安徽省蚌埠第二中学2025-2026学年高二上学期数学第8次周回顾数学试题（选择性必修一第一章，第二章）

高二数学第八次周回顾答案 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1．平面内两定点间的距离为10，则到这两个定点间的距离之和为10的点的轨迹为（    ） A．圆 B. 椭圆 C. 线段 D. 不存在 【答案】C 2．已知空间向量，则向量在坐标平面上的投影向量是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 3．在空间直角坐标系中，已知，，，则点到直线的距离为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 4．已知椭圆的左、右焦点分别为，点在椭圆上，且为直角.若，则椭圆的离心率是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 5．已知正四棱锥的所有棱长均为1，O为底面ABCD内一点，且，则（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】由题意可作图如下： 由，则， 由共面，则，解得， 所以 . 6．已知，都是正实数，且直线与直线互相垂直，则的最小值为（    ） A．12 B．10 C．8 D．25 【答案】D 【详解】因为直线与直线互相垂直，所以即得, 所以,因为，都是正实数，所以. 当且仅当时，取最小值25. 7．已知椭圆的左、右焦点分别是，，左右顶点分别是，，点是椭圆上异于，的任意一点，则下列说法正确的是（    ） A． B．直线与直线的斜率之积为 C．存在点满足 D．若△的面积为，则点的横坐标为 【答案】D 8．过点的直线与曲线相交于、两点，为坐标原点，当的面积取最大值时，直线的方程为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】作出图形，分析可知，当时，的面积最大，利用几何法求出圆心到直线的距离，设出直线的方程，利用点到直线的距离公式求出参数值，即可得出直线的方程. 【详解】由可得，可得， 所以，曲线表示为圆的上半圆，且该半圆的半径为，   ， 当且仅当时，等号成立，此时，原点到直线的距离为， 由图可知，直线的斜率存在，且，则直线的方程为，即， 由点到直线的距离公式可得，因为，解得， 因此，直线的方程为，即. 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9．若构成空间的一个基底，则下列向量共面的是（　　） A． B． C． D． 【答案】ABD 10．以下四个命题表述正确的是（   ） A．过点）且在轴、轴上截距相等的直线方程为 B．圆上有且仅有3个点到直线的距离都等于1 C．圆与圆恰有三条公切线，则 D．已知圆，过点向圆引两条切线为切点，则直线方程为 【答案】BCD 【详解】A选项，如果截距为零，则直线方程为，故A错误. B选项，圆的圆心为原点，半径为，圆心到直线的距离为， 所以圆上有且仅有3个点到直线的距离都等于1，B选项正确. C选项，圆的圆心为，半径为.圆的圆心为，半径为， 由于、有三条公切线，所以两个圆外切， 所以，，C选项正确. D选项，圆的圆心为原点，半径为.， 以为直径的圆的方程为，即， 则所在直线方程为即.故D选项正确. 11．．已知椭圆的左，右焦点分别为，，圆，点P在椭圆C上，点Q在圆M上，则下列说法正确的有（    ） A．若椭圆C和圆M没有交点，则椭圆C的离心率的取值范围是 B．若，则的最大值为4 C．若存在点P使得，则 D．若存在点Q使得，则 【答案】ACD 【详解】由椭圆中，圆中圆心，半径为1，如下图示， A：由于，由图知：当时椭圆C和圆M没有交点， 此时离心率，对； B：当时，令，则，而， 所以，又，故， 所以的最大值为，错； C：由，若，则， 由，令，且， 则，即， 所以，则，且，故，对； D：令，若，所以， 则，所以， 轨迹是圆心为，半径为的圆， 而与的距离为，要使点Q存在， 则，可得，且，即，对； 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12．焦点在x轴上,长轴长为4,焦距为2的椭圆标准方程为 【答案】 13．（博雅）已知为坐标原点，抛物线的焦点为为上两点，．则的最小值为 【答案】 【详解】设方程：，则，求得， 则方程：， 所以，即， 所以，解得， 所以, 当且仅当，即时，等号成立， 所以的最小值为. 故答案为：    13．（中字）函数的最小值为． 【答案】 14．（博雅）已知椭圆的左右焦点分别为，，过的直线与交于，两点．若，，且△的面积为，则椭圆的方程为 ． 【答案】 【详解】设，则， 所以，又， 所以， 又，所以， 所以，，，， 所以， 所以， 所以， 所以， 所以，又三角形的面积为， 所以， 所以，所以， 所以，所以， 所以椭圆的方程为． 故答案为：．        14．已知圆，圆，直线上存在点，过点向圆引两条切线和，切点是和，再过点向圆引两条切线和，切点是和，若，则实数的取值范围为. 【答案】 【详解】连接圆心和切点，如图所示，则有， 易知， 故，， 不妨设，，， ，化简得， P的轨迹为以圆心，为半径的圆， 又P在直线上，直线与圆有交点， ，故. 四、解答题：本题共3小题，共47分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15．（15分）在平面直角坐标系中，已知的顶点，边上的中线所在的直线方程为． (1)若边上的高所在的直线方程为，求直线的一般式方程； (2)若的平分线所在的直线方程为，求边所在的斜截式直线方程． 【答案】．(1) (2) 【详解】（1）∵直线的方程为，其斜率为，∵，∴，又， ∴由点斜式得直线的方程为，即. （2）设点，则线段的中点为，将其代入所在直线方程中，得，将点代入所在的直线方程中，得，解得，即， 设点关于直线对称点为，则，得，即， 因三点共线，则，所以直线所在的直线方程为，即． 16．（15分）如图，在四棱锥中，平面平面为棱的中点. (1)证明：平面； (2)若， （i）求二面角的余弦值； （ii）在棱上是否存在点，使得点到平面的距离是？若存在，求出的长；若不存在，说明理由. 【答案】(1)证明见解析 (2)（i）,（ii）存在， 【详解】（1）取的中点，连接，，如图所示： 为棱的中点， ，，，，，， 四边形是平行四边形，， 又平面，平面，平面； （2），，，，， 平面平面，平面平面，平面，平面， 又，平面，，，由， 以点为坐标原点，，，所在直线分别为，，轴建立空间直角坐标系，如图： 则，，，，，， （i）故，设平面的一个法向量为， 则，令，则，，， 平面的一个法向量为, 则，令，则，，故，,， 由于二面角的平面角为锐角，故二面角的余弦值为； （ii）假设在线段上是存在点，使得点到平面的距离是， 设，，则,0,，0,， 由（2）知平面的一个法向量为,,， ，点到平面的距离是， ，． 17．（博雅）设，是双曲线与x轴的左右两个交点，是双曲线上垂直于x轴的弦的端点，直线与交点为点. (1)求点轨迹方程. (2)过点的直线l交曲线Γ于两点，其中点在轴上方.设直线的斜率为，直线的斜率为，探究是否为定值，若为定值，求出定值；若不是定值，说明理由 【详解】（1）设，，由题意可得， 共线，故，① 又共线，故，② 由①②两式相乘，得，（*） 因在双曲线上，则，即， 将其代入（*）式，得，即， 即的轨迹方程为.    （2）由题意可设直线的方程为， 联立，得. 设，则，即， 则 ，为定值.    17．（中字）（17分）若集合表示由满足一定条件的全体直线组成的集合，定义：若集合中的每一条直线都是某圆上一点处的切线，且该圆上每一点处的切线都是中的一条直线，则称该圆为集合的包络圆． (1)若圆是集合的包络圆． （i）求，满足的关系式； （ii）若，求的取值范围； (2)若集合的包络圆为，是上任意一点，判断轴上是否存在定点，，使得，若存在，求出点，的坐标；若不存在，请说明理由． 【答案】(1)（ⅰ）；（ⅱ）. (2)存在，，或，. 【详解】（1）（ⅰ）因为圆：是集合的包络圆， 所以圆心到直线的距离为2， 所以. （ⅱ）由及，可得圆与直线有公共点， 所以. 所以的取值范围是； （2）设，由题意可知：点到直线的距离是与无关的定值， 所以为无关的定值. 所以，故，此时. 所以圆：. 设，则即. 假设轴上存在点、，使得， 即， 即恒成立， 所以，解得或. 所以，或，. 6 / 8 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $ 蚌埠二中2025-2026学年第一学期第8次周回顾练习 高二数学 练习内容或范围：选择性必修一第一章，第二章 命题人： 审题人： 时 长：90分钟 一、选择题：在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。 1 .平面内两定点间的距离为10，则到这两个定点间的距离之和为10的点的轨迹为（    ） A．圆 B. 椭圆 C. 线段 D. 不存在 2．已知空间向量，则向量在坐标平面上的投影向量是（    ） A． B． C． D． 3．在空间直角坐标系中，已知，，，则点到直线的距离为（    ） A． B． C． D． 4 . 已知椭圆的左、右焦点分别为，点在椭圆上，且为直角.若，则椭圆的离心率是（    ） A． B． C． D． 5．已知正四棱锥的所有棱长均为1，O为底面ABCD内一点，且，则（    ） A． B． C． D． 6．已知，都是正实数，且直线与直线互相垂直，则的最小值为（    ） A．12 B．10 C．8 D．25 7．已知椭圆的左、右焦点分别是，，左右顶点分别是，，点是椭圆上异于，的任意一点，则下列说法正确的是（    ） A． B．直线与直线的斜率之积为 C．存在点满足 D．若△的面积为，则点横坐标为 8．过点的直线与曲线相交于、两点，为坐标原点，当的面积取最大值时，直线的方程为（    ） A． B． C． D． 二、选择题：在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求。 9．若构成空间的一个基底，则下列向量共面的是（　　） A． B． C． D． 10．以下四个命题表述正确的是（   ） A．过点）且在轴、轴上截距相等的直线方程为 B．圆上有且仅有3个点到直线的距离都等于1 C．圆与圆恰有三条公切线，则 D．已知圆，过点向圆引两条切线为切点，则直线 方程为 11．若椭圆的左，右焦点分别为，，圆，点P在椭圆C上，点Q在圆M上，则下列说法正确的有（    ） A．若椭圆C和圆M没有交点，则椭圆C的离心率的取值范围是 B．若，则的最大值为4 C．若存在点P使得，则 D．若存在点Q使得，则 三、填空题：第13，14题是分层习题，请从博雅、中字两题中选择1题作答。 12．焦点在x轴上,长轴长为4,焦距为2的椭圆标准方程为 ． 13．（博雅）已知为坐标原点，抛物线的焦点为为上两点，．则的最小值为 ． （中字）函数的最小值为 ． 14．（博雅）已知椭圆的左右焦点分别为，，过的直线与交于，两点．若，，且△的面积为，则椭圆的方程为 ． （中字）已知圆，圆，直线上存在点，过点向圆引两条切线和，切点是和，再过点向圆引两条切线和，切点是和，若，则实数的取值范围为 . 四、解答题：解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。第17题是分层习题，请从博雅、中字两题中选择1题作答。 15．在平面直角坐标系中，已知的顶点，边上的中线所在的直线方程为． (1)若边上的高所在的直线方程为，求直线的一般式方程； (2)若的平分线所在的直线方程为，求边所在的斜截式直线方程． 16．如图，在四棱锥中，平面平面为棱的中点. (1)证明：平面； (2)若， （i）求二面角的余弦值； （ii）在棱上是否存在点，使得点到平面的距离是？若存在，求出的长；若不存在，说明理由. 17.（博雅）设，是双曲线与x轴的左右两个交点，是双曲线上垂直于x轴的弦的端点，直线与交点为点. (1)求点轨迹方程. (2)过点的直线l交曲线Γ于两点，其中点在轴上方.设直线的斜率为，直线的斜率为，探究是否为定值，若为定值，求出定值；若不是定值，说明理由. 17.（中字）若集合表示由满足一定条件的全体直线组成的集合，定义：若集合中的每一条直线都是某圆上一点处的切线，且该圆上每一点处的切线都是中的一条直线，则称该圆为集合的包络圆． (1)若圆是集合的包络圆． （i）求，满足的关系式； （ii）若，求的取值范围； (2)若集合的包络圆为，是上任意一点，判断轴上是否存在定点，，使得，若存在，求出点，的坐标；若不存在，请说明理由． 第2页，共4页 第1页，共4页 学科网（北京）股份有限公司 $