∵正方形和正方形， ∴，，， ∴， ∴， ∴； （2）解：连接，， ∵正方形和正方形，，，， ∴，， 由（1）得， ∴，， ∴， 设， 在中，由勾股定理得， 即， 整理得， 解得， ∴； （3）解：如图， 当点运动到线段上时，有最小值， 最小值， ∴的最小值， 如图， 当点运动到延长线上时，有最大值， 最大值， ∴的最在值， ∴的面积的取值范围为． 【点睛】本题考查了旋转的性质，正方形的性质，勾股定理，全等三角形的判定和性质，二次根式的混合运算，解一元二次方程．正确引出辅助线解决问题是解题的关键． 地 城 考点06 证明四边形是正方形 22．(24-25九·河南平顶山·期末)下列说法正确的是（   ） A．对角线相等的四边形是矩形 B．对角线互相平分的矩形是正方形 C．对角线互相垂直的四边形是菱形 D．对角线相等的菱形是正方形 【答案】D 【分析】本题考查了菱形、矩形、正方形的判定，理解并掌握菱形、矩形、正方形的判定方法是解题的关键． 根据菱形，矩形，正方形的判定方法进行分析即可求解． 【详解】解：A、对角线相等的平行四边形是矩形，故原选项错误，不符合题意； B、对角线互相垂直的矩形是正方形，故原选项错误，不符合题意； C、对角线互相垂直的平行四边形是菱形，故原选项错误，不符合题意； D、对角线相等的菱形是正方形，正确，符合题意； 故选：D ． 23．(24-25九上·河南焦作·期末)如图，中，点是的中点，连接并延长，交的延长线于点． (1)请添加一个条件______使四边形为菱形，并说明理由； (2)在（1）的条件下，_______，四边形是正方形； (3)若，四边形的面积是_______． 【答案】(1) 或 ⊥ 等均可，理由见解析； (2) ； (3)． 【分析】（1）先证明四边形是平行四边形，再根据菱形的判定方法添加即可； （2）当时，四边形是正方形，设，则，然后根据勾股定理求解即可； （3）作交的延长线于H，然后根据四边形的面积与的面积相等求解即可． 【详解】（1）解：添加： 或 ⊥ ． ∵， ∴，， ∴． ∵点是的中点， ∴， ∴， ∴， ∴四边形是平行四边形， 若添加，则根据邻边相等的平行四边形是菱形可得四边形是菱形； 或若添加 ⊥ ，则根据对角线垂直的平行四边形是菱形可得四边形是菱形． 故答案为： 或 ⊥ ； （2）解：∵四边形是菱形， ∴当时，四边形是正方形，． ∵， ∴，， 设，则， ∴， ∴． 故答案为： ； （3）解：作交的延长线于H， ∵， ∴，， ∴，四边形的面积与的面积相等， ∴． ∵， ∴， ∴， ∴四边形的面积的面积． 故答案为：． 【点睛】本题考查了菱形的判定与性质，正方形的判定，勾股定理等知识，熟练掌握正方形的判定方法是解答本题的关键． 24．(24-25九上·河南实验中学·期末)如图，在中，，是边上的中线． (1)尺规作图：在直线右侧作射线，在射线上截取，连接．（保留作图痕迹，不写作法） (2)当满足什么条件时，四边形为正方形，并说明理由． 【答案】(1)图见解析 (2)当为等腰直角三角形，即时，四边形为正方形，理由见解析 【分析】本题考查作图—复杂作图、直角三角形斜边上的中线、正方形的判定，解题的关键是理解题意，灵活运用所学知识解决问题． （1）在的右侧作，再以点为圆心，的长为半径画弧，交射线于点，连接即可． （2）当是等腰直角三角形时，四边形为正方形．结合直角三角形斜边上的中线的性质、正方形的判定、等腰直角三角形的性质证明即可． 【详解】（1）解：如图，在的右侧作，再以点为圆心，的长为半径画弧，交射线于点，连接， 则射线、线段即为所求． （2）解：当是等腰直角三角形时，四边形为正方形． 理由：，， 四边形为平行四边形． ，是边上的中线， ， 四边形为菱形． 是等腰直角三角形， ， ， ， 四边形为正方形． 25．(24-25九上·河南郑州管城区·期末)如图，矩形中，，点P，Q分别为上一个动点，点P从A点出发，以每秒1个单位长度的速度向点D运动；点Q从C点出发，以每秒1个单位长度的速度向点B运动．两点同时出发，当点P到达点D时，两点同时停止运动，连接，交点为点E，连接，交点为点F，设点P的运动时间为t秒． (1)求证：四边形为平行四边形； (2)当四边形为矩形时，求t的值； (3)试判断四边形能否为菱形和正方形，若能，请求出t的值：若不能，请说明理由． 【答案】(1)见解析 (2)或 (3)可以是菱形但不能是正方形，，不能是正方形的理由见解析 【分析】本题考查的是矩形的性质、平行四边形的判定与性质及勾股定理、正方形证明， （1）先证明四边形和四边形是平行四边形，进而证明结论； （2）由题意得，则，根据勾股定理及矩形性质列方程求出即可； （3）当P为的中点时，四边形为菱形，并求出，结合（2）写出结论． 【详解】（1）证明：∵四边形是矩形， ∴， ∵由题意得， ∴， ∴四边形和四边形是平行四边形， ∴， ∴四边形是平行四边形； （2）解：∵四边形是矩形， ∴， 若四边形是矩形，则， 由题意得，则， 由勾股定理得：， ∴， 解得：，或， ∴或时，四边形是矩形； （3）解：可以是菱形但不能是正方形， 当P为的中点时， 此时， ∵ ， ， ， ， 由（1）知四边形为平行四边形， ∴四边形为菱形； 由（2）得： 或时，四边形是矩形， ∵既是矩形又是菱形的四边形是正方形， ∴四边形不可能为正方形 试卷第1页，共3页 2 / 45 学科网（北京）股份有限公司 $