八年级数学上学期第三次月考（北师大版2024，高效培优·提升卷）

2025-2026学年八年级数学上学期第三次月考卷 提升卷·全解全析 （考试时间：120分钟 试卷满分：120分） 注意事项： 1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。 3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。 4．测试范围：北师大版2024八年级上册第一章~第五章。 一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，共30分） 1．下列各组数中，是勾股数的是（    ） A．，， B．，， C．，， D．，， 【答案】D 【分析】本题主要考查勾股数，熟练掌握满足的三个正整数，称为勾股数是解题的关键．根据勾股定理逆定理及勾股数的定义逐个判断即可． 【详解】解：A、，不是勾股数，故选项A不符合题意； B、，，不是正整数，不满足勾股数的定义，故选项B不符合题意； C、，不是正整数，不满足勾股数的定义，故选项C不符合题意； D、，且都是正整数，是勾股数，故选项D符合题意． 故选：D． 2．下列属于二元一次方程组的是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查二元一次方程组的定义，根据二元一次方程组的定义逐项判断即可． 【详解】解：A：第二个方程是二元二次方程，故该方程组不是二元一次方程组； B：第二个方程是二元二次方程，故该方程组不是二元一次方程组； C；两个方程均为二元一次方程，故该方程组是二元一次方程组； D：第一个方程是分式方程，故该方程组不是二元一次方程组． 故选：C． 3．下列运算错误的是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查平方根的运算规则，包括乘除、加法和乘方，需根据基本性质判断各选项是否正确． 【详解】对于选项A：，故A正确； 对于选项B： ，故B正确； 对于选项C：，计算，故C错误； 对于选项D： ，故D正确． 故选：C． 4．若关于的方程的解为，则直线一定经过点（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题主要考查的是一次函数与一元一次方程的关系，掌握一次函数与一元一次方程的关系是解题的关键．方程的解对应直线与x轴的交点横坐标，当时方程成立，即，故直线经过点． 【详解】解：∵ 方程的解为， ∴当时，，即， ∴直线为， 当时，， ∴直线一定经过点． 故选：C． 5．下列说法不正确的是（    ） A．若，则点一定在第二、四象限的角平分线上 B．点到轴的距离是2 C．若中，则点在轴上 D．点可能在第二象限 【答案】C 【分析】根据各象限角平分线上点的坐标特征，坐标轴上点的坐标特征以及点到y轴的距离等于横坐标的长度对各选项分析判断即可得解． 本题考查点坐标，解题的关键是掌握点的坐标的定义和所在象限的判断方法． 【详解】解：A、若，则x、y互为相反数，点一定在第二、四象限的角平分线上，说法正确，故此选项不符合题意； B、点到y轴的距离是2，说法正确，故此选项不符合题意； C、若点中，则P点在x轴或y轴上，说法不正确，故此选项符合题意； D、因为，，所以点可能在x轴上，可能在y轴上，可能在第二象限，说法正确，故此选项不符合题意． 故选：C． 6．有理数在数轴上的位置如图所示，则化简的结果为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了数轴与有理数，二次根式的化简，由数轴可得，即得，进而根据二次根式的性质化简即可，掌握二次根式的性质是解题的关键． 【详解】解：由数轴可得，， ∴， ∴， 故选：． 7．已知关于的一次函数．当时，函数有最大值7，则a的值为（   ） A． B． C．或 D．或 【答案】D 【分析】本题考查了一次函数的性质．分类讨论：时，y随x的增大而增大，所以当时，y有最大值7，然后把代入函数关系式可计算出对应a的值；时，y随x的增大而减小，所以当时，y有最大值7，然后把代入函数关系式可计算对应a的值． 【详解】解：①时，y随x的增大而增大， 则当时，y有最大值7，把代入函数关系式得， 解得； ②时，y随x的增大而减小， 则当时，y有最大值7，把代入函数关系式得， 解得， 所以或， 故选：D． 8．如图，在平面直角坐标系中，对进行循环往复的轴对称变换，若原来点的坐标是.则经过第2024次变换后点的对应点的坐标为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题主要考查了轴对称变换规律，确定循环周期，再根据变换次数计算出经过的周期数和余数是解题的关键． 经过图形可知，每经过4次轴对称变换，回到原来的位置，利用，正好完成506次循环，即可得解； 【详解】由题意可知，每经过4次变换后点回到原来的位置，坐标为， ， 经过第次变换与经过第次变换后点的坐标相同， 经过第2024次变换后点的对应点的坐标为． 故选． 9．国庆假期，芳芳与小雯两家各自驾驶甲、乙两车从宣城出发匀速行驶至上海，在整个行驶过程中，甲、乙两车离开宣城的距离与两车行驶的时间之间的函数关系如图所示，下列判断错误的是（    ） A．乙车的速度是 B．乙车比甲车晚出发，却早到 C．乙车出发后追上甲车 D．当甲、乙两车相距时，或 【答案】D 【分析】本题主要考查一次函数的应用，掌握一次函数图象的意义是解题的关键． 先设甲的函数关系式为，乙的函数关系式为，再根据函数图象进行求解并逐一判断即可． 【详解】解：设甲的函数关系式为，乙的函数关系式为， 由函数图象得，将代入到甲的函数关系式中，代入到乙的函数关系式中， ∴，， 解得， ∴甲的函数关系式为，乙的函数关系式为， A、乙车速度为，该选项正确，不符合题意； B、乙车在时出发，在到达，甲车在时出发，在到达，则乙车比甲车晚出发，却早到，该选项正确，不符合题意； C、联立两个函数解析式得， 解得， ∵乙车在时出发， ∴乙车出发后追上甲车，该选项正确，不符合题意； D、当乙出发前：， 解得，选项中没有； 乙出发后到甲到达前(：， 解得或； 乙到达后： 解得，选项中也没有，故该选项错误，符合题意； 故选D． 10．关于一次函数，给出下列说法正确的是（） ①若点在该函数图象上，且，则； ②若该函数不经过第四象限，则； ③该函数向上平移2个单位得到的一次函数与坐标轴围成的三角形的面积为2，则； ④该函数恒过定点． A．①② B．①③ C．①④ D．②③④ 【答案】C 【分析】本题考查一次函数的性质，包括单调性、象限分布、平移变换和定点问题，根据一次函数的定义和性质逐项判断即可，掌握一次函数的性质是解题的关键． 【详解】解：①若点，在函数图象上，且， ∵，即，， ∴随增大而增大， ∴，故①符合题意； ②若函数不经过第四象限， ∴且，即，故②不符合题意； ③函数向上平移2个单位得，与坐标轴交于点和， 围成的三角形面积为， 令，得，即或，故③不符合题意； ④当时，， ∴函数恒过定点，故④符合题意； 综上，符合题意的是①④， 故选：C． 二、填空题（本大题共6小题，每小题3分，共18分） 11．已知点与点关于轴对称，则的结果为 ． 【答案】3 【分析】本题考查了轴对称的性质，已知字母的值求代数式的值．根据关于x轴对称的点的坐标特征：横坐标相等，纵坐标互为相反数，可求出a和b的值，进而计算． 【详解】解：∵点与点关于轴对称， ∴， ∴， 故答案为：3 12．若，则点在第 象限． 【答案】四 【分析】本题考查非负性，解二元一次方程组，判断点所在的象限，根据非负性求出的值，再根据的符号，判断点所在的象限即可． 【详解】解：∵， ∴，解得， ∴在第四象限； 故答案为：四． 13．有一个数值转换器，流程如图： 当输入的值为81时，输出的值是 ． 【答案】 【分析】本题主要考查了算术平方根，无理数，熟练掌握算术平方根的意义是解答本题的关键，根据流程图求算术平方根，再根据无理数的定义判断即可求解． 【详解】解：由题意得，的算术平方根是，不是无理数， 的算术平方根是，不是无理数， 的算术平方根是，是无理数， 则输出． 故答案为：． 14．已知方程组和有相同的解，则的平方根是 ． 【答案】 【分析】本题考查了二元一次方程组的解，平方根，解二元一次方程组，掌握二元一次方程组解的定义，平方根定义，解二元一次方程组的方法是解题的关键． 根据题意，可联立新的方程组：，利用加减消元法解方程组可得：，然后再把代入方程组，可得：，解得，把a，b的值代入，最后求平方根即可． 【详解】解：由题意，得， 解得， 把代入方程组，可得， 解得， 把代入，得， 的平方根为， 故答案为：． 15．如图是一台手机支架的示意图，可分别绕点A，B转动，测得，若，垂足为点E，，则点D到的距离为 ． 【答案】 【分析】本题主要考查了勾股定理的应用， 先连接，根据勾股定理求出，再根据勾股定理可得，则此题可解. 【详解】解：连接，如图， ∵， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∴， 即， ∴点D到的距离为. 故答案为：． 16．在平面直角坐标系中，一次函数的图象分别与轴，轴交于点，，点在一次函数 的图象上，则当为直角三角形时，点的坐标是 ． 【答案】(0，0)或(2，2)或(-2，-2) 【分析】作出图形，分别以A、B、P为直角顶点三种情况讨论，利用勾股定理即可求解． 【详解】令，则，令，则， ∴A(，0)，B(，4)， ∵点P在一次函数 的图象上， ∴设点的坐标为(x，x)， =， ， =， ①当∠ABP=90时， 根据勾股定理得：，即， 解得： ∴点的坐标为(2，2)； ②当∠BAP=90时， 根据勾股定理得：，即， 解得： ∴点的坐标为(-2，-2)； ③当∠APB=90时，此时点P与点O重合， ∴点的坐标为(0，0)； 综上，点的坐标为(0，0)或(2，2)或(-2，-2)． 三、解答题（第17，18，19，20题，每题6分；第21，22，23题，每题8分；第24，25题，每题12分；共9小题，共72分） 17．（1）计算：       （2）解方程组： 【答案】（1）；（2） 【分析】（1）利用二次根式乘法法则展开式子，再化简二次根式，最后合并同类二次根式得出结果． （2）采用加减消元法，给方程①乘以后与方程②相加，消去，求出的值，再把的值代入方程①求出的值，得到方程组的解． 本题主要考查了二次根式的混合运算、二元一次方程组的解法，熟练掌握二次根式乘法法则和加减消元法解方程组是解题的关键． 【详解】解∶（1）原式 （2）由①②得， 解得． 将代入①得， 解得， ∴原方程组的解为． 18．已知一次函数经过，两点． (1)求这个一次函数的表达式； (2)判断点是否在这个一次函数的图象上？说明理由． 【答案】(1)一次函数的表达式为； (2)点在这个一次函数的图象上，理由见解析． 【分析】本题考查了待定系数法求一次函数的解析式，一次函数的性质，正确求出一次函数的解析式是解此题的关键． （）利用待定系数法求解即可； （）求出当时的值，比较即可得解． 【详解】（1）解：设一次函数的表达式为，由一次函数过，两点， ∴，解得：， ∴一次函数的表达式为； （2）解：点在这个一次函数的图象上，理由， 由（）得一次函数的表达式为， 当时，， ∴点在这个一次函数的图象上． 19．如图，在中，，是边上一点，，，． (1)试判断的形状； (2)求的面积． 【答案】(1)见解析 (2)7.5 【分析】本题主要考查了勾股定理和其逆定理，解题关键是利用勾股定理构造方程求出腰长． （1）根据勾股定理的逆定理求解即可； （2）设，则，然后对运用勾股定理建立方程求解． 【详解】（1）解：因为，，， 所以． 所以， 所以是直角三角形． （2）解：由（1）知，是直角三角形，且， 所以． 设， 因为， 所以． 因为， 所以， 解得．     所以． 所以． 20．已知与成正比例，当时，． (1)求出y与x的函数关系式； (2)设点在这个函数的图象上，求a的值； (3)若x的取值范围是，求y的取值范围． 【答案】(1)； (2)； (3)． 【分析】本题主要考查了求一次函数解析式，求一次函数自变量的值和函数值的范围： （1）利用待定系数法求解即可； （2）根据（1）所求求出函数值为时自变量的值即可得到答案； （3）分别求出自变量为0和5时的函数值即可得到答案． 【详解】（1）解：由题意，设， ∵当时，， ∴， ∴， ∴，即； （2）解：∵点在函数的图象上 ∴， ∴； （3）解：在中， 当时，，当时，， ∵在中，， ∴y随x增大而增大， ∴当时，． 21．先来看一个有趣的现象：．这里根号里的因数2经过适当的演变，竟“跑”到了根号的外面，我们不妨把这种现象称为“穿墙”，具有这一性质的数还有许多，如：，等等． (1)猜想：＝ ，并验证你的猜想； (2)你能只用一个正整数n（n≥2）来表示含有上述规律的等式吗？ (3)证明你找到的规律； (4)请你另外再写出1个具有“穿墙”性质的数． 【答案】(1)，见解析 (2)＝n (3)见解析 (4)（答案不唯一） 【分析】本题考查二次根式的化简与求值，熟练掌握二次根式的化简是解题的关键， （1）根据已知等式的规律写出结论，再根据二次根式的乘法法则验证即可； （2）根据“穿墙”的定义，用表示即可； （3）根据二次根式的乘法法则验证即可； （4）根据已知等式的规律写出一个符合题意的数即可； 【详解】（1）解：； 故答案为：； 验证：； （2）解： ； （3）证明： ． （4）解：，验证如下： （答案不唯一）． 22．定义：若两个实数满足，则与互为“和谐数”，点为“和谐点”． (1)若为“和谐点”，求的值． (2)已知点是关于的一次函数和的图象的交点，是否存在实数，使点为“和谐点”？若存在，请求出的值；若不存在，请说明理由． 【答案】(1) (2)存在， 【分析】本题考查了一次函数的交点问题，新定义运算． （1）根据“和谐点”的定义列式计算即可； （2）先求出，进而求出，根据“和谐点”的定义列式计算即可． 【详解】（1）解：为“和谐点”， ， ； （2）解：存在． 是关于的一次函数和图象的交点， ， 解得． 将代入，得． 点为“和谐点”， ， 解得， 存在的值为，使点为“和谐点”． 23．《九章算术》中记载，浮箭漏（如图①）出现于汉武帝时期，它由供水壶和箭壶组成，箭壶内装有箭尺，水匀速地从供水壶流到箭壶，箭壶中的水位逐渐上升，箭尺匀速上浮，可通过读取箭尺读数计算时间． 某学校科技研究小组仿制了一套浮箭漏，并从函数角度进行了如下实验探究．研究小组每记录一次箭尺读数（箭尺最大读数为），得到下表： 供水时间 0 2 4 6 8 箭尺读数 6 18 30 42 54 (1)如图②，建立平面直角坐标系，横轴表示供水时间，纵轴表示箭尺读数，描出以表格中数据为坐标的各点，并连线； (2)请根据（1）中的数据确定与之间的函数表达式（写过程）； (3)应用上述得到的规律计算：如果本次实验记录的开始时间是上午，那么当箭尺读数为时是几点钟？ 【答案】(1)见解析 (2) (3)当箭尺读数为时是晚上 【分析】本题考查了一次函数的应用、画函数图象，理解题意，正确求出函数关系式是解题的关键． （）根据表格中的数据先描点，再连线即可； （）由各点连线是一条直线，得出是的一次函数，再利用待定系数法求解即可； （）当时，得，解得，然后计算即可． 【详解】（1）解：描点并连线如图所示： （2）解：∵各点连线是一条直线， ∴是的一次函数． 设与之间的函数表达式为， 将坐标和分别代入， 得， 解得， ∴， 当时，得， 解得， ∴， ∴与之间的函数表达式为； （3）解：当时，得， 解得， ∵上午经过小时后是晚上， ∴如果本次实验记录的开始时间是上午，那么当箭尺读数为时是晚上． 24．某帐篷集团的总厂和分厂分别位于甲、乙两市，两厂原来每周生产帐篷共11千顶，“芦山地震”发生后，灾区A、B两地急需帐篷20千顶，该集团决定在一周内赶制出这批帐篷，总厂和分厂的生产效率分别比原来提高了和，恰好按时完成了这项任务． (1)在赶制帐篷的一周内，总厂和分厂各生产帐篷多少千顶？ (2)现要将这些帐篷用卡车一次性运送到地震灾区A、B两地，由于甲、乙两市通往A、B两地道路的路况不同，卡车的运载量也不相同．已知运送帐篷每千顶所需的车辆数和急需的帐篷数如下表： A地 B地 每千顶帐篷所需车辆数（辆） 甲市 4 7 乙市 3 5 急需帐篷数（千顶） 9 11 请设计一种运送方案，使所需的车辆总数量最少，并求出最少车辆总数． 【答案】(1)在赶制帐篷的一周内，总厂和分厂分别生产帐篷14千顶和6千顶 (2)从总厂运送到灾区A、B两地帐篷分别为9千顶、5千顶，从分厂运送到灾区A，B两地帐篷分别为0千顶、6千顶时所用车辆最少，最少的车辆为101辆 【分析】本题考查二元一次方程组的应用，一次函数的应用： （1）设总厂原来每周制作帐篷千顶，分厂原来每周制作帐篷千顶．根据两厂原每周生产量与赶制时一周的生产量列方程组，解方程组即可； （2）设从甲市调配千顶帐篷到灾区的地，甲、乙两市所需运送帐篷的车辆总数为辆，列出n关于m的一次函数关系式，即可求解． 【详解】（1）解：设总厂原来每周制作帐篷千顶，分厂原来每周制作帐篷千顶． 由题意得：， 解得：， （千顶），（千顶）． 在赶制帐篷的一周内，总厂和分厂分别生产帐篷14千顶和6千顶； （2）解：设从甲市调配千顶帐篷到灾区的地，甲、乙两市所需运送帐篷的车辆总数为辆， 由题意得：， 即：． ，所以随的增大而减小． 当时，有最小值101． 从总厂运送到灾区A、B两地帐篷分别为9千顶、5千顶，从分厂运送到灾区A，B两地帐篷分别为0千顶、6千顶时所用车辆最少，最少的车辆为101辆． 25．如图，将含有的三角板的直角顶点放在直线上，过两个锐角顶点分别向直线作垂线，这样就得到了两个全等的直角三角形，由于三个直角的顶点都在同一条直线上，因此我们将其称为“一线三直角”，这模型在数学解题中被广泛使用． 【模型应用】： （1）如图1，在平面直角坐标系中，直线与轴，轴分别交于两点． ①求点A和点B的坐标，并计算的长度． ②是正比例函数图象上的两个动点，连接，若，，求的最小值． 【模型拓展】： （2）如图2，一次函数的图象与轴，轴分别交于两点．将直线绕点逆时针旋转，得到直线，求直线对应的函数表达式． 【答案】（1）①；②；（2） 【分析】（1）①一次函数，令求得点B的坐标；令求得点A的坐标，再根据两点之间的距离公式计算即可． ②点到直线的距离最短为垂线，根据垂直求得，结合证得，得到，利用勾股定理即可求得的长； （2）在图2中，过B作交直线l于C，过C作轴于D，证明是等腰直角三角形，则，证明得到，，进而求得，然后利用待定系数法求解即可； 【详解】解：（1）①对于， 当时，， 令时，，则， 即，， ∴； ②因为A是定点，当时，有最小值，如图所示， ∵，， ∴， ∵，， ∴， 在和中，，，， ∴， ∴， 在中，由勾股定理得：， ∴， ∴的最小值为． （2）过B作交直线l于C，过C作轴于D， 则， ∴， ∴， ∵直线绕点A逆时针旋转得到直线l， ∴， ∴是等腰直角三角形，则， ∴， ∴，， 当时，，当时，由得， ∴，， ∴，， ∴，， ∴， 设直线l对应的函数表达式为， 将、代入，得，解得， ∴直线l对应的函数表达式为； 1 / 15 学科网（北京）股份有限公司 $ 2025-2026学年八年级数学上学期第三次月考卷 提升卷·参考答案 一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，共30分） 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 答案 D C C C C C D A D C 二、填空题（本大题共6小题，每小题3分，共18分） 11．3 12．四 13． 14． 15． 16．(0，0)或(2，2)或(-2，-2) 三、解答题（第17，18，19，20题，每题6分；第21，22，23题，每题8分；第24，25题，每题12分；共9小题，共72分） 17． 【详解】解∶（1）原式..............3分 （2）由①②得， 解得． 将代入①得， 解得， ∴原方程组的解为．..............6分 18． 【详解】（1）解：设一次函数的表达式为，由一次函数过，两点， ∴，解得：， ∴一次函数的表达式为；..............3分 （2）解：点在这个一次函数的图象上，理由， 由（）得一次函数的表达式为， 当时，， ∴点在这个一次函数的图象上．..............6分 19． 【详解】（1）解：因为，，， 所以． 所以， 所以是直角三角形．..............3分 （2）解：由（1）知，是直角三角形，且， 所以． 设， 因为， 所以． 因为， 所以， 解得．     所以． 所以．..............6分 20． 【详解】（1）解：由题意，设， ∵当时，， ∴， ∴， ∴，即；..............2分 （2）解：∵点在函数的图象上 ∴， ∴；..............4分 （3）解：在中， 当时，，当时，， ∵在中，， ∴y随x增大而增大， ∴当时，．..............6分 21． 【详解】（1）解：； 故答案为：； 验证：；..............2分 （2）解： ；..............4分 （3）证明： ．..............6分 （4）解：，验证如下： （答案不唯一）．..............8分 22． 【详解】（1）解：为“和谐点”， ， ；..............3分 （2）解：存在．..............4分 是关于的一次函数和图象的交点， ， 解得． 将代入，得． 点为“和谐点”， ， 解得， 存在的值为，使点为“和谐点”．..............8分 23． 【详解】（1）解：描点并连线如图所示： ..............2分 （2）解：∵各点连线是一条直线， ∴是的一次函数． 设与之间的函数表达式为， 将坐标和分别代入， 得， 解得， ∴， 当时，得， 解得， ∴， ∴与之间的函数表达式为；..............5分 （3）解：当时，得， 解得， ∵上午经过小时后是晚上， ∴如果本次实验记录的开始时间是上午，那么当箭尺读数为时是晚上．..............8分 24． 【详解】（1）解：设总厂原来每周制作帐篷千顶，分厂原来每周制作帐篷千顶． 由题意得：， 解得：， （千顶），（千顶）． 在赶制帐篷的一周内，总厂和分厂分别生产帐篷14千顶和6千顶；..............6分 （2）解：设从甲市调配千顶帐篷到灾区的地，甲、乙两市所需运送帐篷的车辆总数为辆， 由题意得：， 即：． ，所以随的增大而减小． 当时，有最小值101． 从总厂运送到灾区A、B两地帐篷分别为9千顶、5千顶，从分厂运送到灾区A，B两地帐篷分别为0千顶、6千顶时所用车辆最少，最少的车辆为101辆．..............12分 25． 【详解】解：（1）①对于， 当时，， 令时，，则， 即，， ∴；..............4分 ②因为A是定点，当时，有最小值，如图所示， ∵，， ∴， ∵，， ∴， 在和中，，，， ∴， ∴， 在中，由勾股定理得：， ∴， ∴的最小值为．..............8分 （2）过B作交直线l于C，过C作轴于D， 则， ∴， ∴， ∵直线绕点A逆时针旋转得到直线l， ∴， ∴是等腰直角三角形，则， ∴， ∴，， 当时，，当时，由得， ∴，， ∴，， ∴，， ∴， 设直线l对应的函数表达式为， 将、代入，得，解得， ∴直线l对应的函数表达式为；..............12分 1 / 6 学科网（北京）股份有限公司 $ 2025-2026学年八年级数学上学期第三次月考卷 提升卷·考试版 （考试时间：120分钟 试卷满分：120分） 注意事项： 1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。 3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。 4．测试范围：北师大版2024八年级上册第一章~第五章。 一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，共30分） 1．下列各组数中，是勾股数的是（    ） A．，， B．，， C．，， D．，， 2．下列属于二元一次方程组的是（    ） A． B． C． D． 3．下列运算错误的是（   ） A． B． C． D． 4．若关于的方程的解为，则直线一定经过点（   ） A． B． C． D． 5．下列说法不正确的是（    ） A．若，则点一定在第二、四象限的角平分线上 B．点到轴的距离是2 C．若中，则点在轴上 D．点可能在第二象限 6．有理数在数轴上的位置如图所示，则化简的结果为（    ） A． B． C． D． 7．已知关于的一次函数．当时，函数有最大值7，则a的值为（   ） A． B． C．或 D．或 8．如图，在平面直角坐标系中，对进行循环往复的轴对称变换，若原来点的坐标是.则经过第2024次变换后点的对应点的坐标为（   ） A． B． C． D． 9．国庆假期，芳芳与小雯两家各自驾驶甲、乙两车从宣城出发匀速行驶至上海，在整个行驶过程中，甲、乙两车离开宣城的距离与两车行驶的时间之间的函数关系如图所示，下列判断错误的是（    ） A．乙车的速度是 B．乙车比甲车晚出发，却早到 C．乙车出发后追上甲车 D．当甲、乙两车相距时，或 10．关于一次函数，给出下列说法正确的是（） ①若点在该函数图象上，且，则； ②若该函数不经过第四象限，则； ③该函数向上平移2个单位得到的一次函数与坐标轴围成的三角形的面积为2，则； ④该函数恒过定点． A．①② B．①③ C．①④ D．②③④ 二、填空题（本大题共6小题，每小题3分，共18分） 11．已知点与点关于轴对称，则的结果为 ． 12．若，则点在第 象限． 13．有一个数值转换器，流程如图： 当输入的值为81时，输出的值是 ． 14．已知方程组和有相同的解，则的平方根是 ． 15．如图是一台手机支架的示意图，可分别绕点A，B转动，测得，若，垂足为点E，，则点D到的距离为 ． 16．在平面直角坐标系中，一次函数的图象分别与轴，轴交于点，，点在一次函数 的图象上，则当为直角三角形时，点的坐标是 ． 三、解答题（第17，18，19，20题，每题6分；第21，22，23题，每题8分；第24，25题，每题12分；共9小题，共72分） 17．（1）计算：       （2）解方程组： 18．已知一次函数经过，两点． (1)求这个一次函数的表达式； (2)判断点是否在这个一次函数的图象上？说明理由． 19．如图，在中，，是边上一点，，，． (1)试判断的形状； (2)求的面积． 20．已知与成正比例，当时，． (1)求出y与x的函数关系式； (2)设点在这个函数的图象上，求a的值； (3)若x的取值范围是，求y的取值范围． 21．先来看一个有趣的现象：．这里根号里的因数2经过适当的演变，竟“跑”到了根号的外面，我们不妨把这种现象称为“穿墙”，具有这一性质的数还有许多，如：，等等． (1)猜想：＝ ，并验证你的猜想； (2)你能只用一个正整数n（n≥2）来表示含有上述规律的等式吗？ (3)证明你找到的规律； (4)请你另外再写出1个具有“穿墙”性质的数． 22．定义：若两个实数满足，则与互为“和谐数”，点为“和谐点”． (1)若为“和谐点”，求的值． (2)已知点是关于的一次函数和的图象的交点，是否存在实数，使点为“和谐点”？若存在，请求出的值；若不存在，请说明理由． 23．《九章算术》中记载，浮箭漏（如图①）出现于汉武帝时期，它由供水壶和箭壶组成，箭壶内装有箭尺，水匀速地从供水壶流到箭壶，箭壶中的水位逐渐上升，箭尺匀速上浮，可通过读取箭尺读数计算时间． 某学校科技研究小组仿制了一套浮箭漏，并从函数角度进行了如下实验探究．研究小组每记录一次箭尺读数（箭尺最大读数为），得到下表： 供水时间 0 2 4 6 8 箭尺读数 6 18 30 42 54 (1)如图②，建立平面直角坐标系，横轴表示供水时间，纵轴表示箭尺读数，描出以表格中数据为坐标的各点，并连线； (2)请根据（1）中的数据确定与之间的函数表达式（写过程）； (3)应用上述得到的规律计算：如果本次实验记录的开始时间是上午，那么当箭尺读数为时是几点钟？ 24．某帐篷集团的总厂和分厂分别位于甲、乙两市，两厂原来每周生产帐篷共11千顶，“芦山地震”发生后，灾区A、B两地急需帐篷20千顶，该集团决定在一周内赶制出这批帐篷，总厂和分厂的生产效率分别比原来提高了和，恰好按时完成了这项任务． (1)在赶制帐篷的一周内，总厂和分厂各生产帐篷多少千顶？ (2)现要将这些帐篷用卡车一次性运送到地震灾区A、B两地，由于甲、乙两市通往A、B两地道路的路况不同，卡车的运载量也不相同．已知运送帐篷每千顶所需的车辆数和急需的帐篷数如下表： A地 B地 每千顶帐篷所需车辆数（辆） 甲市 4 7 乙市 3 5 急需帐篷数（千顶） 9 11 请设计一种运送方案，使所需的车辆总数量最少，并求出最少车辆总数． 25．如图，将含有的三角板的直角顶点放在直线上，过两个锐角顶点分别向直线作垂线，这样就得到了两个全等的直角三角形，由于三个直角的顶点都在同一条直线上，因此我们将其称为“一线三直角”，这模型在数学解题中被广泛使用． 【模型应用】： （1）如图1，在平面直角坐标系中，直线与轴，轴分别交于两点． ①求点A和点B的坐标，并计算的长度． ②是正比例函数图象上的两个动点，连接，若，，求的最小值． 【模型拓展】： （2）如图2，一次函数的图象与轴，轴分别交于两点．将直线绕点逆时针旋转，得到直线，求直线对应的函数表达式． 1 / 6 学科网（北京）股份有限公司 $