专题04 函数的性质5大高频考点（期末真题汇编，内蒙古专用）高一数学上学期人教A版

专题04 函数的性质 5大高频考点概览 考点01单调性与最大（小）值 考点02奇偶性 考点03函数的对称性 考点04函数的周期性 考点05函数的图像 ( 地 城 考点0 1 单调性与最大（小）值 ) 一、单选题 1．（24-25高一下·内蒙古呼和浩特·期末）已知函数的值域为，则函数的最大值为（   ） A．7 B．9 C．12 D．不确定 【答案】B 【分析】根据函数图象的变换得到值域不变即可得到答案. 【详解】解：由函数的值域为，的图象向左平移2个单位得到， 所以的值域为，的最大值为2， 所以函数的最大值为． 故选：B． 2．（24-25高一上·内蒙古乌海市·期末）如图所示是函数的图象，图中x正半轴曲线与虚线无限接近但是永不相交，则以下描述正确的是（    ）    A．函数的定义域为 B．函数的值域为 C．此函数在定义域内是增函数 D．对于任意的，都有唯一的自变量x与之对应 【答案】B 【分析】根据的取值范围可以得到函数的定义域和值域，判断AB两个选项；对于分段函数来讲，在每一段上都是增函数，在定义域内不一定是增函数，根据图象可以判断C；在范围内取，可以排除D. 【详解】A选项，函数在上没有定义，定义域应为，故A错误； B选项，值域是的取值范围，由图象可以看出值域为，故B正确； C选项，在定义域内取0和1，，而， 应该是在和上是增函数，故C错误； D选项，当时，，且由图象可知存在使得， 所以有两个自变量与对应， 正确的说法是“对于任意的，都有唯一的自变量x与之对应”，故D错误. 故选：B. 3．（24-25高三上·内蒙古巴彦淖尔·期末）函数在上的最大值和最小值分别是（    ） A．2，1 B．2， C．2， D．， 【答案】B 【分析】求出函数的单调性，从而得到函数的最值，得到答案. 【详解】在上单调递增，在上单调递减， 故在处取得最大值，最大值为2， 又当时，，当时，， 故最小值为， 故选：B 4．（24-25高一上·内蒙古呼和浩特·期末）设函数的定义域为，对任意的，，且，都有不等式，，则不等式的解集是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】由已知得函数单调性，利用函数单调性得不等式解集. 【详解】因为，所以在上单调递减， 又因为， 所以当时，，当时，， 当时，代表同号， 所以等式的解集是. 故选：B. 5．（24-25高一上·内蒙古呼伦贝尔·期末）函数在上的最小值为－4，最大值是5，则的最大值为（    ） A． B． C．6 D．7 【答案】A 【分析】将函数写成分段函数，画出函数图象，分别求出和时自变量的值，结合图象得到的最大值. 【详解】函数的图象如下， 当时，，解得（舍去）， 当时解得（舍去）， 所以的最大值为， 故选：A 6．（24-25高一上·内蒙古科尔沁市·期末）已知函数，若对任意，都有成立，则实数的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】由对任意，都有，得在上单调递减，进而得，解出即可求解. 【详解】由对任意，都有，所以在上单调递减， 所以， 所以， 故选：A. 二、多选题 7．（24-25高一上·内蒙古赤峰·期末）若函数在上单调递增，则的取值可以是（ ） A． B． C． D． 【答案】BC 【分析】先判断出在上的单调性，然后根据条件列出关于的不等式组，由此求解出的取值范围，则正确选项可知. 【详解】因为当时，函数为单调递增函数， 又函数在上是单调函数，则需满足，解得， 所以实数的范围为，所以满足范围的选项是BC， 故选：BC. 8．（24-25高一上·内蒙古包头·期末）对于实数，符号表示不超过的最大整数，例如，，定义函数，则下列命题中正确的是（    ） A． B．函数的最大值为1 C．函数的最小值为0 D．方程有无数个根 【答案】ACD 【分析】对A选项直接计算进行判断，B、C、D选项根据函数定义，研究函数的性质，逐项分析即可． 【详解】因为， 所以， ，A正确； 由定义可得，所以， 所以无最大值，但有最小值且最小值为0，B错，C正确； 方程可化为， 所以，D正确， 故选：ACD. 三、填空题 9．（24-25高一上·内蒙古通辽·期末）已知函数的最大值为m，的最小值为n，则 ． 【答案】 【分析】根据二次函数的性质分别求出两段函数的最值，从而可得函数的最大值和最小值，即可得解. 【详解】当时，， 所以此时， 当时，， 所以此时， 综上所述，，即， 所以. 故答案为：. 10．（24-25高一上·内蒙古阿拉善盟·期末）已知函数若对任意的，都有恒成立，则实数a的取值范围为 ． 【答案】 【分析】首先判断为R上的奇函数，再判断出函数在R上单调递增，原不等式可转化为，由一次函数的单调性可得出的不等式组，解不等式组即可得出答案. 【详解】由 ， ， 可知函数为奇函数，又由， 当时，函数和单调递增， 有函数在单调递增，可得函数在R上单调递增． 由，有， 有，可得， 有解得． 故答案为：. 四、解答题 11．（24-25高一上·内蒙古呼和浩特·期末）已知二次函数的最小值为1，且． (1)求的解析式； (2)求的单调性； (3)若在区间上不单调，求实数a的取值范围； 【答案】(1) (2)在单调递减，在单调递减 (3) 【分析】（1）设，由即可求； （2）由（1）求的对称轴，进而得单调性； （3）在区间上不单调，即解出即可. 【详解】（1）由题意可设， 又，即，解得， 所以函数的解析式为. （2）由（1）函数的对称轴为， 函数在单调递减，在单调递减. （3）由（1）函数的对称轴为， 要使在区间上不单调，则满足，解得， 即实数的取值范围是. 12．（24-25高一下·内蒙古乌兰察布·期末）已知关于的不等式. (1)是否存在实数m，使不等式对任意恒成立，并说明理由； (2)若不等式对于恒成立，求m的取值范围； (3)若不等式对于恒成立，求实数x的取值范围. 【答案】(1)不存在 (2) (3) 【分析】（1）将不等式转换，讨论的取值得到结果 （2）将原式转化为，通过换元分析得出的取值范围. （3）将原式堪称关于的一次函数，保证和的值大于零即可. 【详解】（1）原不等式等价于， 当时，不恒成立， 当时，不等式对于恒成立， 则需且，无解， 所以不存在实数对任意恒成立. （2）因为，所以， 设，则， 所以， 设， 显然在上单调递增， 当时，，，且， 所以，所以的取值范围是. （3）设， 当时，恒成立， 当且仅当，即， 解得或， 所以的取值范围是. ( 地 城 考点0 2 奇偶性 ) 一、单选题 1．（24-25高一上·内蒙古赤峰·期末）已知偶函数的定义域为，，若函数为奇函数，且，则（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】由奇函数的性质结合已知条件推导出，可得出，即可得解. 【详解】因为偶函数的定义域为，，若函数为奇函数， 则，即， 因为为偶函数，所以， 所以，，故，故. 故选：D. 2．（24-25高一上·内蒙古呼和浩特·期末）下列函数中，是偶函数且在上单调递减的是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据基本初等函数的单调性与奇偶性逐项判断即可. 【详解】对于A选项，函数为非奇非偶函数，且在上单调递增； 对于B选项，函数为偶函数，且在上单调递增； 对于C选项，函数为奇函数，且在上单调递增； 对于D选项，函数为偶函数，且在上单调递减. 故选：D. 3．（24-25高一下·内蒙古赤峰·期末）已知函数的定义域为，且.有下列四个结论： ① ②为偶函数 ③ ④在区间上单调递减 其中所有正确结论的序号为（    ） A．①③ B．②③ C．②④ D．①④ 【答案】B 【分析】通过赋值法，结合函数的奇偶性和单调性即可求解. 【详解】令，则，则，故①错误； 令，则，所以为偶函数，故②正确； 令，则，即， 则，故， 则，故，故③正确； 由为偶函数，可知的图像关于对称，由，可知的图像关于对称，故在区间上不单调，故④错误； 故选：B 4．（24-25高一上·内蒙古锡林郭勒盟·期末）函数的图象大致是（    ） A．  B．  C．  D．   【答案】B 【分析】根据函数的奇偶性即可排除AC，根据时可排除D. 【详解】，所以为奇函数，此时可排除AC, 由于当时，，故此时可排除D， 故选：B 二、多选题 5．（24-25高二下·内蒙古赤峰·期末）已知函数的定义域为，且，，，则下列四个结论正确的是（   ） A．8是的周期 B．图象关于直线对称 C． D． 【答案】ACD 【分析】令，可得是偶函数，由，可得图象关于点对称，可判断B；进而可求得周期判断A；利用周期与对称性计算可判断CD. 【详解】令，可得， 所以，所以是偶函数， 又因为，所以，所以， 又由，可得， 所以图象关于点对称，故B错误； 又由和偶函数性质，可得， 所以，所以， 即是函数的周期，故8也是的周期，故A正确； 则，故C正确； 又，， 则，故D正确. 故选：ACD. 6．（24-25高一上·内蒙古呼伦贝尔·期末）已知函数是偶函数，且在上单调递增，则下列结论一定正确的有（    ） A．的图象关于直线对称 B． C． D．在上单调递减 【答案】AD 【分析】由是偶函数可得，即可判断A，由单调性以及对称性即可判断BCD． 【详解】对于A，因为函数是偶函数，所以，即， 所以的图象关于直线对称，所以A正确； 对于B，在上单调递增，，但正负不确定，所以B错误； 对于C，由A选项得，，所以C错误； 对于D，因为的图象关于直线对称，在上单调递增， 所以在上单调递减， 由图象平移变化可知在上单调递减，所以D正确． 故选：AD. 7．（24-25高一上·内蒙古包头·期末）已知连续函数对任意实数恒有，当时，，，则以下说法中正确的是（    ） A． B．是上的奇函数 C．在上为增函数 D．在上的最大值是8 【答案】AB 【分析】根据给定条件，利用赋值法，结合奇函数、增函数的意义逐项判断得解. 【详解】连续函数对任意实数恒有 对于A，，则，解得，A正确； 对于B，，则，是上的奇函数，B正确； 对于C，，则，由当时，，得， 则，因此在上为减函数，C错误； 对于D，由选项C知，，D错误. 故选：AB 三、填空题 8．（24-25高一上·内蒙古乌兰察布·期末）已知是偶函数，则实数的值为 . 【答案】3 【分析】由偶函数的性质有、求参数，即可得. 【详解】由题设，则，得恒成立，故， 由偶函数的定义域关于原点对称，则，可得， 所以. 故答案为：3 9．（24-25高一上·内蒙古乌兰察布·期末）已知是定义在上的奇函数，当时，，则 . 【答案】 【分析】根据分段函数的解析式结合奇函数的性质计算求解. 【详解】因为是定义在上的奇函数， 所以，且， 因为时，，所以， 则. 故答案为：. 10．（24-25高一下·内蒙古赤峰·期末）已知，则①为奇函数；②；③在上单调递增；④，使与恰有两个交点，则以上结论正确的是 . 【答案】①② 【分析】根据奇函数定义可判断①；借助基本不等式求值域可判断②；取特值验证可判断③；根据奇函数的对称性可判断④. 【详解】对于①，易知的定义域为，且， 所以为奇函数，正确； 对于②，当时，， 当时，， 因为当时，，当且仅当时等号成立，得； 当时，，即，当且仅当时等号成立，得. 综上，，正确； 对于③，易知，所以在上不单调递增，错误； 对于④，易知为上的奇函数，且也是上的奇函数， 所以原点是函数与的一个交点， 由奇函数的对称性可知，函数与的交点个数必为奇数，错误. 故答案为：①② 四、解答题 11．（24-25高一上·内蒙古鄂尔多斯·期末）已知函数． (1)判断的奇偶性，并用定义进行证明； (2)若，试讨论在上的单调性． 【答案】(1)答案见解析 (2)答案见解析 【分析】（1）分和，不同时为0两种情况讨论可得结论； （2）由已知得，分和两种情况讨论，当时，利用单调性的定义可得函数在上单调递增. 【详解】（1）当时，既是奇函数也是偶函数； 当，不同时为0时，是奇函数，证明如下： 函数的定义域为，对于，都有， 且， 故为奇函数． 综上：当时，既是奇函数也是偶函数；当，不同时为0时，是奇函数. （2）当时，． 当时，在上无单调性； 当时，任取，，且， 则， ，，且， ，，． 若，则，即， 在上单调递增； 若，则，即， 在上单调递减． 12．（24-25高一上·内蒙古呼和浩特·期末）函数的图象关于坐标原点成中心对称图形的充要条件是函数为奇函数，有同学发现可以将其推广为：函数的图象关于点成中心对称图形的充要条件是函数为奇函数. (1)求函数图象的对称中心； (2)根据第（1）问的结论，求 的值； (3)类比上述推广结论，写出“函数的图象关于轴成轴对称图形的充要条件是函数为偶函数”的一个推广结论. 【答案】(1) (2) (3)答案见详解 【分析】（1）根据函数为奇函数，求出，的值； （2）根据（1）的结论，分组相加即可； （3）利用类比推理即可得出. 【详解】（1）设的对称中心为点，， 则为奇函数，即， ， ，即， ， 整理得，， ，解得，即， 函数图象的对称中心为； （2）由（1）知， ， ， 且， ； （3）推广结论：函数的图象关于直线成轴对称图形的充要条件是函数为偶函数. ( 地 城 考点0 3 函数的对称性 ) 一、单选题 1．（24-25高一上·内蒙古鄂尔多斯·期末）已知函数是偶函数，且函数的图象关于点成中心对称，当时，，则（    ） A． B． C．0 D．2 【答案】C 【分析】利用函数的奇偶性和函数的对称性，推出的周期为，再根据周期可求出结果. 【详解】因为函数是偶函数，所以， 因为函数的图象关于点成中心对称，所以，所以， 将换为，得， 又，所以， 将换为，得， 所以， 将换为，得，所以是周期函数，且周期为， 所以. 故选：C 2．（24-25高一上·内蒙古乌海市·期末）已知定义域为的函数在单调递减，且，则使得不等式成立的实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】利用函数关于点对称公式可得关于对称，从而判断得在上单调递减，再将不等式变形为，由此利用的单调性及解二次不等式即可得解. 【详解】因为，所以关于对称， 因为在单调递减，所以在上单调递减， 又，则， 所以由可得，即， 所以，即，解得或， 所以的取值范围为， 故选：. 【点睛】结论点睛：若满足，则关于中心对称. 3．（24-25高一下·内蒙古呼和浩特·期末）已知定义在上的奇函数满足，且当时，，则的值为（    ） A． B． C．1 D．3 【答案】C 【分析】由函数的奇偶性和对称性，将转换到区间上的函数值求解. 【详解】因为函数为奇函数，且满足， 所以， 又因为时，，所以. 故选：C. 4．（24-25高一上·内蒙古包头·期末）定义在上的奇函数满足恒成立，若，则的值为（    ） A．6 B．4 C．2 D．0 【答案】C 【分析】利用及奇函数的定义可知函数周期为4，利用周期转化函数值，即可求解. 【详解】∵定义在上的奇函数满足恒成立， ∴， ∴，又 ∴，，， ∴. 故选：C. 5．（24-25高一上·内蒙古通辽·期末）已知函数是定义在上的奇函数，且的图象关于直线对称，当时，，则 A．3 B． C．7 D． 【答案】D 【分析】由题意可得，再将化成，即可得到答案； 【详解】由题意可得， 所以. 故选：D. 【点睛】本题考查函数的性质，考查运算求解能力与推理论证能力. 6．（24-25高一上·内蒙古科尔沁市·期末）函数在上单调递减，且是偶函数，若 ，则 的取值范围是（　　） A．（2，+∞） B．（﹣∞，1）∪（2，+∞） C．（1，2） D．（﹣∞，1） 【答案】B 【分析】根据题意分析的图像关于直线对称，即可得到的单调区间，利用对称性以及单调性即可得到的取值范围． 【详解】根据题意，函数 满足是偶函数，则函数的图像关于直线对称， 若函数在上单调递减，则在上递增， 所以要使，则有，变形可得， 解可得：或，即的取值范围为； 故选B． 【点睛】本题考查偶函数的性质，以及函数单调性的应用，有一定综合性，属于中档题． 二、多选题 7．（24-25高二下·内蒙古乌兰察布·期末）已知函数，则下列结论中错误的是（    ） A．函数的定义域是 B．函数是偶函数 C．函数在区间上是减函数 D．函数的图象关于直线对称 【答案】AC 【分析】由求出定义域判断A，代入根据定义判断出其奇偶性判断B，根据判断C，根据为偶函数判断关于对称判断D. 【详解】函数， 由，，可得，即函数定义域为，故A错误； 由， 定义域为，显然为偶函数，故B正确； 由，，，，故C错误； 由为偶函数，图象向左平移1个单位得到图象， 故函数的图象关于直线对称，故D正确. 故选：AC 8．（24-25高一上·内蒙古赤峰·期末）已知定义在上的函数满足．若的图象关于点对称，则（   ） A．的图象关于点对称 B．是偶函数 C．是奇函数 D．的周期 【答案】AB 【分析】令，推导出，结合函数的对称性可判断A选项；利用函数奇偶性的定义可判断BC选项；利用特殊值法可判断D选项. 【详解】对于A选项，设，因为函数的图象关于点对称， 即函数的的图象关于点对称，则， 所以，令，可得， 可得，所以的图象关于点对称，则A正确． 对于B选项，由已知得， 设，则， 所以，所以是偶函数，则B正确； 对于C选项，若函数是奇函数，则，可得， 即函数的图象关于点对称， 但函数的图象关于点对称，题中条件无法推出函数的图象关于点对称，则C错误； 对于D选项，若函数的周期为，则， 事实上，在等式中，令，则，则，矛盾，故D错误. 故选：AB. 【点睛】结论点睛：本题考查函数的对称性的判断，可利用以下结论来转化： ①函数的图象关于点对称，则； ②函数的图象关于直线对称，则. 三、填空题 9．（24-25高一上·内蒙古赤峰·期末）已知定义在上的函数在上单调递增，若函数为偶函数，且，则不等式的解集为 . 【答案】 【分析】先根据题意得出函数的性质，并画出满足题意的一个大致图象；再根据图象即可求解. 【详解】由函数为偶函数，可知函数关于对称， 又函数在上单调递增，知函数在上单调递减， 由，知，作出函数的大致图象，如下：    由图可知，当时，，则； 当时，，则； 当时，，则； 当时，，则； 所以不等式的解集为. 故答案为： 10．（24-25高一上·内蒙古赤峰·期末）研究表明，函数为奇函数时，函数的图象关于点成中心对称．若函数的图象对称中心为，那么 ． 【答案】 【分析】构造奇函数，根据其为奇函数，即可求得值. 【详解】根据题意函数的图象对称中心为， 设，则为奇函数， 则， 所以， 得， 即， 即，则有， 所以. 故答案为： ( 地 城 考点0 4 函数的周期性 ) 一、单选题 1．（24-25高三上·内蒙古呼和浩特·期末）定义在上的奇函数满足，且当时，，则函数在上所有零点的和为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】推导出函数是周期为的周期函数，且函数的图象关于点对称，作出函数在上的图象以及函数的图象，数形结合可得出结果. 【详解】因为定义在上的奇函数满足， 则，所以，函数是周期为的周期函数， 则，故函数的图象关于点对称， 当时，， 作出函数在上的图象以及函数的图象如下图所示： 由图可知，函数在上的图象与函数的图象共有个交点， 且这个交点有三对点关于点对称， 因此，函数在上所有零点的和为. 故选：B. 【点睛】关键点睛：本题的关键是通过其对称性和奇偶性得到其周期性，再作出两函数图象则得到交点个数. 2．（24-25高一上·内蒙古科尔沁市·期末）设是定义域为的奇函数，且，若，则（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】利用奇函数的性质与题设条件推得的周期为2，从而利用的周期性即可得解. 【详解】因为是定义域为的奇函数， 所以，则， 故的周期为2， 所以， 故选：C． 3．（24-25高一上·内蒙古通辽·期末）设为定义在上的偶函数，且在上为增函数，则的大小顺序为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据函数为偶函数，将自变量转化到同一个单调区间，再根据函数的单调性比较大小即可. 【详解】因为为定义在上的偶函数， 所以， 又因为在上为增函数，， 所以，即. 故选：B. 4．（24-25高一上·内蒙古呼和浩特·期末）定义在上的函数的图象关于点成中心对称，对任意的实数x都有，且，，则的值为（    ） A．2 B．1 C． D． 【答案】A 【分析】根据题意，分析可得函数是周期为3的周期函数，进而可得，，结合函数的对称性可得，进而可得的值，根据周期性即一个周期内的和，即可得答案． 【详解】解：根据题意，满足，则，故， 即函数是周期为3的周期函数， 则，, 又由函数的图象关于点成中心对称， 则，进而有， 则有， 则. 故选：A． 5．（24-25高一上·内蒙古赤峰·期末）已知定义在上的奇函数满足，当时，.则（    ） A． B．8 C． D． 【答案】C 【分析】由题可得，即函数是周期为4的周期函数， 再结合函数的奇偶性与解析式即求． 【详解】∵定义在上的奇函数满足， ∴，即函数是周期为4的周期函数， 又， ∴，又函数为奇函数，当时，， 则， 即. 故选：C. 6．（24-25高一上·内蒙古包头·期末）定义在上的奇函数满足恒成立，若，则的值为（    ） A．6 B．4 C．2 D．0 【答案】C 【分析】利用及奇函数的定义可知函数周期为4，利用周期转化函数值，即可求解. 【详解】∵定义在上的奇函数满足恒成立， ∴， ∴，又 ∴，，， ∴. 故选：C. 二、多选题 7．（24-25高三上·内蒙古赤峰·期末）已知定义在上的函数满足．若的图象关于点对称，则（   ） A．的图象关于点对称 B．是偶函数 C．是奇函数 D．的周期 【答案】AB 【分析】令，推导出，结合函数的对称性可判断A选项；利用函数奇偶性的定义可判断BC选项；利用特殊值法可判断D选项. 【详解】对于A选项，设，因为函数的图象关于点对称， 即函数的的图象关于点对称，则， 所以，令，可得， 可得，所以的图象关于点对称，则A正确． 对于B选项，由已知得， 设，则， 所以，所以是偶函数，则B正确； 对于C选项，若函数是奇函数，则，可得， 即函数的图象关于点对称， 但函数的图象关于点对称，题中条件无法推出函数的图象关于点对称，则C错误； 对于D选项，若函数的周期为，则， 事实上，在等式中，令，则，则，矛盾，故D错误. 故选：AB. 【点睛】结论点睛：本题考查函数的对称性的判断，可利用以下结论来转化： ①函数的图象关于点对称，则； ②函数的图象关于直线对称，则. 8．（24-25高一上·内蒙古呼和浩特·期末）已知定义域为的函数满足，且为奇函数，则（    ） A． B．函数的一个周期为4 C． D． 【答案】BCD 【分析】对于A，根据奇函数的性质分析判断，对于B，令，可判断其为偶函数，再结合为奇函数，可求出其周期判断，对于C，利用的周期分析判断，对于D，由，利用并项求和判断. 【详解】对于A，因为为上的奇函数，所以，所以， 因为，所以，所以A错误， 对于B，令，因为， 所以，所以，所以为偶函数， 因为为上的奇函数， 所以，即， 所以，所以， 所以，所以， 所以，所以， 所以是以4为周期的周期函数，即函数的一个周期为4，所以B正确， 所以， 所以，所以C正确， 对于D，因为，， 所以， 所以， 所以，，， ，，， ，， ，， 所以 ，所以D正确. 故选：BCD 【点睛】关键点点睛：此题考查利用赋值法求抽象函数的值，考查抽象函数的奇偶性、周期性，解题的关键是根据已知的关系式合理赋值求解，考查逻辑推理能力和计算能力，属于较难题. 三、填空题 9．（24-25高一上·内蒙古赤峰·期末）已知是定义在上的奇函数，且满足，当时，，则f . 【答案】 【分析】根据函数的奇偶性、周期性求得正确答案. 【详解】由于，所以， 所以是周期为的奇函数， 所以. 故答案为： 10．（24-25高二下·内蒙古乌兰察布·期末）函数是定义在上的偶函数，且，对任意的都有，则 . 【答案】1 【分析】根据题意，由函数的奇偶性分析可得，进而可得，即函数是周期为4的周期函数，据此可得（4）（2），即可得答案． 【详解】根据题意，函数是定义在上的偶函数， 对任意的，都有，则， ，即函数是周期为4的周期函数， ， 故答案为：1 【点睛】本题考查抽象函数的求值，涉及函数的奇偶性、周期性的性质以及应用，注意分析函数的周期． ( 地 城 考点0 5 函数的图像 ) 一、单选题 1．（24-25高一上·内蒙古科尔沁市·期末）函数的大致图象是（   ） A．B．C．D． 【答案】B 【分析】由函数的奇偶性即可排除AC，再结合函数值的变化趋势判断BC的真假. 【详解】由题意，函数的定义域为，且，所以为奇函数，图象关于原点中心对称，故AC错误； 根据指数函数与二次函数的增长速度可知，当时，且，故D错误. 故选：B 2．（24-25高一上·内蒙古乌海市·期末）函数的大致图象为（   ） A．B．C．D． 【答案】B 【分析】根据奇偶性，正负情况以及增长趋势判断即可. 【详解】函数的定义域为， ，该函数为奇函数，故A错误； 当时，，故D错误； 当时，，且， 当增大时，的值也越来越大，故C错误，故B正确. 故选：B. 3．（24-25高一上·内蒙古阿拉善盟·期末）我国著名数学家华罗庚曾说：“数缺形时少直观，形缺数时难入微，数形结合百般好，隔裂分家万事休．”在数学的学习和研究中，常用函数的图象来研究函数的性质，也常用函数的解析式来研究函数图象的特征．我们从这个商标中抽象出一个图象如图，其对应的函数可能是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】由图象知函数的定义域排除选项A、D，再根据不成立排除选项C，即可得正确选项. 【详解】因为函数的定义域为，函数的定义域为， 函数与的定义域均为. 由图知的定义域为，排除选项A、D， 对于，当时，，不符合图象，所以排除选项C. 故选：B. 4．（24-25高一上·内蒙古乌兰察布·期末）函数的大致图象是（    ） A．  B．  C．  D．   【答案】C 【分析】根据函数的奇偶性单调性与函数值符号确定函数的图象. 【详解】由，得，所以的定义域为. 又， 所以函数为偶函数，图象关于轴对称，故B错误； 因为，所以当时，，所以， 且在定义内为增函数，故A，D错误. 对C：符合函数的定义域，奇偶性，单调性，故C正确. 故选:C 5．（24-25高一上·内蒙鄂尔多斯·期末）如图所示是函数的图象，图中x正半轴曲线与虚线无限接近但是永不相交，则以下描述正确的是（    ）    A．函数的定义域为 B．函数的值域为 C．此函数在定义域内是增函数 D．对于任意的，都有唯一的自变量x与之对应 【答案】B 【分析】根据的取值范围可以得到函数的定义域和值域，判断AB两个选项；对于分段函数来讲，在每一段上都是增函数，在定义域内不一定是增函数，根据图象可以判断C；在范围内取，可以排除D. 【详解】A选项，函数在上没有定义，定义域应为，故A错误； B选项，值域是的取值范围，由图象可以看出值域为，故B正确； C选项，在定义域内取0和1，，而， 应该是在和上是增函数，故C错误； D选项，当时，，且由图象可知存在使得， 所以有两个自变量与对应， 正确的说法是“对于任意的，都有唯一的自变量x与之对应”，故D错误. 故选：B. 二、多选题 6．（24-25高一上·内蒙古呼和浩特·期末）已知函数，，，与中的最小值记为，则（   ） A．函数有且只有一个零点 B．方程有5个解 C．函数在上单调递增 D．方程最多有3个解 【答案】ABD 【分析】画出图象，根据图象特征判断A，C；画出的图象判断B；结合图象，换元，令，，判断D. 【详解】依题意，画出图象， 对于A，根据图象可知，函数有且只有一个零点，故A正确； 对于B，画出图象，    由图象可知，方程有5个解，故B正确； 对于C，由可知，函数在上不为单调递增函数，故C错误； 对于D，令， ，由图象可知，最多有3个解，其中，故D正确， 故选：ABD． 7．（24-25高一上·内蒙古呼和浩特·期末）已知函数是定义在R上的奇函数，当时，，则下列结论正确的是（    ） A． B．的单调递增区间为， C．当时， D．的解集为 【答案】BCD 【分析】由奇函数在处有定义，可得，可判断A；由的函数的解析式，结合奇函数的定义可得时的函数解析式，可判断C；判断时的的单调性，可得时的的单调性，不等式等价为且，且，结合，解不等式可判断D；由的图象与的图象特点，结合单调性可判断B. 【详解】对于A，函数是定义在R上的奇函数，可得，故A错误； 对于C，当时， ，设，则，， 又，所以时，，故C正确； 对于D，由时， ，可得， 又和在递增，可得在递增， 由奇函数的图象关于原点对称，可得在递增，且， 所以等价为 或 ， 解得或，故D正确； 对于B，因为在和上递增，且， 由的图象可看做的图象位于x轴上方的图象不变， 将x轴下方的图象翻折到x轴上方得到， 所以的递增区间为，，故B正确. 故选：BCD. 三、填空题 8．（24-25高一上·内蒙古呼伦贝尔·期末）函数，直线与的图像四个交点的横坐标从左到右依次为，则的取值范围是 ． 【答案】 【分析】根据条件画出函数的图像，根据图像以及函数的性质求解. 【详解】由题意，函数的图像大致如下：    显然欲使得与有个交点，则必须， 又，，， ，，， 令，， ，. 故答案为：. 9．（24-25高一上·内蒙古包头·期末）函数，若函数，有三个不同的零点，则实数m的取值范围是 ． 【答案】 【分析】对分段函数的每一段进行单调性分析，画出对应的图象，然后结合题意可得到与有三个不同的交点，结合图象即可求解 【详解】当时，根据对勾函数可得在上单调递增，在上单调递减，故此时最小值； 当时，根据在上单调递减，故此时最小值； 作出对应的图象，如图所示 函数有三个不同的零点，可看作与有三个不同的交点， 从图象可得到实数m的取值范围是 故答案为： 试卷第1页，共3页 / 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题04 函数的性质 5大高频考点概览 考点01单调性与最大（小）值 考点02奇偶性 考点03函数的对称性 考点04函数的周期性 考点05函数的图像 ( 地 城 考点0 1 单调性与最大（小）值 ) 一、单选题 1．（24-25高一下·内蒙古呼和浩特·期末）已知函数的值域为，则函数的最大值为（   ） A．7 B．9 C．12 D．不确定 2．（24-25高一上·内蒙古乌海市·期末）如图所示是函数的图象，图中x正半轴曲线与虚线无限接近但是永不相交，则以下描述正确的是（    ）    A．函数的定义域为 B．函数的值域为 C．此函数在定义域内是增函数 D．对于任意的，都有唯一的自变量x与之对应 3．（24-25高三上·内蒙古巴彦淖尔·期末）函数在上的最大值和最小值分别是（    ） A．2，1 B．2， C．2， D．， 4．（24-25高一上·内蒙古呼和浩特·期末）设函数的定义域为，对任意的，，且，都有不等式，，则不等式的解集是（   ） A． B． C． D． 5．（24-25高一上·内蒙古呼伦贝尔·期末）函数在上的最小值为－4，最大值是5，则的最大值为（    ） A． B． C．6 D．7 6．（24-25高一上·内蒙古科尔沁市·期末）已知函数，若对任意，都有成立，则实数的取值范围为（    ） A． B． C． D． 二、多选题 7．（24-25高一上·内蒙古赤峰·期末）若函数在上单调递增，则的取值可以是（ ） A． B． C． D． 8．（24-25高一上·内蒙古包头·期末）对于实数，符号表示不超过的最大整数，例如，，定义函数，则下列命题中正确的是（    ） A． B．函数的最大值为1 C．函数的最小值为0 D．方程有无数个根 三、填空题 9．（24-25高一上·内蒙古通辽·期末）已知函数的最大值为m，的最小值为n，则 ． 10．（24-25高一上·内蒙古阿拉善盟·期末）已知函数若对任意的，都有恒成立，则实数a的取值范围为 ． 四、解答题 11．（24-25高一上·内蒙古呼和浩特·期末）已知二次函数的最小值为1，且． (1)求的解析式； (2)求的单调性； (3)若在区间上不单调，求实数a的取值范围； 12．（24-25高一下·内蒙古乌兰察布·期末）已知关于的不等式. (1)是否存在实数m，使不等式对任意恒成立，并说明理由； (2)若不等式对于恒成立，求m的取值范围； (3)若不等式对于恒成立，求实数x的取值范围. ( 地 城 考点0 2 奇偶性 ) 一、单选题 1．（24-25高一上·内蒙古赤峰·期末）已知偶函数的定义域为，，若函数为奇函数，且，则（    ） A． B． C． D． 2．（24-25高一上·内蒙古呼和浩特·期末）下列函数中，是偶函数且在上单调递减的是（   ） A． B． C． D． 3．（24-25高一下·内蒙古赤峰·期末）已知函数的定义域为，且.有下列四个结论： ① ②为偶函数 ③ ④在区间上单调递减 其中所有正确结论的序号为（    ） A．①③ B．②③ C．②④ D．①④ 4．（24-25高一上·内蒙古锡林郭勒盟·期末）函数的图象大致是（    ） A．  B．  C．  D．   二、多选题 5．（24-25高二下·内蒙古赤峰·期末）已知函数的定义域为，且，，，则下列四个结论正确的是（   ） A．8是的周期 B．图象关于直线对称 C． D． 6．（24-25高一上·内蒙古呼伦贝尔·期末）已知函数是偶函数，且在上单调递增，则下列结论一定正确的有（    ） A．的图象关于直线对称 B． C． D．在上单调递减 7．（24-25高一上·内蒙古包头·期末）已知连续函数对任意实数恒有，当时，，，则以下说法中正确的是（    ） A． B．是上的奇函数 C．在上为增函数 D．在上的最大值是8 三、填空题 8．（24-25高一上·内蒙古乌兰察布·期末）已知是偶函数，则实数的值为 . 9．（24-25高一上·内蒙古乌兰察布·期末）已知是定义在上的奇函数，当时，，则 . 10．（24-25高一下·内蒙古赤峰·期末）已知，则①为奇函数；②；③在上单调递增；④，使与恰有两个交点，则以上结论正确的是 . 四、解答题 11．（24-25高一上·内蒙古鄂尔多斯·期末）已知函数． (1)判断的奇偶性，并用定义进行证明； (2)若，试讨论在上的单调性． 12．（24-25高一上·内蒙古呼和浩特·期末）函数的图象关于坐标原点成中心对称图形的充要条件是函数为奇函数，有同学发现可以将其推广为：函数的图象关于点成中心对称图形的充要条件是函数为奇函数. (1)求函数图象的对称中心； (2)根据第（1）问的结论，求 的值； (3)类比上述推广结论，写出“函数的图象关于轴成轴对称图形的充要条件是函数为偶函数”的一个推广结论. ( 地 城 考点0 3 函数的对称性 ) 一、单选题 1．（24-25高一上·内蒙古鄂尔多斯·期末）已知函数是偶函数，且函数的图象关于点成中心对称，当时，，则（    ） A． B． C．0 D．2 2．（24-25高一上·内蒙古乌海市·期末）已知定义域为的函数在单调递减，且，则使得不等式成立的实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 3．（24-25高一下·内蒙古呼和浩特·期末）已知定义在上的奇函数满足，且当时，，则的值为（    ） A． B． C．1 D．3 4．（24-25高一上·内蒙古包头·期末）定义在上的奇函数满足恒成立，若，则的值为（    ） A．6 B．4 C．2 D．0 5．（24-25高一上·内蒙古通辽·期末）已知函数是定义在上的奇函数，且的图象关于直线对称，当时，，则 A．3 B． C．7 D． 6．（24-25高一上·内蒙古科尔沁市·期末）函数在上单调递减，且是偶函数，若 ，则 的取值范围是（　　） A．（2，+∞） B．（﹣∞，1）∪（2，+∞） C．（1，2） D．（﹣∞，1） 二、多选题 7．（24-25高二下·内蒙古乌兰察布·期末）已知函数，则下列结论中错误的是（    ） A．函数的定义域是 B．函数是偶函数 C．函数在区间上是减函数 D．函数的图象关于直线对称 8．（24-25高一上·内蒙古赤峰·期末）已知定义在上的函数满足．若的图象关于点对称，则（   ） A．的图象关于点对称 B．是偶函数 C．是奇函数 D．的周期 三、填空题 9．（24-25高一上·内蒙古赤峰·期末）已知定义在上的函数在上单调递增，若函数为偶函数，且，则不等式的解集为 . 10．（24-25高一上·内蒙古赤峰·期末）研究表明，函数为奇函数时，函数的图象关于点成中心对称．若函数的图象对称中心为，那么 ． ( 地 城 考点0 4 函数的周期性 ) 一、单选题 1．（24-25高三上·内蒙古呼和浩特·期末）定义在上的奇函数满足，且当时，，则函数在上所有零点的和为（   ） A． B． C． D． 2．（24-25高一上·内蒙古科尔沁市·期末）设是定义域为的奇函数，且，若，则（    ） A． B． C． D． 3．（24-25高一上·内蒙古通辽·期末）设为定义在上的偶函数，且在上为增函数，则的大小顺序为（    ） A． B． C． D． 4．（24-25高一上·内蒙古呼和浩特·期末）定义在上的函数的图象关于点成中心对称，对任意的实数x都有，且，，则的值为（    ） A．2 B．1 C． D． 5．（24-25高一上·内蒙古赤峰·期末）已知定义在上的奇函数满足，当时，.则（    ） A． B．8 C． D． 6．（24-25高一上·内蒙古包头·期末）定义在上的奇函数满足恒成立，若，则的值为（    ） A．6 B．4 C．2 D．0 二、多选题 7．（24-25高三上·内蒙古赤峰·期末）已知定义在上的函数满足．若的图象关于点对称，则（   ） A．的图象关于点对称 B．是偶函数 C．是奇函数 D．的周期 8．（24-25高一上·内蒙古呼和浩特·期末）已知定义域为的函数满足，且为奇函数，则（    ） A． B．函数的一个周期为4 C． D． 三、填空题 9．（24-25高一上·内蒙古赤峰·期末）已知是定义在上的奇函数，且满足，当时，，则f . 10．（24-25高二下·内蒙古乌兰察布·期末）函数是定义在上的偶函数，且，对任意的都有，则 . ( 地 城 考点0 5 函数的图像 ) 一、单选题 1．（24-25高一上·内蒙古科尔沁市·期末）函数的大致图象是（   ） A．B．C．D． 2．（24-25高一上·内蒙古乌海市·期末）函数的大致图象为（   ） A．B．C．D． 3．（24-25高一上·内蒙古阿拉善盟·期末）我国著名数学家华罗庚曾说：“数缺形时少直观，形缺数时难入微，数形结合百般好，隔裂分家万事休．”在数学的学习和研究中，常用函数的图象来研究函数的性质，也常用函数的解析式来研究函数图象的特征．我们从这个商标中抽象出一个图象如图，其对应的函数可能是（   ） A． B． C． D． 4．（24-25高一上·内蒙古乌兰察布·期末）函数的大致图象是（    ） A．  B．  C．  D．   5．（24-25高一上·内蒙鄂尔多斯·期末）如图所示是函数的图象，图中x正半轴曲线与虚线无限接近但是永不相交，则以下描述正确的是（    ）    A．函数的定义域为 B．函数的值域为 C．此函数在定义域内是增函数 D．对于任意的，都有唯一的自变量x与之对应 二、多选题 6．（24-25高一上·内蒙古呼和浩特·期末）已知函数，，，与中的最小值记为，则（   ） A．函数有且只有一个零点 B．方程有5个解 C．函数在上单调递增 D．方程最多有3个解 7．（24-25高一上·内蒙古呼和浩特·期末）已知函数是定义在R上的奇函数，当时，，则下列结论正确的是（    ） A． B．的单调递增区间为， C．当时， D．的解集为 三、填空题 8．（24-25高一上·内蒙古呼伦贝尔·期末）函数，直线与的图像四个交点的横坐标从左到右依次为，则的取值范围是 ． 9．（24-25高一上·内蒙古包头·期末）函数，若函数，有三个不同的零点，则实数m的取值范围是 ． 试卷第1页，共3页 / 学科网（北京）股份有限公司 $