2.6.2 双曲线的几何性质 讲义-2025-2026学年高二上学期数学人教B版选择性必修第一册

2.6.2双曲线的几何性质 一、知识点 1.双曲线的几何性质 标准方程 性质 图形 焦点 ， ， 焦距 性质 范围 或 ， 或， 对称性 对称轴：坐标轴；对称中心：原点 顶点 ， ， 轴 实轴：线段，长：；虚轴：线段，长：；半实轴长：，半虚轴长： 离心率 渐近线 特殊的双曲线：等轴双曲线 定义：实轴和虚轴等长的双曲线叫等轴双曲线，它的渐近线是，离心率为. 注意：对双曲线的简单几何性质的几点认识 1.双曲线的焦点决定双曲线的位置； 2.双曲线的离心率和渐近线刻画了双曲线的开口大小，离心率越大，双曲线的开口越大，反之亦然． 3.巧设双曲线方程：与双曲线有共同渐近线的方程可表示为． 2.双曲线的渐近线 1、若双曲线方程为渐近线方程： 2、若双曲线方程为渐近线方程： 3、若渐近线方程为，则双曲线方程可设为， 4、若双曲线与有公共渐近线，则双曲线的方程可设为（，焦点在轴上，，焦点在轴上） 3.离心率 定义： 范围： 拓展：①②③ 4.通径 过焦点作垂直于实轴的弦，该弦称为通径，通径长为. 二、题型训练 1.双曲线性质的应用 例1.求下列双曲线的实轴长、虚轴长、焦点坐标、顶点坐标、渐近线方程和离心率. （1）； （2）； （3）； （4）. 【答案】(1)答案见解析； (2)答案见解析； (3)答案见解析； (4)答案见解析； 例2.过点且与椭圆有相同焦点的双曲线的标准方程为（    ） A. B. C. D. 练习： 1.已知双曲线，则下列选项中不正确的是（    ） A. 的焦点坐标为 B. 的顶点坐标为 C. 的离心率为 D. 的虚轴长为 2.双曲线的虚轴长是实周长的倍，则等于（ ） A. B. C. D. 3.中心在原点，实轴在轴上，一个焦点在直线3上的等轴双曲线方程是（ ） A. B. C. D. 4.已知双曲线与，下列说法正确的是（　　） A.两个双曲线有公共顶点 B.两个双曲线有公共焦点 C.两个双曲线有公共渐近线 D.两个双曲线的离心率相等 2. 渐近线问题 例3.已知双曲线与椭圆有相同的焦点，且一条渐近线方程为，则双曲线的方程为（    ） A. B. C. D. 例4.已知双曲线中心在原点，一顶点坐标为，且渐近线方程为，则其标准方程为（     ） A. B. C. D. 例5.已知双曲线的一个焦点为，点到双曲线的一条渐近线的距离为，则双曲线的标准方程是_______. 例6.直线过点，且与双曲线有且仅有一个公共点，则这样的直线有（ ） A. 条 B. 条 C. 条 D. 条 练习： 1.下列双曲线中，焦点在轴且渐近线方程为的是（ ） A. B. C. D. 2.已知为圆上一个动点，为双曲线渐近线上的动点，线段的长度最小值为（ ） A. B. C. D. 3.已知双曲线的焦点到渐直线的距离为，渐近线方程是（ ） A. B. C. D. 4.设点、分别是双曲线的左右焦点，过且与轴垂直的直线与双曲线交于，两点，若的面积为，该双曲线的渐近线方程为（ ） A. B. C. D. 5. 直线过点，且与双曲线有且仅有一个公共点，则这样的直线有（ ） A. 条 B. 条 C. 条 D. 条 6.已知双曲线过点，且渐近线方程为，则双曲线的标准方程为_____. 7.已知双曲线，为轴上一动点，经过点的直线与双曲线有且只有一个交点，则双曲线的离心率为______. 8.已知、分别为双曲线的左、右焦点，且过过点作垂直于轴直线交双曲线于点，且，求双曲线的渐近线方程. 9.已知双曲线，以原点为圆心，双曲线的实半轴长为半径长的圆与双曲线的两条近线交于、、、四点，四边形的面积为，则双曲线的方程为（ ） A. B. C. D. 10.过双曲线的右焦点且垂直于轴的直线与双曲线的两条渐近线围成面积为的正三角形，双曲线的实轴长为（ ） A. B. C. D. 11.（多选）已知中心在原点，焦点在坐标轴上的双曲线与椭圆有相同的焦距，且一条渐近线方程为，则双曲线的方程可能为（    ） A. B. C. D. 12.已知双曲线的焦距为，焦点到渐近线的距离是，则的标准方程为_______. 13.已知双曲线与椭圆有公共焦点，且它的一条渐近线方程为. （1）求椭圆的焦点坐标； （2）求双曲线的标准方程． 14.已知双曲线过点，它的一条渐近线的方程为，求双曲线的标准方程．    15.已知双曲线的一条渐近线方程为，则_______. 3.通径问题 例7.设点、分别是双曲线的左、右焦点，过点且与轴垂直的直线与双曲线交于、两点，若的面积为，该双曲线的渐近线方程为（ ） A. B. C. D. 练习： 1.已知、分别为双曲线的左、右焦点，且过点作垂直于轴直线交双曲线于点，且，求双曲线的渐近线方程. 4.离心率问题 例8.已知双曲线，则下列选项中不正确的是（    ） A. 的焦点坐标为 B. 的顶点坐标为 C. 的离心率为 D. 的虚轴长为 例9.双曲线的渐近线方程为，则该双曲线的离心率为（   ） A. B. C. D. 例10.设，是双曲线的左、右焦点，过的直线与的左、右两支分别交于，两点，点在轴上，，平分，则的离心率为（    ） A. B. C. D. 例11.设、分别是双曲线的左、右焦点，过作轴的垂线与相交于、两点，若为正三角形，则的离心率为（    ） A. B. C. D. 例12.点是双曲线和圆的一个交点，且，其中，是双曲线的两个焦点，则双曲线的离心率为_______． 例13.已知双曲线的右焦点为，过且斜率为的直线交于、两点，若，则的离心率为（    ） A. B. C. D. 例14.已知、是双曲线的两个焦点，为上一点，且，，则的离心率为（    ） A. B. C. D. 例15.已知双曲线的左、右焦点分别为，，过点的直线分别交双曲线的左、右两支于，两点，且，若，则双曲线离心率为（    ） A. B. C. D. 例16.双曲线的左､右焦点分别为，，过作双曲线的一条渐近线的垂线，垂足为，若的面积为，则双曲线的离心率为（    ） A. B. C. D. 练习： 1.双曲线的离心率为，则此双曲线的渐近线倾斜角可以是（    ） A. B. C. D. 2.设、是双曲线的左､右焦点，过点作双曲线的一条渐近线的垂线，垂足为.若，则双曲线的离心率为（    ） A. B. C. D. 3.已知双曲线的左右焦点，，点关于一条渐近线的对称点在另一条渐近线上，则双曲线的离心率是（   ） A. B. C. D. 4.设点为双曲线的右焦点，为坐标原点，以为直径的圆与双曲线的渐近线交于，两点（均异于点）．若，则双曲线的离心率为（    ） A. B. C. D. 5.已知椭圆与双曲线有相同的焦点、，椭圆的离心率为，双曲线的离心率为，点为椭圆与双曲线的交点，且，则的值为（    ）    A. B. C. D. 6.已知为双曲线的右焦点，为双曲线的一条渐近线，到直线的距离为，过且垂直于轴的直线交双曲线于、两点，若长为，则的离心率为（    ） A. B. C. D. 7.已知双曲线的右顶点为，左焦点为，动点在上.当时，有，则的离心率是（    ） A. B. C. D. 8.已知双曲线的左、右焦点分别为，，过点且与轴垂直的直线与双曲线交于，两点，若，则双曲线的离心率为（    ） A. B. C. D. 9.已知双曲线虚轴的一个顶点为，直线与交于，两点，若的垂心在的一条渐近线上，则的离心率为______. 10.双曲线具有光学性质，从双曲线一个焦点发出的光线经过双曲线镜面反射，其反射光线的反向延长线经过双曲线的另一个焦点.若双曲线的左､右焦点分别为，，从发出的光线经过图中的，两点反射后，分别经过点和，且，，则的离心率为（    ）    A. B. C. D. 11.已知双曲线的左右焦点分别为，，点在上，点在轴上，，，则的离心率为________． 12.已知双曲线的左、右焦点分别为，，点在上，点在轴上，，且，则的离心率为_____． 13.已知双曲线的左焦点为，坐标原点为，若在双曲线右支上存在一点满足，且，则双曲线的离心率为_______. 14.已知双曲线的左、右焦点分别为，，点在的左支上，，，则的离心率为_______． 15.设，是双曲线的两个焦点，是双曲线上一点，若，且的面积为，则的离心率等于（    ） A. B. C. D. 16.已知是双曲线的右顶点，点在上，为的左焦点，若的面积为，则的离心率为_______． 17.双曲线的右顶点为，点，均在上，且关于轴对称.若直线，的斜率之积为，则的离心率为（    ） A. B. C. D. 18.已知双曲线与直线相交于，两点，点为双曲线上的一个动点，记直线，的斜率分别为，，若，且双曲线的右焦点到其一条渐近线的距离为，则双曲线的离心率为__________． 19.若双曲线的离心率为，则的取值范围是（    ） A. B. C. D. 20.设双曲线的左、右两个焦点分别为，，若点在双曲线的右支上，且，则双曲线的离心率的取值范围是（    ）. A. B. C. D. 21.双曲线的两个焦点为，，若双曲线上存在点，使，求双曲线离心率的取值范围. 22.已知双曲线，为坐标原点，，为其左、右焦点，若左支上存在一点，使得的中点满足，则双曲线的离心率的取值范围是_______． 23.已知双曲线左，右焦点分别为，，若双曲线右支上存在点使得，则离心率的取值范围为________. 24.已知，分别是双曲线的左、右焦点，点是双曲线上在第一象限内的一点，若，则双曲线的离心率的取值范围为_________． 25.已知双曲线的左右焦点分别为，，为其右顶点，为双曲线右支上一点，直线与轴交于点．若，则双曲线的离心率的取值范围为________． 26.已知、分别是双曲线的左、右焦点，点在双曲线上，与轴垂直，，则双曲线的离心率为（ ） A. B. C. D. 27.设、分别为双曲线的左、右焦点，双曲线上存在一点使得，，则双曲线的离心率为（ ） A. B. C. D. 28.已知为双曲线的右支上一点，、为双曲线的左、右焦点，若（为坐标原点），且，则双曲线的离心率为（ ） A. B. C. D. 29.设，分别为双曲线的左、右焦点，过的直线交双曲线的左支于，两点，且，，，则求双曲线的离心率为_______. 30.已知，是双曲线的左、右焦点，过点的直线与双曲线的左、右两支分别交于，两点，若为等边三角形，则双曲线的离心率为（ ） A. B. C. D. 31.已知双曲线，若存在过右焦点的直线与双曲线相交于，两点，且，则双曲线的离心率最小值为（ ） A. B. C. D. 2 学科网（北京）股份有限公司 $ 2.6.2双曲线的几何性质 一、知识点 1.双曲线的几何性质 标准方程 性质 图形 焦点 ， ， 焦距 性质 范围 或 ， 或， 对称性 对称轴：坐标轴；对称中心：原点 顶点 ， ， 轴 实轴：线段，长：；虚轴：线段，长：；半实轴长：，半虚轴长： 离心率 渐近线 特殊的双曲线：等轴双曲线 定义：实轴和虚轴等长的双曲线叫等轴双曲线，它的渐近线是，离心率为. 注意：对双曲线的简单几何性质的几点认识 1.双曲线的焦点决定双曲线的位置； 2.双曲线的离心率和渐近线刻画了双曲线的开口大小，离心率越大，双曲线的开口越大，反之亦然． 3.巧设双曲线方程：与双曲线有共同渐近线的方程可表示为． 2.双曲线的渐近线 1、若双曲线方程为渐近线方程： 2、若双曲线方程为渐近线方程： 3、若渐近线方程为，则双曲线方程可设为， 4、若双曲线与有公共渐近线，则双曲线的方程可设为（，焦点在轴上，，焦点在轴上） 3.离心率 定义： 范围： 拓展：①②③ 4.通径 过焦点作垂直于实轴的弦，该弦称为通径，通径长为. 二、题型训练 1.双曲线性质的应用 例1.求下列双曲线的实轴长、虚轴长、焦点坐标、顶点坐标、渐近线方程和离心率. （1）； （2）； （3）； （4）. 【答案】(1)答案见解析； (2)答案见解析； (3)答案见解析； (4)答案见解析； 【解析】 （1）双曲线， 则焦点在轴上，且， 即， 所以实轴长为， 虚轴长为， 焦点坐标为， 顶点坐标为， 渐近线方程为， 离心率为. （2）双曲线， 则焦点在轴上，且， 即， 所以实轴长为， 虚轴长为， 焦点坐标为， 顶点坐标为， 渐近线方程为， 离心率为. （3）双曲线化为标准式， 则焦点在轴上，且， 即， 所以实轴长为， 虚轴长为， 焦点坐标为， 顶点坐标为， 渐近线方程为， 离心率为. （4）双曲线化为标准式， 则焦点在轴上，且， 即， 所以实轴长为， 虚轴长为， 焦点坐标为， 顶点坐标为， 渐近线方程为， 离心率为. 例2.过点且与椭圆有相同焦点的双曲线的标准方程为（    ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 椭圆的标准方程为，故，可得焦点坐标为. 设双曲线的方程为， 故，解得， 故双曲线的标准方程为. 故选:A. 练习： 1.已知双曲线，则下列选项中不正确的是（    ） A. 的焦点坐标为 B. 的顶点坐标为 C. 的离心率为 D. 的虚轴长为 【答案】A 【解析】 因为，所以， 因为焦点在轴上， 所以的焦点坐标为，顶点为，离心率为，虚轴长为． 故选：A. 2.双曲线的虚轴长是实周长的倍，则等于（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 双曲线方程化为标准形式：，则有，，由题设知，， 3.中心在原点，实轴在轴上，一个焦点在直线3上的等轴双曲线方程是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 在直线中，令，得，所以等轴双曲线的一个焦点坐标为，所以，，故选A 4.已知双曲线与，下列说法正确的是（　　） A.两个双曲线有公共顶点 B.两个双曲线有公共焦点 C.两个双曲线有公共渐近线 D.两个双曲线的离心率相等 【答案】C 【解析】双曲线的焦点和顶点都在x轴上， 而双曲线的焦点和顶点都在y轴上，故A、B错误； 双曲线的渐近线方程为， 双曲线的渐近线方程为，故C正确； 双曲线的离心率， 而双曲线的离心率，故D错误. 故选：C. 2. 渐近线问题 例3.已知双曲线与椭圆有相同的焦点，且一条渐近线方程为，则双曲线的方程为（    ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】∵双曲线：的一条渐近线方程为： ∴设双曲线： ∵双曲线与椭圆有相同的焦点 ∴，解得： ∴双曲线的方程为. 故选：B. 例4.已知双曲线中心在原点，一顶点坐标为，且渐近线方程为，则其标准方程为（     ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】双曲线顶点在轴上，可设其方程为， 顶点坐标为，渐近线方程为，即， ，解得：，双曲线方程为：. 故选：A. 例5.已知双曲线的一个焦点为，点到双曲线的一条渐近线的距离为，则双曲线的标准方程是_______. 【答案】或 【解析】 点到双曲线的一条渐近线的距离为 当焦点在轴上时，设双曲线方程为，则其渐近线方程为， 点到双曲线的一条渐近线的距离为1，即，则， 所以此时双曲线的标准方程为； 当焦点在轴上时，设双曲线方程为，则其渐近线方程为， 点到双曲线的一条渐近线的距离为1，即，则， 所以此时双曲线的标准方程为. 综上，双曲线的标准方程为或. 故答案为：或 例6.直线过点，且与双曲线有且仅有一个公共点，则这样的直线有（ ） A. 条 B. 条 C. 条 D. 条 【答案】C 【解析】 根据双曲线方程可知，点即为双曲线的右顶点，过该点有两条间与渐近线平行的直线与双曲线仅有一个公共点，另过该点且与轴垂直的直线也与双曲线只有一个公共点，故过点且与双曲线仅有一个公点的直线有条 练习： 1.下列双曲线中，焦点在轴且渐近线方程为的是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 由题意，选项A、B表示双曲线的交点在轴上，不排除A，B；C项表示双曲线的渐近线方程为；D项表示双曲线的渐进方程为，故选C. 2.已知为圆上一个动点，为双曲线渐近线上的动点，线段的长度最小值为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 双曲线的右焦点为圆心，渐近线方程为，即，要使线段长度取得最小值，则需线段的长度取得最小值，而线段长度的最小值为，所以线段的长度最小值为，故选：A. 3.已知双曲线的焦点到渐直线的距离为，渐近线方程是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 根据双曲线的对称性，可设双曲线的一个焦点为，一条渐近线方程为，由题意可知，而，所以，因此双曲线的渐近线方程为，故选：D 4.设点、分别是双曲线的左右焦点，过且与轴垂直的直线与双曲线交于，两点，若的面积为，该双曲线的渐近线方程为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 设，，则，所以，所以，所以，又，所以，所以，所以，所以该渐近线的方程为，故选：D. 5. 直线过点，且与双曲线有且仅有一个公共点，则这样的直线有（ ） A. 条 B. 条 C. 条 D. 条 【答案】C 【解析】 根据双曲线方程可知，点即为双曲线的右顶点，过该点有两条间与渐近线平行的直线与双曲线仅有一个公共点，另过该点且与轴垂直的直线也与双曲线只有一个公共点，故过点且与双曲线仅有一个公点的直线有条 6.已知双曲线过点，且渐近线方程为，则双曲线的标准方程为_____. 【答案】 【解析】 方法一：因为双曲线的渐近线方程为，所以点在直线的下方，因为双曲线过点，所以该双曲线的标准方程可设为，所以，解得，故双曲线的标准方程为. 方法二：因为双曲线的渐近线方程为，所以可设双曲线的方程为，又因为双曲线过点，所以，解得，故双曲线的标准方程为. 7.已知双曲线，为轴上一动点，经过点的直线与双曲线有且只有一个交点，则双曲线的离心率为______. 【答案】 【解析】 由题意可得双曲线的渐近线与直线平行，即，故双曲线的离心率. 8.已知、分别为双曲线的左、右焦点，且过过点作垂直于轴直线交双曲线于点，且，求双曲线的渐近线方程. 【答案】 【解析】 设，，则，解得，所以， 在中，，所以，即①，将代入①式，解得或（舍去），故。 所以该双曲线的渐近线方程为. 9.已知双曲线，以原点为圆心，双曲线的实半轴长为半径长的圆与双曲线的两条近线交于、、、四点，四边形的面积为，则双曲线的方程为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 根据双曲线和圆的对称性，四边形为矩形，双曲线的渐接线方程为，圆的方程为，不妨设交点在第一象限，由，得，，故四边形的面积为，解得，故所求双曲线的方程为，故选D. 10.过双曲线的右焦点且垂直于轴的直线与双曲线的两条渐近线围成面积为的正三角形，双曲线的实轴长为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 如图，设双曲线的两条渐近线为、，直线与，的交点分别为，，因为直线过双曲线的右焦点，且是面积为的正三角形，所以，所以，所以，又，且，解得，则双曲线的实轴长为，故选B 11.（多选）已知中心在原点，焦点在坐标轴上的双曲线与椭圆有相同的焦距，且一条渐近线方程为，则双曲线的方程可能为（    ） A. B. C. D. 【答案】AD 【解析】 解：椭圆中，， 焦距， 双曲线与椭圆有相同的焦距，一条渐近线方程为， 设双曲线的方程为 ，即， 当时，，解得， 双曲线的方程为； 当时，，解得， 双曲线的方程为； 综上，双曲线的方程可能为或． 故选：AD. 12.已知双曲线的焦距为，焦点到渐近线的距离是，则的标准方程为_______. 【答案】 【解析】 由题意得：双曲线的焦点坐标为， 渐近线方程为，即， 则，解得：， 则， 所以的标准方程为. 故答案为：.    13.已知双曲线与椭圆有公共焦点，且它的一条渐近线方程为. （1）求椭圆的焦点坐标； （2）求双曲线的标准方程． 【答案】（1） ；（2）. 【解析】 （1）由题设，，又， 所以椭圆的焦点坐标为. （2）由题设，令双曲线为， 由（1）知：，可得， 所以双曲线的标准方程为. 14.已知双曲线过点，它的一条渐近线的方程为，求双曲线的标准方程．    【答案】 【解析】 因为双曲线的一条渐近线方程为， 当时，渐近线上对应点的纵坐标为，小于点的纵坐标3， 所以双曲线的焦点在轴上． 设双曲线的方程为．① 由，可知．令，． 又因为点在双曲线①上，所以． 解得．因此，所求双曲线的方程为． 15.已知双曲线的一条渐近线方程为，则_______. 【答案】 【解析】 由题得， 因为，所以解得. 故答案为：3. 3.通径问题 例7.设点、分别是双曲线的左、右焦点，过点且与轴垂直的直线与双曲线交于、两点，若的面积为，该双曲线的渐近线方程为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 设，，则，所以， ，，又，，，即，所以该渐近线的方程为故选D 练习： 1.已知、分别为双曲线的左、右焦点，且过点作垂直于轴直线交双曲线于点，且，求双曲线的渐近线方程. 【答案】 【解析】 设，，则，解得，所以，在中，，所以，即①，将代入①式，解得或（舍去），故，所以该双曲线的渐近线方程为. 4.离心率问题 例8.已知双曲线，则下列选项中不正确的是（    ） A. 的焦点坐标为 B. 的顶点坐标为 C. 的离心率为 D. 的虚轴长为 【答案】A 【解析】 因为，所以， 因为焦点在轴上， 所以的焦点坐标为，顶点为，离心率为，虚轴长为． 故选：A. 例9.双曲线的渐近线方程为，则该双曲线的离心率为（   ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 由双曲线的渐近线方程为，可知，即. 又，所以，即. 故选：D. 例10.设，是双曲线的左、右焦点，过的直线与的左、右两支分别交于，两点，点在轴上，，平分，则的离心率为（    ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】    可知，，得 设，则，由双曲线的定义可知：. 因为平分，所以，故， 又， 即有，，，，， 在，中，由余弦定理可得， ，， 由， 可得. 故选：C. 例11.设、分别是双曲线的左、右焦点，过作轴的垂线与相交于、两点，若为正三角形，则的离心率为（    ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 设，因为轴，则点、关于轴对称，则为线段的中点，    因为为等边三角形，则，所以，， 所以，，则， 所以，，则， 因此，该双曲线的离心率为. 故选：D. 例12.点是双曲线和圆的一个交点，且，其中，是双曲线的两个焦点，则双曲线的离心率为_______． 【答案】 【解析】    由题中条件知，圆的直径是双曲线的焦距，则， ∴，，， ． 故答案为： 例13.已知双曲线的右焦点为，过且斜率为的直线交于、两点，若，则的离心率为（    ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 设双曲线的右准线为， 过、分别作于，于，于， 如图所示： 因为直线的斜率为， 所以直线的倾斜角为， ∴，， 由双曲线的第二定义得：， 又∵， ∴， ∴ 故选：B 例14.已知、是双曲线的两个焦点，为上一点，且，，则的离心率为（    ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 如下图所示： 根据题意可设，易知； 由余弦定理可知，可得； 即， 由双曲线定义可知可知，即； 所以离心率. 故选：A 例15.已知双曲线的左、右焦点分别为，，过点的直线分别交双曲线的左、右两支于，两点，且，若，则双曲线离心率为（    ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 令，则，    在中，，由余弦定理得， 即，解得，于是， 在中，令双曲线半焦距为，由余弦定理得：，解得， 所以双曲线离心率. 故选：A 例16.双曲线的左､右焦点分别为，，过作双曲线的一条渐近线的垂线，垂足为，若的面积为，则双曲线的离心率为（    ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 双曲线的渐近线为，由双曲线的对称性，不妨取，即，则 ， 所以， 所以， 因为的面积为，， 所以，得， 所以离心率， 故选：C    练习： 1.双曲线的离心率为，则此双曲线的渐近线倾斜角可以是（    ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】由于双曲线的渐近线为， 且注意到双曲线的离心率为， 又在双曲线中有平方关系：， 所以离心率为， 又由题意， 所以有，解得， 即双曲线的渐近线的斜率为， 由直线斜率和倾斜角的关系可知此双曲线的渐近线的倾斜角可以是或. 故选：B. 2.设、是双曲线的左､右焦点，过点作双曲线的一条渐近线的垂线，垂足为.若，则双曲线的离心率为（    ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 由双曲线，可得，渐近线方程为， 如图所示，则焦点到渐近线的距离为， 在直角中，可得， 在中，由余弦定理得， 即，所以， 又由，所以，可得， 所以双曲线的离心率为. 故选：A. 3.已知双曲线的左右焦点，，点关于一条渐近线的对称点在另一条渐近线上，则双曲线的离心率是（   ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 双曲线的右焦点, 设点关于一条渐近线的对称点为， 由题意知，，解得. 又知，解得， 所以，即， 所以双曲线C的离心率是 故选：C. 4.设点为双曲线的右焦点，为坐标原点，以为直径的圆与双曲线的渐近线交于，两点（均异于点）．若，则双曲线的离心率为（    ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 如下图所示： 连接、，设， 由对称性可知，为的中点，， 因为，则线段是以为直径的圆的一条直径，则为圆心， 故为的中点， 又因为，且、互相垂直且平分， 所以，四边形为正方形，则，所以，， 所以，该双曲线的离心率为. 故选：A. 5.已知椭圆与双曲线有相同的焦点、，椭圆的离心率为，双曲线的离心率为，点为椭圆与双曲线的交点，且，则的值为（    ）    A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 不妨设在第一象限，由椭圆和双曲线的定义可得：，所以， 在中，由余弦定理可得， 化简得，所以，即， 故选：D 6.已知为双曲线的右焦点，为双曲线的一条渐近线，到直线的距离为，过且垂直于轴的直线交双曲线于、两点，若长为，则的离心率为（    ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 双曲线的一条渐近线方程为， 所以焦点到渐近线的距离为. 由令得， 所以，所以， 所以， 所以离心率. 故选：B 7.已知双曲线的右顶点为，左焦点为，动点在上.当时，有，则的离心率是（    ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 如图，由动点在上，当时，， 可得在左支上，令，可得， 解得，即有，则， 即， 可得，即. 故选：D.    8.已知双曲线的左、右焦点分别为，，过点且与轴垂直的直线与双曲线交于，两点，若，则双曲线的离心率为（    ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 因为过点且与x轴垂直的直线l与双曲线C交于A，B两点， 所以， 因为，所以，所以， 设，则，所以，得， 所以，， 因为，所以， 所以， 所以，所以， 所以离心率， 故选：C    9.已知双曲线虚轴的一个顶点为，直线与交于，两点，若的垂心在的一条渐近线上，则的离心率为______. 【答案】 【解析】 如图，设的垂心为，则有, 不妨设,则， 因为在渐近线上，所以， 直线与交于，两点， 所以，解得， 所以 又因为, 所以， 整理得，，所以，    故答案为: . 10.双曲线具有光学性质，从双曲线一个焦点发出的光线经过双曲线镜面反射，其反射光线的反向延长线经过双曲线的另一个焦点.若双曲线的左､右焦点分别为，，从发出的光线经过图中的，两点反射后，分别经过点和，且，，则的离心率为（    ）    A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 由题意知延长则必过点,如图：    由双曲线的定义知， 又因为，所以， 因为，所以， 设，则，因此， 从而由得，所以， 则，，， 又因为，所以， 即，即， 故选：B. 11.已知双曲线的左右焦点分别为，，点在上，点在轴上，，，则的离心率为________． 【答案】 【解析】 依题意，设，则， 在中，，则， 故或（舍去）， 所以，，则， 故， 所以在中，，整理得， 故. 故答案为：. 12.已知双曲线的左、右焦点分别为，，点在上，点在轴上，，且，则的离心率为_____． 【答案】 【解析】    因为，设，则有 根据双曲线的定义， 因为，所以 在直角三角形与直角三角形， 又因为 由此解得 所以， 故答案为：.    13.已知双曲线的左焦点为，坐标原点为，若在双曲线右支上存在一点满足，且，则双曲线的离心率为_______. 【答案】 【解析】 如图，因为，所以， 所以， 则， ， ， 解得. 故答案为：      14.已知双曲线的左、右焦点分别为，，点在的左支上，，，则的离心率为_______． 【答案】 【解析】 依题意，设双曲线的半焦距为，则，，    因为是的中点，所以， 故由得， 因为，，所以， 在中，， 在中，， 所以，则，即双曲线的离心率为. 故答案为：. 15.设，是双曲线的两个焦点，是双曲线上一点，若，且的面积为，则的离心率等于（    ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 因为，是双曲线C:的两个焦点，P是双曲线C上一点，若，且△的面积为9， 所以，解得， 所以，得， 故双曲线的离心率为. 故选：C. 16.已知是双曲线的右顶点，点在上，为的左焦点，若的面积为，则的离心率为_______． 【答案】 【解析】 由题设知：，则，    所以且，易知：， 又，故，且， 所以，则， 化简得，解得或（舍）， 综上，，故，则离心率为. 故答案为： 17.双曲线的右顶点为，点，均在上，且关于轴对称.若直线，的斜率之积为，则的离心率为（    ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 依题意，设，则， 且， 而， ，， 所以. 故选：A 18.已知双曲线与直线相交于，两点，点为双曲线上的一个动点，记直线，的斜率分别为，，若，且双曲线的右焦点到其一条渐近线的距离为，则双曲线的离心率为__________． 【答案】 【解析】 设点，，，则且， 两式相减，得，所以， 因为，所以，所以， 所以双曲线的渐近线方程为，即， 因为焦点到渐近线的距离为， 所以，可得，又因为，所以， 所以双曲线的离心率. 故答案为： 19.若双曲线的离心率为，则的取值范围是（    ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 ， 由于，所以， 所以， 故选：C 20.设双曲线的左、右两个焦点分别为，，若点在双曲线的右支上，且，则双曲线的离心率的取值范围是（    ）. A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 解：由双曲线的定义可得， 又， ∴，， ∵点在双曲线的右支上， ∴，即， ∴离心率， 又双曲线的离心率， ∴， 故选：B． 21.双曲线的两个焦点为，，若双曲线上存在点，使，求双曲线离心率的取值范围. 【答案】 【解析】 由题意知在双曲线上存在一点， 使得，如图所示.    又， 即在双曲线右支上恒存在点使得， 即， ，. 又，，，即， 所以双曲线离心率的取值范围为. 22.已知双曲线，为坐标原点，，为其左、右焦点，若左支上存在一点，使得的中点满足，则双曲线的离心率的取值范围是_______． 【答案】 【解析】 因为分别为的中点，所以. 又双曲线上的点到焦点的最小距离为， 所以，解得， 因此双曲线的离心率e的取值范围是． 故答案为：． 23.已知双曲线左，右焦点分别为，，若双曲线右支上存在点使得，则离心率的取值范围为________. 【答案】 【解析】 由题意可得点不是双曲线的顶点，否则无意义. 在中，由正弦定理得. 因为，所以，所以. 因为点在双曲线右支上，所以， 所以，得. 由双曲线的性质可得， 所以，化简得， 所以，解得. 因为， 所以. 即双曲线离心率的取值范围为. 故答案为：. 24.已知，分别是双曲线的左、右焦点，点是双曲线上在第一象限内的一点，若，则双曲线的离心率的取值范围为_________． 【答案】 【解析】 在中，，由正弦定理得， ，又点P是双曲线C上在第一象限内的一点，所以， 所以，在中，由， 得，即，所以，又，所以， 故答案为： 25.已知双曲线的左右焦点分别为，，为其右顶点，为双曲线右支上一点，直线与轴交于点．若，则双曲线的离心率的取值范围为________． 【答案】 【解析】 如下图所示，根据题意可得， 设，则直线的方程为， 所以直线与轴的交点， 由可得，即， 整理得，即； 又因为P为双曲线右支上一点，所以， 当时，共线与题意不符，即； 可得，整理得，即， 解得或（舍）； 即双曲线E的离心率的取值范围为. 故答案为： 26.已知、分别是双曲线的左、右焦点，点在双曲线上，与轴垂直，，则双曲线的离心率为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 由已知可得，即，所以，则双曲线的离心率，故选A。 27.设、分别为双曲线的左、右焦点，双曲线上存在一点使得，，则双曲线的离心率为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 根据双曲线的定义，可得，由已知可得.两式作差得，又，所以，即，得，两边平方得，即，则，所以双曲线的离心率为，故选B 28.已知为双曲线的右支上一点，、为双曲线的左、右焦点，若（为坐标原点），且，则双曲线的离心率为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 由有，又，所以为直角三角形，且，由勾股定理求出，根据双曲线的定义有，即，所以离双曲线的离心率，选B 29.设，分别为双曲线的左、右焦点，过的直线交双曲线的左支于，两点，且，，，则求双曲线的离心率为_______. 【答案】 【解析】 结合双曲线的定义，得，又，所以，，即，又，，，故为直角，所以，则，所以双曲线的离心率为 30.已知，是双曲线的左、右焦点，过点的直线与双曲线的左、右两支分别交于，两点，若为等边三角形，则双曲线的离心率为（ ） A. B. C. D. 【答案】 【解析】 如图所示，设，由于为等边三角形，所以，所以，即，又，所以，在中，，，，，根据余弦定理得，整理得，即，所以离心率，故选B 31.已知双曲线，若存在过右焦点的直线与双曲线相交于，两点，且，则双曲线的离心率最小值为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 因为过右焦点的直线与双曲线交于，两点，且，所以直线与双曲线相交只能是点在双曲线的左支上，点在双曲线右支上，由双曲线对称性，点，均在轴上方，如图所示，设，，右焦点，因为，所以，，由图可知，，所以，，故，所以，即离心率，当且仅当，分别为双曲线的左、右顶点时等号成立，故选：C. 2 学科网（北京）股份有限公司 $