九年级数学上学期第三次月考（湘教版，高效培优）

2025-2026学年九年级数学上学期第三次月考卷 全解全析 （考试时间：120分钟 试卷满分：120分） 注意事项： 1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。 3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。 4．测试范围：湘教版 九年级上册第一章~第五章。 一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，共30分） 1．下面几对图形中，相似的是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了相似图形的识别，形状相同的两个图形叫做相似图形，据此可得答案． 【详解】解：由相似图形的定义可知，四个选项中只有D选项中的两个图形相似， 故选：D． 2．已知中，，，，那么下列各式中，正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题主要考查了锐角三角函数的定义，结合勾股定理计算是解题的关键． 根据直角三角形中锐角三角函数的定义，先利用勾股定理求出斜边，再分别计算、、、的值，与选项对比即可． 【详解】解：在中，，，， ， ，，，，比较选项，D正确． 故选． 3．若是方程的一个根，则的值为（   ） A．2025 B． C．2017 D． 【答案】D 【分析】本题考查一元二次方程的解和代数式求值，熟记一元二次方程解的定义是解决问题的关键． 利用方程根的定义得到，再整体代入代数式计算即可得到答案． 【详解】解：∵是方程的一个根， ∴， ∴， 将整体代入得， ， 故选：D． 4．把方程化成的形式，则m，n的值是（    ） A．，8 B．3，8 C．3， D．， 【答案】B 【分析】本题考查配方法解一元二次方程，通过配方将方程化为完全平方形式，再比较系数得出m和n的值． 【详解】解：∵， 移项得：， 配方得：， 即，与比较， ∴，． 故选：B． 5．若点，，都在反比例函数的图象上，则，，的大小关系是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了反比例函数图象上点的坐标特征：点的横纵坐标满足反比例函数的解析式． 根据点，，都在反比例函数的图象上，即可求出函数值进行比较． 【详解】解;∵ 点, , 在 上， ∴ ,,， ∴ , , ， 故 . 故选：D． 6．某校为了解七年级1800名学生在本次体育测试的成绩情况，现随机抽取若干名学生的体育测试成绩进行统计，并绘制了如下两幅统计图： 则下列结论正确的是（　　） A．本次抽样调查的样本容量是200 B．体育测试成绩在40分以下占抽取人数的 C．在扇形统计图中，体育测试成绩为50分所在扇形的圆心角为 D．若把体育成绩在45分以上（含45分）定为合格，则全校七年级学生体育成绩合格的有1260名 【答案】D 【分析】本题主要考查了条形统计图和扇形统计图的综合运用、用样本估计整体等知识点，从不同的统计图中得到必要的信息是解决问题的关键； 用的人数除以其所占的百分比求得样本容量，即可判断A选项；直接求出成绩在40分以下占抽取人数的百分比即可判断B选项；用成绩为50分所占的比例乘以即可判断C选项；运用样本估计整体即可判断D选项． 【详解】解：A．本次抽样调查的样本容量是，故A选项不符合题意； B．体育测试成绩在40分以下占抽取人数的，故B选项不符合题意； C．在扇形统计图中，体育测试成绩为50分所在扇形的圆心角为，故C选项不符合题意； D．若把体育成绩在45分以上 (含45分) 定为合格，则全校七年级学生体育成绩合格的人数约（人），故D选项符合题意； 故选：D． 7．如图，在中，，将绕点A逆时针旋转得到，使点落在边上，连接，则的值为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题主要考查了旋转的性质、勾股定理、余弦的定义等知识点，灵活运用相关知识是解题的关键． 在中，由勾股定理可得．根据旋转性质可得、．利用勾股定理可求出，最后根据余弦的定义即可解答． 【详解】解：在中，， 由旋转的性质可得：，， ∴， ∵， ∴． 故选：D． 8．已知平行四边形中，点在上，且，与交于点．若，则的长为（    ） A．2 B．1 C．3 D． 【答案】A 【分析】本题考查平行四边形的性质及相似三角形的判定与性质，掌握定理正确推理论证是本题的解题关键． 根据平行四边形性质，易得，再由相似三角形的性质得到，即可求出的长． 【详解】解：四边形是平行四边形， ，即， ． ， ， ． ，， ， ， ． ， ． 9．如果一元二次方程满足，那么，我们称这个方程为“凤凰方程”，已知是“凤凰”方程且有一个解为，则下列结论正确的是（    ） A．， B．， C．， D． 【答案】C 【分析】本题考查了新定义，一元二次方程的解． 根据凤凰方程的定义得，根据方程且有一个解为得，通过加减消元即可求解． 【详解】解：∵方程是凤凰方程， ∴． ∵是方程的解， ∴，即． 将两式相加：，得 ， ∴，即． 将两式相减：，得 ， ∴． 故且， 故选C． 10．如图，点A、B是反比例函数图像上的任意两点，且轴于点C，轴于点D，连接OA、OB，若与的面积之和为8，则的值是（   ） A． B． C．8 D．16 【答案】C 【分析】此题主要考查反比例函数中值的含义，正确理解值的含义是解题关键． 设出点A、B的坐标，表示出，，，的长度，进而表示面积，根据题意建立关系求解． 【详解】解：设，，其中，， 轴，轴， ，， ，， ， ， 又与的面积之和为8， ， ． 故选：C． 二、填空题（本大题共6小题，每小题3分，共18分） 11．已知是方程的一个解，则m的值为 ． 【答案】 【分析】本题考查了一元二次方程的解：能使一元二次方程左右两边相等的未知数的值是一元二次方程的解．根据方程的解的意义，把代入方程得到一个关于的方程，求出方程的解即可． 【详解】解：把代入方程，得， 解得：， 故答案为：． 12． ． 【答案】 【分析】本题主要考查了特殊角锐角三角函数值的混合运算，熟练掌握特殊角锐角三角函数值是解题的关键．先分别计算、和的值，再进行实数的加减运算． 【详解】解：，，， 原式． 故答案为：． 13．关于的一元二次方程有两个不相等的实数根，则的取值范围为 ． 【答案】且 【分析】本题主要考查了一元二次方程的定义，一元二次方程根的判别式，根据题意可得，再结合二次项系数不为0列式求解即可． 【详解】解：∵关于的一元二次方程有两个不相等的实数根， ∴， 解得且， 故答案为：且． 14．如图，在平行四边形中，E是的中点，F是的中点，交于O点，交的延长线于G点，已知，则 ． 【答案】45 【分析】本题主要考查了平行四边形的性质、相似三角形的性质和判定等知识点，掌握相似三角形的面积比等于相似比的平方是解题的关键． 根据平行四边形的性质求出，推出，，再根据相似三角形的性质求解即可． 【详解】解：∵四边形是平行四边形， ∴， ∵E为的中点，F为的中点， ∴， ∵， ∴， ∴ ， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴，解得：． 故答案为：45． 15．如图，一次函数的图象和反比例函数的图象交于，两点，若，则的取值范围是 ． 【答案】或 【分析】本题考查反比例函数与一次函数的图象的性质，先求解，再利用图象法，写出一次函数的图象在反比例函数的图象的上方的对应的自变量的取值范围即可． 【详解】解：∵一次函数的图象和反比例函数的图象交于，两点， ∴， ∴， ∴， ∴， 由图象可得：当或时，， 故答案为：或． 16．如图，点、、分别位于的三边上，满足，，如果，那么= ． 【答案】 【分析】本题考查平行线分线段成比例，解答本题的关键是明确题意，找出所求问题需要的条件，利用平行线分线段成比例的性质解答． 根据平行线分线段成比例和三角形相似的相关知识以及平行四边形的性质，通过转化的思想可以解答本题． 【详解】∵ ∵，， 四边形是平行四边形， ． 故答案为：． 三、解答题（第17，18，19，20题，每题6分；第21，22，23题，每题8分；第24，25题，每题12分；共9小题，共72分） 17．（1）解方程：； （2）计算：． 【答案】（1）；（2） 【分析】本题考查了解一元二次方程，特殊角的三角函数值的混合运算； （1）根据因式分解法解一元二次方程即可求解； （2）根据特殊角的三角函数值进行混合运算即可求解． 【详解】解：（1） ∴ ∴或， 解得：； （2） 18．已知：如图，在中，、分别在边、上，连接，，，，，求证：． 【答案】见解析 【分析】本题考查了相似三角形的判定与性质，解决本题的关键是证明． 通过证明三角形相似，再利用相似三角形的性质来证明角相等． 【详解】证明：已知，， ∴． 已知，， ∴． 可得，． ∵，且是与的公共角． ∴可得． ∴． 19．周末，九年级学生王明和李亮两人到朝阳公园荡秋千，如图为荡秋千时的侧面示意图，静止时秋千位于铅垂线上，荡秋千的起始位置为，最高点为，点距离地面为，秋千位于时，安全链与铅垂线夹角为，安全链． (1)求点到地面的距离； (2)当王明用力将李亮从处推出后到最高点处，此时，求点到地面的距离．（参考数据：，） 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了解直角三角形的应用，正确掌握相关性质内容是解题的关键． （1）理解题意得，把数值代入，求出，故，即可作答． （2）过点作，求出，在中，，再把数值代入进行计算，得出，则，即可作答． 【详解】（1）解：∵安全链与铅垂线夹角为， ∴ 过点作 在中，， ， ∴， ， 点到地面的距离为； （2）解：过点作， ， ， 在中，， ， ， ， 由（1）得， ， 点到地面的距离为． 20．如图，在平面直角坐标系中，一次函数的图像与反比例函数的图像相交于点，． (1)求反比例函数的表达式； (2)连接、，求的面积． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查反比例函数与一次函数的交点问题，解题的关键是掌握一次函数、反比例函数的图像与性质． （1）先将点，代入，求出，，再利用待定系数法求出反比例函数解析式即可； （2）设一次函数的图像与轴交于点，求出，得到，再用分割法求出的面积即可． 【详解】（1）解：将点，代入得：，， ，， ，， 将代入反比例函数中，得：， 反比例函数的表达式为； （2）解：连接，如图所示： 设一次函数的图像与轴交于点， 在中，令，则， ， ， 由（1）知，，， ． 21．如图，在平行四边形中，为上一点，连接、，且、交于点， (1)求证：； (2)已知，，，求的长． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】本题考查平行四边形的性质，相似三角形的判定与性质； （1）由平行四边形得到，即可证明； （2）由得到，再代入求值即可． 【详解】（1）证明：∵平行四边形， ∴，， ∴， ∵， ∴； （2）解：∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴． 22．某校为了了解本校学生对航天科技的关注程度，对八、九年级学生进行了航天科普知识竞赛（百分制），并从其中分别随机抽取了20名学生的测试成绩，整理、描述和分析如下：（成绩得分用x表示，共分成四组：A．；B．；C．；D．）． 其中，八年级20名学生的成绩是：80，81，82，82，84，85，86，87，89，90，90，91，94，96，96，96，96，96，99，100． 九年级20名学生的成绩在C组中的数据是：94，92，91，90，93，92． 八、九年级抽取的学生竞赛成绩统计表 年级 平均数 中位数 众数 方差 八年级 90 90 b 38.7 九年级 90 c 100 38.1 根据以上信息，解答下列问题： (1)直接写出上述a、b、c的值： ______， ______， ______； (2)根据以上数据，你认为这次比赛中哪个年级学生航天科普知识的竞赛成绩更好？请说明理由（写出一条理由即可）； (3)若该校九年级共1200人参加了此次航天科普知识竞赛活动，请估计参加此次活动成绩优秀（）的九年级学生人数是多少？ 【答案】(1)40，96，92.5 (2)九年级的成绩更好，理由见解析 (3)840 【分析】本题考查统计图，求中位数，众数，利用中位数和众数作决策，从统计图中有效的获取信息，熟练掌握中位数和众数的计算方法，是解题的关键： （1）求出组人数所占的比例，根据比例之和为1，求出的值，根据中位数和众数的确定方法进行求解即可； （2）利用中位数和众数作决策即可； （3）利用样本估计总体的思想进行求解即可． 【详解】（1）解：由题意，组人数所占的比例为， ∴； ∴； ∵八年级成绩中出现次数最多的是， ∴； 九年级中两组的人数之和为， 将数据排序后，第10个和第11个数据分别为，， ， 故， 故答案为：，，； （2）九年级的成绩更好，理由如下： 两个年级成绩的平均数相同，但九年级的中位数和众数均大于八年级，故九年级的成绩更好； （3）（人）； 答：估计参加此次活动成绩优秀（）的九年级学生人数是840人． 23．驻马店市公安交警部门提醒市民，骑车出行必须严格遵守“一盔一带”的规定．某头盔经销商统计了某品牌头盔10月份到12月份的销量，该品牌头盔10月份销售500个，12月份销售720个，10月份到12月份销售量的月平均增长率相同． (1)求该品牌头盔销售量的月增长率； (2)若此种头盔的进价为30元/个，商家经过调查统计，当售价为40元/个时，月销售量为400个，若在此基础上售价每上涨1元/个，则月销售量将减少10个，为使月销售利润达到6000元，且尽可能让顾客得到实惠，则该品牌头盔每个售价应定为多少元？ 【答案】(1) (2)50元 【分析】本题主要考查了一元二次方程的实际应用，正确掌握相关性质内容是解题的关键． （1）设该品牌头盔销售量的月增长率为x，根据该品牌头盔10月份销售500个，12月份销售720个列出方程求解即可； （2）设该品牌头盔每个售价为y元，根据利润（售价进价）销售量列出方程求解即可． 【详解】（1）解：设该品牌头盔销售量的月增长率为x， 依题意，得 解得，（不合题意，舍去） 答：该品牌头盔销售量的月增长率为． （2）解：设该品牌头盔每个售价为y元， 依题意，得， 整理，得， ∴ 解得， ∵尽可能让顾客得到实惠， ∴不合题意，舍去． ∴． 答：该品牌头盔每个售价应定为50元． 24．如图，在平面直角坐标系中，一次函数的图像与x轴、y轴分别交于A、B两点，与反比例函数的图像相交于C、D两点，点D的横坐标为3．轴，垂足为 E ． (1)写出点A、B、D的坐标，并求反比例函数的解析式： (2)M是反比例函数图像上的一个动点且在点D右侧，过点M作轴，垂足为F、是否存在这样的点M，使得以点M、E、F为顶点的三角形与相似？如果存在，请求出所有满足条件的点M坐标，如果不存在，请说明理由． (3)P是反比例函数图像上的一个动点且在第三象限，如果，求点P的坐标． 【答案】(1)，，， (2)或 (3) 【分析】（1）先根据一次函数的图像与x轴、y轴分别交于A、B两点，求出A、B两点的坐标，再反比例函数的图像过点D和点D的横坐标为3，求出点D的坐标，从而可求得反比例函数的解析式； （2）分、两种情况讨论，分别求出点M坐标； （3）先证明，根据等腰三角形的判定可得出，再利用勾股定理求得点的坐标，然后求出直线的解析式，再求出它与反比例函数的交点，即可得出点P的坐标． 【详解】（1）解：一次函数， 当时，； 当时，， 解得：， ∵一次函数的图像与x轴、y轴分别交于A、B两点， ∴，， ∵一次函数过点D， 点D的横坐标为3， ∴点D的纵坐标为， ∴， ∵反比例函数的图像过点D， ∴， ∴反比例函数的解析式为； （2）如图，于F， ∴， ∵，， ∴，， ∵轴，垂足为E，， ∴， ∴， ∵M是反比例函数图像上的一个动点且在点D右侧， ∴设 ， ∴，， ∴， ∴， ∵点M、E、F为顶点的三角形与相似，M在D的右侧， 当时， ∴， ∴， 解得：，（舍去）， ∴， 当时， ∴， 解得：，（舍去）， ∴， ∴， 综上所述，或； （3）连结交轴于点， ，， ， ， ，，， ，， ， 又轴于点， ， ， 解得：， ， ， ， 设直线的解析式为， 则， 解得：， ∴直线的解析式为， ， 解得：或， ∴直线与反比例函数的交点为与， 又P是反比例函数图像上的一个动点且在第三象限， ． 【点睛】本题考查了求反比例函数解析式，解直角三角形的相关计算，一次函数与反比例函数的交点问题，反比例函数与几何综合，用勾股定理解三角形，利用相似三角形的性质求解等知识点，解题关键是掌握上述知识点并能运用求解． 25．数学活动课上，同学们将两个全等的三角形纸片完全重合放置，固定一个顶点，然后将其中一个纸片绕这个顶点旋转，来探究图形旋转的性质．已知三角形纸片和中，，，． 【初步感知】 （1）如图1，连接，，在纸片绕点旋转过程中，当时，求的面积． 【深入探究】 （2）如图2，在纸片绕点旋转过程中，当点D恰好落在的中线的延长线上时，连接，写出与的关系，并证明． 【拓展延伸】 （3）在纸片绕点旋转过程中，试画出C，D，E三点构成直角三角形的图形，并直接写出直角三角形的面积（至少2种情况）． 【答案】（1）；（2），证明见解析；（3）直角三角形的面积为4或16或12或． 【分析】（1）利用勾股定理求出，由三角形全等的性质可得，，过点作，易证是等腰直角三角形，求出，再根据三角形面积公式即可求解； （2）先根据直角三角形的性质可得，易证是等腰三角形，分别过点作，垂足分别为，根据等腰三角形三线合一的性质求出，利用勾股定理求出，再利用三角形等面积法求出，由勾股定理求出，由，根据等腰三角形三线合一的性质求出，即，再证明，得到，求出，即可得出结论； （3）运用分类思想解答即可． 【详解】解：（1）∵，，， ∴， ∵， ∴，， ∴即， 过点作， ∴， ∴， ∴是等腰直角三角形， ∴， ∴的面积为； （2），证明如下： 根据题意，得， ∴是等腰三角形， 分别过点作，垂足分别为， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴，即， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴，即， ∴， ∴； （3）如图，当与重合时，此时，此时是直角三角形， 故； 如图，当在的延长线上时，此时，此时是直角三角形， 故； 如图，当时，此时是直角三角形， 过点A作于点Q， ∵， ∴， ∵，，， ∴四边形是矩形， ∴， ∴， 故； 如图，当时，此时是直角三角形，过点A作于点Q，交于点N， ∴，， ∴， ∴，， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， 解得； 故． 综上，直角三角形的面积为4或16或12或． 【点睛】本题考查了旋转的性质，三角形相似的判定和性质，三角形全等的性质，勾股定理，等腰三角形的判定与性质，矩形的判定与性质，熟练掌握三角形相似的判定和性质，矩形的判定和性质是解题的关键． 1 / 15 学科网（北京）股份有限公司 $命学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 2025-2026学年九年级数学上学期第三次月考卷 参考答案 一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，共30分） 题号 2 3 5 7 8 9 o 答案 D D D B D D D C C 二、填空题（本大题共6小题，每小题3分，共18分） 11.-2 12.3-√5 13.k<号且k￥-1 14.45 15.x>1或-4<x<0 16. 2 三、解答题（第17,18,19,20题，每题6分；第21,22,23题，每题8分；第24,25题，每题12分； 共9小题，共72分) 17.(6分) 【详解】解：（1)x2-2x-3=0 .(x+1)(x-3)=0 ∴x+1=0或x-3=0, 解得：x=-1,x2=3； (3分) (2)√5-2sin60°+2cos45° =5-2x5+2 √2 2 2 =√2 (6分) 18. 【详解】证明：己知AD=6,BD=6, .AB=AD+BD=6+6=12. 己知AE=8,EC=1, ∴.AC=AE+EC=8+1=9 可得0-6？，4E-82 AC93’AB1231 (4分) 1/11 命学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 :AD、AE 4C4B 且∠A是△ADE与△ACB的公共角. .可得△ADE~△ACB. (5分) .∠AED=∠B. (6分) 19.(6分) 【详解】(1)解：：安全链AC与铅垂线AB夹角为37°， .∠CAB=37° 过点C作CE⊥AB B 在RtaACE中，os∠CAE=cos37°=E =0.8, (1分) AC :AC=3, :AB 3 =0.8, AE=2.4m, (2分) .AB=AE+BE=2.4+1=3.4m :点A到地面的距离AB为3.4m; (3分) (2)解：过点D作DF⊥AB, :∠CAD=90°， ∠DAF=LCAD-∠CAE=53°， (4分)》 在RtAADF中，∠ADF=I80°-∠AFD-∠DAF=37°， sin∠ADF=sin37°=4g=0.6, AD :AD=3, AF=3×0.6=1.8m, (5分) 由(1)得AB=3.4m, FB=AB-AF=3.4-1.8=1.6m, ·点D到地面的距离为1.6m. (6分) 2/11 命学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 20.(6分) 【详解】(1)解：将点4(-1，a),B(b,1)代入y=x-1得：a=-1-1,b-1=1, ·a=-2,b=2, (1分) :A(-1,-2),B(2,1), (2分) 将B2,1)代入反比例函数y=”中，得：m=2, ·反比例函数的表达式为y 2 (3分) (2)解：连接AO,BO,如图所示： 设一次函数y=x-1的图像与y轴交于点C, 在y=x-1中，令x=0,则y=0-1=-1, C(0,-1, ÷0C=1, (4分) 由（1)知，A(-1,-2),B(2,1), sm0c(,-x=x1x2+13 (6分) 21.(8分) 【详解】(1)证明：：平行四边形ABCD, CD∥AB,AB=DC, .∠CDB=∠ABD, (2分) :∠DFE=∠AFB, .△DEF∽△BAF; (4分) (2)解：DE:EC=1:2, .EC =2DE .AB=CD =DE EC =3DE, 3/11 命学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 :△DEF∽△BAF, (6分) DF DE DE I BF AB 3DE3' :DF=4, BF=3DF=12. (8分) 22.(8分) 【详解】(1)解：由题意，C组人数所占的比例为，无x10%=30%, 20 .a%=1-10%-20%-30%=40%; .a=40; (1分) :八年级成绩中出现次数最多的是96， b=96; (2分) 九年级中A,B两组的人数之和为20×(10%+20%)=6， 将数据排序后，第10个和第11个数据分别为92,93， 92+93 2 =92.5, 故c=92.5, (3分) 故答案为：40,96,92.5； (2)九年级的成绩更好，理由如下： 两个年级成绩的平均数相同，但九年级的中位数和众数均大于八年级，故九年级的成绩更好： (5分) (3)1200×(30%+40%)=840(人)； (7分) 答：估计参加此次活动成绩优秀(x≥90)的九年级学生人数是840人. (8分) 23.(8分) 【详解】(1)解：设该品牌头盔销售量的月增长率为x, 依题意，得500(1+x)2=720 (1分) 解得x=0.2=20%,x2=-2.2<0(不合题意，舍去) (2分) 答：该品牌头盔销售量的月增长率为20%， (3分) (2)解：设该品牌头盔每个售价为y元， 依题意，得(y-30)400-10(y-40)=6000, (4分) 整理，得y2-110y+3000=0, 4/11 命学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 (y-50)(y-60)=0 解得y,=50,y2=60, (6分) :尽可能让顾客得到实惠， y=60不合题意，舍去. y=50 (8分) 答：该品牌头盔每个售价应定为50元. 24.(12分) 【详解】(1)解：一次函数y=。x+1, 3 当x=0时，y=1; 当y=0时，0=5x+1, 解得：x=-3, :一次函数y=二x+1的图像与x轴、y轴分别交于A、B两点， 3 A-3,0),B(0,1, :一次函数y=，x+1过点D, 点D的横坐标为3， 点D的纵坐标为y=。×3+1=2, (2分) D(3,2), :反比例函数y=k≠0)的图像过点D, .k=3×2=6, :反比例函数的解析式为y=6, (3分) (2)如图，MF⊥AE于F, 5/11 命学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 .∠AOB=∠EFM, :A-3,0),B(0,1, 0A=3,OB=1, :DE⊥x轴，垂足为E,D(3,2), E(3,0), ∴.OE=3, (4分) :M是反比例函数y=《(k≠0)图像上的一个动点且在点D右侧， 版(到 (x>3), :.FM=5,F(x.0), .OF=x, .EF=OF-0E=x-3, (6分) :点M、E、F为顶点的三角形与AOB相似，M在D的右侧， 当aOAB∽△FEM时， :0A、0B ·EFFM' 31 .x-36, 解得：x=6,x2=-3（舍去)， M(6,1, 当△OABn△FME时， 31 .6x-3, 解得：X-3+面，53而 2 2 (舍去” :6=6x、2=37-9」 3+172 M3+3厅-9， (2,2 (8分) 6/11 命学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 综上所述，M(6,1)或M 3+17317-9 2,29 (3)连结PD交x轴于点F, 1 D B 入F “tan∠BA0=OB=1 OA3'tan∠PDC= 3 ∠BAO=∠PDC, :AF DF, :A-3,0),E(3,0),D(3,2), .AE=3-（-3)=6,DE=2, :EF AE-AF=6-AF=6-DF, 又DE⊥x轴于点E, :.DE2+EF2=DF2, .22+(6-DF)2=DF2, 解得：DF= 3, ·EF=6-DF=6-10=8 331 六OF=OE-EF=3-8-1 33 to. 设直线DF的解析式为y=kx+b, 0=k+b 则 3， 2=3k+b 3 k= 4 解得： 1 (10分) b4 .直线DF的解析式为y= 31 44 7/11 命学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 31 V= x- 4 4 6 x 8 X=一 x=3 解得： 或{ 9 y=2' y=- 4 :直线DF与反比例函数的交点为 89 34 与D(3,2), 又P是反比例函数y=(k≠0)图像上的一个动点且在第三象限， P) (12分) 25.(12分) 【详解】解：(1)：AB=3,BC=4,∠ABC=90°， AC=AB2+BC2=5, :△ADE≌△ABC, AE=AC=5,∠DAE=∠BAC, ∴∠DAE-∠DAC=∠BAC-∠DAC即LCAE=∠BAD=45°， 过点C作CG⊥AE, G E ∠AGC=90°， ∠ACG=45°， :△ACG是等腰直角三角形， AG-CG-C 2 ·aCAE的面积为}AECG= 号x5x5V2_25V5 (3分) 24 (2)CE=2AB,证明如下： 根据题意，得AM=CM=BM= ∴△ABM是等腰三角形， 8/11 命学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 分别过点M,A作MH⊥AB,AK⊥BM,垂足分别为H,K, D H B AH=BHheJ 2, MH =AM2-AH2=2, (4分) :ABMH=1 BMCAK 2 ·k=12 ·BK=VAB2-AK=9 AD=AB=3, BK=DK=即D8 (5分) ,∠BAC+∠CAD=∠CAD+∠DAE, .∠BAD=∠CAE, AB AD 3 AC AE5' △ABD∽△ACE, (6分) :AB、BD 18 AccE,即5=3， CE 5 .CE=6, :CE =2AB (7分) (3)如图，当AD与AC重合时，此时DE⊥AC,此时△CDE是直角三角形， E 故S.cDe= CDDE-4C-4D)DE2x4 D 9/11 命学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 如图，当AD在CA的延长线上时，此时DE1AC,此时aCDE是直角三角形， D CDDECDE16 故S.cpE=2 (8分) C 如图，当DE⊥EC时，此时ACDE是直角三角形， 过点A作AQ⊥EC于点Q, E AE=AC=5, :EQ-0C=1EC, 2 :AQ⊥EC,DE⊥EC,DE⊥AD, :四边形ADEQ是矩形， :AD=EQ=OC=1EC=3, 2 .EC=6, 故Sae-号BcDE=x6x4=2: 1 (9分) 如图，当DC⊥EC时，此时△CDE是直角三角形，过点A作AQ⊥EC于点Q,交DE于点N, E Q EQ=QC=EC=x,Ng∥CD, B EN_E2=1, DN OC DN-EN-DE-2.ON-DC, (10分) :∠AND=∠ENQ,∠ADN=∠EQW=90°， .∠DAN=∠QEN, :∠AND=∠ENQ, 10/11命学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 2025-2026学年九年级数学上学期第三次月考卷 全解全析 （考试时间：120分钟试卷满分：120分) 注意事项： 1.答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。 2.回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动， 用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。 3.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。 4.测试范围：湘教版九年级上册第一章~第五章。 一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，共30分） 1.下面几对图形中，相似的是() ☆* 2.已知Rt△ABC中，∠C=90°，AC=5,BC=12,那么下列各式中，正确的是() A.sin4=5 12 B.Cos4=5 C.tan4=- 12 12 D.cotd=5 12 3.若x=m是方程x2+2x-4=0的一个根，则2m2+4m-2025的值为（) A.2025 B.-2023 C.2017 D.-2017 4.把方程x2+6x+1=0化成(x+m2=n的形式，则m,n的值是() A.-3,8 B.3,8 C.3,-8 D.-3,-8 5.若点4-3，)，B1,,,C(3,,)都在反比例函数y=-2的图象上，则y,,的大小关系是() A.y<y2<y3 B.y3<2<y C.y<y3<y2 D.y2<y3<y 6.某校为了解七年级1800名学生在本次体育测试的成绩情况，现随机抽取若干名学生的体育测试成绩进 1/7 命学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 行统计，并绘制了如下两幅统计图： 个人数 46 40i 4549 30 46% 24 ----------20-- 20----- 50 40以下 10 4044 04 40以下40-4445-4950分数 则下列结论正确的是() A.本次抽样调查的样本容量是200 B.体育测试成绩在40分以下占抽取人数的20% C.在扇形统计图中，体育测试成绩为50分所在扇形的圆心角为90° D.若把体育成绩在45分以上（含45分）定为合格，则全校七年级学生体育成绩合格的有1260名 7.如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，AC=6,BC=8,将ABC绕点A逆时针旋转得到△AB'C',使点C落 在AB边上，连接BB',则cos∠BB'C'的值为() A.5 C.5 D.25 8.己知平行四边形ABCD中，点E在BC上，且EB=2EC,AE与BD交于点F,若BD=5,则BF的长为 () y B E A.2 B.1 C.3 D.1.5 9.如果一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0)满足a+b+c=0,那么，我们称这个方程为“凤凰方程”，已知 ax2+bx+c=0(a≠0)是“凤凰”方程且有一个解为x=-1,则下列结论正确的是() A.a=c,b=1 B.a=b,c=0 C.a=-c,b=0 D.a=b=c 10.如图，点A、B是反比例函数y=《图像上的任意两点，且AC1x轴于点C,BD上y轴于点D,连接O4 2/7 命学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 、OB,若△OAC与aOBD的面积之和为8，则k的值是() A.-8 B.-16 C.8 D.16 二、填空题（本大题共6小题，每小题3分，共18分） 11.已知x=-1是方程x2-x+m=0的一个解，则m的值为 12.V4+tan45°-2cos30°=— 13.关于x的一元二次方程k+1)x2-2x+3=0有两个不相等的实数根，则k的取值范围为一 14.如图，在平行四边形ABCD中，E是AB的中点，F是AD的中点，FE交AC于O点，交CB的延长线 于G点，已知Sor=5,则SACOG=一， D D 15.如图，一次函数=x+b的图象和反比例函数为-生的图象交于A1,8),B(m,-2)两点，若y>片， 则的取值范围是」 VA 16.如图，点D、E、F分别位于ABC的三边上，满足DE∥BC,EF∥AB,如果0 3. 那么 BF DB FC 3/7 命学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 E 三、解答题（第17,18,19,20题，每题6分；第21,22,23题，每题8分；第24,25题，每题12分； 共9小题，共72分) 17.(1)解方程：x2-2x-3=0: (2)计算：√3-2sin60°+2c0s45°. 18.已知：如图，在ABC中，D、E分别在边AB、AC上，连接DE,AD=6,EC=1,BD=6, AE=8,求证：∠AED=∠B. E B 19.周末，九年级学生王明和李亮两人到朝阳公园荡秋千，如图为荡秋千时的侧面示意图，静止时秋千位 于铅垂线AB上，荡秋千的起始位置为C,最高点为D,点C距离地面为1m,秋千位于C时，安全链AC与 铅垂线AB夹角为37°，安全链AC=3m. (I)求点A到地面的距离AB; (②)当王明用力将李亮从C处推出后到最高点D处，此时∠CAD=90°，求点D到地面的距离.（参考数据： sin37°≈0.6，c0s37°≈0.8) 20.如图，在平面直角坐标系x0y中，一次函数y=x-1的图像与反比例函数y=”的图像相交于点4(-1，) ,B(b1). 4/7 命学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 (1)求反比例函数的表达式： (2)连接OA、OB,求△0AB的面积. 21.如图，在平行四边形ABCD中，E为CD上一点，连接AE、BD,且AE、BD交于点F, (I)求证：△DEF∽△BAF; (2)已知，DE:EC=1:2,DF=4,求BF的长 22.某校为了了解本校学生对航天科技的关注程度，对八、九年级学生进行了航天科普知识竞赛（百分制）， 并从其中分别随机抽取了20名学生的测试成绩，整理、描述和分析如下：（成绩得分用x表示，共分成四组： A.80≤x<85;B.85≤x<90;C.90≤x<95;D.95≤x<100). 其中，八年级20名学生的成绩是：80,81,82,82,84,85,86,87,89,90,90,91,94,96,96,96， 96,96,99,100. 九年级20名学生的成绩在C组中的数据是：94,92,91,90,93,92. 八、九年级抽取的学生竞赛成绩统计表 九年级抽取的学生竞赛成绩扇形统计图 年级 平均数 中位数 众数 方差 10% A B C 20% 八年级 90 90 b 38.7 Da% 九年级 90 100 38.1 根据以上信息，解答下列问题： (I)直接写出上述a、b、c的值：a= ,b= ，C= (②)根据以上数据，你认为这次比赛中哪个年级学生航天科普知识的竞赛成绩更好？请说明理由（写出一条 理由即可)； (3)若该校九年级共1200人参加了此次航天科普知识竞赛活动，请估计参加此次活动成绩优秀(x≥90)的 5/7 命学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 九年级学生人数是多少？ 23.驻马店市公安交警部门提醒市民，骑车出行必须严格遵守“一盔一带”的规定.某头盔经销商统计了某品 牌头盔10月份到12月份的销量，该品牌头盔10月份销售500个，12月份销售720个，10月份到12月份 销售量的月平均增长率相同， (1)求该品牌头盔销售量的月增长率； (2)若此种头盔的进价为30元/个，商家经过调查统计，当售价为40元/个时，月销售量为400个，若在此基 础上售价每上涨1元/个，则月销售量将减少10个，为使月销售利润达到6000元，且尽可能让顾客得到实 惠，则该品牌头盔每个售价应定为多少元？ 24.如图，在平面直角坐标系xOy中，一次函数y=二x+1的图像与x轴、y轴分别交于A、B两点，与反比 例函数y=《(k≠0)的图像相交于C、D两点，点D的横坐标为3.DE⊥x轴，垂足为E· ①)写出点A、B、D的坐标，并求反比例函数y=的解析式： X (②M是反比例函数y=《(k≠0)图像上的一个动点且在点D右侧，过点M作MF⊥x轴，垂足为F、是否存 在这样的点M,使得以点M、E、F为顶点的三角形与AOB相似？如果存在，请求出所有满足条件的点M 坐标，如果不存在，请说明理由 ③P是反比例函数y=k+0)图像上的一个动点且在第三象限，如果mPDC-},求点P的坐标。 25.数学活动课上，同学们将两个全等的三角形纸片完全重合放置，固定一个顶点，然后将其中一个纸片 绕这个顶点旋转，来探究图形旋转的性质.已知三角形纸片ABC和ADE中，AB=AD=3,BC=DE=4, ∠ABC=∠ADE=90°. 【初步感知】 (1)如图1，连接BD,CE,在纸片ADE绕点A旋转过程中，当∠BAD=45°时，求△CAE的面积. 【深入探究】 (2)如图2，在纸片ADE绕点A旋转过程中，当点D恰好落在ABC的中线BM的延长线上时，连接CE, 写出AB与CE的关系，并证明. 6/7 命学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 【拓展延伸】 (3)在纸片ADE绕点A旋转过程中，试画出C,D,E三点构成直角三角形的图形，并直接写出直角三角 形CDE的面积（至少2种情况）. E E M D 图1 图2 图3 E 故Sae=CDD6=4C-A0xDE=分x2x4=4: D 如图，当AD在CA的延长线上时，此时DE⊥AC,此时△CDE是直角三角形， D 5.mCDEC)x16 2 Bh 如图，当DE⊥EC时，此时△CDE是直角三角形， N AE0=QC-EC=,0∥CD, B D EN_E2=1, DN OC :DN=EN=IDE=2,ON=IDC, 2 :∠AND=∠ENg,∠ADN=∠EQN=90°， ∠DAN=∠QEN, 7/7