空间向量法求空间角度问题、动点存在性问题、翻折问题 专项训练-2026届高三数学一轮复习

空间向量法求空间角度问题、动点存在性问题、翻折问题专项训练 空间向量法求空间角度问题、动点存在性问题、翻折问题专项训练 考点目录 空间向量法求空间角度问题 动点存在性问题 翻折问题 考点一 空间向量法求空间角度问题 例1．（25-26高二上·重庆黔江·期中）已知长方体中，，，是与的交点． (1)证明：平面； (2)求直线与平面所成角的正弦值． 例2．（25-26高二上·天津·月考）如图，在四棱锥中，底面为正方形，平面，，点分别为的中点. (1)求证:平面· (2)直线与平面所成的角正弦值； (3)求平面与平面夹角的余弦值. 例3．（25-26高二上·河南郑州·期中）如图，已知在正四棱柱中，四边形的边长均为，且分别是的中点. (1)证明：； (2)求直线与平面所成角的正弦值. 例4．（25-26高二上·广西·期中）如图，和所在平面垂直，，. (1)求证：； (2)求与平面所成角的大小； (3)求平面和平面的夹角的余弦值. 变式1．（25-26高二上·山东德州·期中）如图，已知在四棱锥P-ABCD中，平面ABCD，点Q在棱PA上，且，底面为直角梯形，，，，，M，N分别是PD，PB的中点. (1)求证：平面PCB； (2)直线AD与直线CN所成角的余弦值. 变式2．（25-26高三上·福建龙岩·期中）如图，在三棱柱中，为上一点，平面，，， (1)证明：平面； (2)求平面与平面夹角的余弦值. 变式3．（25-26高三上·安徽·期中）如图，在棱长均相等的平行六面体中，平面，二面角的大小为60°，是棱的中点． (1)证明：． (2)求二面角的正弦值． 变式4．（25-26高三上·上海宝山·期中）如图所示，在四棱锥中，底面ABCD，四边形ABCD为直角梯形，其中，，，.点E、F、G分别为线段AD、DC、PB的中点. (1)证明：平面平面GAC； (2)求直线GC与平面PCD所成角的正弦值. 考点二 动点存在性问题 例1．（25-26高二上·浙江·期中）如图，在四棱台中，平面平面，且与是两个全等的等腰梯形，满足.点在上，满足，连接交于点，点为的中点，连接. (1)证明：平面； (2)求与平面所成角的正弦值； (3)在线段上（不含端点）是否存在一点，使得平面与平面所成角的正弦值为？若存在，求出的长；若不存在，请说明理由. 例2．（25-26高二上·湖南·期中）如图，四棱锥的底面为矩形，，，平面平面，平面平面. (1)证明：平面； (2)设的中点为，，点为线段上（不含端点）一点，且直线与平面所成角的正弦值为，求平面与平面的夹角的余弦值. 例3．（25-26高二上·河南郑州·期中）如图所示，在三棱锥中，，. (1)判断平面与平面是否垂直？若垂直，请说明理由；若不垂直，请求出平面与平面的夹角； (2)若，平面与平面的夹角的余弦值为，求的值. 例4．（25-26高三上·辽宁大连·月考）如图，四棱锥的底面是正方形，平面，.已知，分别为，的中点，平面与棱交于点. (1)求证：平面； (2)求平面与平面的夹角的余弦值； (3)判断线段上是否存在一点，使得点到平面的距离为？若存在，请求出点的坐标；若不存在，请说明理由. 变式1．（25-26高二上·云南昆明·期中）如图1，点分别是边长为4的正方形三边的中点，先沿着虚线段将等腰直角三角形裁掉，再将剩下的五边形沿着线段折起，使得平面平面，（如图2），连接，是四边形对角线的交点. (1)求证：平面； (2)求直线与平面所成角的正弦值； (3)在棱上是否存在点，使得平面与平面的夹角为?若存在，求出点的位置，若不存在，请说明理由. 变式2．（25-26高二上·重庆黔江·期中）如图，在几何体中，已知四边形是边长为的正方形，，，. (1)证明：平面平面； (2)设为中点，求点到直线的距离； (3)在线段EF（含端点）上是否存在点，使平面与平面所成角的余弦值为，若存在，求的值，若不存在，说明理由． 变式3．（25-26高三上·天津·期中）如图，平面，，，，，点，，分别为，，的中点. (1)求证：平面； (2)求平面与平面夹角的大小； (3)若为线段上的点，且直线与平面所成的角正弦值为，求到平面的距离. 变式4．（25-26高二上·广东惠州·期中）如图，四棱锥中，平面，，，，，，是的中点. (1)求证：平面； (2)若， ①求平面与平面所成角的余弦值； ②在线段上是否存在点，使得点到平面的距离为？若存在，求出的值；若不存在，请说明理由. 考点三 翻折问题 例1．（25-26高三上·福建泉州·期中）在平行四边形中（图1），，为的中点，将等边沿折起，连接，，且（图2）. (1)求证：平面； (2)求平面与平面夹角的余弦值. 例2．（25-26高二上·山东德州·期中）如图1，在四边形中，，，，如图2，把沿折起，使点到达点处，且平面平面，为的中点. (1)求证：； (2)求平面与平面的夹角的余弦值； (3)判断线段上是否存在点，使得三棱锥的体积为.若存在，求出的值；若不存在，请说明理由. 例3．（25-26高三上·贵州·月考）如图1，在梯形中，，为的中点，，，将沿折叠，得到图2所示的四棱锥，且． (1)若为的中点，证明：平面； (2)求平面与平面所成角的大小． 例4．（2025·广西柳州·一模）如图，在中，，，，D，E分别在，上，满足，，将沿折起到的位置，使，点M在线段上． (1)求证：平面； (2)已知与平面所成角的大小为，求． 变式1．（25-26高三上·云南红河·月考）图一，四边形是边长为2的菱形，且，点为的中点，现将沿直线折起，形成如图二的四棱锥，点为的中点. (1)求证：平面； (2)若四棱锥的体积为，求平面与平面的夹角的大小. 变式2．（25-26高二上·福建福州·期中）如图（1），在直角梯形中，，，过的中点作交于点，，现将四边形沿着翻折至位置，使得，如图（2）所示． (1)证明：平面； (2)在线段上是否存在一点，使得平面与平面的夹角的余弦值为，若存在，确定点的位置，若不存在，请说明理由． 变式3．（25-26高二上·江苏无锡·期中）如图1，已知梯形中，，是边的中点，，，将沿折起，使点到达点的位置，且，如图2，，分别是，的中点.    (1)求证：平面 (2)求平面与平面夹角的余弦值； (3)求点到平面的距离. 变式4．（25-26高二上·浙江·期中）平面内沿着等腰直角的腰AC作底角的等腰，，如图1.将沿AC翻折至，如图2. (1)当平面平面ABC时， （ⅰ）证明：； （ⅱ）若G是的重心，求BG与平面ABC所成角的正弦值. (2)求二面角的余弦值的最小值. 2 学科网（北京）股份有限公司 $空间向量法求空间角度问题、动点存在性问题、翻折问题专项训练 空间向量法求空间角度问题、动点存在性问题、翻折问题专项训练 考点目录 空间向量法求空间角度问题 动点存在性问题 翻折问题 考点一 空间向量法求空间角度问题 例1.(25-26高二上·重庆黔江·期中)已知长方体ABCD-A,B,C,D,中，AB=BC=2,AA,=4,N是AC与BD的 交点 (1)证明：BN∥平面A,CD; (2)求直线BC,与平面A,C,D所成角的正弦值. D D戊 4k-NB 【答案】(1)证明见解析 245 15 【详解】(1) D A B A B 连接BD交AC于点M,连接DM, 在长方体ABCD-A,B,C,D,中，四边形B,BDD为矩形， 且N为BD中点，M为BD中点， 所以DN/IB,M,DN=BM,所以四边形DNB,M为平行四边形， 空间向量法求空间角度问题、动点存在性问题、翻折问题专项训练 所以BNI1DM, 因为DMC平面ACD,BN文平面ACD, 所以BN∥平面A,C,D; (2) D C A B D B 以D为原点建立如图所示空间直角坐标系， 则D(0,0,0),B(2,2,0),C(0,2,4,A2,0,4,N1,1,0), 所以BC=（-2,0,4),DA=(2,0,4,DC=(0,2,4, 设平面ACD的法向量为n=(x,y,z), n·DA=02x+4z=0 则 → n.DC=02y+4z=0' 取x=2,则y=2,z=-1,所以i=(2,2,-1, 设直线BC,与平面A,CD所成的角为O, sinecos(C BC·列_4-4_45 BC2V5x315, 所以直线BC,与平面ACD所成角的正弦值为4W5 15 例2.(25-26高二上天津月考)如图，在四棱锥P-ABCD中，底面ABCD为正方形，PD⊥平面ABCD, PD=AB,点E,F,G分别为PC,PA,BC的中点 (1)求证：FG11平面PCD (2)直线PB与平面ABCD所成的角正弦值； (3)求平面EFG与平面PAD夹角的余弦值， 空间向量法求空间角度问题、动点存在性问题、翻折问题专项训练 D:. 【答案】（①）证明见解析 R 3 36 6 【详解】C1)取PD的中点H,连接cH,FH,则FH/ADFH=4D, 因为四棱锥的底面ABCD为正方形，CG=)BC=)AD且CG11AD, 2 则FH/1CG,FH=CG,故四边形FGCH是平行四边形，即得FG1/CH. 又CHc平面PCD,FG不在平面PCD内，所以FG/I平面PCD D G B (2)连接DB,因为PD⊥平面ABCD,则直线PB与平面ABCD所成的角为∠PBD 因为ABCD为正方形，所以DB=VAB?+AB2=√2AB, 在直角三角形PDB中，因为PD=AB,则PB=VPD2+BD2=V3AB, 故sin∠PBD= PDAB√5 PB3AB 3 即直线PB与平面ABCD所成的角的正弦值为 3 空间向量法求空间角度问题、动点存在性问题、翻折问题专项训练 D (3)如图，以D为原点，以DA,DC,DP所在直线为x,y,z轴建立空间直角坐标系， 设B=1,则c=0Lo,E05F}0》c}0 所以F日- 设平面EFG的法向量为m=(x,y,z), 11 EFm=2-2y=0 则 2=1x+1v1z0’微可取，，4 因为PD⊥平面ABCD,CDC面ABCD,所以PD⊥CD, 因为AD⊥CD,PD∩AD=D,PD,ADc平面PAD, 所以CD⊥平面PAD,故DC=(O,1,0)为平面PAD的一个法向量， 设平面EFG与平面PAD夹角为O,则 cos0-cos(C.)= DCm 2√6 DCmV4+4+166 即平面EFG与平面PAD夹角的余弦值为V 6 Z本 P G 例3.(25-26高二上·河南郑州期中)如图，己知在正四棱柱ABCD-A,B,CD,中，四边形ABCD的边长均为 2,AA1=4,且E,F,G分别是AD,CD,DD的中点 (I)证明：B,E⊥AF; 空间向量法求空间角度问题、动点存在性问题、翻折问题专项训练 (2)求直线B,E与平面AFG所成角的正弦值 D G D B 【答案】(1)证明见解析； 230 10 【详解】(1)在正四棱柱ABCD-A,B,C,D,中，以A为原点，直线AB,AA,AD分别为x,y,z轴建立空间直角坐标系， ZA D G F C A B 则B(2,4,0),A(0,4,0),E(0,4,1),F(1,0,2),G(0,2,2),BE=(-2,0,1),A,F=(1,-4,2), 由B,E.A,F=-2+0+2=0,得B,E⊥AF,所以B,E⊥AF (2)设平面AFG的法向量为i=(x,y,z),而AF=1,-4,2),FG=(-1,2,0), AF.ii=x-4y+2z=0 则 FG·i=-x+2y=0 ，取y=l,得i=(2.1,,又E=←2,0，， 所以直线B,E与平面AFG所成角的正弦值为cosa,BEF万：BE1-3。=V30 1n川B,E1V6510 例4.(25-26高二上广西·期中)如图，ABC和△DBC所在平面垂直，AB=BC=BD=2, ∠CBA=∠DBC=I35° (1I)求证：AD⊥BC; (②)求AD与平面ABC所成角的大小： (③)求平面ABD和平面BCD的夹角的余弦值， 空间向量法求空间角度问题、动点存在性问题、翻折问题专项训练 B D 【答案】(1)证明见详解 (2)45 3)3 3 【详解】(1)作AO⊥BC于点O,连接D0,因为ABC和△DBC所在平面垂直， 平面ABCn平面DBC=BC,所以AO⊥BC,A0⊥OD 因为AB=BC=BD=2,∠CBA=∠DBC=135°，所以△ABC=△DBC, 所以0D⊥BC,又AO∩OD=O,AO,ODc平面A0D, 所以BC⊥平面AOD,ADC平面AOD,所以BC⊥AD (2)由(1)知D0⊥AO,D0⊥OC,OC∩AO=O,OC,AOc平面ABC, :D0⊥平面ABC, 所以∠DA0即为AD与平面ABC所成角，易得OA=OD,∠AOD=90°.∠DAO=45°，所以AD与平面ABC所成角 为45°. (3)以点0为原点，分别以OD,OC,0A所在直线为x轴，y轴，z轴建立空间直角坐标系如图所示： ZA B 则A0,0,V2),B0,√2,0，D(W2,0,0,BA=(0,-V2,2,BD=(W2,-V2,0 设平面ABD的法向量i=(x,y,z, 则n.BA=-2y+√2z=0,n.BD=√2x-√2y=0, 令x=1,则y=z=1,.i=(1,1,1,平面BCD的法向量m=(0,0,1, 则c0s元，m=万m三1.5 网厅3，所以平面ABD和平面8CD的夹角的余弦值为5 6 空间向量法求空间角度问题、动点存在性问题、翻折问题专项训练 变式1.(25-26高二上山东德州期中)如图，已知在四棱锥P-ABCD中，PA⊥平面ABCD,点Q在棱PA上，且 PA=4PQ=8,底面为直角梯形，∠CDA=∠BAD=90°，AB=4,CD=2,AD=2√2，M,N分别是PD,PB的中 点 (1)求证：MQ∥平面PCB; (2)直线AD与直线CW所成角的余弦值. M ! B D 【答案】()证明见解析 33 3 【详解】(I)(I)法一：取AP的中点E,连接ED,EN,则EN∥AB,EN=AB M B 依题意得，CD∥AB,CD=AB, 则四边形CDEN为平行四边形，ED∥CN, Q为EP的中点，所以MQ∥ED,所以MQ∥CN, 又MQ丈平面PCB,CNc平面PCB,故MQ∥平面PCB 法二：以A为原点，以AD,AB,AP分别为x,y,z建立空间直角坐标系A-xyz, 空间向量法求空间角度问题、动点存在性问题、翻折问题专项训练 ZA M B方 由AB=4,CD=2,AD=22,PA=4P9=8,M,N分别是PD,PB的中点， 可得：A0,0,0),B0,4,0),C2V2,2,0,D22,0,0, P0,0,8,(0,0,6,M(V2,0,4,N(0,2,4), 可得BC=22,-2,0),PB=(0,4,-8),M0=（-2,0,2 设平面PBC的法向量n。=(x,y,z, 第9可80令1，=反，232 则有 即 则M0n,=-√2×√2+0×2+2×1=0，又MQ∠平面PCB MQ∥平面PCB (2)(2)法一：由(1)知，DE∥CN, 则直线AD与直线CN的所成角为直线AD与直线DE的所成角 因为AE=4,AD=2√2，所以DE=2V6 在RtDAE中，cos∠ADE=4D_22=5 DE2√63 则直线4D与直线CN所成角的余弦值为 3 法二：由(1)知CN=（-2V2,0,4,AD=(22,00) cosAD,CN= -8√5 2V2×√243 所以直线AD与直线CN所成角余弦值为V5 变式2.(25-26高三上·福建龙岩期中)如图，在三棱柱ABC-A,BC,中，D为AC上一点，AC⊥平面ABD, 4B-6,AB-4C-BC=AA=1, 2 空间向量法求空间角度问题、动点存在性问题、翻折问题专项训练 (1)证明：AD⊥平面ABC; (2)求平面AAB与平面ACC,A夹角的余弦值， A B B 【答案】（①）证明见详解 Q5 5 【详解】(1)：AC⊥平面ABD,AC⊥BD,AC⊥A,D, ?B=4C=8C=1,:D为AC的中点，且BD=5 :在△M4D中，4D1AD,4D= 2 :在△ADB中，AD2+BD2=AB2,AD⊥DB, 又：AD⊥AC,且ACBD=D,AC,BDC平面ABC, AD⊥平面ABC; (2)方法一：坐标法 ZA B B 由(I)可知，DA,DB,DA两两垂直，如图所示，以D为原点，建立空间直角坐标系Dz, 可将公a040a写09 499小 设平面AAB的法向量为万=（x,y,z), 0 空间向量法求空间角度问题、动点存在性问题、翻折问题专项训练 由 x3，令x=√3，得y=1，z=1, AB·i= 2y=0 …万=5,11： 由(1)知，BD⊥平面ACC,A,:平面ACC,4的一个法向量为m=(0,1,0), nm1√5 记平面AAB与平面ACC,A,的夹角为a,则cosa= 故平面4B与平面4CC4夹角的余弦值为5 方法二：几何法 6 B 由(1)可知AC⊥BD,DB⊥AD, .BD⊥平面ACC,A,.BD⊥AA, 过D作AA的垂线DM,垂足为M,连接BM, 由AA,⊥DM,AA,⊥DB,DMDB=D,DM,DBc平面BDM, 得AA⊥平面BDM,∴AA,⊥MB,∠BMD即为两平面的夹角， 在△4D中，AD分40-9且时DM号404D MD=3 .BM=DB2+DM 5 MD ∴.cos∠BMD= 4 =V5 MB155 4 :平面4B与平面4CC4夹角的余弦值为5 变式3.(25-26高三上·安徽·期中)如图，在棱长均相等的平行六面体ABCD-A,B,CD,中，BC⊥平面ABB,4,二 10