期末总复习讲义03 有理数的运算 2025-2026学年沪教版（五四制）六年级数学上册

该初中数学讲义通过分模块框架梳理有理数运算知识体系，将加减、乘除、乘方及混合运算四大知识点按“法则梳理-例题解析-变式应用”递进呈现，借助表格对比运算符号法则，思维导图串联混合运算顺序，清晰呈现“概念-法则-应用”内在逻辑，突出符号确定、运算顺序等重难点。 练习设计注重分层与实践，基础题如“有理数加减简便运算”强化运算能力，实际应用题如“记录跑步距离变化”“新能源汽车能耗对比”，引导学生用数学语言表达现实问题，培养模型意识与数据意识，配套错题辨析和解题技巧总结，助力不同层次学生提升，为教师精准教学提供系统支持。

六年级数学期末总复习讲义 第3课 有理数的运算 知识点梳理 知识点01——有理数的加减 知识点02——有理数的乘除 知识点03——有理数的乘方 知识点04——有理数的混合运算 知识点01 有理数的加减 1. 加法法则： ①同号两数相加，取相同的符号，并把绝对值相加； ②异号两个数相加，绝对值相等时和为0；绝对值不等时，取绝对值较大加数的符号，并用较大的绝对值减较小的绝对值． ③一个数同0相加，仍得这个数； 2. 减法法则：减去一个数，等于加这个数的相反数.即a-b=a+(-b). 例题讲解 例1计算（新教材）． (1) (2) (3) 【答案】(1) (2) (3) 【分析】本题考查了求一个数的绝对值，有理数加减中的简便运算，解题关键是掌握上述知识点并能运用求解． （1）同分母的先相加； （2）小数化为分数，同分母的先相加； （3）先化去绝对值，再加同分母的先相加． 【详解】（1）解： ； （2） ； （3） ． 例2为备战学校秋季运动会，小明记录了9月21日至25日每日跑步的距离，正数表示比前一天多跑的距离，负数表示比前一天少跑的距离．已知9月20日小明跑步1000米，具体每日距离变化如表： 日期 9月21日 9月22日 9月23日 9月24日 9月25日 距离变化/米 (1)小明在9月21日、22日各跑步多少米？ (2)小明在这5天的跑步练习中，跑步最多的一天是多少米？ (3)小明在这5天的跑步练习中，累计跑步多少米？ 【答案】(1)米；米 (2)米 (3)累计跑步米 【分析】本题考查正负数的应用，有理数加减运算解决实际问题，读懂题意，准确得到每天跑步距离是解决问题的关键． （1）按照每日距离变化表，直接计算即可得到答案； （2）按照每日距离变化表，直接计算这5天跑步距离即可得到答案； （3）由（2）中各天跑步距离直接求和即可得到答案． 【详解】（1）解：9月21日：（米）， 9月22日：（米）， 答：小明在9月21日跑步米、22日跑步米； （2）解：9月21日：（米）， 9月22日：（米）， 9月23日：（米）， 9月24日：（米）， 9月25日：（米）， 9月25日是跑步最多的一天，是（米）； （3）解：由（2）中各天跑步距离可得，（米） 答：累计跑步米． 变式训练1.计算：． 【答案】 【分析】本题考查有理数的加减混合运算，解题的关键是利用加法交换律和结合律进行简便计算． 通过观察式子，将同分母的分数结合，小数结合，再分别计算，最后求和． 【详解】解： ． 变式训练2：小海家新换了一辆新能源汽车，他以每天平均行驶50千米为标准，连续一周记录了实际行驶路程与标准的差值（多于记为正，不足记为负，刚好记为0），数据如下表： 时间 第一天 第二天 第三天 第四天 第五天 第六天 第七天 与标准差值（） 0 (1)这七天中，行驶路程最多的一天比最少的一天多走了多少千米？ (2)小海家的新能源汽车这七天实际一共行驶了多少千米？ (3)已知他家原来的燃油车每100千米耗油升，汽油单价元/升；新能源汽车每100千米耗电15千瓦时，充电单价元/千瓦时．则这七天使用新能源汽车比燃油车节省了多少元？ 【答案】(1)17 (2)366 (3) 【分析】本题考查有理数的混合运算，正数和负数，理解题意并列出正确的算式是解题的关键． （1）由表格数据得出最大的数与最小的数，将其作差并计算即可； （2）用再加上表中数据的和列式计算即可； （3）结合（2）中所求结果列式分别计算两种方式的费用，然后计算比较即可． 【详解】（1）解：， 即这 7 天里路程最多的一天比最少的一天多走； （2）解： 千米， 即小海家的新能源汽车这七天实际一共行驶了366千米； （3）解：用汽油的费用：元， 用电的费用：元， ， 即这七天使用新能源汽车比燃油车节省了元． 知识点02 有理数的乘除 1.乘法法则： ①两数相乘，同号得正，异号得负，并把绝对值相乘. ②任何数同0相乘，都得0. 2.多个有理数相乘 （1）几个数相乘，若其中有因数0，则积等于0． （2）几个不是0的有理数相乘，负因数的个数是偶数时，积为正；负因数的个数是奇数时，积为负，即先确定符号，再把绝对值相乘． 3.除法法则：除以一个不等于0的数，等于乘这个数的倒数即ab=a(b≠0) :4.运算律 ①乘法交换律：ab=ba ②乘法结合律：(ab)c=a(bc) ③分配律：a(b+c)=ab+ac 例题讲解 例3简便计算： 【答案】 【分析】本题考查了有理数四则混合运算，通过观察，发现各项有因数，逆用乘法分配律，提取公因数，即可简化计算． 【详解】解： ． 变式训练1：计算（衔接教材）． (1) (2) (3) 【答案】(1) (2) (3) 【分析】本题考查了有理数的乘法运算律，正确掌握相关运算法则及运算律是解题的关键． （1）先去小括号，再运用有理数的乘法运算律进行计算，即可作答． （2）先把除法化为乘法，再运用有理数的乘法运算律进行计算，即可作答． （3）先通分小括号，再把除法化为乘法，然后根据乘法法则进行计算，即可作答． 【详解】（1）解： ； （2）解： ； （3）解： ． 变式训练2：老师请同学们计算：，小明、小华和小海三位同学分别用不同的方法对这个问题进行了解答： 小明：原式： 小华：原式 小海：原式的倒数 ．所以，原式． (1)请观察上述三位同学的解法，其中解法错误的是______同学． (2)请你选择恰当的方法计算：． 【答案】(1)小明； (2)． 【分析】本题主要考查了有理数的四则混合计算，乘法分配律，熟知相关计算法则是解题的关键． （1）小明的解法中，再去括号时，错误使用除法分配律； （2）仿照小海的解法求解即可． 【详解】（1）解：观察解题过程可知，小明的解法错误，错误原因是不能利用除法分配律去“”后面的括号； （2）解：原式的倒数 ， ∴原式． 知识点03 有理数的乘方 1.乘方的定义：求n个相同乘数积的运算叫做乘方. ，读作a的n次方．在中，叫做底数，叫做指数，一个数可以看作这个数本身的1次方，指数1通常省略不写． 2.乘方运算的符号法则： ①负数的奇次幂是负数，负数的偶次幂是正数； ②正数的任何次幂都是正数，0的任何非零次幂都是0. 注意事项：表示2的4次幂的相反数，与（-2）4意义不一样. 例题讲解 例4．计算：． 【答案】 【分析】根据有理数的乘方，绝对值的性质进行求解即可； 【详解】解：原式= =． 【点睛】本题主要考查有理数的混合运算，掌握相关运算法则是解题的关键． 变式训练1：计算： 【答案】 【分析】本题考查的是有理数的混合运算，先计算乘方，再计算乘除即可． 【详解】解： ． 变式训练2：学校数学兴趣小组在开展探究活动中发现，“三角形数”、、、，与“正方形数”、、、之间有一定的联系，他们将“正方形数”、、分别用如图图形表示． (1)数学九章兴趣小组从图中观察发现，“正方形数”，，，得出：任何一个大于的“正方形数”都可以看作两个相邻“三角形数”之和可以看作两个相邻“三角形数”之和， ____________； (2)数学勾股兴趣小组观察图形并结合“正方形数”特点，发现如下规律：；；；仿照上述规律， ____________； (3)结合两个兴趣小组发现的规律，将“正方形数”写成两个相邻“三角形数”之和， ____________． 【答案】(1)， (2)， (3)， 【分析】本题考查了规律型：数字的变化类：通过从一些特殊的数字变化中发现不变的因素或按规律变化的因素，然后推广到一般情况 （1）观察图象中点的个数的规律有，，，则按照此规律得到； （2）观察图象中点的个数的规律有，，，则按照此规律得到3； （3），然后求和即可． 【详解】（1）解：∵， ， ， ∴； 故答案为：，； （2）解：∵， ， ， ∴， 故答案为：，； （3）解： ， 故答案为：，． 知识点04 有理数的混合运算 1.有理数的混合运算顺序： ①先乘方，再乘除，最后加减； ②同级运算，从左到右进行； ③如有括号，先做括号内的运算，按小括号、中括号、大括号依次进行. 2.常见的运算律 加法交换律： a+b=b+a 加法结合律： (a+b)+c=a+(b+c) 乘法交换律： a×b=b×a 乘法结合律： (a×b)×c=a×(b×c) 乘法分配律： a×（b+c）=a×b+a×c 例题讲解 例计算： (1)； (2)； (3)； (4)． 【答案】(1) (2) (3) (4) 【分析】本题考查的是有理数的加减混合运算，乘除混合运算，含乘方的混合运算，熟记混合运算的运算顺序是解本题的关键. （1）根据有理数加减运算法则计算即可； （2）根据有理数乘除混合运算法则计算即可； （3）先计算乘方，绝对值，再计算除法，最后计算加减运算即可； （4）先计算乘方，再计算乘除，最后计算加减法即可得到答案． 【详解】（1）解： ； （2）解： ； （3）解： ； （4）解： ． 变式训练1：以下是小杰同学计算的过程： 解：原式             ①                  ②                        ③                                ④ (1)以上解题过程中，最开始出现错误的是第_________步（填序号）： (2)写出正确的解答过程 【答案】(1)② (2)，过程见解析 【分析】本题考查了含乘方的有理数混合运算．熟练掌握有理数的乘除混合运算法则，是解题的关键． （1）根据含乘方的有理数混合运算法则判断作答即可； （2）根据含乘方的有理数混合运算法则，先算乘方，再算乘除，最后算加减，有小括号的先算小括号里面的，进行解答即可． 【详解】（1）解：由题意知，乘除混合运算时，从左向右依次计算， ∴解题过程中开始出现错误的步骤是②， 故答案为：②； （2）解： ． 变式训练2：如图所示为一种数值转换机的运算程序． (1)输入分数，输出的结果为______； (2)输入分数，输出的结果为_______； (3)如果输出的结果是，那么输入的分数是多少？ 【答案】(1) (2) (3)或或或 【分析】此题将计算机编程流程与数学结合，题型新颖，考查了正负数的认识，有理数的加减法和相反数，正确计算是解题的关键． （1）先判断是负数，再进行的计算，判断结果为负数，直接输出即可； （2）先判断出是正数，再进行的计算，结果为正数，再取相反数即可； （3）要对输出结果进行分类讨论，前一程序结果是和进行逆向运算，并要验证是否符合题意即可． 【详解】（1）解：因为是负数，所以运算为， 所以输出结果为． （2）解：因为是正数，所以运算为， 所以输出结果为的相反数为． （3）解：如果输出的结果是，那么可分两种情况讨论： ①输出之前是取了相反数，使得结果为，则有，符合题意； ，符合题意； ②输出之前是未取相反数，结果就是，则有，符合题意 ，符合题意； 所以输入的分数为或或或． 课后练习 一、单选题 1．（25-26六年级上·上海松江·期中）的倒数是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据倒数的定义即可得出答案． 【详解】解：的倒数是． 故选：C． 【点睛】本题考查的是有理数的倒数的定义，注意与相反数的定义区分开来． 2．（24-25六年级上·上海黄浦·期末）的计算结果是（    ） A． B．27 C． D．9 【答案】A 【分析】本题主要考查有理数的乘方运算．根据有理数的乘方运算求解即可． 【详解】解：， 故选：A． 3．（24-25六年级上·上海闵行·期末）下列各组运算中，结果相等的是（    ） A．和 B．和 C．和 D．和 【答案】D 【分析】根据有理数的乘方运算逐项分析，即可求解． 【详解】解：A．和，故该选项不符合题意； B．和，故该选项不符合题意； C．和，故该选项不符合题意；     D．和，故该选项符合题意； 故选：D． 【点睛】本题考查了有理数的乘方，熟练掌握有理数的乘方的运算法则是解题的关键． 4．（25-26六年级上·上海·期中）若已知有理数，满足：，，则下列说法中正确的是（   ） A．一定是负数 B．一定不小于0 C．一定是正数 D．一定是非负数 【答案】D 【分析】本题考查了绝对值的性质、有理数的加法与减法，熟练掌握绝对值的性质是解题关键．根据绝对值的性质可得一定是非负数，一定是非正数，再根据有理数的加法与减法法则进行判断即可得． 【详解】解：∵，， ∴一定是非负数，一定是非正数，则选项A错误；选项D正确； 不一定不小于0，如：，此时，则选项B错误； 不一定是正数，如：，此时，则选项C错误； 故选：D． 5．（24-25六年级上·上海黄浦·阶段测试）下列命题中，正确的是（    ） A．若，则， B．若，则， C．若，则且 D．若，则或 【答案】D 【分析】本题考查了命题与定理，有理数的乘法，解答本题的关键是熟练掌握有理数乘法运算法则． 根据两个有理数相乘，同号为正，异号为负求解即可． 【详解】解：若，则，或，，故A，B错误； 若，则或，故C错误，D正确． 故选：D． 6．（24-25六年级上·上海·期中）下列说法：①0的倒数是0；②若且，则a，b异号且负数的绝对值较大；③如果，那么a，b中至少有一个为0；④几个有理数相乘，若有奇数个负因数，则积为负数，其中正确的结论有（  ）． A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】B 【分析】本题考查倒数，有理数的乘法，关键是掌握倒数的定义，有理数乘法的运算法则． 由倒数的定义，有理数乘法的运算法则，即可判断． 【详解】解：①0 没有倒数，故①不符合题意； ②若且，则异号且负数的绝对值较大，正确，故②符合题意； ③如果，那么中至少有一个为0，正确，故③符合题意； ④几个不为 0 的有理数相乘，若有奇数个负因数，则积为负数，故④不符合题意， ∴其中正确的结论有 2 个． 故选：B． 二、填空题 7．（24-25六年级上·上海浦东新·期中）计算： ． 【答案】 【分析】本题主要考查了有理数加法计算，直接根据有理数的加法计算法则求解即可． 【详解】解： ， 故答案为：． 8．（24-25六年级上·上海徐汇·期末）计算： ． 【答案】 【分析】根据减法运算法则进行计算即可． 【详解】解：． 故答案为：． 【点睛】本题主要考查了有理数减法运算，解题的关键是减去一个数等于加上这个数的相反数． 9．（24-25六年级上·上海静安·期中） ； 【答案】-125 【分析】根据有理数乘除运算法则计算即可． 【详解】解：原式 【点睛】本题考查了有理数乘除运算法则，正确运用有理数除法法则是解题关键． 10．（24-25六年级上·上海嘉定·期末）计算： ． 【答案】1 【分析】本题主要考查了有理数的乘除混合运算．先将除法运算转化成乘法运算，后按从左到右的顺序进行计算． 【详解】解：， 故答案为：1． 11．（25-26六年级上·上海虹口·期中）如图是一个“数值转换机”，如果输出的结果为16，那么输入的a值是 ． 【答案】 【分析】本题考查了有理数的混合运算，熟练掌握运算法则是解题的关键． 根据“数值转换机”得到，然后求出，再根据乘方的逆运算求解． 【详解】解：由题意得，， ∴， ∵， ∴， 故答案为：． 12．（24-25六年级上·上海·期中）已知，则 ． 【答案】8或/或8 【分析】本题考查有理数的乘方，先计算出x和y的值，再进行乘方运算． 【详解】解：， ， 当时，， 当时，， 故答案为：8或． 13．（25-26六年级上·上海青浦·期中）比较大小： (填“”，“”或“”)． 【答案】 【分析】本题考查了循环小数化为分数，分数的大小比较；将循环小数转化为分数，再与通分比较大小． 【详解】解：设，则，两式相减得，所以． ，． 由于，所以． 故答案为：． 14．（25-26六年级上·上海·期中）已知a、b互为相反数，c、d互为倒数，，则的值为 ． 【答案】2或0 【分析】本题主要考查了代数式求值，相反数，倒数定义，绝对值意义，由a、b互为相反数可得，进而；由c、d互为倒数可得，进而；由可得或．代入表达式化简计算即可． 【详解】解：∵a、b互为相反数， ∴， ∴． ∵c、d互为倒数， ∴， ∴． ∴． ∴原式． 又∵， ∴或． 当时，，原式； 当时，，原式． 故答案为：2或0． 15．（24-25六年级上·上海·阶段练习）我们常用的数是十进制数，如，十进制数要用10个数码（又叫数字）：0、1、2、3、4、5、6、7、8、9．在电子计算机中用的二进制，只要两个数码：0和1，如二进制中等于十进制的数6，二进制中等于十进制的数53．那么二进制中的数101011等于十进制中的数是 ．（注：，）． 【答案】43 【分析】分析：利用新定义得到，然后根据乘方的定义进行计算． 本题考查了有理数的乘方：有理数乘方的定义：求n个相同因数积的运算，叫做乘方． 【详解】解：， ∴二进制中的数101011等于十进制中的43． 故答案为：43． 16．（24-25六年级上·上海黄浦·阶段测试）“转化”是一种解决问题的常用策略，有时画图可以帮助我们找到转化的方法．例如借助图①，可以把算式1＋3＋5＋7＋9＋11转化为62＝36，请你观察图②，可以把算式转化为 ． 【答案】 【分析】根据图形观察发现，把正方形看作单位“1”，即算式可以转化成，再求出答案即可． 【详解】解：把正方形看作单位“1”，由图可得， ， 故答案为：． 【点睛】本题考查了有理数的混合运算和数据分析能力，同时还考查了数据的推理能力． 三、解答题 17．（24-25六年级上·上海杨浦·阶段测试）计算： （1）（﹣4）﹣（﹣2）+（﹣9）+3.5； （2）（﹣1）÷（0.75）×（﹣1）÷3×（﹣0.5）2； （3）（﹣3）2﹣（1）36； （4）（3）×（﹣62）． 【答案】（1）﹣8；（2）；（3）；（4）81 【详解】【分析】（1）根据有理数的加减法可以解答本题； （2）根据有理数的乘方、有理数的乘除法可以解答本题； （3）根据有理数的乘方、有理数的乘除法和减法可以解答本题； （4）根据有理数的乘方、乘法分配律可以解答本题． （1）（﹣4）﹣（﹣2）+（﹣9）+3.5 ＝（﹣4）+2（﹣9）+3.5 ＝[（﹣4）+（﹣9）]+（23.5） ＝（﹣14）+6 ＝﹣8； （2）（﹣1）÷（0.75）×（﹣1）÷3×（﹣0.5）2 ＝（﹣1）（） ＝1 ； （3）（﹣3）2﹣（1）36 ＝96 ＝99 ； （4）（3）×（﹣62） ＝（3）×（﹣36） （﹣36）﹣3×（﹣36）（﹣36）（﹣36） ＝（﹣18）+108+（﹣30）+21 ＝81． 18．（24-25六年级上·上海宝山·阶段测试）科技改变生活，当前网络销售日益盛行，许多农商采用网上销售的方式进行营销，实现脱贫致富，小王把自家种的柚子放到网上销售，计划每天销售100千克，但实际每天的销售量与计划销售量相比有增减，超过计划量记为正，不足计划量记为负，下表是小王第一周柚子的销售情况： 星期 一 二 三 四 五 六 日 柚子销售超过或不足计划量情况（单位：千克） (1)求小王第一周销售柚子最多的一天比最少的一天多销售多少千克． (2)求小王第一周实际销售柚子的总量是多少千克？ (3)若小王按8元/千克进行柚子销售，平均运费为2元/千克，则小王第一周销售柚子一共收入多少元？ 【答案】(1)小王第一周销售柚子最多的一天比最少的一天多销售千克 (2)小王第一周实际销售柚子的总量是千克 (3)小王第一周销售柚子一共收入元 【分析】本题考查了正负数的实际应用，涉及了有理数的混合运算，注意计算的准确性． （1）用周六柚子的销量减去周五柚子的销量即可； （2）计算即可求解； （3）收入=（售价－运费）×总量，据此即可求解． 【详解】（1）解：周六销售柚子最多，销售量为（千克）， 最少的是周五，销售量为（千克）， 所以最多的一天比最少的一天多销售（千克） 答：小王第一周销售柚子最多的一天比最少的一天多销售20千克； （2）解：（千克）， 答：小王第一周实际销售柚子的总量是千克； （3）解：（元）， 答：小王第一周销售柚子一共收入元． 19．（24-25六年级上·上海·期末模拟）材料一：对任意有理数a，b定义运算“”，，如：，． 材料二：规定表示不超过a的最大整数，如，，． (1)______，=______； (2)求的值： (3)若有理数m，n满足，请直接写出的结果． 【答案】(1)， (2) (3) 【分析】（1）根据材料1新定义的运算“”的概念即可求出的值，根据材料2中的定义即可求出的值； （2）根据新定义函数把变形为加减运算，再根据运算顺序即可求出的值； （3）根据求出的值和的范围，再求出的值，即可得出的值． 【详解】（1）解：∵， ∴， ∵， ∴， 故答案为：，； （2）依题意， ； （3）∵，， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴． 【点睛】本题考查了新定义运算，有理数的混合运算，理解新定义是解题的关键． 20．（25-26六年级上·上海·期中）某检修小组乘一辆检修车沿铁路检修，规定向东走为正，向西走为负．我们可以用如图数轴来表示，以向东为正方向，小组的出发地看作原点．、、、是数轴上四个整数点，且线段、、的长度都是10，记作：，表示两地之间的距离都是10千米．而点在与之间，点在与之间，点、分别在数轴上对应数、，． (1)、、、四个点中，可能作为出发地（数轴的原点）的是______． (2)某天检修完毕时，行走记录如下（单位：千米）： ．收工时，距出发地有多远？在出发地的东面还是西面？ (3)在（2）的条件下，若以为出发点，出发时油箱剩余油量40升，点为加油站，检修车每千米耗油0.5升，收工后发现油量不足，立即赶往处加油，问：检修车能在油量耗尽前安全赶到加油站吗？ 【答案】(1)A、D (2)距出发地30米，在出发地的东面 (3)能 【分析】（1）根据绝对值的几何意义分类讨论即可； （2）将行走记录数据相加，根据正负数的意义判断即可； （3）将行走记录数据的绝对值相加，求出总路程，再求出油的剩余量，比较从收工位置到B处耗油与余油量即可判断． 本题考查正负数的实际应用、正负数的加减法、绝对值的应用． 【详解】（1）解：若A为原点，，当时，， 同理D也可为原点， 若B为原点，则，即B不可能为原点， 同理C也不可能为原点， 故可能作为出发地（数轴的原点）的是A、D； 故答案为：A、D； （2）解：， 故收工时，距出发地30米，在出发地的东面； （3）解：检修走的总路程为， 总耗油（升）， 剩余油量（升）， 收工时，在A的东面30米D处，千米， 从D到B需耗油（升）， ∵， ∴检修车能在油量耗尽前安全赶到加油站． 试卷第1页，共3页 2 / 45 学科网（北京）股份有限公司 $ 六年级数学期末总复习讲义 第3课 有理数的运算 知识点梳理 知识点01——有理数的加减 知识点02——有理数的乘除 知识点03——有理数的乘方 知识点04——有理数的混合运算 知识点01 有理数的加减 1. 加法法则： ①同号两数相加，取相同的符号，并把绝对值相加； ②异号两个数相加，绝对值相等时和为0；绝对值不等时，取绝对值较大加数的符号，并用较大的绝对值减较小的绝对值． ③一个数同0相加，仍得这个数； 2. 减法法则：减去一个数，等于加这个数的相反数.即a-b=a+(-b). 例题讲解 例1计算（新教材）． (1) (2) (3) 【分析】本题考查了求一个数的绝对值，有理数加减中的简便运算，解题关键是掌握上述知识点并能运用求解． （1）同分母的先相加； （2）小数化为分数，同分母的先相加； （3）先化去绝对值，再加同分母的先相加． 【详解】（1）解： ； （2） ； （3） ． 例2为备战学校秋季运动会，小明记录了9月21日至25日每日跑步的距离，正数表示比前一天多跑的距离，负数表示比前一天少跑的距离．已知9月20日小明跑步1000米，具体每日距离变化如表： 日期 9月21日 9月22日 9月23日 9月24日 9月25日 距离变化/米 (1)小明在9月21日、22日各跑步多少米？ (2)小明在这5天的跑步练习中，跑步最多的一天是多少米？ (3)小明在这5天的跑步练习中，累计跑步多少米？ 【分析】本题考查正负数的应用，有理数加减运算解决实际问题，读懂题意，准确得到每天跑步距离是解决问题的关键． （1）按照每日距离变化表，直接计算即可得到答案； （2）按照每日距离变化表，直接计算这5天跑步距离即可得到答案； （3）由（2）中各天跑步距离直接求和即可得到答案． 【详解】（1）解：9月21日：（米）， 9月22日：（米）， 答：小明在9月21日跑步米、22日跑步米； （2）解：9月21日：（米）， 9月22日：（米）， 9月23日：（米）， 9月24日：（米）， 9月25日：（米）， 9月25日是跑步最多的一天，是（米）； （3）解：由（2）中各天跑步距离可得，（米） 答：累计跑步米． 变式训练1.计算：． 变式训练2：小海家新换了一辆新能源汽车，他以每天平均行驶50千米为标准，连续一周记录了实际行驶路程与标准的差值（多于记为正，不足记为负，刚好记为0），数据如下表： 时间 第一天 第二天 第三天 第四天 第五天 第六天 第七天 与标准差值（） 0 (1)这七天中，行驶路程最多的一天比最少的一天多走了多少千米？ (2)小海家的新能源汽车这七天实际一共行驶了多少千米？ (3)已知他家原来的燃油车每100千米耗油升，汽油单价元/升；新能源汽车每100千米耗电15千瓦时，充电单价元/千瓦时．则这七天使用新能源汽车比燃油车节省了多少元？ 知识点02 有理数的乘除 1.乘法法则： ①两数相乘，同号得正，异号得负，并把绝对值相乘. ②任何数同0相乘，都得0. 2.多个有理数相乘 （1）几个数相乘，若其中有因数0，则积等于0． （2）几个不是0的有理数相乘，负因数的个数是偶数时，积为正；负因数的个数是奇数时，积为负，即先确定符号，再把绝对值相乘． 3.除法法则：除以一个不等于0的数，等于乘这个数的倒数即ab=a(b≠0) ①乘法交换律：ab=ba ②乘法结合律：(ab)c=a(bc) ③分配律：a(b+c)=ab+ac 例题讲解 例3简便计算： 变式训练1：计算（衔接教材）． (1) (2) (3) 【分析】本题考查了有理数四则混合运算，通过观察，发现各项有因数，逆用乘法分配律，提取公因数，即可简化计算． 【详解】解： ． 变式训练2：老师请同学们计算：，小明、小华和小海三位同学分别用不同的方法对这个问题进行了解答： 小明：原式： 小华：原式 小海：原式的倒数 ．所以，原式． (1)请观察上述三位同学的解法，其中解法错误的是______同学． (2)请你选择恰当的方法计算：． 知识点03 有理数的乘方 1.乘方的定义：求n个相同乘数积的运算叫做乘方. ，读作a的n次方．在中，叫做底数，叫做指数，一个数可以看作这个数本身的1次方，指数1通常省略不写． 2.乘方运算的符号法则： ①负数的奇次幂是负数，负数的偶次幂是正数； ②正数的任何次幂都是正数，0的任何非零次幂都是0. 注意事项：表示2的4次幂的相反数，与（-2）4意义不一样. 例题讲解 例4．计算：． 【分析】根据有理数的乘方，绝对值的性质进行求解即可； 【详解】解：原式= =． 【点睛】本题主要考查有理数的混合运算，掌握相关运算法则是解题的关键． 变式训练1：计算： 变式训练2：学校数学兴趣小组在开展探究活动中发现，“三角形数”、、、，与“正方形数”、、、之间有一定的联系，他们将“正方形数”、、分别用如图图形表示． (1)数学九章兴趣小组从图中观察发现，“正方形数”，，，得出：任何一个大于的“正方形数”都可以看作两个相邻“三角形数”之和可以看作两个相邻“三角形数”之和， ____________； (2)数学勾股兴趣小组观察图形并结合“正方形数”特点，发现如下规律：；；；仿照上述规律， ____________； (3)结合两个兴趣小组发现的规律，将“正方形数”写成两个相邻“三角形数”之和， ____________． 知识点04 有理数的混合运算 1.有理数的混合运算顺序： ①先乘方，再乘除，最后加减； ②同级运算，从左到右进行； ③如有括号，先做括号内的运算，按小括号、中括号、大括号依次进行. 2.常见的运算律 加法交换律： a+b=b+a 加法结合律： (a+b)+c=a+(b+c) 乘法交换律： a×b=b×a 乘法结合律： (a×b)×c=a×(b×c) 乘法分配律： a×（b+c）=a×b+a×c 例题讲解 例5计算： (1)； (2)； (3)； (4)． 【分析】本题考查的是有理数的加减混合运算，乘除混合运算，含乘方的混合运算，熟记混合运算的运算顺序是解本题的关键. （1）根据有理数加减运算法则计算即可； （2）根据有理数乘除混合运算法则计算即可； （3）先计算乘方，绝对值，再计算除法，最后计算加减运算即可； （4）先计算乘方，再计算乘除，最后计算加减法即可得到答案． 【详解】（1）解： ； （2）解： ； （3）解： ； （4）解： ． 变式训练1：以下是小杰同学计算的过程： 解：原式             ①                  ②                        ③                                ④ (1)以上解题过程中，最开始出现错误的是第_________步（填序号）： (2)写出正确的解答过程 变式训练2：如图所示为一种数值转换机的运算程序． (1)输入分数，输出的结果为______； (2)输入分数，输出的结果为_______； (3)如果输出的结果是，那么输入的分数是多少？ 课后练习 一、单选题 1．（25-26六年级上·上海松江·期中）的倒数是（    ） A． B． C． D． 2．（24-25六年级上·上海黄浦·期末）的计算结果是（    ） A． B．27 C． D．9 3．（24-25六年级上·上海闵行·期末）下列各组运算中，结果相等的是（    ） A．和 B．和 C．和 D．和 4．（25-26六年级上·上海·期中）若已知有理数，满足：，，则下列说法中正确的是（   ） A．一定是负数 B．一定不小于0 C．一定是正数 D．一定是非负数 5．（24-25六年级上·上海黄浦·阶段测试）下列命题中，正确的是（    ） A．若，则， B．若，则， C．若，则且 D．若，则或 6．（24-25六年级上·上海·期中）下列说法：①0的倒数是0；②若且，则a，b异号且负数的绝对值较大；③如果，那么a，b中至少有一个为0；④几个有理数相乘，若有奇数个负因数，则积为负数，其中正确的结论有（  ）． A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 二、填空题 7．（24-25六年级上·上海浦东新·期中）计算： ． 8．（24-25六年级上·上海徐汇·期末）计算： ． 9．（24-25六年级上·上海静安·期中） ； 10．（24-25六年级上·上海嘉定·期末）计算： ． 11．（25-26六年级上·上海虹口·期中）如图是一个“数值转换机”，如果输出的结果为16，那么输入的a值是 ． 12．（24-25六年级上·上海·期中）已知，则 ． 13．（25-26六年级上·上海青浦·期中）比较大小： (填“”，“”或“”)． 14．（25-26六年级上·上海·期中）已知a、b互为相反数，c、d互为倒数，，则的值为 ． 15．（24-25六年级上·上海·阶段练习）我们常用的数是十进制数，如，十进制数要用10个数码（又叫数字）：0、1、2、3、4、5、6、7、8、9．在电子计算机中用的二进制，只要两个数码：0和1，如二进制中等于十进制的数6，二进制中等于十进制的数53．那么二进制中的数101011等于十进制中的数是 ．（注：，）． 16．（24-25六年级上·上海黄浦·阶段测试）“转化”是一种解决问题的常用策略，有时画图可以帮助我们找到转化的方法．例如借助图①，可以把算式1＋3＋5＋7＋9＋11转化为62＝36，请你观察图②，可以把算式转化为 ． 三、解答题 17．（24-25六年级上·上海杨浦·阶段测试）计算： （1）（﹣4）﹣（﹣2）+（﹣9）+3.5； （2）（﹣1）÷（0.75）×（﹣1）÷3×（﹣0.5）2； （3）（﹣3）2﹣（1）36； （4）（3）×（﹣62）． 18．（24-25六年级上·上海宝山·阶段测试）科技改变生活，当前网络销售日益盛行，许多农商采用网上销售的方式进行营销，实现脱贫致富，小王把自家种的柚子放到网上销售，计划每天销售100千克，但实际每天的销售量与计划销售量相比有增减，超过计划量记为正，不足计划量记为负，下表是小王第一周柚子的销售情况： 星期 一 二 三 四 五 六 日 柚子销售超过或不足计划量情况（单位：千克） (1)求小王第一周销售柚子最多的一天比最少的一天多销售多少千克． (2)求小王第一周实际销售柚子的总量是多少千克？ (3)若小王按8元/千克进行柚子销售，平均运费为2元/千克，则小王第一周销售柚子一共收入多少元？ 19．（24-25六年级上·上海·期末模拟）材料一：对任意有理数a，b定义运算“”，，如：，． 材料二：规定表示不超过a的最大整数，如，，． (1)______，=______； (2)求的值： (3)若有理数m，n满足，请直接写出的结果． 20．（25-26六年级上·上海·期中）某检修小组乘一辆检修车沿铁路检修，规定向东走为正，向西走为负．我们可以用如图数轴来表示，以向东为正方向，小组的出发地看作原点．、、、是数轴上四个整数点，且线段、、的长度都是10，记作：，表示两地之间的距离都是10千米．而点在与之间，点在与之间，点、分别在数轴上对应数、，． (1)、、、四个点中，可能作为出发地（数轴的原点）的是______． (2)某天检修完毕时，行走记录如下（单位：千米）： ．收工时，距出发地有多远？在出发地的东面还是西面？ (3)在（2）的条件下，若以为出发点，出发时油箱剩余油量40升，点为加油站，检修车每千米耗油0.5升，收工后发现油量不足，立即赶往处加油，问：检修车能在油量耗尽前安全赶到加油站吗？ 试卷第1页，共3页 2 / 45 学科网（北京）股份有限公司 $