4.1.1 n次方根与分数指数幂（第二课时）课件-2025-2026学年高一上学期数学人教A版必修第一册

该高中数学课件聚焦n次方根、分数指数幂的概念性质及有理数指数幂运算，通过“思维燃烧”探究问题导入，衔接根式与指数幂知识，构建从定义到转化再到运算的学习支架。 其亮点在于针对易混点设计辨析（如分数指数幂约分问题），结合化简技巧培养数学思维的推理意识与数学语言的符号表达能力。分层题型（巩固训练至小试牛刀）助力学生深化理解，教师可直接用于课堂互动与能力测评。

4.1.1 n次方根与分数指数幂 （第二课时） 页面统一为16:9宽幅画面比例尺寸；PPT统一格式为PPT或PPTX。 请注意： 1. 课名：微软雅黑48号字； 2.（第一课时）：微软雅黑32号字； 3.学校名称：请填写全称； 4.学科、年级、主讲人、学校：华文楷体28号字（具体根据文字量可适当调整）。 英文 1.课名：字体以Times New Roman为主，字号一般使用32—36号，特别强调可以用40号； 2.（Period 1）：字体使用Arial，字号为28； 3.正文一般用24—28号，特别强调可用32号。 注意标点的规范（例如：中文省略号为……，可用Shift+数字键6打出中文省略号，英文省略号为…） 1 知识点1　根式的概念 (1)a的n次方根的定义： 一般地，如果______，那么x叫做a的n次方根，其中n>1，且n∈N*. (2)a的n次方根的表示： xn＝a 根指数 a a a -a 0 没有意义 知识点4　有理数指数幂的性质 (1)aras＝______(a＞0，r，s∈Q). (2)(ar)s＝______(a＞0，r，s∈Q). (3)(ab)r＝______(a＞0，b＞0，r∈Q). ar＋s ars arbr 让你的思维燃烧起来吧！ 答：分数指数幂不表示相同因式的乘积，而是根式的另一种写法，分数指数幂与根式可以相互转化. 让你的思维燃烧起来吧！ 题型一 ——根式的概念和性质 探究1 巩固训练1 巩固训练2 巩固训练3 √ 题型二 ——分数指数幂的概念和性质 探究2 化简幂的一般原则和技巧： (1)在进行幂和根式的化简时，一般原则是：先将负指数幂化为正指数幂，将小数化为分数，将根式化为分数指数幂，将底数(较大的整数分解质因数)化成指数幂的形式，再利用幂的运算性质进行运算，达到化简和求值的目的. (2)化简指数幂的几个常用技巧如下： 巩固训练1 巩固训练2 小试牛刀 √ 小试牛刀 √ √ 小试牛刀 √ 小试牛刀 小试牛刀 11 －8 2 3 强基训练——双重根号化简 看看你学会了吗？ 感谢观看与聆听 THANKS eq \r(n,a) n的奇偶性 a的n次方根的表示符号 a的取值范围 n为奇数 eq \r(n,a) a∈R n为偶数 ±eq \r(n,a) (0，＋∞) (3)根式： 式子_____叫做根式，这里n叫做______，a叫做被开方数. 知识点2　根式的性质 (1)当n为大于1的整数时，eq \r(n,0)＝0. (2)当n为任何正整数时，(eq \r(n,a))n＝___. (3)当n为奇数时，eq \r(n,an)＝___； 当n为偶数时，eq \r(n,an)＝|a|＝eq \b\lc\{(\a\vs4\al\co1(___(a≥0)，,____(a<0).)) eq \f(1,\r(n,am)) 知识点3　分数指数幂的概念 (1)正数的正分数指数幂：aeq \s\up16(\f(m,n))＝______ (a＞0，m，n∈N*，n＞1). (2)正数的负分数指数幂：aeq \s\up16(－\f(m,n))＝eq \f(1,a\s\up16(\f(m,n)))＝ (a＞0，m，n∈N*，n＞1). (3)0的正分数指数幂等于___，0的负分数指数幂__________. eq \r(n,am) 1.等式aeq \s\up16(\f(m,n))＝eq \r(n,am)成立的条件是什么？ 答：课本要求a>0，实际应用时，只要eq \r(n,am)有意义即可，如：(－2)eq \s\up16(\f(8,3))＝eq \r(3,(－2)8)＝2eq \s\up16(\f(8,3)). 答：不相等.分数指数幂不能随心所欲地约分，(－1)eq \s\up16(\f(6,4))＝1，而(－1)eq \s\up16(\f(3,2))无意义. 2.分数指数幂aeq \s\up16(\f(m,n))可以理解为eq \f(m,n)个a相乘吗？ 3.(－1)eq \s\up16(\f(6,4))与(－1)eq \s\up16(\f(3,2))相等吗？ 例1　化简下列根式. (1)eq \r(5,(－3)5) (2)eq \r(4,(－3)2) (3)eq \r(4,(π－4)2) (4)eq \r((a－b)2) (5)(eq \r(a－1))2＋eq \r((1－a)2)＋eq \r(3,(1－a)3). 【解析】(1)eq \r(5,(－3)5)＝－3. (2)eq \r(4,(－3)2)＝eq \r(4,32)＝eq \r(3). (3)∵π＜4，∴eq \r(4,(π－4)2)＝eq \r(4,(4－π)2)＝eq \r(4－π). (4)eq \r((a－b)2)＝|a－b|. (5)由题意知a－1≥0，即a≥1. 原式＝a－1＋|1－a|＋1－a＝a－1＋a－1＋1－a＝a－1. 当n为奇数时，eq \r(n,an)＝a； 当n为偶数时，eq \r(n,an)＝|a|＝eq \b\lc\{(\a\vs4\al\co1(a，a≥0，,－a，a<0.)) 不注意n的奇偶性对式子eq \r(n,an)的影响是导致错误的主要原因，所以一定要在理解的基础上，记准、记熟并且能够灵活应用. 化简下列各式. ①eq \r(3,－27) ②eq \r(4,(－9)2) ③eq \r(4,(3a－3)4)(a≤1) ④eq \r(3,a3)＋eq \r(4,(1－a)4) 【解析】 ①eq \r(3,－27)＝eq \r(3,(－3)3)＝－3. ②eq \r(4,(－9)2)＝eq \r(4,34)＝3. ③∵a≤1， ∴eq \r(4,(3a－3)4)＝|3a－3|＝3|a－1|＝3－3a. ④eq \r(3,a3)＋eq \r(4,(1－a)4)＝a＋|1－a|＝eq \b\lc\{(\a\vs4\al\co1(1，a≤1，,2a－1，a>1.)) 求使等式eq \r((a－3)(a2－9))＝(3－a)·eq \r(a＋3)成立的实数a的取值范围. 【解析】　∵eq \b\lc\{(\a\vs4\al\co1(3－a≥0，,a＋3≥0，))∴eq \b\lc\{(\a\vs4\al\co1(a≤3，,a≥－3，))∴－3≤a≤3. 已知x，y∈R，下列等式恒成立的是(　　) A.(eq \r(6,x)－eq \r(6,y))6＝x－y B.eq \r(8,(x2＋y2)8)＝x2＋y2 C.eq \r(4,x4)－eq \r(4,y4)＝x－y D.eq \r(10,(x＋y)10)＝x＋y 例2　(1)求下列式子的值 ①10－3 　②(－0.25)－1 ③16eq \s\up16(－\f(3,2)) 　④2eq \r(3)×eq \r(3,1.5)×eq \r(6,12). 【解析】①10－3＝eq \f(1,103)＝eq \f(1,1 000)＝0.001. ②(－0.25)－1＝eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(1,4))) eq \s\up16(－1)＝eq \f(1,－\f(1,4))＝－4. ③16eq \s\up16(－\f(3,2))＝eq \f(1,16\s\up16(\f(3,2)))＝eq \f(1,(\r(16))3)＝eq \f(1,43)＝eq \f(1,64). ④原式＝2×3eq \s\up16(\f(1,2))×eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(3,2))) eq \s\up16(\f(1,3))×(3×22)eq \s\up16(\f(1,6))＝2eq \s\up16(1－\f(1,3)＋\f(1,3))×3eq \s\up16(\f(1,2)＋\f(1,3)＋\f(1,6))＝2×3＝6. (2)用分数指数幂形式表示下列各式(式中a>0). ①a2·eq \r(a) 　　②a3·eq \r(3,a2) 　　 ③eq \r(a\r(a)) ④ eq \r(3,a\s\up16(\f(7,2))\r(a－3))÷eq \r(\r(3,a－8)\r(3,a15)) 【解析】①原式＝a2·aeq \s\up16(\f(1,2))＝aeq \s\up16(\f(5,2)). ②原式＝a3·aeq \s\up16(\f(2,3))＝aeq \s\up16(\f(11,3)). ③原式＝eq \r(a\s\up16(\f(3,2)))＝aeq \s\up16(\f(3,4)). ④原式＝eq \r(3,a2)÷eq \r(a\s\up16(\f(7,3)))＝aeq \s\up16(－\f(1,2)). ①eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(b,a))) eq \s\up16(－p)＝eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(a,b))) eq \s\up16(p)(ab＞0). ②a＝(aeq \s\up18(\f(1,m)))m，aeq \s\up16(\f(n,m))＝(aeq \s\up18(\f(1,m)))n(a＞0). ③“1”的代换，如1＝a－1a，1＝aeq \s\up16(－\f(1,2))aeq \s\up16(\f(1,2))(a＞0)等. 求下列式子的值. ①eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2))) eq \s\up16(－5) 　　②4eq \s\up16(\f(3,2)) 　 　③0.008eq \s\up16(－\f(2,3)) 【解析】①原式＝25＝32. ②原式＝2(3,2)eq \s\up16(2×) ＝23＝8. ③原式＝eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,125))) eq \s\up16(－\f(2,3))＝eq \r(3,1252)＝25. 【解析】　原式＝a·(－a)eq \s\up16(\f(1,2))＝－(－a)·(－a)eq \s\up16(\f(1,2))＝－(－a)eq \s\up16(\f(3,2)). 把eq \r(4,a\r(3,a))(a>0)化成有理数指数幂的形式为________. aeq \s\up16(\f(1,3)) 把a·eq \r(－a)化成分数指数幂是________. －(－a)eq \s\up16(\f(3,2)) 1.已知eq \r((a－b)2)＝a－b，则(　　) A.a>b　　　　　　　　 B.a≥b C.a<b D.a≤b 2.【多选题】下列各式中有意义的是(　　) A.eq \r(4,(－4)2n) B.eq \r(4,(－4)2n＋1) C.eq \r(5,a4) D.eq \r(4,a5)(a∈R) 3.化简aeq \s\up16(\f(3,2))·(－3aeq \s\up16(\f(1,2)))÷eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,3)a))(a>0)等于(　　) A.6a B.－a C.－9a D.9a2 4.eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2))) eq \s\up16(－1)－4×(－2)－3＋eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,4))) eq \s\up16(0)－9eq \s\up16(－\f(1,2))＝________. eq \f(19,6) 2－eq \r(3) eq \f(3,2) eq \f(125,729) 5.计算： (1)(eq \r(11))2＝________； (2)(eq \r(3,－8))3＝________； (3)eq \r(3,－\f(8,27))＝________； (4)eq \r(4,(－2)4)＝________； (5)eq \r((\r(3)－2)2)＝________； (6)81eq \s\up16(\f(1,4))＝________； (7)eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(8,27)))eq \s\up16(－\f(1,3))＝________； (8)eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(81,25))) eq \s\up16(－\f(3,2))＝________. －eq \f(2,3) 计算eq \r(5－2\r(6))＋eq \r(5＋2\r(6)). 解：原式＝eq \r((\r(3)－\r(2))2)＋eq \r((\r(3)＋\r(2))2) ＝|eq \r(3)－eq \r(2)|＋|eq \r(3)＋eq \r(2)| ＝eq \r(3)－eq \r(2)＋eq \r(3)＋eq \r(2) ＝2eq \r(3) 求值：eq \r(5＋2\r(6))＋eq \r(7－4\r(3))－eq \r(6－4\r(2)). 解：eq \r(5＋2\r(6))＋eq \r(7－4\r(3))－eq \r(6－4\r(2)) ＝eq \r((\r(3)＋\r(2))2)＋eq \r((\r(3)－2)2)－eq \r((2－\r(2))2) ＝eq \r(3)＋eq \r(2)＋2－eq \r(3)－(2－eq \r(2)) ＝2eq \r(2) $