专题02 一元二次函数、方程和不等式（期末真题汇编，内蒙古专用）高一数学上学期人教A版

专题02 一元二次函数、方程和不等式 3大高频考点概览 考点01 等式性质与不等式性质 考点02 基本不等式 考点03 一元二次函数、一元二次不等式、 一元二次方程 ( 地 城 考点01 等式性质与不等式性质 ) 一、单选题 1．（24-25高一上·内蒙古赤峰·期末）下列命题中真命题的是（   ） A．若，则 B．若，则 C．若，则 D．若，则. 2．（24-25高一上·内蒙古乌海市·期末）已知，且，则下列不等式中一定成立的是（   ） A． B． C． D． 3．（24-25高一上·内蒙古科尔沁市·期末）已知，则与大小关系是（    ） A． B． C． D． 4．（24-25高一上·内蒙古赤峰·期末）若，则下列不等式中不成立的是（    ） A．； B．； C．； D．. 5．（24-25高二下·内蒙古呼和浩特·期末）设为实数，且，则下列不等式正确的是（    ） A． B． C． D． 6．（24-25高一上·内蒙古通辽·期末）下列命题为假命题的是（    ） A．若，则 B．若，，则 C．若，则 D．若，，则 二、多选题 7．（24-25高一上·内蒙鄂尔多斯·期末）对于实数a、b、c、d，下列选项中正确的是（    ） A．， B．，， C．， D．，， 8．（24-25高一上·内蒙古呼伦贝尔·期末）下列命题为真命题的是（    ） A．若，则 B．若，则 C．若，则 D．若，则 9．（24-25高一上·内蒙古·期末）下列命题正确的是（    ） A．若，则 B．若，则 C．若，则 D．若，则 三、填空题 10．（24-25高二下·内蒙古乌兰察布·期末）已知，，则的取值范围是 . 11．（24-25高一上·内蒙古呼和浩特·期末）设，，则，的大小关系为 . 四、解答题 12．（24-25高一上·内蒙古包头·期末）《见微知著》谈到：从一个简单的经典问题出发，从特殊到一般，由简单到复杂：从部分到整体，由低维到高维，知识与方法上的类比是探索发展的重要途径，是思想阀门发现新问题､新结论的重要方法. 阅读材料：利用整体思想解题，运用代数式的恒等变形，使不少依照常规思路难以解决的问题找到简便解决方法，常用的途径有：（1）整体观察；（2）整体设元；（3）整体代入：（4）整体求和等. 例如，，求证：.证明：原式. 请根据以上阅读材料解答下列问题： (1)已知，求的值. (2)若，解关于的方程. ( 地 城 考点0 2 基本不等式 ) 一、单选题 1．（24-25高一上·内蒙古乌兰察布·期末）已知，则的最小值是（   ） A．4 B．5 C．3 D．2 2．（24-25高一上·内蒙古通辽·期末）一天，陶渊明采菊东篱下.想用一段长为的篱笆围成一个一边靠墙（墙体足够长）的矩形菜园，问这个矩形菜园的最大面积是（   ）. A．289 B．104 C．162 D．138 3．（24-25高一上·内蒙古呼伦贝尔·期末）若正数满足，则的最小值为（    ） A． B． C．6 D． 4．（24-25高一下·内蒙古·期末）的最小值为（   ） A． B． C．6 D．24 5．（24-25高一上·内蒙古赤峰·期末）若，且，则的最小值是（   ） A． B． C．2 D． 6．（23-24高一上·内蒙古·期末）已知，且，则的最小值是（    ） A． B．3 C．4 D．9 二、多选题 7．（24-25高一上·内蒙古乌兰察布·期末）已知.则下列说法正确的是（    ） A．ab的最大值为 B．的最大值为3 C．的最小值为 D．的最小值为 8．（24-25高一上·内蒙古·期末）已知正数满足，则（   ） A． B． C． D． 9．（24-25高一上·内蒙古赤峰·期末）设正实数m，n满足，则（    ） A．的最小值为 B．的最大值为2 C．的最大值为 D．的最小值为 10．（24-25高一上·内蒙古包头·期末）已知，则下列结论正确的是（    ） A．的最小值为 B．的最大值为 C．的最小值为1 D．的最小值为4 三、解答题 11．（24-25高一上·内蒙古赤峰·期末）“宁城苹果”已经发展成当地重要富民产业，金秋十月，苹果飘香引客来，呈现一片繁荣景象.某采摘园内有一块场地，如下图所示，当地的设计公司欲在，，.三块区域种植不同的花草供游客欣赏，已知，，，设，（单位:）. (1)请用表示； (2)当取何值时，的面积最大，并求最大值. 12．（24-25高三上·内蒙古锡林郭勒盟·期末）已知，，均为正数，且，证明： (1)； (2)若，则. 13．（24-25高一上·内蒙古科尔沁市·期末）已知，，. (1)求的最大值； (2)求的最小值. ( 地 城 考点0 3 一元二次函数、一元二次不等式、 一元二次方程 ) 一、单选题 1．（24-25高二下·内蒙古包头·期末）不等式的解集是（    ）． A． B．或 C．或 D． 2．（24-25高一下·内蒙古乌兰察布·期末）不等式的解集为（    ） A． B． C．或 D． 3．（24-25高二下·内蒙古鄂尔多斯·期末）不等式的解集为（    ） A． B． C． D． 4．（24-25高一上·内蒙古科尔沁市·期末）若不等式的解集是，则的值为（    ） A． B． C．10 D．14 5．（24-25高一上·内蒙古乌海市·期末）若存在正实数x，y，使得等式和不等式都成立，则实数m的取值范围为（   ） A． B． C． D． 6．（24-25高三上·内蒙古锡林郭勒盟·期末）若不等式对任意的恒成立，则的最小值为（   ） A．3 B． C．4 D． 二、多选题 7．（24-25高一上·内蒙古巴彦淖尔·期末）已知命题：，则命题成立的一个充分不必要条件是（    ） A． B． C． D． 8．（24-25高一上·内蒙古呼伦贝尔·期末）已知关于的不等式的解集为，则（   ） A． B． C． D． 三、填空题 9．（24-25高一上·内蒙古乌兰察布·期末）若不等式对恒成立，则实数的取值范围是 . 10．（24-25高二上·内蒙古赤峰·期末）命题“,使”是假命题,则实数m的取值范围为 ． 四、解答题 11．（24-25高一上·内蒙古包头·期末）已知关于的不等式. (1)若不等式恒成立，求实数的取值范围. (2)在（1）的条件下，解关于的不等式. 12．（24-25高二下·内蒙古锡林郭勒盟·期末）关于的方程满足下列条件，求的取值范围. (1)有两个正根； (2)一个根大于1，一个根小于1； (3)一个根在内，另一个根在内； 试卷第1页，共3页 / 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题02 一元二次函数、方程和不等式 3大高频考点概览 考点01 等式性质与不等式性质 考点02 基本不等式 考点03 一元二次函数、一元二次不等式、 一元二次方程 ( 地 城 考点01 等式性质与不等式性质 ) 一、单选题 1．（24-25高一上·内蒙古赤峰·期末）下列命题中真命题的是（   ） A．若，则 B．若，则 C．若，则 D．若，则. 【答案】A 【分析】利用不等式性质即可判断AB，举例即可判断C，作差法即可判断D. 【详解】对于A：由，所以，所以，故A正确； 对于B：因为，所以，所以，所以，即，故B错误； 对于C：当时，，故C错误； 对于D，，因为，则， 所以，即，故D错误. 故选：A. 2．（24-25高一上·内蒙古乌海市·期末）已知，且，则下列不等式中一定成立的是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据不等式的性质进行判断即可. 【详解】因为，且， 所以，，故CD错误； 因为，，所以即恒成立，故A正确； 取，，则，但此时，故B未必成立. 故选：A 3．（24-25高一上·内蒙古科尔沁市·期末）已知，则与大小关系是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】利用作差比较法求解. 【详解】因为， 所以. 故选：C. 4．（24-25高一上·内蒙古赤峰·期末）若，则下列不等式中不成立的是（    ） A．； B．； C．； D．. 【答案】B 【分析】对于每个选项，我们将根据已知条件，利用不等式的性质进行分析判断. 【详解】对于A选项，因为，那么. 不等式两边同时除以，得到，即，所以，A选项成立. 对于B选项，由可得， 因为，此时，B选项不成立. 对于C选项，因为，和都是负数，所以，. 又因为，两边同时乘以，得到，即，C选项成立. 对于D选项，因为，和都是负数，绝对值大的反而小. 由，可得，，所以，D选项成立. 故选：B. 5．（24-25高二下·内蒙古呼和浩特·期末）设为实数，且，则下列不等式正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】取特殊值可求得A、B、C错误，由作差法可得D正确. 【详解】由可知，不妨取， 对于A，，所以A错误， 对于C，，可得C错误； 对于B，当时，不成立，即B错误； 对于D，，即可得，即D正确. 故选：D 6．（24-25高一上·内蒙古通辽·期末）下列命题为假命题的是（    ） A．若，则 B．若，，则 C．若，则 D．若，，则 【答案】D 【分析】对于ABC，利用不等式的性质即可判断其命题为真；对于D，举反例即可判断其命题为假，由此解答即可. 【详解】对于A，因为，所以，即，则选项A中命题为真，故A错误； 对于B，因为，，所以由不等式的性质得，则选项B中命题为真，故B错误； 对于C，因为，则，所以，则选项C中命题为真，故C错误； 对于D，令，则，，但，故选项D中命题为假，故D正确. 故选：D. 二、多选题 7．（24-25高一上·内蒙鄂尔多斯·期末）对于实数a、b、c、d，下列选项中正确的是（    ） A．， B．，， C．， D．，， 【答案】AB 【分析】由不等式性质判断AB正确，举反例说明CD错误即可. 【详解】由不等式性质可知AB正确； 对于C，当，时，不成立，故C错误； 对于D，当时，不成立，故D错误. 故选：AB. 8．（24-25高一上·内蒙古呼伦贝尔·期末）下列命题为真命题的是（    ） A．若，则 B．若，则 C．若，则 D．若，则 【答案】BCD 【分析】根据不等式的性质、差比较法等知识来确定正确答案. 【详解】A．若，则错误，如时，，所以该选项错误； B．若，则，所以该选项正确； C．由不等式性质得该选项正确； D．若，则，所以，所以该选项正确． 故选：BCD 9．（24-25高一上·内蒙古·期末）下列命题正确的是（    ） A．若，则 B．若，则 C．若，则 D．若，则 【答案】BD 【分析】根据不等式的性质逐一进行判断即可. 【详解】当时，由，得，则错误； 由，得，则，故B正确； 当时，满足，此时，则C错误； 由，得，则，故D正确. 故选：BD 三、填空题 10．（24-25高二下·内蒙古乌兰察布·期末）已知，，则的取值范围是 . 【答案】 【分析】根据的取值范围求出夫人范围，再结合的取值范围，利用不等式的性质求出的取值范围. 【详解】已知，不等式两边同时乘以得， 再根据，得到. 故答案为： 11．（24-25高一上·内蒙古呼和浩特·期末）设，，则，的大小关系为 . 【答案】 【分析】先分别将，平方，再进行大小比较即可. 【详解】解：，， ， 、的大小关系为； 故答案为：. 【点睛】本题考查了作差法比较大小，考查了基本运算求解能力，属于基础题. 四、解答题 12．（24-25高一上·内蒙古包头·期末）《见微知著》谈到：从一个简单的经典问题出发，从特殊到一般，由简单到复杂：从部分到整体，由低维到高维，知识与方法上的类比是探索发展的重要途径，是思想阀门发现新问题､新结论的重要方法. 阅读材料：利用整体思想解题，运用代数式的恒等变形，使不少依照常规思路难以解决的问题找到简便解决方法，常用的途径有：（1）整体观察；（2）整体设元；（3）整体代入：（4）整体求和等. 例如，，求证：.证明：原式. 请根据以上阅读材料解答下列问题： (1)已知，求的值. (2)若，解关于的方程. 【答案】(1)1 (2) 【分析】（1）由题意把代入式中化简计算即可得解； （2）将代入方程后化简计算即可得解. 【详解】（1）已知，则有. （2）由， 关于的方程， 可化为：， 即：， ∴，即，解得：. ( 地 城 考点0 2 基本不等式 ) 一、单选题 1．（24-25高一上·内蒙古乌兰察布·期末）已知，则的最小值是（   ） A．4 B．5 C．3 D．2 【答案】C 【分析】应用基本不等式求最小值，注意取值条件即可. 【详解】由题设，当且仅当时取等号，故原式的最小值为3. 故选：C 2．（24-25高一上·内蒙古通辽·期末）一天，陶渊明采菊东篱下.想用一段长为的篱笆围成一个一边靠墙（墙体足够长）的矩形菜园，问这个矩形菜园的最大面积是（   ）. A．289 B．104 C．162 D．138 【答案】C 【分析】设出矩形菜园的靠墙的一边长为，由已知表示出另一边长，再表示出面积，利用基本不等式即可求出菜园的最大面积. 【详解】设矩形菜园的靠墙的一边长为， 因为篱笆的长为，则宽为， 所以矩形菜园的面积为： ， 当且仅当，即时等号成立， 所以矩形菜园的最大面积是. 故选：C. 3．（24-25高一上·内蒙古呼伦贝尔·期末）若正数满足，则的最小值为（    ） A． B． C．6 D． 【答案】B 【分析】利用等量关系和基本不等式可求答案. 【详解】由得，故， 当且仅当，即时，等号成立， 所以的最小值为. 故选：B． 4．（24-25高一下·内蒙古·期末）的最小值为（   ） A． B． C．6 D．24 【答案】B 【分析】将变形为，再利用基本不等式求其最小值即可. 【详解】因为， 当且仅当，即时，等号成立． 所以的最小值为， 故选：B. 5．（24-25高一上·内蒙古赤峰·期末）若，且，则的最小值是（   ） A． B． C．2 D． 【答案】A 【分析】通分分解后再利用基本不等式可得答案. 【详解】因为，且， 所以， 当且仅当时等号成立， 故选：A. 6．（23-24高一上·内蒙古·期末）已知，且，则的最小值是（    ） A． B．3 C．4 D．9 【答案】B 【分析】先将条件变形为，然后通过展开，利用基本不等式求最值. 【详解】因为，所以，又， 所以， 当且仅当，即时取等号. 故选：B. 二、多选题 7．（24-25高一上·内蒙古乌兰察布·期末）已知.则下列说法正确的是（    ） A．ab的最大值为 B．的最大值为3 C．的最小值为 D．的最小值为 【答案】ACD 【分析】根据给定条件，利用基本不等式、“1”的妙用逐项判断即可. 【详解】对于A，，当且仅当时取等号，A正确； 对于B，， 当且仅当，即时取等号，B错误； 对于C，，当且仅当时取等号，C正确； 对于D， ，当且仅当，即时取等号，D正确. 故选：ACD 8．（24-25高一上·内蒙古·期末）已知正数满足，则（   ） A． B． C． D． 【答案】BCD 【分析】选项A利用基本不等式构造出的不等式解出即可，选项B利用完全平方公式、基本不等式，以及不等式性质求解的取值范围即可，将变形得，代入中转化为二次函数求解即可得C选项，将变形得乘以变形构造基本不等式即可得出D选项. 【详解】因为，， 所以， 当且仅当即时等号成立， 所以， 即，所以，故A不正确； 由， 则， 由A有，所以， 所以，即 当且仅当时等号成立，故B选项正确； 由，则代入中有： ， ， 所以当时，等号成立，故C正确； 因为，所以， 所以 ， 当且仅当时等号成立，故D正确； 故选：BCD. 9．（24-25高一上·内蒙古赤峰·期末）设正实数m，n满足，则（    ） A．的最小值为 B．的最大值为2 C．的最大值为 D．的最小值为 【答案】AB 【分析】A由“1”的妙用结合基本不等式可得最小值；B由基本不等式求得最值，即可判断选项正误；C由B选选项分析可判断正误；D由基本不等式求得最值，可判断选项正误. 【详解】对于A，， 当且仅当，即时取等号，故A正确； 对于B，，，当且仅当时取等号，则，故B正确； 对于C，由B分析可知，故C错误； 对于D，， 注意到，则.当且仅当时取等号，故D错误. 故选：AB 10．（24-25高一上·内蒙古包头·期末）已知，则下列结论正确的是（    ） A．的最小值为 B．的最大值为 C．的最小值为1 D．的最小值为4 【答案】BC 【分析】根据给定条件，利用基本不等式逐项求解判断. 【详解】对于A，由，得，当且仅当时取等号，A错误； 对于B，由，得，B正确； 对于C，，当且仅当时取等号，C正确； 对于D，，当时，，D错误. 故选：BC 三、解答题 11．（24-25高一上·内蒙古赤峰·期末）“宁城苹果”已经发展成当地重要富民产业，金秋十月，苹果飘香引客来，呈现一片繁荣景象.某采摘园内有一块场地，如下图所示，当地的设计公司欲在，，.三块区域种植不同的花草供游客欣赏，已知，，，设，（单位:）. (1)请用表示； (2)当取何值时，的面积最大，并求最大值. 【答案】(1) (2)当时，的面积最大，最大值为 【分析】（1）利用勾股定理有解出即可； （2）结合基本不等式表示出三角形的面积求出最值即可. 【详解】（1）因为，， 所以， 在中，， 所以， 整理得. （2）由（1）得的面积为 ， 当且仅当，即时等号成立， 所以当时，的面积最大，最大值为. 12．（24-25高三上·内蒙古锡林郭勒盟·期末）已知，，均为正数，且，证明： (1)； (2)若，则. 【答案】(1)证明见解析 (2)证明见解析 【分析】（1）由展开，结合已知条件，利用基本不等式计算即可得出结果； （2）由，将，化简可得，借助“1”的替换，利用基本不等式即可得出结果. 【详解】（1）因为 ，当且仅当时取等号， 所以， 又因为，，均为正数，所以. （2）因为，由条件可得，即， 所以 ， 当且仅当时取等号，此时，解得， 把和，代入，求得， 所以当且仅当，，时，取得等号. 13．（24-25高一上·内蒙古科尔沁市·期末）已知，，. (1)求的最大值； (2)求的最小值. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）利用基本不等式，将等式转化为关于的一元二次方程，即可求解； （2）首先将等式变形为，再变形，转化为利用基本不等式求和的最小值. 【详解】（1）因为， 令，则，所以，解得， 所以，当且仅当，即，时等号成立； （2）由，得， 所以， 当且仅当，即，时等号成立. 所以的最小值为. ( 地 城 考点0 3 一元二次函数、一元二次不等式、 一元二次方程 ) 一、单选题 1．（24-25高二下·内蒙古包头·期末）不等式的解集是（    ）． A． B．或 C．或 D． 【答案】B 【分析】化简式子可得，然后直接计算. 【详解】由题可知：或， 不等式的解集为或. 故选：B 2．（24-25高一下·内蒙古乌兰察布·期末）不等式的解集为（    ） A． B． C．或 D． 【答案】B 【分析】将不等式化为不等式，结合三个二次的关系即可求得答案. 【详解】不等式即不等式， 故，即不等式的解集为， 故选：B 3．（24-25高二下·内蒙古鄂尔多斯·期末）不等式的解集为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据分式不等式解法求解分式不等式即可得出结果. 【详解】不等式可化为，通分整理得， 解得,所以解集为. 故选：A. 4．（24-25高一上·内蒙古科尔沁市·期末）若不等式的解集是，则的值为（    ） A． B． C．10 D．14 【答案】B 【分析】由含参一元二次不等式解集及根与系数关系列方程求参数，即可得答案. 【详解】由题设，可得，故. 故选：B 5．（24-25高一上·内蒙古乌海市·期末）若存在正实数x，y，使得等式和不等式都成立，则实数m的取值范围为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】借助基本不等式可得的最小值，结合该值，再解出与有关一元二次不等式即可得. 【详解】由，则 ， 当且仅当，即，时，等号成立， 即恒成立，故， 即，解得或. 故选：B. 6．（24-25高三上·内蒙古锡林郭勒盟·期末）若不等式对任意的恒成立，则的最小值为（   ） A．3 B． C．4 D． 【答案】C 【分析】由不等式恒成立，确定，且，再由基本不等式即可求解． 【详解】不等式可化为， 当时，不等式为，不满足对任意的恒成立； 当时，，图象开口向下，不满足题意， 所以，且，所以， 所以，且，； 所以，当且仅当，即时等号成立， 所以的最小值为4． 故选：C 二、多选题 7．（24-25高一上·内蒙古巴彦淖尔·期末）已知命题：，则命题成立的一个充分不必要条件是（    ） A． B． C． D． 【答案】AB 【分析】解不等式求得：，利用充分不必要条件的概念计算即可. 【详解】由，解得. 要满足题意，只需在的子集中确定即可， 显然和都是命题成立的充分不必要条件. 故选：AB. 8．（24-25高一上·内蒙古呼伦贝尔·期末）已知关于的不等式的解集为，则（   ） A． B． C． D． 【答案】BCD 【分析】根据不等式的解集得出对应方程的根，由根与系数的关系得出与的关系， 可判断AD，再由不等式解集中的元素代入可判断BC. 【详解】因为不等式的解集为， 所以，，4是方程的两根， 所以，，则，A错误； ，则，D正确； 因为，所以，B正确； 因为，所以，，两式相加得， 即，C正确． 故选：BCD． 三、填空题 9．（24-25高一上·内蒙古乌兰察布·期末）若不等式对恒成立，则实数的取值范围是 . 【答案】 【分析】讨论、，结合二次函数性质列不等式求参数范围. 【详解】当，则，显然对于都成立，满足； 当，要使对恒成立，则，所以； 综上，. 故答案为：. 10．（24-25高二上·内蒙古赤峰·期末）命题“,使”是假命题,则实数m的取值范围为 ． 【答案】 【分析】原命题为假命题,即命题的否定为真命题,即,使,只需,解出即可. 【详解】解:由题知原命题为假命题,所以命题的否定为真命题, 即,使, 所以有, 解得:. 故答案为: 四、解答题 11．（24-25高一上·内蒙古包头·期末）已知关于的不等式. (1)若不等式恒成立，求实数的取值范围. (2)在（1）的条件下，解关于的不等式. 【答案】(1)； (2). 【分析】（1）根据给定条件，按或分类讨论，列式求出的取值范围. （2）根据（1）中的取值范围可得到不等式对应方程的根的大小，进而求出不等式的解集. 【详解】（1）关于的不等式恒成立， 则当时，原不等式为恒成立； 当时，，解得， 所以的取值范围为. （2）不等式化为， 由（1）知，，则，解得， 所以原不等式的解集为. 12．（24-25高二下·内蒙古锡林郭勒盟·期末）关于的方程满足下列条件，求的取值范围. (1)有两个正根； (2)一个根大于1，一个根小于1； (3)一个根在内，另一个根在内； 【答案】(1)； (2) (3). 【分析】（1）根据韦达定理和根的判别式得到不等式，求出； （2）令，设的两个根为，，故只需，求出答案； （3）根据方程一个根在内，另一个根在内，得到不等式，求出答案. 【详解】（1）令，设的两个根为. 由题得，解得. （2）令，设的两个根为. 若方程的一个根大于1，一个根小于1， 由于，开口向上， 故只需，解得. （3）令，设的两个根为. 若方程一个根在内，另一个根在内， 结合开口向上， 则，解得. 试卷第1页，共3页 / 学科网（北京）股份有限公司 $