精品解析：吉林省长春市第二中学2025-2026学年高二上学期11月期中数学试题

2025—2026学年度高二年级上学期 第二学程考试数学科试卷 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 经过A（0，2），B（-1，0）两点的直线的方向向量为（1，k），则k=（ ） A. 1 B. 2 C. D. 2. 已知点P为椭圆C： 上一点，且点和点分别为椭圆C的左、右焦点，若，则（ ） A. 5 B. 6 C. 7 D. 4 3. 已知双曲线 的焦点为，，点 在双曲线 上，满足，，则双曲线 的标准方程为（ ） A. B. C. D. 4. 设点为抛物线上一点，F为焦点，若，则（ ） A. B. 4 C. D. 5. 已知P是直线l：上一动点，过点P作圆C：的两条切线，切点分别为A、B，则四边形PACB的外接圆的面积的最小值为（ ） A. B. C. D. 6. 已知 是双曲线上的任意一点，过 作 的两条渐近线的垂线，垂足分别为，则的取值范围是（ ） A. B. C. D. 7. 在平面直角坐标系 中，已知直线与交于点 ，点是抛物线上一动点，则的最小值为（ ） A. B. C. D. 8. 在平面直角坐标系 中，双曲线的右焦点为 ，点 ， 在 的右支上，且，点 关于原点 的对称点为 .若，则 的离心率为（ ） A. B. C. D. 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9. 已知椭圆 ：的左、右焦点分别是、，点 为椭圆 上一点， 则下列关于椭圆 的结论正确的有（    ） A. 长轴长为 B. 离心率为 C. 的周长为 D. 的面积为 10. 下列命题正确的是（ ） A. 若直线 过定点且与以为端点的线段有交点，则直线 的斜率 的取值范围是 B. 两平行直线与之间的距离是 C. 过点作圆的切线，则切线方程为 D. 圆关于直线对称的圆的方程为： 11. 已知圆和圆相交于 ､ 两点，下列说法正确的为（ ） A. 两圆有两条公切线 B. 直线 的方程为 C. 线段 的长为 D. 圆 上点 ，圆 上点 ，的最大值为 三、填空题：本大题共3小题，每小题5分，共15分． 12. 直线经过的定点坐标是__________． 13. 已知抛物线的焦点为 ，过点 的直线与 交于两点，若，则__________. 14. 设、是椭圆 的两个焦点，若椭圆上点 满足，记的外接圆和内切圆半径分别是 、 ，则的值为______． 四、解答题：本大题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15. 在平面直角坐标系中，，，动点 满足，设动点 的轨迹为曲线 . （1）求曲线 的轨迹方程； （2）若直线与曲线 交于A，B两点，求； 16. 已过抛物线C：的焦点为 ，且抛物线的焦点到准线的距离为2． （1）求抛物线 的方程 （2）过点的直线 与抛物线 交于两点，且 为 的中点，求直线 的方程． 17. 已知双曲线，焦点为，其中一条渐近线的倾斜角为，点 在双曲线上，且. （1）求双曲线 的标准方程； （2）若直线交 于两点，若 的面积为，求正实数 的值. 18. 已知椭圆 的左､右焦点分别为点 在 上，的周长为，面积为 （1）求 的方程. （2）设 的左､右顶点分别为，过点的直线 与 交于两点，记直线 的斜率为，直线 的斜率为，则__________.(从以下①②③三个问题中任选一个填到横线上并给出解答). ①求直线 和 交点的轨迹方程； ②是否存在实常数 ，使得恒成立； ③过点 作关于轴的对称点，连结得到直线，试探究：直线是否恒过定点. 19. 定义：对椭圆及任意一点，称直线为 关于点 的“极线”. 结论1：若点 在椭圆 上，则 关于点 的极线就是 在点 处的切线. 结论2（椭圆的光学性质）：从椭圆一个焦点发出的光线照射到椭圆上，其反射光线会经过另一个焦点. 试根据上面的定义和结论解决下列问题： 已知是椭圆的两个焦点， 关于点的极线与 相交于两点. （1）求； （2）设 在点 处的切线为，在点 处的切线为，过在上且在 外一点 作 的两条切线，切点分别为,证明：直线相交于一点； （3）若是 上除顶点以外的任意一点，直线和分别与直线相交于点，证明：为定值. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2025—2026学年度高二年级上学期 第二学程考试数学科试卷 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 经过A（0，2），B（-1，0）两点的直线的方向向量为（1，k），则k=（ ） A. 1 B. 2 C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据直线的斜率公式即可求出. 【详解】经过两点的直线的方向向量为（1，k）， 所以 ，解得 故选：B 2. 已知点P为椭圆C：上一点，且点和点分别为椭圆C的左、右焦点，若，则（ ） A. 5 B. 6 C. 7 D. 4 【答案】B 【解析】 【分析】根据题意，由椭圆的定义，即可得到结果. 【详解】因为椭圆C：，则，由题意定义可得，且，则. 故选：B 3. 已知双曲线 的焦点为，，点 在双曲线 上，满足，，则双曲线 的标准方程为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】由题意可知，求解即可 【详解】由题意可知双曲线方程为且， 解得， 所以双曲线 的标准方程为， 故选：B 4. 设点为抛物线上一点，F为焦点，若，则（ ） A. B. 4 C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】先根据抛物线的标准方程求出其焦点坐标和准线方程，再利用抛物线的定义求出点 的横坐标，最后将代入抛物线方程求出纵坐标. 【详解】在抛物线中，，则，所以焦点 的坐标为，准线方程为. 已知点到焦点 的距离，则点 到准线的距离也为 ，即，解得. 因为点在抛物线上，且，所以. 又因为，所以. 故选：A. 5. 已知P是直线l：上一动点，过点P作圆C：的两条切线，切点分别为A、B，则四边形PACB的外接圆的面积的最小值为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】由四边形PACB的外接圆的直径为PC，且其最小值为圆心C到直线的距离求解. 【详解】圆的方程，即为，圆心， 易知四边形PACB的外接圆的直径为PC， PC的最小值为圆心C到直线的距离，即， 则四边形PACB的外接圆的半径为， 所以四边形PACB的外接圆的面积的最小值为. 故选：D 6. 已知 是双曲线上的任意一点，过 作 的两条渐近线的垂线，垂足分别为，则的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据题意作图，利用点到直线的距离公式结合双曲线的渐近线方程计算求解. 【详解】 如图，由题意，设，则，即． 因为渐近线方程为，所以， 因为，所以. 故选：D. 7. 在平面直角坐标系 中，已知直线与交于点 ，点是抛物线上一动点，则的最小值为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】分析可知点 在以 为直径的圆上（不含），根据抛物线的定义可得，结合圆下性质可得，再根据几何性质即可得结果. 【详解】直线，即，可知直线过定点； 直线，即，可知直线过定点； 且，则， 可知点 在以 为直径的圆上（不含），此时圆心为，半径. 因为抛物线的焦点为，准线为 ， 且点是抛物线上一动点，则，即， 可得， 当且仅当点 在线段上时，等号成立， 又因为，当且仅当点 在线段上时，等号成立， 即， 所以的最小值为. 故选：A. 【点睛】方法点睛：对于圆锥曲线小题，常常利用定义转化，并结合图形解决问题. 8. 在平面直角坐标系 中，双曲线的右焦点为 ，点 ， 在 的右支上，且，点 关于原点 的对称点为 .若，则 的离心率为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】设双曲线的左焦点为，连接、、、，根据对称性及已知条件可得四边形为矩形，设，根据双曲线的定义表示出，，在中利用勾股定理得到，再在中利用勾股定理得到 、的关系，即可得解. 【详解】设双曲线的左焦点为，连接、、、，如图所示， 根据双曲线的对称性可知四边形为平行四边形， 又因为，所以四边形为矩形， 设，因为，则， 由双曲线的定义可得：，， 又因为为直角三角形， 所以，即，解得， 所以，， 又因为为直角三角形，， 所以，即， 所以，即. 故选：D. 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9. 已知椭圆 ：的左、右焦点分别是、，点 为椭圆 上一点， 则下列关于椭圆 的结论正确的有（    ） A. 长轴长为 B. 离心率为 C. 的周长为 D. 的面积为 【答案】BCD 【解析】 【分析】根据椭圆的方程求出 ， ，，再结合椭圆定义与椭圆的几何性质即可分别判断正误求解. 【详解】由椭圆方程可知：，所以， 所以：离心率，所以选项B正确； 长轴，所以选项B错误； 由椭圆的定义可知：， 所以的周长为，所以选项C正确； 设，所以，因为， 所以由勾股定理可得：，即：， 化简得：， 解之得：或，即：或， 所以的面积为： ，故选项D正确. 故选：BCD. 10. 下列命题正确的是（ ） A. 若直线 过定点且与以为端点的线段有交点，则直线 的斜率 的取值范围是 B. 两平行直线与之间的距离是 C. 过点作圆的切线，则切线方程为 D. 圆关于直线对称的圆的方程为： 【答案】ACD 【解析】 【分析】对于A，由数形结合即可判断；对于B，由距离公式即可求解；对于C，由圆心到直线的距离等于半径即可求解；对于D，确定圆心的对称点，即可判断； 【详解】对于A：，如图， 由图可知，或，故A正确； 对于B：直线，即， 则直线与之间的距离，故B不正确； 对于C：因为点在圆上，，所以切线的斜率， 所以切线方程为，即，故C正确； 对于D：圆的圆心为， 圆的圆心为，且半径均为1， 点与的中点为， 因为在直线上，且，由直线的斜率， 所以，所以点与关于直线对称，故D正确. 故选：ACD 11. 已知圆和圆相交于 ､ 两点，下列说法正确的为（ ） A. 两圆有两条公切线 B. 直线 的方程为 C. 线段 的长为 D. 圆 上点 ，圆 上点 ，的最大值为 【答案】ABD 【解析】 【分析】由给定条件判断圆O与圆M的位置关系，再逐项分析、推理、计算即可作答. 【详解】圆的圆心，半径，圆的圆心，， ，显然有，于是得圆O与圆M相交， 圆O与圆M有两条公切线，A正确； 由得：，则直线 的方程为，B正确； 圆心O到直线 ：的距离， 则，C不正确； ，当且仅当点E，O，M，F四点共线时取“=”，如图， 因此，当点E，F分别是直线OM与圆O交点，与圆M交点时，，D正确. 故选：ABD 三、填空题：本大题共3小题，每小题5分，共15分． 12. 直线经过的定点坐标是__________． 【答案】 【解析】 【分析】化直线方程为，即可得出答案. 【详解】化直线方程为：，即定点坐标为． 故答案为：. 13. 已知抛物线的焦点为 ，过点 的直线与 交于两点，若，则__________. 【答案】 【解析】 【分析】延长 与准线相交，利用抛物线的定义以及相似比即可求出. 【详解】如图，设直线 与准线交于点 ，分别过点作准线的垂线，垂足为，且准线与 轴的交点为， 则由抛物线的定义可知，，， 则，即，得， 又，则，得. 故答案为： 14. 设、是椭圆的两个焦点，若椭圆上点 满足，记的外接圆和内切圆半径分别是 、 ，则的值为______． 【答案】3 【解析】 【分析】利用正弦定理、余弦定理结合等积法可求的值. 【详解】 由椭圆的标准方程可得. 设，则, 在中，由余弦定理有， 故，故， 故， 而，故即， 由正弦定理可得，故. 故答案为： . 四、解答题：本大题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15. 在平面直角坐标系中，，，动点 满足，设动点 的轨迹为曲线 . （1）求曲线 的轨迹方程； （2）若直线与曲线 交于A，B两点，求； 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）设，由题意，利用两点间的距离公式即可求解； （2）先求出圆心到直线的距离，然后根据弦长公式即可求解. 【小问1详解】 设，因为， 满足，即， 即，整理得， 所以曲线 的轨迹方程为. 【小问2详解】 圆心到直线的距离， 所以. 16. 已过抛物线C：的焦点为 ，且抛物线的焦点到准线的距离为2． （1）求抛物线 的方程 （2）过点的直线 与抛物线 交于两点，且 为 的中点，求直线 的方程． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）根据抛物线中 的几何意义得解； （2）利用点差法求解. 【小问1详解】 因为抛物线的焦点到准线的距离为2，故， 所以． 【小问2详解】 设，，如下图： 则， 由，得， 若，则A、B关于x轴对称，为AB中点不符合题意； 若，则， 所以直线 的方程为，即． 17. 已知双曲线，焦点为，其中一条渐近线的倾斜角为，点 在双曲线上，且. （1）求双曲线 的标准方程； （2）若直线交 于两点，若 的面积为，求正实数的值. 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）利用双曲线的定义和渐近线方程即可求得双曲线的标准方程. （2）联立双曲线和直线方程，利用韦达定理表示出弦长，即可得出答案. 【小问1详解】 由条件知，， 故. 即双曲线标准方程为. 【小问2详解】 设， 到直线 的距离为 ， 联立得， 由，解得， 又，故， 而又由， 故弦长，， 又， 解得，， 又，故. 18. 已知椭圆 的左､右焦点分别为点 在 上，的周长为，面积为 （1）求 的方程. （2）设 的左､右顶点分别为，过点的直线 与 交于两点，记直线 的斜率为，直线 的斜率为，则__________.(从以下①②③三个问题中任选一个填到横线上并给出解答). ①求直线 和 交点的轨迹方程； ②是否存在实常数 ，使得恒成立； ③过点 作关于 轴的对称点，连结得到直线，试探究：直线是否恒过定点. 【答案】（1）；（2）答案见解析. 【解析】 【分析】（1）由题意列出关于的方程组解出即可得结果； （2）选择①，与椭圆方程联立结合韦达定理得出，再将 与 的方程联立即可得出结果；选择②与①相似，直接代入计算即可；选择③直线与 轴交于点 ，由对称性可知，，结合韦达定理解出即可得结果. 【详解】（1）依题意，得， 即，解得 所以 的方程 （2）选择①，设直线 的方程为， 联立方程，化简整理，得， 假设，由韦达定理，得， 得 直线 的方程：；直线 的方程：； 联立方程，得，两式相除，得 ， 即，解得，所以直线 和 交点的轨迹方程是直线. 选择②联立方程，化简整理，得， 假设，由韦达定理，得， 得 于是 故存在实数，使得恒成立. 选择③， 联立方程，得，化简整理，得， 由韦达定理，得， 直线与 轴交于点 ，由对称性可知，， 假设，即， 则， 所以， 即，解得 ， 所以直线恒过定点. 【点睛】关键点点睛：得出利用整体代换思想是解决①②的关键；根据对称性得出定点以及是解决③的关键. 19. 定义：对椭圆及任意一点，称直线为 关于点 的“极线”. 结论1：若点 在椭圆 上，则 关于点 的极线就是 在点 处的切线. 结论2（椭圆的光学性质）：从椭圆一个焦点发出的光线照射到椭圆上，其反射光线会经过另一个焦点. 试根据上面的定义和结论解决下列问题： 已知是椭圆的两个焦点， 关于点的极线与 相交于两点. （1）求； （2）设 在点 处的切线为，在点 处的切线为，过在上且在 外一点 作 的两条切线，切点分别为,证明：直线相交于一点； （3）若是 上除顶点以外的任意一点，直线和分别与直线相交于点，证明：为定值. 【答案】（1）3 （2）证明：根据所给结论可知分别是 关于点的极线， 如图（1），取，则. 由解得所以和交于点， 要证明直线相交于一点，只需证明直线 过点即可. 设. 根据所给结论，可知直线，直线. 因为直线和都经过点，所以， 所以直线 的方程为，将代入，得，方程也成立， 所以直线 过点，故直线相交于一点. （3）证明：由题意， 在 点处的切线方程为，则 与平行，且经过坐标原点. 如图（2）所示，由椭圆的光学性质，可知. 又因为，所以，所以，所以. 过作，与 交于点 ，则，所以. 另一方面，因为，所以， 从而，所以. 因此，故为定值. 【解析】 【分析】（1）先求的方程为，联立可得； （2）先求得和交于点，再求得直线 的方程为，也过，即可证； （3） 在 点处的切线方程为，则 与平行，由椭圆的光学性质可得，即为定值. 【小问1详解】 根据定义，可得的方程为，即， 将其代入 的方程得，解得， 不妨取，所以. 【小问2详解】 略 【小问3详解】 略 【点睛】关键点点睛：本题第二问证明三点共线，先求两条直线的交点，再证交点在第三条直线上即可.第三问先考虑 在 点处的切线方程为与 平行，进而根据椭圆的光学性质和平面几何相关知识可得. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $