10.1.4 概率的基本性质 教学设计-2024-2025学年高一下学期数学人教A版必修第二册

教学设计 课程基本信息 学科 数学 年级 高一 学期 春季 课题 10.1.4 概率的基本性质 教学目标 1.类比函数性质的研究路径和方法构建概率基本性质的学习路径和方法，能通过古典概型和几何度量角度解释概率的基本性质并说明性质之间的联系，发展逻辑推理素养。 2. 会利用概率的基本性质求复杂事件的概率，提升数学应用意识。 教学重难点 教学重点： 概率基本性质的研究路径和研究方法，概率的基本性质和应用 教学难点： 概率基本性质的研究路径和研究方法 教学过程 （1） 复习回顾，提出研究问题 我们把在一定条件下不能事先预知结果，但在大量重复观测下，各个结果出现的频率具有稳定性的现象称为随机现象.在明确概率的研究对象是随机现象的基础上，引进了样本点和有限样本空间的概念，并把随机事件定义为样本空间的子集，再类比集合的关系和运算，研究了随机事件的关系和运算;概率是随机事件发生可能性大小的度量，重点研究了古典概型的特征、古典概型的定义及计算。一般而言，给出一个数学对象的定义，就要研究这个数学对象的性质。古典概型和件的关系与运算将是我们探究概率性质的基础。 设计意图：复习回顾知识内容，构建知识框架,定义了一个数学研究对象就要研究这个对象的性质，提出本节课研究内容。 （2） 类比学习，获得研究方法 问题1：概率的性质指的是什么？可以从哪些角度研究概率的性质？ 师生活动： （1）概率和函数的关系：设一个随机事件的样本空间为Ω ,对于每个事件A⊆Ω ，都有唯一确定的实数P(A)与之对应.这样概率可以看成定义在样本空间（有限样本点）子集上的“集函数”.由此可以类比函数性质的方法来研究概率的基本性质. （2）通过函数性质的研究内容和方法，引出概率的研究内容和方法。 函数的性质是变化中的不变性和规律性。概率的性质是在度量随机事件发生可能性大小过程中的不变性和规律性。函数性质包括从定义角度研究定义域，值域，特殊点，从自变量和函数值关系角度研究单调性等猜想概率的性质也要研究事件A的取值范围，概率的取值范围，特殊事件的概率，概率的单调性等，研究角度有从定义出发还可以从事件的关系和运算出发。 设计意图:将概率性质的研究与函数性质的研究建立起联系，明确研究概率性质研究的内容和方法。 （3） 应用方法，探索概率性质 问题2：你能从概率定义的角度说出概率的取值范围和特殊事件的概率吗？ 师生活动：由于概率是随机事件发生可能性大小的一种度量结合古典概型得到性质一：对于任意事件A，都有P(A)≥0.（非负性）；由于必然事件一定发生，不可能事件一定不发生，得到性质二：必然事件的概率为1，不可能事件的概率为0，即P(Ω)=1，P(∅)=0 .（规范性） 问题3：对于函数性质来说，如果两个自变量有关系，那么对应的函数值也有一定关系.概率是特殊的函数，当事件间具有某些特殊关系或运算时，它们的概率之间会有什么关系呢？ 师生活动：采用特殊到一般的研究方法，先从特殊的、熟悉的随机试验出发进行计算、观察、分析、得到结论。 特例：抛掷一枚骰子，观察它落地时正面朝上的点数. (1)若事件A={1},B={2}，则P(A),P(B)与P(A∪B)、P(A∩B)有什么关系？ (2)若事件C={1,2,3},D={4,5,}，则P(C),P(D)与P(C∪D)、P(C∩D)有什么关系？ (3)若事件E={1,3},F={3,5,}，则P(E),P(F)与P(E∪F)、P(E∩F)有什么关系？ 猜想：如果事件A与事件B互斥，那么P(A∪B)=P(A)+P(B) 从古典概型的角度解释：因为事件A与事件B互斥，即A与B不含有相同的样本点，所以 n(A∪B)=n(A)+n(B),从而P(A∪B)=P(A)+P(B) 从几何度量的角度解释：将事件的概率与 Venn图中事件对应面积与样本空间面积比进行类比，从Venn图可以看出，当事件A与事件B互斥时，两个事件对应的面积之和等于和事件的面积，从而P(A∪B)=P(A)+P(B) 性质3 如果事件A与事件B互斥，那么P(A∪B)=P(A)+P(B).（可加性） 追问1：一般地，在得出一个性质后需要考虑能否推广，你认为性质3能推广吗？ 师生活动：推广如果事件两两互斥，那么=)+)++) 追问2：在得出一个性质后还需要考虑能否特殊化，你认为性质3能特殊化吗？ 师生活动：性质4 如果事件与事件互为对立事件，那么 ,即= , = 追问3：在得出一个性质后也需要考虑能否一般化，你认为一般情况下，P(A∪B)与P(A)、P(B)有什么关系？ 师生活动：抛掷一枚骰子，观察它落地时正面朝上的点数. 若事件E={1,3},F={3,5,}，问P(E),P(F)与P(E∪F)，P(E∩F）有什么关系？ 不难发现：n(E∪F)=n(E)+n(F)−n(E∩F)，从而P(E∪F)=P(E)+P(F)−P(E∩F) 性质5 如果A，B是一个随机试验中的两个事件，那么P(A∪B)=P(A)+P(B)− P(A∩B) . 从几何度量的角度解释 从古典概型的角度解释；由于。 问题4：若与有什么关系？ 师生活动：古典概型的角度解释：若那么于是 从几何度量的角度解释： 性质6 若（单调性） 设计意图 通过问题3、问题4及3个追问,从事件的关系和运算的角度利用特殊到一般的方法得出可加性（性质三）、单调性（性质六），并对可加性特殊化（性质四）和一般化（性质五）。同时也揭示了各条性质之间的联系,在探究的过程中,重视归纳推理和演绎推理相结合，同时教会学生探究数学对象性质的方法。 （4） 应用性质，简化概率计算 例11 从不包含大小王牌的52张扑克牌中随机抽取一张，设事件A= “抽到红心”，事件B= “抽到方片”，P(A)=P(B)= ，那么 （1）C= “抽到红花色”，求P(C); （2）D= “抽到黑花色”，求P(D). 解：（1） ∵ C=A∪B, 且 A与B是互斥事件.∴P(C) = P(A)＋P(B)=0.5 （2） ∵ C与D互为对立事件.∴P(D) = 1－P(C)=0.5 设计意图：帮助学生进一步热悉概率的基本性质，体会概率的基本性质可以简化概率的计算。 例12 为了推广一种新饮料，某饮料生产企业开展了有奖促销活动：将6罐这种饮料装一箱，每箱中都放置2罐能够中奖的饮料. 若从一箱中随机抽出2罐，能中奖的概率为多少？ 解：设事件A=“中奖”，事件A1=“第一罐中奖”，事件A2=“第二罐中奖”， 那么事件=“两罐都中奖”，=“第一罐中奖, 第二罐不中奖”， =“第一罐不中奖, 第二罐中奖”，且所以 借助树状图来求相应事件的样本点数. 可以得到 所以=++= 解法二：因为事件A的对立事件是“不中奖” 所以 =“两罐都不中奖” 因为(= 所以(== 因此P(= 设计意图：此题为利用性质求解复杂事件的概率问题提供了范例，复杂时间概率的基本路径：首先分类表示简单事件,样本点、样本空间、随机事件符号化；其次求简单事件的概率(古典概型);然后用简单事件表示复杂事件；最后通过简单事件的概率计算复杂事件的概率。 （五）小结提升，形成知识结构 问题5：回顾本节课的学习内容，回答下列问题： （1）概率的基本性质分别是什么？它们有什么关系？ （2）我们是如何研究概率性质的？采用了哪些研究方法？ 回顾函数的研究，其结构和内容大致如下 预备知识 集合（概念、关系、运算） 函数事实 函数的概念（定义、表示） 函数的性质 基本初等函数 初等函数 类比函数的研究，形成概率的结构体系 预备知识 样本点、样本空间、随机事件、事件的关系和运算 概率事实 概率的概念（定义、表示） 概率的性质 古典概型 设计意图：引导学生对本节课内容进行梳理，巩固概率的基本性质，形成知识结构，获得数学对象的研究路径。 （六）强化训练，布置课后作业 1.基础性作业 P242页练习1，2，3 2.提高性作业 P244页习题14，15，16 3.探究性作业 尝试用本节课所学知识解释古典概型的计算公式. 设计意图：考查学生是否会利用概率的基本性质计算复杂事件的概率，探究性作业引导学生从性质角度思考古典概型的概率计算公式。 学科网（北京）股份有限公司 $