专题1.4 二次函数与一元二次方程（3大考点+7大题型+强化训练）（高效培优讲义）数学湘教版九年级下册

本讲义聚焦二次函数与一元二次方程的内在联系，系统梳理二次函数与坐标轴交点的求法，将x轴交点问题转化为解一元二次方程，通过判别式Δ关联根的情况与交点个数，延伸至与不等式解集的关系，构建完整知识体系。 资料以数形结合和转化思想为核心，设计即学即练、分层题型（典例+变式）及综合练习，培养学生几何直观（数学眼光）和推理能力（数学思维），如根据函数图像判断方程根的情况，课中辅助教师高效授课，课后助力学生巩固提升、查漏补缺。

专题1.4 二次函数与一元二次方程 教学目标 1. 理解二次函数图像与x轴交点和一元二次方程根的对应关系。 2. 会借助二次函数图像判断一元二次方程根的情况，能求方程近似根。 3. 体会数形结合思想，构建二次函数与一元二次方程的知识体系，提升数学应用意识。 教学重难点 1.重点 （1） 掌握二次函数与一元二次方程的内在联系，明确函数图像与x轴交点横坐标即为方程的根。 （2）学会运用二次函数图像的相关特征分析并解决一元二次方程的相关问题。 2.难点 （1）难以透彻理解抛物线与x轴位置关系和一元二次方程根的情况的深层关联。 （2）运用二者的联系解决综合问题时，难以灵活转化思路，熟练运用数形结合思想。 知识点01 二次函数与坐标轴的交点 二次函数与坐标轴的交点知识总结 1. 与y轴的交点： - 求法：令x=0，代入y=ax²+bx+c（a≠0），得y=c，交点为(0, c)。 - 特征：必过一点，横坐标恒为0，纵坐标为常数项c。 2. 与x轴的交点： - 求法：令y=0，解一元二次方程ax²+bx+c=0，根x₁、x₂对应交点(x₁, 0)、(x₂, 0)。 - 根的情况与交点个数： - Δ＞0：2个不同交点（方程有两个不等实根）； - Δ=0：1个交点（方程有两个相等实根，为顶点）； - Δ＜0：无交点（方程无实根）。 3. 核心思想： - 转化思想：将交点问题转化为解方程问题； - 数形结合：通过函数图像直观判断交点个数与位置。 【即学即练2】1．二次函数的图象与轴的交点坐标是（　　）． A．和 B．和 C．和 D．和 【答案】B 【分析】本题考查二次函数与x轴的交点，令，解方程即可求解． 【详解】令，得， 解得或 ∴二次函数的图象与轴的交点坐标是和． 故选：B． 2．在平面直角坐标系xOy中，抛物线与y轴交于点C，则点C的坐标为 ． 【答案】 【分析】此题考查求抛物线与坐标轴的交点，求抛物线与 y 轴的交点坐标，需令横坐标 ，代入抛物线方程计算纵坐标 的值即可 【详解】解：令 ，代入抛物线方程 ，得：， 因此，点 的坐标为 ． 故答案为 ． 知识点02 二次函数与一元二次方程的解 二次函数y＝ax2+bx+c（a，b，c是常数，a≠0） 1.抛物线与x轴的交点的横坐标是一元二次方程ax2+bx+c=0的解. 【即学即练2】1.若已知二次函1．已知抛物线与直线交于点和点，则关于的方程的解是（   ） A．或 B．或 C．或 D．或 【答案】D 【分析】本题考查二次函数图象与一次函数图象的交点问题，将变形为，则该方程的解即为抛物线与直线交点的横坐标． 【详解】解：∵ 抛物线与直线交于点和点， ∴当或时，成立， 即方程的解为或． 故选：D． 2．若二次函数的部分图象如图所示，关于x的一元二次方程的一个解，则另一个解 ． 【答案】 【分析】本题考查了二次函数的图象与性质，熟练掌握该知识点是解题的关键．根据二次函数的图象与x轴的交点关于对称轴对称，可直接求出的值． 【详解】解：二次函数的对称轴为，关于x的一元二次方程的一个解，另一个解为， ， ， 故答案为：． 数y＝ax2+bx+c的函数值为，求自变量的值，就是解一元二次方程ax2+bx+c=. 知识点03 二次函数与不等式 解集分类推导 条件 不等式 ax2+bx+c>0 不等式 ax2+bx+c<0 a>0，Δ>0 x<x1​ 或 x>x2​ x1<x<x2​ a>0，Δ=0 x=x0​（全体实数除 x0​） 无解 a>0，Δ<0 全体实数R 无解 a<0，Δ>0 x1<x<x2​ x<x1​ 或 x>x2​ a<0，Δ=0 无解 x=x0​ a<0，Δ<0 无解 全体实数R 【即学即练3】1．一次函数（）与二次函数（）的图象如图所示，则不等式的解集为（   ） A． B． C． D．或 【答案】C 【分析】本题主要考查二次函数与一次函数的综合，熟练掌握二次函数的图象与性质是解题的关键．观察图象得∶当时，一次函数图象位于二次函数图象的上方，即可求解． 【详解】解：由题意得，， 即， 观察图象得∶当时，一次函数图象位于二次函数图象的上方， ∴不等式的解集为． 故选：C． 2．如图，二次函数（，，为常数，）的图像与轴交于点，顶点坐标为，则不等式的解集为 ． 【答案】/ 【分析】本题考查二次函数的性质、图象法求不等式的解集．根据二次函数图象的对称性，求出抛物线与x轴的另一个交点，找到图象在x轴上方时的自变量的取值范围即可． 【详解】解：∵二次函数的顶点坐标为， ∴对称轴为直线， 又∵该函数的图像与轴交于点， ∴抛物线与x轴的另一个交点坐标为：， 由图象可知：当时，， ∴不等式的解集为， 故答案为：． 题型01 二次函数与坐标轴的交点 【典例1】（25-26九年级上·云南曲靖·阶段练习）二次函数的图象与x轴的交点坐标为（　　） A．和 B．和 C．和 D．和 【答案】A 【分析】本题考查了二次函数图像和坐标轴交点． 将代入解析式解方程即可． 【详解】解：令，得， 解得或， 所以交点坐标为和． 故选：A． 【变式1】（24-25九年级上·广东江门·期中）二次函数的图象过点，则的解为（   ） A．， B．， C．， D．， 【答案】C 【分析】本题考查了抛物线与x轴的交点问题，求抛物线对称轴，把求关于x的一元二次方程的解转化为求二次函数图象与x轴的交点坐标是解题的关键．先求抛物线的对称轴，再根据二次函数的对称性得到二次函数图象与x轴的另外一个交点坐标，从而得到的解． 【详解】解：∵二次函数的对称轴为直线，且函数图象与x轴交于点， ∴二次函数图象与x轴的另一个交点为横坐标满足，解得， ∴方程的解为，， 故选：C． 【变式2】（25-26九年级上·上海·期中）二次函数的图像与x轴的交点坐标是 ． 【答案】和 【分析】此题考查了抛物线与轴的交点，要求二次函数与轴的交点，即要，得到关于的方程来求解． 令二次函数解析式中，得到关于的一元二次方程，求出方程的解可得出二次函数与轴的交点坐标． 【详解】令代入，得方程， 因式分解得：， 或， 二次函数的图像与轴的交点坐标是和． 故答案是：和． 【变式3】（25-26九年级上·山东滨州·阶段练习）抛物线的部分图像如图所示，则关于的方程的解是 ． 【答案】 【分析】本题考查二次函数与一元二次方程， 根据抛物线的对称轴为直线与x轴的交点为，利用抛物线的对称性即可求得． 【详解】解：抛物线的对称轴为直线与x轴的交点为， 设另一个交点为 ， 解得：， 故另一个交点为， 关于的方程的解是：， 故答案为; ． 题型02 根据二次函数的图象确定一元二次方程的根 【典例2】（25-26九年级上·广东汕尾·月考）已知二次函数的部分图像如图所示，则关于x的一元二次方程的正数解为（   ） A．1 B．3 C．2 D．0 【答案】A 【分析】本题考查了二次函数的图像与性质，二次函数与一元二次方程的关系，解决本题的关键是求解出二次函数与x轴正半轴的交点． 根据二次函数的图像可知对称轴为，则可得二次函数与x轴正半轴的交点，由此可得一元二次方程的正数解． 【详解】解：∵二次函数的对称轴为，且与x轴负半轴的交点为， ∴二次函数与x轴正半轴的交点为， ∴关于x的一元二次方程的正数解为1． 故选：A ． 【变式1】（24-25九年级上·浙江温州·开学考试）如图，抛物线与直线的两个交点坐标分别为，则方程的解是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了二次函数与一次函数图象和性质，掌握二次函数与一次函数的交点的含义是解题关键．根据题意可知方程的解即为抛物线和直线的交点的横坐标，即可得解． 【详解】解：抛物线与直线的两个交点坐标分别为， 方程的解是， 故选：B． 【变式2】（25-26九年级上·吉林·期中）如图，抛物线的部分图象如图所示，则关于的一元二次方程的解为 ． 【答案】， 【分析】本题主要考查了二次函数与一元二次方程的关系，熟练掌握抛物线的对称轴性质以及抛物线与轴交点和一元二次方程解的关系是解题的关键． 先根据抛物线的对称轴找到已知交点的对称点，再根据抛物线与x轴交点的横坐标就是方程的解来解题． 【详解】解：∵抛物线的对称轴为直线，且抛物线与轴的一个交点为， 设抛物线与轴的另一个交点为， 则， 解得， ∴关于的一元二次方程的解为，， 故答案为：，． 【变式3】（25-26九年级上·甘肃临夏·期中）已知二次函数的图象如图所示，回答下列问题： (1)方程的根是______； (2)当时，x的取值范围是______； (3)若点均在二次函数的图象上，直接写出、的大小关系． 【答案】(1)； (2)或； (3)． 【分析】题目主要考查二次函数与一元二次方程的关系，二次函数的性质，理解题意，结合图象求解是解题关键． （1）根据函数图象即可直接得出结果； （2）结合函数图象求解即可； （3）根据题意得出函数的对称轴为，确定距离对称轴越远，函数值越小，即可求解． 【详解】（1）解：根据函数图象得：当时，或， ∴方程的根是， 故答案为：； （2）由图象得：当时，x的取值范围是或， 故答案为：或； （3）∵方程的两个根为， ∴函数的对称轴为， ∵开口向下， ∴距离对称轴越远，函数值越小， ∵， ∴． 题型03 求X轴与抛物线的截线长 【典例3】（25-26九年级上·新疆喀什·期中）二次函数的图象与x轴交于A，B两点，则线段的长度为（   ） A．2 B．3 C．4 D．5 【答案】C 【分析】本题考查了二次函数与轴的交点问题，通过求解二次方程得到与轴的交点坐标，然后计算两点间的距离，熟练掌握此知识点并灵活运用是解此题的关键． 【详解】解：∵二次函数的图象与x轴交于A，B两点， ∴令，则， 解得：，， ∴线段的长度为， 故选：C． 【变式1】（2023·四川眉山·二模）已知：抛物线与x轴交于A、B两点，且，则m的值为（    ） A．2 B． C． D． 【答案】C 【分析】设A、B两点的横坐标为、，由题意知，，，由，可得，计算求解即可． 【详解】解：设A、B两点的横坐标为、， 由题意知：，，， ∵， ∴， 解得：， 故选：C． 【变式2】（23-24九年级上·安徽合肥·月考）已知二次函数的图象与x轴交于A，B两点．若，则 ． 【答案】 【分析】设方程的两根分别为，， 可得，，利用，再解方程即可． 【详解】解：当，则， 设方程的两根分别为，， ∴，， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴，经检验符合题意； 故答案为： 【点睛】本题考查的是二次函数与一元二次方程的关系，一元二次方程根与系数的关系，熟练的利用建立方程求解是解本题的关键． 【变式3】（23-24九年级上·河南新乡·阶段练习）  如图，二次函数的图象与轴交于，两点（点在点的左侧）．    (1)若为二次函数的图象上一点，求的值； (2)求的长． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）将代入二次函数解析式，即可求解； （2）令，可求出，，即可求解． 【详解】（1）解：当时， ； （2）解：当时， ， 解得：，， ，， ． 【点睛】本题考查了函数图象上的点坐标，函数图象与坐标轴的交点，图象与x轴的截线长，理解函数图象上点的坐标意义及坐标求法是解题的关键． 题型04 图象法解一元二次方程的近似根 【典例4】（25-26九年级上·安徽·阶段练习）二次函数的图象如图所示，，为图象上的两点，则方程的一个解可能是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了图象法求一元二次方程的近似值，根据自变量两个取值所对应的函数值是和，可得当函数值为时，的取值应在所给的自变量两个值之间，掌握知识点的应用是解题的关键． 【详解】解：∵图象上有两点分别为，， ∴当时，；时，， ∴当时，，只有选项符合， 故选：． 【变式1】（25-26九年级上·安徽宣城·期中）已知二次函数中部分和的值如下表所示： 则方程的一个较大的根的范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题主要考查了二次函数的性质、图象法确定一元二次方程的近似根，掌握数形结合思想成为解题的关键． 先求得对称轴为直线，再根据表格数据得的较小的根的范围为，再根据对称轴计算较大根的范围． 【详解】解：二次函数的对称轴为， 由表可知，当时，；当时，， 方程的一个较小根满足。 根关于对称轴对称，设较大根为，则 ， 。 当时，； 当时，； ， 故选：C． 【变式2】（25-26九年级上·广东广州·期中）下表是一组二次函数的自变量x与函数值y的对应值，那么方程的一个近似根的取值范围是 ． x 1 y 【答案】 【分析】本题考查了二次函数与求一元二次方程的近似值．观察表格确定函数值正负的自变量的值，结合二次函数的性质即可求解． 【详解】解：由表格数据，当时，， 当时，， ∴方程的一个近似根的取值范围是． 故答案为：． 【变式3】（2025·吉林长春·模拟预测）如图是抛物线的图象，结合图象，可知方程有 个实数根． 【答案】3 【分析】本题考查函数与方程的关系，根据函数图象交点的个数即为两解析式联立方程的解得个数解答即可． 【详解】解：在同一平面直角坐标系中作出与的图象，结合图像可得有三个交点， ∴方程有3个实数根． 故答案为：3． 题型05 图象法解一元二次不等式 【典例5】（25-26九年级上·北京·期中）如图，抛物线的部分图象如图所示，若，则的取值范围是（    ） A． B． C． D．或 【答案】C 【分析】本题考查了二次函数的对称性，二次函数与不等式，掌握数形结合思想的应用是解题的关键． 由函数图象得对称轴为，然后可得点关于的对称点的坐标，进而可得答案． 【详解】解：由函数图象得：二次函数的对称轴为直线， ∴点关于直线的对称点的坐标为， ∴关于x的不等式的解集是 故选：C． 【变式1】（25-26九年级上·黑龙江·阶段练习）如图是二次函数的图象，下列说法错误的是（   ） A．的最大值是4 B．当时，函数值 C．当时，随的增大而增大 D．函数的图象关于直线对称 【答案】B 【分析】本题考查了二次函数的图象以及二次函数的性质，解题的关键是根据二次函数的性质逐条分析四个选项．本题属于基础题，难度不大，解决该题型题目时，结合函数图象以及二次函数的性质找出最值、增减性区间、对称轴等是关键． 根据二次函数的图象结合二次函数的性质即可得出、二次函数对称轴为、与x轴的一个交点坐标为以及二次函数的顶点坐标，再逐项分析四个选项即可得出结论． 【详解】解：观察二次函数图象，发现： 开口向下，则，抛物线的顶点坐标为，对称轴为直线，与x轴的一个交点为． A、∵开口向下，抛物线的顶点坐标为， ∴二次函数y的最大值为顶点的纵坐标，即函数y的最大值是4，故此选项正确，不合题意； B、∵二次函数的图象关于直线对称，且函数图象与x轴有一个交点， ∴二次函数与x轴的另一个交点为． ∴当时，函数值，故此选项错误，符合题意． C、当时，y随x的增大而增大，故此选项正确，不合题意； D、∵二次函数的对称轴为直线， ∴函数的图象关于直线对称，故此选项正确，不合题意； 故选：B． 【变式2】（24-25九年级下·江苏宿迁·月考）已知二次函数的图像如图所示，则一元二次不等式的解集是 ． 【答案】或 【分析】本题考查了抛物线与不等式的解集，熟练掌握二者的关系是解题的关键． 利用数形结合思想求解，符合条件的取值在x轴下方． 【详解】根据题意，得一元二次不等式的解集是：或， 故答案为：或． 【变式3】（25-26九年级上·广东惠州·期中）如图是二次函数的部分图象，则不等式的解集是 ． 【答案】或 【分析】本题考查了利用二次函数图象解不等式，会利用二次函数图象解不等式是解题的关键． 由二次函数的图象的对称性得抛物线与轴的一个交点为，由轴的下方的图象对应的函数值小于，即可求解． 【详解】解：由图像得，对称轴为直线，抛物线与轴的一个交点为， ∴抛物线与轴的一个交点为， ∴轴的下方的图像对应的函数值小于， ∴当或时，； ∴不等式的解集是或， 故答案为：或． 题型06 利用不等式求自变量或函数值的范围 【典例6】（2025·四川南充·二模）已知抛物线与直线在之间有个公共点，则的取值范围是（      ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了二次函数与一次函数的交点问题，利用不等式求自变量或函数值的范围，掌握知识点的应用是解题的关键． 先根据题意画出图象，通过抛物线与直线在之间有个公共点，则，最后解出不等式组即可． 【详解】解：如图， 由直线得，当时，，当时，， ∵抛物线与直线在之间有个公共点， ∴， 解得：， 故选：． 【变式1】（2025·辽宁铁岭·二模）已知点在直线上，点，在抛物线上，若且，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】求得直线与抛物线的交点的横坐标，把抛物线的顶点纵坐标代入直线解析式，求得对应的值，即可求得取值范围，根据抛物线与方程的关系，从而求得的取值范围，解答即可． 【详解】解：∵， 解得或， ∵点，在抛物线上，且， ∴是方程的两个根， ∴， ∵， ∴； ∵， ∴当时，， ∴， ∵， ∴； ∴； ∴， 故选：B． 【点睛】本题考查了二次函数图象上点的坐标特征，一次函数图象上点的坐标特征，解析式与不等式的关系，根与系数关系定理，熟练掌握相关知识是解题的关键． 【变式2】（2025·贵州遵义·模拟预测）如图，二次函数的部分图象与轴交于点，对称轴为直线，则当函数值时，自变量的取值范围是 ； 【答案】 【分析】本题考查了二次函数的性质，观察图像可知二次函数有两个根，抛物线的两个根关于对称轴对称，正确利用数形结合分析是解题关键．直接利用二次函数的对称性得出抛物线与轴的另一个交点，进而得出答案． 【详解】解：二次函数的抛物线与轴交于，对称轴是直线， 抛物线与轴的另一个交点为：， 故当函数值时，自变量的取值范围是：． 故答案为：． 【变式3】（24-25八年级下·湖南长沙·阶段练习）已知二次函数，时函数y的最大值是1，则 ． 【答案】或3 【分析】本题主要考查二次函数的最值，由函数解析式可知当时，函数有最大值为，且当时，y随x增大而增大，当时，y随x增大而减小，根据x的值满足时，与其对应的函数值y的最大值为1，可分情况讨论a的值． 【详解】解：∵， ∴函数图象开口方向向下，对称轴为直线，顶点为， ∴当时，y随x增大而增大，当时，y随x增大而减小， ∴当时，， 解得，，， 在时，当时，最大值为1，此时； 在时，当时，最大值为1， 综上，a的值为或3， 故答案为：或3． 题型07 根据交点确定不等式的解集 【典例7】（25-26九年级上·广东广州·期中）二次函数的图象如图所示，则函数值时，x的取值范围是（   ） A． B． C． D．或 【答案】A 【分析】本题考查二次函数与x轴的交点，利用交点求不等式的解集．先观察图象确定抛物线的图象与x轴的交点，然后根据时，所对应的自变量x的变化范围． 【详解】解：∵二次函数的图象如图所示． ∴图象与x轴交在，， ∴当时，即图象在x轴下方的部分，此时x的取值范围是：． 故选：A． 【变式1】（25-26九年级上·黑龙江佳木斯·月考）如图，已知抛物线与直线交于，两点，则关于的不等式的解集是（   ） A．或 B．或 C． D． 【答案】C 【分析】本题考查根据函数图象交点求不等式的解集．不等式的解集是抛物线在直线上方相对应的自变量x的取值范围，根据函数图象及其交点即可解答． 【详解】解：∵抛物线与直线交于，两点， ∴由图象可得，不等式的解集是． 故选：C． 【变式2】（25-26九年级上·四川泸州·期中）如图，已知二次函数（）与一次函数（）的图象交于点，，，则不等式的解集是 ． 【答案】 【分析】本题主要考查二次函数与一次函数的图象与性质，熟练掌握二次函数与一次函数的图象与性质是解题的关键；由不等式可变形为，然后根据图象可进行求解． 【详解】解：由不等式可变形为， ∴由图象可知：不等式的解集是； 故答案为． 【变式3】（25-26九年级上·广东珠海·期中）已知二次函数． (1)该函数的顶点坐标是 ，与轴的交点坐标是 ． (2)根据图象回答：时，的取值范围是 ． (3)根据图象回答：当时，的取值范围是 ． 【答案】(1)；， (2) (3)或 【分析】本题考查的是把抛物线化为顶点式，顶点坐标，抛物线与x轴的交点坐标，抛物线的性质，掌握以上基础知识是解本题的关键． （1）先把抛物线化为顶点式可得坐标，再令函数值，可得，可得抛物线与x轴的交点坐标； （2）根据函数的图象得到当时，y的最大值与最小值即可得到答案； （3）根据函数的图象得到当时,的取值范围为轴上方自变量的取值范围，即可求解． 【详解】（1）解：∵， ∴顶点坐标为：， 令，则， ∴， 解得：，， ∴抛物线与x轴的交点坐标为：，． 故答案为：；，． （2）根据图象可得当时，最小值为， 当时，， ∴． （3）∵抛物线与x轴的交点坐标为：，． ∴根据图象可知，当时，的取值范围是或． 一、单选题 1．（25-26九年级上·云南文山·期中）已知二次函数为常数，且的图象如图所示，则下列结论不正确的是（ ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查二次函数的图象与二次函数系数之间的关系，熟练掌握该知识点是关键． 由抛物线的开口方向判断a与0的关系，由抛物线与y轴的交点判断c与0的关系，然后根据对称轴及抛物线与x轴交点情况进行推理，进而对所得结论进行判断． 【详解】解：由函数图象可知，， ， ， 故A，B正确； 抛物线与x轴有两个交点， ， 故C正确； 抛物线经过， 当时，，故D不正确． 故选：D． 2．（25-26九年级上·云南昆明·期中）抛物线的部分图象如图所示，它与轴的一个交点坐标为，对称轴为直线，当时，的取值范围是（    ） A． B． C．或 D．无法确定 【答案】A 【分析】本题考查抛物线的对称性，利用图象求不等式的解集，根据对称性求出函数与轴的另一个交点坐标，结合图象确定解集即可． 【详解】解：∵抛物线与x轴的一个交点坐标为，对称轴为直线， ∴抛物线与x轴的另一个交点坐标为， 由图象可知，当时，图象在轴的上方，即， ∴当时，x的取值范围是； 故选：A． 3．（25-26九年级上·江苏苏州·期中）已知二次函数图象的对称轴为直线，部分图象如图所示，下列结论中：①；②；③；其中正确的结论有（　　） A．①②③ B．①③ C．②③ D．①② 【答案】D 【分析】本题考查了二次函数的图象与性质，由图象可得，抛物线开口向上，与轴交于负半轴，从而得出，，由二次函数的对称轴得出，即可判断①；由图象可得，抛物线与轴有两个交点即可判断②；由图象可得，当时，，结合以及即可判断③；熟练掌握二次函数的性质，采用数形结合的思想是解此题的关键． 【详解】解：由图象可得，抛物线开口向上，与轴交于负半轴， ∴，， ∵二次函数图象的对称轴为直线， ∴， ∴， ∴，故①正确； 由图象可得，抛物线与轴有两个交点， 令，则，即此方程有两个不相等的实数根， ∴，故②正确； 由图象可得，当时，， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴，故③错误； 综上所述，正确的有①②， 故选：D． 4．（25-26九年级上·北京大兴·期中）已知：抛物线，对称轴为，且，，有以下结论： 抛物线一定经过点； ； 关于x的一元二次方程必有一根大于1； 关于m的一元二次方程一定有两个不相等的实数根． 上述结论中，所有正确结论的序号是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查二次函数的图象和性质，一元二次方程根的判别式，二次函数与一元二次方程的综合． 根据条件 可判断，由和，得，，结合对称轴直线的解析式，可判断，由二次函数的图象和性质，结合图象平移变换，可判断，由一元二次方程的根的判别式，可判断． 【详解】解：∵， ∴ 当时，， ∴抛物线过点， 故正确； ∵ 对称轴， 由和，得，， ∴， ∴， ∴， 故错误； 设 ， ∵ ， ∴抛物线开口向下， ∵抛物线经过点，， ∴抛物线向上平移1个单位后，在对称轴右侧与的交点横坐标一定大于1， ∴关于x的一元二次方程必有一根大于1， 故正确； 方程 的判别式 ， 代入 ，得 ， 若 ，则 ，，但 即 ，矛盾， ∴ ， ∴关于m的一元二次方程一定有两个不相等的实数根， 故正确， 综上，正确结论为． 故选：B． 5．（25-26九年级上·广西南宁·期中）已知二次函数，当时，函数取得最大值；当时，函数取得最小值，则的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查二次函数的图像与性质，二次函数的最值问题，根据题意，可知二次函数开口向上，对称轴为，那么当时，函数取得最小值，结合时取得最大值，可判断的取值范围． 【详解】解：∵， ∴对称轴为，开口向上，顶点为最小值点， 当时，， ∵当时取得最小值， ∴， ∴， ∵当时取得最大值， ， 令，则， 解得， 即， ∴， ， ． 故选：C． 二、填空题 6．（25-26九年级上·广东广州·阶段练习）如图，抛物线与直线相交于点和点，点，的横坐标分别为和，则当时，的取值范围为 ． 【答案】 【分析】本题考查了二次函数与不等式，根据抛物线图像在直线图像上方部分对应的范围即为，从而求解，掌握二次函数的性质是解题的关键． 【详解】解：∵点，的横坐标分别为和， ∴根据图像可知当时，的取值范围为， 故答案为：． 7．（25-26九年级上·四川泸州·期中）如图， 一次函数与二次函数的图象交于点，则关于x的方程的解为 ． 【答案】 【分析】本题主要考查了函数图象与方程的关系，理解方程的解为对应函数图象交点的横坐标是解题的关键． 根据方程的解就是两个函数交点的横坐标求解即可． 【详解】解：∵关于x的方程的解为一次函数与二次函数的图象交点的横坐标， ∴方程的解为：． 故答案为：． 8．（25-26九年级上·云南昆明·期中）若二次函数的图象与轴没有公共点，则的取值范围是 ． 【答案】 【分析】本题考查的是二次函数的定义，二次函数与x轴的交点问题，解题的关键在于掌握：的图象与x轴没有交点，即没有实数根． 结合二次函数的定义和一元二次方程根的判别式来解答． 【详解】解：因为是二次函数，函数图象与x轴没有公共点， 所以 解得： 故答案为：． 9．（24-25八年级下·福建福州·期末）如图，在平面直角坐标系中，抛物线与直线交于两点，则不等式的解集是 【答案】或 【分析】本题考查图象法求不等式的解集，将不等式变形为，即找到抛物线在直线下方时的自变量的范围即可． 【详解】解：∵， ∴， ∵抛物线与直线交于两点， ∴由图象可知：的解集为：或； 故答案为：或． 10．（25-26九年级上·山东淄博·月考）二次函数是常数，的自变量与函数值的部分对应值如下表： … 0 1 2 … … … 且当时，与其对应的函数值，有下列结论：①；②和3是关于的方程的两个根；③；④其中，正确的是 . 【答案】①②③ 【分析】本题考查二次函数性质和一元二次方程根的关系， 熟练掌握二次函数的性质是解题的关键，根据表格数据，当时，得；当时，代入函数得，结合，得，即，对称轴为，利用对称性判断函数值相等和方程根的关系，由时代入解析式得 【详解】解：由表格知，当时， ∴， 当时，代入 ∴， 又∵， ∴， ∴， ∴对称轴， ∴（因为）， 故①正确， ∵对称轴为， ∴点和关于对称轴对称， ∴， 故③正确； ∵对称轴为， ∴点和关于对称轴对称， 设当时，则时， ∴和是方程的两个根， 故②正确， 函数解析式为， 当时，代入得，即，，，故④错误， 综上所述：正确的是①②③， 故答案为：①②③． 三、解答题 11．（25-26九年级上·浙江嘉兴·期中）已知二次函数（为常数）图象经过点． (1)求的值． (2)若二次函数的图象经过点，求的最小值． (3)若二次函数在时，，求的取值范围． 【答案】(1) (2)的最小值为 (3)的取值范围是 【分析】本题主要考查二次函数的图象与性质. （1）将代入即可求出的值； （2）将代入中，再利用二次函数的性质即可求出的最小值. （3）先求出的对称轴，再根据时，即可求出的取值范围. 【详解】（1）解：的图象经过， ∴， ∴； （2）解：由（1）得 的图象经过， ， ， ∴的最小值为； （3）解：， ∴抛物线的对称轴为直线，顶点坐标为. ∵时，， ∴， 当时， ， 解得， ∴， ∴的取值范围是． 12．（25-26九年级上·广东潮州·期中）如图，二次函数的图象与轴交于点（在的左侧），与一次函数的图象交于两点． (1)求两点的坐标； (2)根据图象直接写出当为何值时，一次函数的值大于二次函数的值． 【答案】(1)， (2) 【分析】本题主要考查了一次函数和二次函数的结合，利用待定系数法求函数解析式，通过函数图象交点确定不等式的解集，解题的关键是掌握数形结合的数学思想． （1）通过二次函数解析式求出点坐标，利用待定系数法求出一次函数解析式，联立解析式求交点坐标即可； （2）利用图象交点确定不等式解集即可． 【详解】（1）解：当时，， 解得或， ∴，， 将代入得， ， 解得， ∴直线的解析式为， 联立， 解得或， ∴； （2）解：根据直线和抛物线的交点坐标可得， 当一次函数的值大于二次函数的值时，． 13．（25-26九年级上·湖北武汉·月考）如图为二次函数的图象，试观察图象回答下列问题： (1)写出方程的解为________，________； (2)当________时，随的增大而增大； (3)当时，直接写出的取值范围为________ (4)当时，直接写出的取值范围是________． 【答案】(1)， (2) (3) (4) 【分析】本题考查二次函数的性质，解题关键是掌握二次函数与方程及不等式的关系，掌握二次函数图象与系数的关系． （1）解方程即可求解； （2）求解抛物线的对称轴方程结合抛物线的开口方向可得答案． （3）观察函数图象即可求解； （4）当时，当时，y取最小值，y在顶点处取最大值，即可求解． 【详解】（1）解： ∴ ，． （2）解：∵的对称轴为直线，抛物线开口向下， ∴当时，随的增大而增大． （3）解：的根为，， 二次函数的图象与轴交于点，， 由图象可得，时，的取值范围为． （4）解：， 时，的最大值为， 把代入得，， 把代入得，， 当时，的取值范围是． 14．（25-26九年级上·江苏苏州·期中）如图，二次函数的图象与轴交于点和点（点在点的左侧），与一次函数的图象交于两点． (1)求的值； (2)求点的坐标； (3)根据图象，直接写出当时的取值范围． 【答案】(1) (2) (3)或 【分析】（）利用二次函数求出点坐标，再利用待定系数法解答即可； （）联立两函数解析式，求出方程组的解即可； （）根据函数图象解答即可； 本题考查了待定系数法求一次函数解析式，二次函数与一次函数的交点问题，二次函数与不等式，掌握数形结合思想是解题的关键． 【详解】（1）解：把代入二次函数，得， 解得，， ∴， 把代入一次函数，得， ∴； （2）解：∵， ∴一次函数， 由，解得或， ∴点的坐标为； （3）解：由函数图象可知，当时的取值范围为或． 15．（25-26九年级上·广东惠州·期中）如图，抛物线的图象与一次函数的图象交于、两点，其中点在轴上，点是抛物线和轴的交点，点是直线和轴的交点． (1)利用图中条件，求抛物线的函数关系式和点坐标； (2)连接、、三点，求的面积； (3)直接写出不等式的解集． 【答案】(1)； (2) (3)或 【分析】本题主要考查了二次函数的综合应用，待定系数法求二次函数解析式，根据交点坐标求不等式的解集． （1）先求出点A的坐标，然后代入抛物线求出抛物线的解析式，最后联立一次函数和抛物线解析式求出点B的坐标即可； （2）先求出点D的坐标，然后根据求出三角形的面积即可； （3）根据抛物线与直线的交点坐标求出不等式的解集即可． 【详解】（1）解：把代入得：， 解得：， ∴， 把代入得：， 解得：， ∴抛物线的解析式为：， 联立， 解得：或， ∴点B的坐标为； （2）解：把代入得， ∴点的坐标为， 把代入得， ∴点D的坐标为， ∴， ∴． （3）解：根据函数图象可知：当或时，二次函数的图象在一次函数图象的上方， ∴不等式的解集为或． 16．（25-26九年级上·福建厦门·期中）在平面直角坐标系中，点和点在二次函数（其中）的图像上． (1)若，求证：该二次函数与x轴必有两个交点； (2)若点是二次函数图像上的任意一点且满足，当时，求证：． 【答案】(1) 见解析 (2) 见解析 【分析】本题考查了二次函数与x轴的交点问题，二次函数点的关系，解决本题的关键是熟练掌握二次函数的性质． （1）求解判别式，判断判别式的符号即可证明； （2）先确定二次函数的对称轴，将点A与点B代入函数解析式，可求解m与n的值，再根据，可求解m的取值范围，由此可证明． 【详解】（1）证明：∵二次函数中，， ∴， ∵， ∴， ∴ ， ∵， ∴，即， ∴该二次函数与x轴必有两个交点； （2）证明：∵点是二次函数图像上的任意一点且满足， ∴点是二次函数的最小值点，即顶点， 且函数图像开口向上，，对称轴， ∴， ∵点在图像上， ∴， 代入，得， ∵，且, ∴， ∵点在图像上， ∴， 代入，得， ∵， ∴， ∴． 17．（25-26九年级上·北京·期中）已知二次函数． (1)直接写出该二次函数图象的对称轴是________； (2)在下图所示的平面直角坐标系中画出图象； (3)根据图象回答下列问题： ①当时，的取值范围为________； ②当时，的取值范围为________． 【答案】(1)直线 (2)见解析 (3)①或；② 【分析】本题主要考查了二次函数图象的性质，画二次函数图象，求二次函数值． （1）根据对称轴计算公式求解即可； （2）分别求出、0、1、2、3对应的函数值，然后描点连线即可； （3）①根据函数图象求解即可； ②根据函数图象求解即可． 【详解】（1）解：∵二次函数解析式为， ∴对称轴为直线， 故答案为：直线； （2）解：在 中， 当时，， 当时，， 当时，， 当时，， 当时，， 如图： （3）解：①由函数图象可知，当时，x的取值范围为或， 故答案为：或； ②由函数图象可知，当时，y的取值范围为， 故答案为：． 18．（25-26九年级上·吉林·期中）如图，已知抛物线的图象经过点和点． (1)求该抛物线的解析式． (2)当时，求该抛物线中y的取值范围． (3)将该抛物线先向左平移3个单位长度，再向上平移1个单位长度，得到的新抛物线解析式为______． (4)当直线与原抛物线和新抛物线共有4个公共点时，直接写出m的取值范围． 【答案】(1) (2) (3) (4)且 【分析】本题考查了二次函数的性质，二次函数的平移规律，理解二次函数的性质，二次函数解析式在平移中的变化规律： “左加右减，上加下减；”是解题的关键． （1）利用待定系数法即可求解； （2）由（1）得抛物线的对称轴为直线，当时，，当时，，即可求解； （3）由二次函数平移规律即可求解； （4）根据函数图象结合二次函数的性质即可解答． 【详解】（1）解：根据题意，得， 解得， ∴该抛物线的解析式为； （2）解：， 当时，y的最大值为4． 当时，， 当时，， ∴当时，y的取值范围为． （3）解：根据题意得； （4）解：如图，设平移前和平移后的二次函数图象交点为， 联立，则， 解得， 当时，， ∵二次函数的最大值为，二次函数的最大值为， 由图象可得且时，直线与原抛物线和新抛物线共有4个公共点． 2 / 37 学科网（北京）股份有限公司 $函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 专题1.4二次函数与一元二次方程 内容概览 教学目标、教学重难点 知识点1二次还数与坐标轴的文点 知识点2二次函数与一元二次方程的解 知识清单 知识点3二次函数与不等式 题型1二次函数与坐标轴的胶点 二次函数与一元二次方程 题型2根据二次函数的图像确定一元二次方程的根 题型3求x轴与抛物线的截线长 题型4图像法确定一元二次方程的近似根 题型精讲 题型5图象法解一元二次不等式 题型6利用不等式求自变量或函数值的范围 题型7根据交点确定不等式的解集 强化训练 教学目标、教学重难点 1.理解二次函数图像与x轴交点和一元二次方程根的对应关系。 教学月标 2.会借助二次函数图像判断一元二次方程根的情况，能求方程近似根。 3.体会数形结合思想，构建二次函数与一元二次方程的知识体系，提升数学应用意识。 1.重点 (1)掌握二次函数与一元二次方程的内在联系，明确函数图像与x轴交点横坐标即为 方程的根。 教学重难点 (2)学会运用二次函数图像的相关特征分析并解决一元二次方程的相关问题。 2.难点 (1)难以透彻理解抛物线与×轴位置关系和一元二次方程根的情况的深层关联。 (2)运用二者的联系解决综合问题时，难以灵活转化思路，熟练运用数形结合思想。 知识清单 知识点01二次函数与坐标轴的交点 二次函数与坐标轴的交点知识总结 1.与y轴的交点： 1/16 品学科网·上好课 www zxxk com 上好每一堂课 -求法：令x=0,代入y=ax2+bx+c(a0),得y=c,交点为(0，c)。 -特征：必过一点，横坐标恒为0，纵坐标为常数项c。 2.与×轴的交点： -求法：令y=0,解一元二次方程ax2+bx+c=0,根x1、x2对应交点(x,0)、(x2,O)。 ·根的情况与交点个数： -△>0：2个不同交点（方程有两个不等实根）： -△=0：1个交点（方程有两个相等实根，为顶点）； -△<0：无交点（方程无实根）。 3.核心思想： -转化思想：将交点问题转化为解方程问题； ·数形结合：通过函数图像直观判断交点个数与位置。 【即学即练2】1.二次函数y=x2-2x-3的图象与x轴的交点坐标是（)· A.(1,0)和-3,0 B.（-1,0和3,0) C.(1,0)和3,0 D.-1,0)和-3,0 2.在平面直角坐标系xOy中，抛物线y=x2-4x+5与y轴交于点C,则点C的坐标为 知识点02二次函数与一元二次方程的解 二次函数y=axX2+bxtc(a,b,c是常数，a≠0) 1.抛物线与x轴的交点的横坐标是一元二次方程ax之+bx+c-0的解. 【即学卿练2】1.若己知二次函1.已知抛物线=ar+(a≠0)与直线y=+b交于点A(-1,3)到和点 B(5,-2),则关于x的方程am2-:+c-b=0的解是（) A.x=2或x=-3 B.x=-2或x=3 C.x=1或x=-5 D.x=-1或x=5 2.若二次函数)=方+hx+e的部分图象如图所示，关于x的一元二次方程+bx+e=0的一个解x=3 ,则另一个解x2= 2/16 品学科网·上好课 www zxxk com 上好每一堂课 数y=ax2+bx+c的函数值为S,求自变量x的值，就是解一元二次方程ax2+bx+c=S. 知识点03二次函数与不等式 解集分类推导 条件 不等式ax2+bx+c>0 不等式ax2+bx+c<0 a>0,△>0 xxl或>x2 xl<x<x2 a>0,△=0 =0(全体实数除x0) 无解 a>0,△<0 全体实数R 无解 a<0,△>0 xl<xx2 xxl或x>x2 a<0,△=0 无解 x=0 a0,△<0 无解 全体实数R 【即学即练3】1.一次函数片=mx+n(m≠0)与二次函数为=2+x+c(a≠0)的图象如图所示， 则不等式axr2+(b-m)x+c<n的解集为() A.x<-1 B.x>4 C.-1<x<4 D.x<-1或x>4 2.如图，二次函数y=ax2+bx+c（a,b,c为常数，a≠0)的图像与x轴交于点(3,0)，顶点坐标为 (1,3),则不等式ax2+bx+c>0的解集为一· (1,3) 题型精讲 题型01二次函数与坐标轴的交点 【典例1】(25-26九年级上·云南曲靖阶段练习)二次函数y=x2-2x-3的图象与x轴的交点坐标为() A.(-1,0)和(3,0) B.(1,0)和(-3,0) 3/16 品学科网·上好课 www zxxk.com 上好每一堂课 C.(0,-1)和(0,3) D.(0,1)和(0，-3) 【变式1】(24-25九年级上广东江门期中)二次函数y=ax2-2ax+c(a≠0)的图象过点(3,0)，则 ax2-2ax+c=0的解为() A.1=-3,x2=-1 B.x1=-3,x2=1 C.x=3,x2=-1 D.x=3,x2=1 【变式2】(25-26九年级上·上海期中)二次函数y=2x2-3x的图像与x轴的交点坐标是」 【变式3】(25-26九年级上·山东滨州阶段练习)抛物线y=-x2+bx+c的部分图像如图所示，则关于x的 方程-x2+bx+c=0的解是· YA 题型02根据二次函数的图象确定一元二次方程的根 【典例2】(25-26九年级上·广东汕尾·月考)已知二次函数y=-x2-2x+m的部分图像如图所示，则关于x 的一元二次方程-x2-2x+m=0的正数解为() -3 -10 A.1 B.3 C.2 D.0 【变式1】(24-25九年级上·浙江温州开学考试)如图，抛物线y=ax2与直线y=x+b的两个交点坐标分 别为A(-1,1),B(3,9),则方程ax2=x+b的解是(） 4/16 命学科网·上好课 www zxxk com 上好每一堂课 A.x=-1,x2=1B.x=-1,x2=3C.x=1,x2=9 D.x1=3,x2=9 【变式2】（25-26九年级上·吉林期中)如图，抛物线y=ax2+bx+c的部分图象如图所示，则关于x的一 元二次方程ax2+bx+c=0的解为. -1O 【变式3】(25-26九年级上·甘肃临夏·期中)已知二次函数y=ax2+bx+c(a≠0)的图象如图所示，回答下 列问题： (I)方程ax2+bx+c=0的根是 ； (2)当y<0时，x的取值范围是： (3)若点-2y),3,y2)均在二次函数的图象上，直接写出片、的大小关系. 5/16 品学科网·上好课 www zxxk.com 上好每一堂课 题型03求X轴与抛物线的截线长 【典例3】(25-26九年级上新疆喀什·期中)二次函数卫=x2-2x-3的图象与x轴交于A,B两点，则线段 AB的长度为() A.2 B.3 C.4 D.5 【变式1】(2023四川眉山二模)已知：抛物线y=x2-mx-3与x轴交于A、B两点，且AB=4,则m的 值为() A.2 B.-2 C.±2 D.±4 【变式2】(23-24九年级上·安徽合肥月考)已知二次函数y=ax2-4ax+8(a≠0)的图象与x轴交于A,B 两点.若AB=6,则a=一 【变式3】(23-24九年级上河南新乡阶段练习)如图，二次函数y=x2-x-2的图象与x轴交于A,B两 点（点A在点B的左侧）· B x (1)若P(-2,m)为二次函数y=x2-x-2的图象上一点，求m的值： (2)求AB的长. 题型04图象法解一元二次方程的近似根 【典例4】(25-26九年级上·安微阶段练习)二次函数y=ax2+bx+c的图象如图所示，A(2.18,-0.51, B(2.68,0.54)为图象上的两点，则方程ax2+bx+c=0的一个解可能是() 4 3 B(2.68,0.54) 2-19618-0.5i A.2.18 B.2.68 C.-0.51 D.2.45 6/16 函学科网·上好课 www zxxk.com 上好每一堂课 【变式1】(25-26九年级上安徽宣城期中)已知二次函数y=ax2-2ax+c中部分x和y的值如下表所示： -0.7 -0.6 -0.5 -0.4 -0.3 y 0.89 0.56 0.25 -0.04 -0.31 则方程ax2-2ax+c=0的一个较大的根的范围是() A.-0.5<x<-0.4 B.-0.6<x<-0.5 C.2.4<x<2.5 D.2.5<x<2.6 【变式2】(25-26九年级上·广东广州期中)下表是一组二次函数y=x2+3x-5的自变量x与函数值y的 对应值，那么方程x2+3x-5=0的一个近似根的取值范围是 1.1 1.2 1.3 1.4 -0.49 0.04 0.59 1.16 【变式3】(2025·吉林长春模拟预测)如图是抛物线y=x2+2x-3的图象，结合图象，可知方程 x2+2x-3=1有 个实数根. 1 题型05图象法解一元二次不等式 【典例5】（25-26九年级上·北京·期中)如图，抛物线y=ax2+bx+c的部分图象如图所示，若 ax2+bx+c≥3，则x的取值范围是() 3 7/16 品学科网·上好课 www zxxk.com 上好每一堂课 A.x20 B.x≤0 C.-2≤x≤0 D.x≤-2或x20 【变式1】(25-26九年级上·黑龙江阶段练习)如图是二次函数y=ax2+bx+c(a≠0)的图象，下列说法错 误的是() VA A.y的最大值是4 B.当-3<x<1时，函数值y<0 C.当x<-1时，y随x的增大而增大 D.函数的图象关于直线x=-1对称 【变式2】(24-25九年级下·江苏宿迁·月考)己知二次函数y=ax2+bx+c(a≠0)的图像如图所示，则一元 二次不等式ax2+bx+c<0的解集是 热 【变式3】(25-26九年级上·广东惠州期中)如图是二次函数y=ax2+bx+c的部分图象，则不等式 ar2+br+c<0的解集是 题型06利用不等式求自变量或函数值的范围 8/16 品学科网·上好课 www zxxk com 上好每一堂课 【奥例6】(2025四川南充二模)已知抛物线y=-1x2-bx-b与直线y=2x-3在-4≤x≤4之间有2个公 共点，则b的取值范围是() A.b≥-1 B.b<13 5sbs-1 C.、 D.g6< 【变式1】(2025辽宁铁岭二模)己知点A(x,乃)在直线y=-x+3上，点B(x2,y2),C(x,y)在抛物线 y=-x2+3x上，若=为=且x,<x2<x3,则x+x2+3的取值范围是(） A.0<x1+x2+x<3 B.1 4 <x1+x2+x3<4 C.4<x+x2+x3<6 D.x1+x2+x>6 【点晴】本题考查了二次函数图象上点的坐标特征，一次函数图象上点的坐标特征，解析式与不等式的关系， 根与系数关系定理，熟练掌握相关知识是解题的关键， 【变式2】(2025·贵州遵义·模拟预测)如图，二次函数y=ax2+bx+c的部分图象与x轴交于点(-3,0)，对 称轴为直线x=-1,则当函数值y>0时，自变量x的取值范围是 【变式3】(2425八年级下湖南长沙阶段练习)已知二次函数y=-x+x,口5x5a+2时函数y的最 3 3 大值是1，则a= 题型07根据交点确定不等式的解集 【典例7】（25-26九年级上广东广州期中)二次函数y=x2-2x-3的图象如图所示，则函数值y<0时， 9/16 命学科网·上好课 www zxxk com 上好每一堂课 x的取值范围是() 3 A.-1<x<3B.x<-1 C.x>3 D.x<-1或x>3 【变式1】(25-26九年级上·黑龙江佳木斯·月考)如图，已知抛物线y=ax2+c与直线y=x+b交于 A(-3,y),B(1,y2)两点，则关于x的不等式ax2+c>x+b的解集是() B A.x<-3或x>1 B.x>-3或x<1 C.-3<x<1 D.-1<x<1 【变式2】(25-26九年级上·四川泸州期中)如图，己知二次函数y=ax2+bx+c(a≠0)与一次函数 y2=kx+m(k≠0)的图象交于点，A(-1,3),B(6,),则不等式ax2+(b-k)x+c-m≤0的解集是 0 【变式3】（25-26九年级上·广东珠海期中)已知二次函数y=2x2-8x+6. 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