七年级数学上学期第三次月考（北师大版2024，高效培优·提升卷）

2025-2026学年七年级数学上学期第三次月考卷 提升卷·考试版 （考试时间：120分钟 试卷满分：120分） 注意事项： 1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。 3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。 4．测试范围：北师大版2024七年级上册第一章~第五章。 一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，共30分） 1．下列是一元一次方程的是（   ）． A． B． C． D． 2．下表是几种液体在标准大气压下的沸点，其中沸点最高的液体是（   ） 液体名称 液态氧 液态氢 液态氮 液态氢 沸点/℃ A．液态氧 B．液态氢 C．液态氮 D．液态氮 3．截至2025年3月9日，《哪吒之魔童闹海》（《哪吒2》）的全球票房（含预售及海外）已超过148亿元人民币，成功跻身全球影史票房榜第六位，148亿这个数用科学记数法表示为（   ） A． B． C． D． 4．下列等式变形正确的是（   ） A．由，得 B．由，得 C．由，得 D．由，得 5．下列各式中，计算正确的是（    ） A． B． C． D． 6．下列说法正确的是（   ） A．单项式的次数是2 B．多项式是三次三项式 C．单项式的系数是 D．多项式的常数项是1 7．下列说法正确的是（   ） A．射线和射线是同一条射线 B．0是整数，但不是正数 C．连接A、B两点的线段就是A、B两点间的距离 D．钟表上时，分针和时针的夹角是 8．小明用纸（如图）折成一个正方体盒子，里面装入礼物，与其他三个大小一样的正方体空盒子混在一起，根据观察，礼物所在的盒子是（   ） A． B． C． D． 9．把一个多边形用连接它的不相邻顶点的线段（这些线段不在多边形内部相交）划分为若干个三角形，叫作多边形的三角剖分．一个多边形往往有多种方法进行三角剖分，若边形三角剖分的方法数为，则．其中，则六边形的三角剖分方法数为（    ） A．16 B．15 C．14 D．13 10．将九个数分别填在（行列）的方格中，如果满足每个横行，每个竖列和每条对角线上的三个数之和都等于，则将这样的图称为“和幻方”如图①为“和幻方”，图②为“和幻方”，图③为“和幻方”，若图④为“和幻方”，则的值等于（  ） A． B． C． D． 二、填空题（本大题共6小题，每小题3分，共18分） 11．若多项式是关于x、y的三次二项式，则的值为 ． 12．“我国古代著作《增删算法统宗》中记载了一首古算诗：“庭前孩重闹如簇，不知人数不知梨．每人四梨多十二，每人六梨恰齐足．”其大意是：“孩童们在庭院玩耍，不知有多少人和梨子．每人分4个梨，多12个梨；每人分6个梨，恰好分完．”设有个人，则可列方程 ． 13．如图，已知直线是直线上一点．是的平分线，是的平分线， 14．小明将几盒粉笔整齐地摞在讲台桌上，同学们发现从正面，左面，上面三个方向看到的这摞粉笔形状相同（如图所示），那么这摞粉笔一共有 盒． 15．如图，是一个数值运算程序框图，若开始输入，则最后输出的结果是 ． 16．如图，在数轴上，点A，点B表示的数分别是，，点M以2个单位/秒的速度从点A出发沿数轴向点B运动，同时点N以4个单位/秒的速度从点B出发沿数轴在B，A之间往返运动（当，任意一点到达点B时，整个运动停止）．当运动时间是 秒时，，两点相距2个单位． 三、解答题（第17，18，19，20题，每题6分；第21，22，23题，每题8分；第24，25题，每题12分；共9小题，共72分） 17．（1）计算： （2）解方程： 18．先化简，再求值：，其中，． 19．已知，如图在平面内有A、B、C、D四点，根据下列语句画出图形． (1)画直线、线段、射线； (2)在线段上任取一点E（不同于点B，C）连接，； (3)数一数此时图中共有几条线段，几条射线？ 20．我们定义一种新的运算“”，并且规定：．例如：，． (1)求的值； (2)若，求的值． 21．学生食堂要购进20袋土豆，以每袋50千克为标准，超过或者不足的分别用正、负数表示，记录如下： 每袋与标准重量的差（千克） 0 2 袋数 1 4 2 3 6 4 (1)20袋土豆中，最重的一袋比最轻的一袋要重______千克； (2)求20袋土豆的平均质量？ (3)若土豆每千克的售价为2元，求买这20袋土豆共需多少钱？ 22．综合实践 “长方体纸盒的制作”实践活动 素材 一 走进商场，各种各样的商品琳琅满目，其中很多商品有着形形色色的包装盒．作为吸引顾客的第一道惊喜，厂家对包装盒的设计与制作可谓煞费苦心．包装盒上同样蕴涵着丰富的数学知识，而设计师与企业家们都是数学能手，对包装盒的设计在更优、更省、更美的目标上精益求精． 素材二 某纸箱厂用边长为的正方形纸板设计出两种不同的方案制作长方体盒子用于包装瓷器（图1为无盖的长方体纸盒，图2为有盖的长方体纸盒）①图1方式设计制作一个无盖的长方体盒子的方法：先在纸板四个角剪去四个同样大小边长为的小正方形，再沿虚线折合起来． ②图2方式设计制作一个有盖的长方体纸盒的方法：先在纸板四个角剪去两个同样大小边长为的小正方形和两个同样大小的小长方形，再沿虚线折合起来．    素材三 包装盒的拆解，我们可以将同一形状的包装盒进行不同方式的拆解，从而得到不同的表面展开图．下面是对一个无盖长方体盒子（它缺一个长为8cm，宽为5cm的长方形盖子）的长、宽、高分别为、、进行拆解，如图是该长方体盒子的一种平面展开图，它的外围周长为．事实上，该长方体盒子的平面展开图还有不少种不同的方法．    任务一 下列图形中，不是无盖正方体盒子的表面展开图的是_____（填序号）．    任务二 由材料二可知，如果a=20cm，b=4cm，图1长方体纸盒的底面周长为______cm，体积为_________． 图2的设计中，如果，计算该长方体纸盒的体积． 任务二 在材料三，这个无盖长方体的其它不同平面展开图中，请你画出该无盖长方体外围周长最大的一种表面展开图，并求出最大外围周长的值． 23．定义：如果两个一元一次方程的解之和为，我们就称这两个方程为“成双方程”，例如：方程和为“成双方程”. (1)请判断方程与方程是否互为“成双方程”； (2)若关于的方程与方程互为“成双方程”，求的值； (3)若关于的方程与互为“成双方程”，求关于的方程的解． 24．【问题背景】 如图1，有一长，宽的长方形电脑屏幕，动点以每秒2个单位从向运动，同时点以每秒个单位从向运动，设点的运动时间为秒，连接． 【初步探究】 （1）当，时，求四边形的面积 （2）当为何值时，四边形的面积与的取值无关： 【拓展提升】 （3）如图2，若点每运动1秒，电脑屏幕的区显示的结果就会自动加上2，同时区的结果会自动将整个代数式乘以2，且均显示化简后的结果．已知两区初始显示的分别是和，若，试比较区、区显示的结果哪个大，并说明理由． 25．如图1，射线在的内部，与的大小之比定义为射线的分割值，，n为射线与的“分割值”，记为&（，）． 例如，，则，即&（，），反之&（，），则． (1)如图2，射线在的内部， 若射线是的平分线，则 ； 若，，则 ； (2)如图3，，，射线从位置开始，绕点D按顺时针方向匀速旋转，到达时立即原速返回，射线从位置开始，绕点C按顺时针方向匀速旋转，当到达时，也停止运动，设旋转的时间为t秒．若射线旋转的速度为每秒，射线旋转的速度为每秒． 当到达时，求的值； 若，求t的值． 1 / 6 学科网（北京）股份有限公司 $ 2025-2026学年七年级数学上学期第三次月考卷 提升卷·参考答案 一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，共30分） 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 答案 D A B D B B B B C A 二、填空题（本大题共6小题，每小题3分，共18分） 11． 12． 13． 14．4 15． 16．或或 三、解答题（第17，18，19，20题，每题6分；第21，22，23题，每题8分；第24，25题，每题12分；共9小题，共72分） 17． 【详解】解：（1） ；...............3分 （2）﹒ 去分母得， 去括号得， 移项得， 合并同类项得， 系数化1得﹒...............6分 18． 【详解】解：原式， ， ， ，...............3分 当时， 原式， ， ................6分 19． 【详解】（1）解：直线、线段、射线如图所示， ...............2分 （2）解：点，如图所示， ...............4分 （3）解：根据题意可知，线段有，图中共有7条线段；以点为端点的射线共有2条，以点为端点的射线共有2条，以点为端点的射线共有1条，以点为端点的射线共有1条，则共有6条射线． ...............6分 20． 【详解】（1）解： ；...............3分 （2）解：∵，， 又 ∴ ．...............6分 21． 【详解】（1）解：千克， ∴20袋土豆中，最重的一袋比最轻的一袋要重千克；...............2分 （2）解： 千克， 答：20袋土豆的平均质量为千克；...............5分 （3）解：元， 答：买这20袋土豆共需2016元．...............8分 22． 【详解】解：任务一：不是无盖正方体盒子的表面展开图的是， 故答案为：；...............2分 任务二：图长方体纸盒的底面周长为：，体积为：． 图的设计中，该长方体纸盒的体积为：， 当，时，该长方体纸盒的体积为：，...............5分 任务三：该无盖长方体外围周长最大的一种表面展开图如下： 周长为： ...............8分 23． 【详解】（1）解：方程与方程是“成双方程”，理由如下： 由方程：，可得：， 由方程：，可得：， 方程与方程的两个解的和为： 方程与方程是“成双方程”...............2分 （2）解：由方程：，可得：， 由方程：， 可得： 关于的方程与方程互为“成双方程”， ， 解得：；...............5分 （3）解：由方程：，可得：， 与互为“成双方程”， 的解为：， 又关于的方程，可化为：， ， 关于的方程的解为：．...............8分 24． 【详解】解：（1）当，时，， ∴， ∴ ；...............4分 （2）由题意得，， ∴， ∴ ， ∵四边形的面积与的取值无关， ∴， ∴；...............8分 （3）N区显示的结果大，理由如下： 由题意得，当时，， ， ∴ ， ∵， ∴， ∴， ∴，即， ∴N区显示的结果大；...............12分 25． 【详解】（1）解：若射线是的平分线， ，即． ． 故答案为∶．...............2分 由题意可得∶． ． ． 故答案为∶．...............4分 （2）解： 当到达时， ． ， ...............8分 当由向运动时， ， ． 解得：． 当由向运动时， ， ． 解得：． 综上所述，t的值为或．...............12分 1 / 6 学科网（北京）股份有限公司 $ 2025-2026学年七年级数学上学期第三次月考卷 提升卷·全解全析 （考试时间：120分钟 试卷满分：120分） 注意事项： 1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。 3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。 4．测试范围：北师大版2024七年级上册第一章~第五章。 一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，共30分） 1．下列是一元一次方程的是（   ）． A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题主要考查了一元一次方程的识别，解题的关键是掌握一元一次方程的定义． 根据一元一次方程的定义（只含有一个未知数，且未知数的最高次数为1的整式方程）判断各选项． 【详解】解：∵ 一元一次方程需满足：①只含一个未知数；②未知数的最高次数为1；③整式方程； 选项A：，不是整式方程，不符合题意； 选项B：，未知数次数为2，不符合题意； 选项C：，含两个未知数，不符合题意； 选项D：，只含一个未知数，且次数为1，是整式方程，符合题意； 故选：D． 2．下表是几种液体在标准大气压下的沸点，其中沸点最高的液体是（   ） 液体名称 液态氧 液态氢 液态氮 液态氢 沸点/℃ A．液态氧 B．液态氢 C．液态氮 D．液态氮 【答案】A 【分析】本题主要考查了有理数的大小比较，根据“两个负数相比较，绝对值大的反而小”，可得答案． 【详解】解：∵ 沸点值：液态氧 ，液态氢 ，液态氮 ，液态氦 ， 且均为负数， ∴ 比较绝对值：，，，， ∵ ， ∴ ， ∴ 沸点最高的是液态氧， 故选：A． 3．截至2025年3月9日，《哪吒之魔童闹海》（《哪吒2》）的全球票房（含预售及海外）已超过148亿元人民币，成功跻身全球影史票房榜第六位，148亿这个数用科学记数法表示为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】此题考查科学记数法的表示方法．科学记数法的表示形式为的形式，其中，n为整数，表示时关键要正确确定a的值以及n的值． 利用科学记数法的表示形式进行表示即可． 【详解】解：148亿． 故选：B． 4．下列等式变形正确的是（   ） A．由，得 B．由，得 C．由，得 D．由，得 【答案】D 【分析】本题考查了等式的性质，根据等式的性质逐项判断即可求解，掌握等式的性质是解题的关键． 【详解】解：、当时，由，等式两边同时除以，得；当时，等式两边同时除以无意义，该选项等式变形错误； 、由，等式两边同时除以，得到，该选项等式变形错误； 、由，等式两边同时乘以，得，该选项等式变形错误； 、由，等式两边同时除以，得，该选项等式变形正确； 故选：． 5．下列各式中，计算正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题主要考查了合并同类项，有理数的四则混合计算，根据合并同类项和有理数的四则混合计算法则求解判断即可． 【详解】解：A、，原式计算错误，不符合题意； B、，原式计算正确，符合题意； C、与不是同类项，不能合并，原式计算错误，不符合题意； D、，原式计算错误，不符合题意； 故选：B． 6．下列说法正确的是（   ） A．单项式的次数是2 B．多项式是三次三项式 C．单项式的系数是 D．多项式的常数项是1 【答案】B 【分析】本题考查单项式和多项式的次数、系数、常数项等基本概念．根据定义逐一判断各选项即可． 【详解】解：对于A：∵单项式中，x的指数为1，y的指数为2，∴次数为，故A错误． 对于B：∵多项式中，项的次数为2，项 的次数为，项3的次数为0，∴最高次数为3，且有三项，∴是三次三项式，故B正确． 对于C：∵单项式 的系数为数字部分，即 ，故C错误． 对于D：∵多项式 的常数项是不含字母的项，即，故D错误． 故选B． 7．下列说法正确的是（   ） A．射线和射线是同一条射线 B．0是整数，但不是正数 C．连接A、B两点的线段就是A、B两点间的距离 D．钟表上时，分针和时针的夹角是 【答案】B 【分析】本题考查射线的定义、0的意义、线段与距离的区别以及钟表角度的计算，根据射线的定义可判断A；根据0的意义可判断B；根据A、B两点间的距离等于线段的长度可判断C；求出每分钟时针和分针所走的度数，时两针的夹角相当于数字10和数字6的夹角加上时针再走30分钟的度数，据此可判断D． 【详解】解：A、射线和射线不是同一条射线，原说法错误，不符合题意； B、0是整数，但不是正数，原说法正确，符合题意； C、连接A、B两点的线段的长度就是A、B两点间的距离，原说法错误，不符合题意； D、钟表上时，分针和时针的夹角是，原说法错误，不符合题意； 故选：B． 8．小明用纸（如图）折成一个正方体盒子，里面装入礼物，与其他三个大小一样的正方体空盒子混在一起，根据观察，礼物所在的盒子是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】 本题考查了正方体的平面展开图，熟练掌握正方体的平面展开图特征是解题关键．根据正方体的平面展开图可得与是两个相对的面，由此即可得． 【详解】 解：由正方体的平面展开图可知，礼物所在的盒子是． 故选：B． 9．把一个多边形用连接它的不相邻顶点的线段（这些线段不在多边形内部相交）划分为若干个三角形，叫作多边形的三角剖分．一个多边形往往有多种方法进行三角剖分，若边形三角剖分的方法数为，则．其中，则六边形的三角剖分方法数为（    ） A．16 B．15 C．14 D．13 【答案】C 【分析】本题考查了新定义——多边形的三角剖分．熟练掌握新定义是解题的关键， 根据递推公式并用它来计算六边形三角剖分数．根据给定的递推关系和初始值，可逐步计算出． 【详解】解：∵， ∴． ∵， ∴， ． 故选：C． 10．将九个数分别填在（行列）的方格中，如果满足每个横行，每个竖列和每条对角线上的三个数之和都等于，则将这样的图称为“和幻方”如图①为“和幻方”，图②为“和幻方”，图③为“和幻方”，若图④为“和幻方”，则的值等于（  ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题主要考查一元一次方程的应用．根据题意可得，，，，，再由所有的数的和为，得到关于b的方程，即可求解． 【详解】解：如图， 根据题意得：， ， ， ∴，，，， ∴，， ∵所有的数的和为， ∴， ∴， 解得：， ∴． 故选：A 二、填空题（本大题共6小题，每小题3分，共18分） 11．若多项式是关于x、y的三次二项式，则的值为 ． 【答案】 【分析】本题考查了多项式的项数和次数，根据多项式是关于x、y的三次二项式，得，再解得，代入进行计算，即可作答． 【详解】解：∵多项式是关于x、y的三次二项式， ∴， ∴， ∴， 故答案为： 12．“我国古代著作《增删算法统宗》中记载了一首古算诗：“庭前孩重闹如簇，不知人数不知梨．每人四梨多十二，每人六梨恰齐足．”其大意是：“孩童们在庭院玩耍，不知有多少人和梨子．每人分4个梨，多12个梨；每人分6个梨，恰好分完．”设有个人，则可列方程 ． 【答案】 【分析】本题考查一元一次方程的实际应用，根据每人分4个梨，多12个梨可知梨的数量为个，根据每人分6个梨，可知梨的数量为个，据此列出方程即可． 【详解】解：由题意得，， 故答案为：． 13．如图，已知直线是直线上一点．是的平分线，是的平分线， 【答案】 【分析】本题考查角平分线以及角的计算，理解角平分线的定义是解题关键，根据角平分线的定义得出的度数，再求出的度数，利用角平分线的定义求解即可． 【详解】解：由题意得， 又， ， ， 是的平分线， ， 故答案为：． 14．小明将几盒粉笔整齐地摞在讲台桌上，同学们发现从正面，左面，上面三个方向看到的这摞粉笔形状相同（如图所示），那么这摞粉笔一共有 盒． 【答案】4 【分析】本题考查了由从不同方向看到的图形判断小正方体的个数．根据从正面看到的图形可知，这摞粉笔有两层，根据从上面看到的图形可知，第一层粉笔有3盒，根据从左面看到的图形可知，第二层有1盒，画出图形即可解答． 【详解】解：根据从正面看到的图形可知，这摞粉笔有两层，根据从上面看到的图形可知，第一层粉笔有3盒，根据从左面看到的图形可知，第二层有1盒，如图： ∴这摞粉笔一共有4盒， 故答案为：4． 15．如图，是一个数值运算程序框图，若开始输入，则最后输出的结果是 ． 【答案】 【分析】本题考查代数式求值及有理数的运算，正确理解题意是解题的关键． 将代入程序中计算，直至计算结果为奇数为止． 【详解】解：当时，为整数， ∴， 结果不是奇数，为分数， ∴， 结果不是奇数，为整数， ∴， 结果不是奇数，为整数， ∴， 结果为奇数，输出结果． 故答案为：． 16．如图，在数轴上，点A，点B表示的数分别是，，点M以2个单位/秒的速度从点A出发沿数轴向点B运动，同时点N以4个单位/秒的速度从点B出发沿数轴在B，A之间往返运动（当，任意一点到达点B时，整个运动停止）．当运动时间是 秒时，，两点相距2个单位． 【答案】或或 【分析】本题考查了一元一次方程的应用，解题的关键是理解题意，分三种情况，正确列出方程求解． 根据题意可得，之间的距离为，点到达点时，运动的时间为秒，点从到再到，运动的时间也为秒，设的运动时间为秒，分三种情况，当，相遇前，当，相遇后，当到达点返回后，分别列出方程，求解即可． 【详解】解：点A，点B表示的数分别是，，则之间的距离为， 由题意可得，点到达点时，运动的时间为秒，点从到再到，运动的时间也为秒， 设的运动时间为秒， 当，相遇前，，两点相距2个单位时， 由题意可得，，解得； 当，相遇后，，两点相距2个单位时， 由题意可得，，解得； 当到达点返回后，，两点相距2个单位时， 由题意可得，，解得； 综上，当运动时间是或或秒时，，两点相距2个单位． 故答案为：或或． 三、解答题（第17，18，19，20题，每题6分；第21，22，23题，每题8分；第24，25题，每题12分；共9小题，共72分） 17．（1）计算： （2）解方程： 【答案】（1）；（2） 【分析】本题考查了有理数的混合运算、一元一次方程的解法等知识﹒ （1）根据有理数的混合运算法则“先算乘方，再算乘除，最后算加减，有括号的按括号指明的运算顺序进行计算”即可求解； （2）根据解一元一次方程的一般步骤“去分母，去括号，移项，合并同类项，系数化1”解方程即可﹒ 【详解】解：（1） ； （2）﹒ 去分母得， 去括号得， 移项得， 合并同类项得， 系数化1得﹒ 18．先化简，再求值：，其中，． 【答案】 ， 【分析】本题考查了整式加减的化简求值，熟练运用运算法则进行去括号、合并同类项，代入求值是解题关键. 先去括号，然后合并同类项化简，最后代入字母的值求出结果. 【详解】解：原式， ， ， ， 当时， 原式， ， . 19．已知，如图在平面内有A、B、C、D四点，根据下列语句画出图形． (1)画直线、线段、射线； (2)在线段上任取一点E（不同于点B，C）连接，； (3)数一数此时图中共有几条线段，几条射线？ 【答案】(1)见解析 (2)见解析 (3)共有7条线段，6条射线 【分析】本题主要考查了直线、射线、线段的定义，熟练掌握各定义是解题的关键． （1）利用直线、线段、射线的定义作图即可； （2）依据在线段上任取一点E，连接即可； （3）根据线段和射线的定义即可求解． 【详解】（1）解：直线、线段、射线如图所示， （2）解：点，如图所示， （3）解：根据题意可知，线段有，图中共有7条线段；以点为端点的射线共有2条，以点为端点的射线共有2条，以点为端点的射线共有1条，以点为端点的射线共有1条，则共有6条射线． 20．我们定义一种新的运算“”，并且规定：．例如：，． (1)求的值； (2)若，求的值． 【答案】(1)； (2)． 【分析】本题考查了有理数的混合运算，解一元一次方程，掌握知识点的应用是解题的关键． （）根据新运算得出，然后通过有理数运算法则进行计算即可； （）根据新运算得到关于的一元一次方程，然后根据一元一次方程的解法进行求解． 【详解】（1）解： ； （2）解：∵，， 又 ∴ ． 21．学生食堂要购进20袋土豆，以每袋50千克为标准，超过或者不足的分别用正、负数表示，记录如下： 每袋与标准重量的差（千克） 0 2 袋数 1 4 2 3 6 4 (1)20袋土豆中，最重的一袋比最轻的一袋要重______千克； (2)求20袋土豆的平均质量？ (3)若土豆每千克的售价为2元，求买这20袋土豆共需多少钱？ 【答案】(1) (2)千克 (3)2016元 【分析】本题主要考查了正负数的实际应用，有理数减法的实际应用，有理数四则混合计算的实际应用，有理数乘法的实际应用，正确理解题意是解题的关键． （1）最重的一袋为千克，最轻的一袋为千克（每袋与标准重量的差），据此求解即可； （2）求出这20袋与标准重量的差的平均值，再加上50即可得到答案； （3）根据（2）所求求出土豆的总重量，再乘以售价即可得到答案． 【详解】（1）解：千克， ∴20袋土豆中，最重的一袋比最轻的一袋要重千克； （2）解： 千克， 答：20袋土豆的平均质量为千克； （3）解：元， 答：买这20袋土豆共需2016元． 22．综合实践 “长方体纸盒的制作”实践活动 素材 一 走进商场，各种各样的商品琳琅满目，其中很多商品有着形形色色的包装盒．作为吸引顾客的第一道惊喜，厂家对包装盒的设计与制作可谓煞费苦心．包装盒上同样蕴涵着丰富的数学知识，而设计师与企业家们都是数学能手，对包装盒的设计在更优、更省、更美的目标上精益求精． 素材二 某纸箱厂用边长为的正方形纸板设计出两种不同的方案制作长方体盒子用于包装瓷器（图1为无盖的长方体纸盒，图2为有盖的长方体纸盒）①图1方式设计制作一个无盖的长方体盒子的方法：先在纸板四个角剪去四个同样大小边长为的小正方形，再沿虚线折合起来． ②图2方式设计制作一个有盖的长方体纸盒的方法：先在纸板四个角剪去两个同样大小边长为的小正方形和两个同样大小的小长方形，再沿虚线折合起来．    素材三 包装盒的拆解，我们可以将同一形状的包装盒进行不同方式的拆解，从而得到不同的表面展开图．下面是对一个无盖长方体盒子（它缺一个长为8cm，宽为5cm的长方形盖子）的长、宽、高分别为、、进行拆解，如图是该长方体盒子的一种平面展开图，它的外围周长为．事实上，该长方体盒子的平面展开图还有不少种不同的方法．    任务一 下列图形中，不是无盖正方体盒子的表面展开图的是_____（填序号）．    任务二 由材料二可知，如果a=20cm，b=4cm，图1长方体纸盒的底面周长为______cm，体积为_________． 图2的设计中，如果，计算该长方体纸盒的体积． 任务二 在材料三，这个无盖长方体的其它不同平面展开图中，请你画出该无盖长方体外围周长最大的一种表面展开图，并求出最大外围周长的值． 【答案】任务一： 任务二：48；576； 任务三：图见解析，76cm 【分析】本题考查简单几何体的展开图，熟练根据简单几何的展开图得出长方体的长宽高是解题的关键． 任务一：根据无盖正方体纸盒的展开图求解即可； 任务二：①根据正方形周长公式即可得解；根据长方体的体积公式即可得解； 任务三：根据边长最长的都剪，边长最短的剪得最少，露出外围的边都是长边画图，再据此求解即可． 【详解】解：任务一：不是无盖正方体盒子的表面展开图的是， 故答案为：； 任务二：图长方体纸盒的底面周长为：，体积为：． 图的设计中，该长方体纸盒的体积为：， 当，时，该长方体纸盒的体积为：， 任务三：该无盖长方体外围周长最大的一种表面展开图如下： 周长为： 23．定义：如果两个一元一次方程的解之和为，我们就称这两个方程为“成双方程”，例如：方程和为“成双方程”. (1)请判断方程与方程是否互为“成双方程”； (2)若关于的方程与方程互为“成双方程”，求的值； (3)若关于的方程与互为“成双方程”，求关于的方程的解． 【答案】(1)方程与方程是“成双方程” (2) (3) 【分析】本题考查了解一元一次方程和应用一元一次方程的根求参数的值，理解新定义是解题的关键． （1）根据题意，分别解一元一次方程，根据“成双方程”的定义验证即可求解； （2）分别解一元一次方程，根据“成双方程”的定义列出关于的方程，解方程即可求解． （3）分别解一元一次方程，根据“成双方程”的定义列出关于的方程，解方程即可求解． 【详解】（1）解：方程与方程是“成双方程”，理由如下： 由方程：，可得：， 由方程：，可得：， 方程与方程的两个解的和为： 方程与方程是“成双方程” （2）解：由方程：，可得：， 由方程：， 可得： 关于的方程与方程互为“成双方程”， ， 解得：； （3）解：由方程：，可得：， 与互为“成双方程”， 的解为：， 又关于的方程，可化为：， ， 关于的方程的解为：． 24．【问题背景】 如图1，有一长，宽的长方形电脑屏幕，动点以每秒2个单位从向运动，同时点以每秒个单位从向运动，设点的运动时间为秒，连接． 【初步探究】 （1）当，时，求四边形的面积 （2）当为何值时，四边形的面积与的取值无关： 【拓展提升】 （3）如图2，若点每运动1秒，电脑屏幕的区显示的结果就会自动加上2，同时区的结果会自动将整个代数式乘以2，且均显示化简后的结果．已知两区初始显示的分别是和，若，试比较区、区显示的结果哪个大，并说明理由． 【答案】（1）；（2）；（3）N区显示的结果大，理由见解析 【分析】本题主要考查了整式的加减计算，整式加减中的无关型问题，代数式求值，正确理解题意和熟知整式的加减计算法则是解题的关键． （1）求出此时的长，再根据列式求解即可； （2）同（1）求出，根据面积与t无关可得，据此可得答案； （3）根据题意求出时，M区和N区的结果，再利用作差法求解即可． 【详解】解：（1）当，时，， ∴， ∴ ； （2）由题意得，， ∴， ∴ ， ∵四边形的面积与的取值无关， ∴， ∴； （3）N区显示的结果大，理由如下： 由题意得，当时，， ， ∴ ， ∵， ∴， ∴， ∴，即， ∴N区显示的结果大； 25．如图1，射线在的内部，与的大小之比定义为射线的分割值，，n为射线与的“分割值”，记为&（，）． 例如，，则，即&（，），反之&（，），则． (1)如图2，射线在的内部， 若射线是的平分线，则 ； 若，，则 ； (2)如图3，，，射线从位置开始，绕点D按顺时针方向匀速旋转，到达时立即原速返回，射线从位置开始，绕点C按顺时针方向匀速旋转，当到达时，也停止运动，设旋转的时间为t秒．若射线旋转的速度为每秒，射线旋转的速度为每秒． 当到达时，求的值； 若，求t的值． 【答案】(1)； (2)，t的值为或 【分析】本题依托“分割值”主要考查角度之间的倍积关系和一元一次方程的应用，正确进行计算是解题关键． （1）根据角平分线的定义以及“分割值”的定义求解即可 ；根据角的和差关系以及“分割值”的定义求解即可； （2） 当到达时，，可以求出的度数，从而求出的值 ；分两种情况，根据列式计算即可得出答案． 【详解】（1）解：若射线是的平分线， ，即． ． 故答案为∶． 由题意可得∶． ． ． 故答案为∶． （2）解： 当到达时， ． ， 当由向运动时， ， ． 解得：． 当由向运动时， ， ． 解得：． 综上所述，t的值为或． 1 / 15 学科网（北京）股份有限公司 $