九年级数学上学期第三次月考（北师大版，高效培优·提升卷）

2025-2026学年九年级数学上学期第三次月考卷 提升卷·考试版 （考试时间：120分钟 试卷满分：120分） 注意事项： 1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。 3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。 4．测试范围：北师大版九年级上册第一章~第六章。 一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，共30分） 1．在下列函数中，y是x 的反比例函数的是（    ） A． B． C． D． 2．下列线段能成比例线段的是（    ） A．、、、 B．1cm、、、4cm C．、、、1cm D．、、、 3．如图是一个螺母的示意图，它的俯视图是（    ） A． B． C． D． 4．下面语句叙述正确的是（   ） A．在大量重复试验中，某个事件发生的频率就是这个事件发生的概率． B．如果从一批小麦种子中随机抽取10粒，做发芽试验，结果有9粒发芽，则这批种子发芽率就是90%； C．掷一枚质地均匀的硬币，正面朝上的概率是0.5； D．因为掷一枚质地均匀的硬币，正面朝上的概率是0.5，所以，投掷100次，硬币正面朝上的次数一定有50次； 5．关于反比例函数，下列说法中错误的是（    ） A．时，随的增大而减小 B．当时， C．当时，有最小值为 D．它的图象位于第一、三象限 6．已知一元二次方程的两根为，则的值是（ ） A．2 B． C． D．3 7．已知四边形是平行四边形，与相交于点O，下列结论正确的有（   ） ①当时，它是菱形； ②时，它是菱形； ③当时，它是矩形； ④当时，它是正方形． A．4个 B．3个 C．2个 D．1个 8．达州市要组织一次排球邀请赛，参赛的每个队之间都要比赛一场，根据场地和时间等条件，赛程计划安排天，每天安排场比赛．设比赛组织者应邀请个队参赛，则满足的关系式为（ ） A． B． C． D． 9．如图，以点为位似中心，把放大到原来的2倍得到．以下说法中错误的是（   ） A． B．点，，三点在同一条直线上 C． D． 10．如图，在正方形中，边长为6，点，分别是，边上的点，且，平分，连接，分别交，于点，．点是的中点，连接．下列结论其中正确的有（   ）个． ①； ②； ③垂直平分； ④； ⑤的面积为． A．2 B．3 C．4 D．5 二、填空题（本大题共6小题，每小题3分，共18分） 11．已知反比例函数 ，当时，y随x的增大而减小，则k的取值范围是 ． 12．若a，b为菱形的两条对角线的长，且a，b为一元二次方程的两个根，则菱形的周长为 ． 13．若函数与函数的图象交于两点，其中一个交点的坐标为，则另一个交点的坐标是 ． 14．如图，，，延长交于，且，则的长 ． 15．如图，小明家的客厅有一张高0.8米（即米）的圆桌，圆桌的直径为1米，点处有一盏灯，圆桌在此灯光下的影子最外侧两点分别为、，以所在直线为轴，过点且垂直于轴的直线为轴建立平面直角坐标系，已知图中所有的点均在同一平面内，轴，米，点的坐标为，则点的坐标是 ． 16．在矩形中，M为对角线和的交点，点N在边所在的直线上，且．当是直角三角形时，的长为 ． 三、解答题（第17，18，19，20题，每题6分；第21，22，23题，每题8分；第24，25题，每题12分；共9小题，共72分） 17．（1）解方程：； （2）已知是的三边长，且，的周长为81，求三边的长． 18．中秋节前，某校举行“传经典，乐中秋”系列活动，九（1）班根据活动分别制作了编号为、、、的4张卡片（除编号和内容外，其余完全相同），将它们背面朝上洗匀后放在桌面上． 品月饼 讲故事 诵诗词 创美文 (1)若从4张卡片中随机选择一种，则选到“讲故事”卡片的概率为___________； (2)该班的小秋先从4张卡片中随机抽取1张，该班的小军再从余下的3张卡片中随机抽取1张、请用画树状图法或列表法，求小秋、小军两人中恰好有一人抽到“诵诗词”卡片的概率． 19．、是关于的一元二次方程的两个实数根． (1)求的取值范围； (2)若，求的值． 20．如图，在中，，线段的垂直平分线交于点，垂足为，交的延长线于点，连接． (1)求证：四边形是菱形； (2)连接，若，，求四边形的周长． 21．如图，是小亮晚上在广场散步的示意图，图中线段表示站立在广场上的小亮，线段表示直立在广场上的灯杆，点P表示照明灯的位置． (1)在小亮由B处沿所在的方向行走到达O处的过程中，他在地面上的影子长度的变化情况为 ； (2)请你在图中画出小亮站在处的影子； (3)当小亮离开灯杆的距离时，身高（AB）为的小亮的影长为，问当小亮离开灯杆的距离时，小亮的影长是多少m？ 22．如图，某公司将手工绘画的风景画安装上一个四周宽度相等的画框（空白部分），制成 一个矩形工艺品后，进行销售，该工艺品的长为，宽为． (1)若该工艺品中间的风景画的面积为，求画框（空白部分）的宽度； (2)已知该工艺品的成本是40元/件，若以100元/件销售，则每天可售出200件．为了让顾客得到优惠，该公司决定降价销售该工艺品，根据销售经验，销售单价每降低1元，每天可多售出20件，则当该公司把销售单价降低多少元时，每天所获利润为12000元? 23．综合与实践 如本题图1，在左边托盘中放置一个固定的重物，在右边托盘中放置一定质量的砝码（可左右移动），可使得仪器左右平衡．改变托盘与点的距离，记录相应的托盘中的砝码质量，得到如下表： 托盘与点的距离 10 15 20 25 30 托盘中的砝码质量 30 20 15 12 10 (1)依据实验得出，与的对应点，请您在本题图2中画出函数图像，并求出函数表达式； (2)当砝码质量为时，求托盘与点的距离； (3)当托盘向左移动时，为使得仪器在移动前后均保持左右平衡，托盘中的砝码质量需增加至移动前的两倍，求在移动前托盘中的砝码质量． 24．如图，O为坐标原点，四边形为矩形，，，点P在边上以每秒1个单位长的速度由点C向点B运动，同时点Q在边上以每秒a个单位长的速度由点A向点B运动，运动时间为t秒（）． (1)P的坐标是 ；Q的坐标是 ；（用含字母a，t的式子表示） (2)若反比例函数图象经过P点、Q点，求a的值； (3)当Q点运动到中点时，是否存在a使为直角三角形？若存在，求出a的值；若不存在，请说明理由． 25．某校数学活动小组在一次活动中，对一个数学问题作如下探究． 【问题探究】 （1）如图1，在正方形中，E是边上一点，连接，于点G，交于点．求证：． 【延伸应用】 （2）如图2，在菱形中，E是边上一点，连接是上一点，的延长线交于点F，且，（1）中结论是否仍然成立，请说明理由． 【类比迁移】 （3）如图3，在矩形中，，，M是的中点，E是上一点，交于点F，交于点N，连接，交于点G，若，求． 1 / 6 学科网（北京）股份有限公司 $ 2025-2026学年九年级数学上学期第三次月考卷 提升卷·全解全析 （考试时间：120分钟 试卷满分：120分） 注意事项： 1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。 3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。 4．测试范围：北师大版九年级上册第一章~第六章。 一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，共30分） 1．在下列函数中，y是x 的反比例函数的是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了反比例函数的定义，一般地，形如且k是常数的函数叫做反比例函数．根据反比例函数的定义，即可判断． 【详解】解：A、，y是x的反比例函数，故该选项符合题意； B、，y不是x的反比例函数，故该选项不符合题意； C、，y不是x的反比例函数，故该选项不符合题意； D、，y不是x的反比例函数，故该选项不符合题意； 故选：A． 2．下列线段能成比例线段的是（    ） A．、、、 B．1cm、、、4cm C．、、、1cm D．、、、 【答案】B 【分析】本题考查了成比例线段．依次对每组的四条线段长度按从小到大顺序排列好，然后分别计算前两项的比值和后两项的比值，如果两个比值相等，则说明四条线段成比例，否则不成比例． 【详解】解：A、，故四条线段是不成比例线段，不符合题意； B、，故四条线段是成比例线段，符合题意； C、，故四条线段是不成比例线段，不符合题意； D、，故四条线段是不成比例线段，不符合题意； 故选：B． 3．如图是一个螺母的示意图，它的俯视图是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了简单几何体的三视图，从上面看得到的图形是俯视图．根据从上面看得到的图形是俯视图，可得答案． 【详解】解：从上面看该零件的示意图是一个正六边形，中间有一个圆且无圆心， 故选：B． 4．下面语句叙述正确的是（   ） A．在大量重复试验中，某个事件发生的频率就是这个事件发生的概率． B．如果从一批小麦种子中随机抽取10粒，做发芽试验，结果有9粒发芽，则这批种子发芽率就是90%； C．掷一枚质地均匀的硬币，正面朝上的概率是0.5； D．因为掷一枚质地均匀的硬币，正面朝上的概率是0.5，所以，投掷100次，硬币正面朝上的次数一定有50次； 【答案】C 【分析】本题考查了概率与频率的基本概念，结合理论概率与实际试验结果的关系进行判断即可，掌握相关知识是解题的关键． 【详解】解：A、大量重复试验中，频率会稳定在概率附近，但频率不等于概率，故选项不符合题意； B、样本容量太小，试验结果可能具有偶然性，无法准确推断总体发芽率，故选项不符合题意； C、掷一枚质地均匀的硬币，正面朝上的概率是0.5，正确，故选项符合题意； D、因为掷一枚质地均匀的硬币，正面朝上的概率是0.5，所以，投掷100次，硬币正面朝上的次数不一定有50次，故选项不符合题意； 故选：C． 5．关于反比例函数，下列说法中错误的是（    ） A．时，随的增大而减小 B．当时， C．当时，有最小值为 D．它的图象位于第一、三象限 【答案】C 【分析】本题考查反比例函数的性质，包括图象所在象限、增减性及函数值范围． 根据可知图象位于第一、三象限，且在每一象限内随的增大而减小逐项判断即可． 【详解】解：∵， ∴图象位于第一、三象限，D正确； ∵在每一象限内，随的增大而减小， ∴当时，随增大而减小，A正确； 当 时，；当 时，； ∵随增大而减小， ∴当 时，，B正确； 当时， ∵，随增大而减小， ∴当时，为最大值； 当x无限接近于0时，值无限小，无最小值，故C错误． 故选：C． 6．已知一元二次方程的两根为，则的值是（ ） A．2 B． C． D．3 【答案】D 【分析】本题考查一元二次方程根与系数的关系、代数式求值，解答的关键是熟知一元二次方程根与系数的关系：设一元二次方程的两个根为、，则，．据此求得，，进而代值求解即可． 【详解】解：∵一元二次方程的两根为， ∴，， ∴． 故选：D． 7．已知四边形是平行四边形，与相交于点O，下列结论正确的有（   ） ①当时，它是菱形； ②时，它是菱形； ③当时，它是矩形； ④当时，它是正方形． A．4个 B．3个 C．2个 D．1个 【答案】B 【分析】本题考查菱形、矩形、正方形的判定定理，熟练掌握其判定定理是解题的关键．利用菱形、矩形、正方形的判定定理逐一判断各结论． 【详解】解：∵四边形是平行四边形， ①当时，邻边相等，∴它是菱形，正确； ②当时，对角线互相垂直，∴它是菱形，正确； ③当时，有一个角是直角，∴它是矩形，正确； ④当时，对角线相等，∴它是矩形，但不一定是正方形，错误。 ∴正确的有①②③，共3个 故选：B． 8．达州市要组织一次排球邀请赛，参赛的每个队之间都要比赛一场，根据场地和时间等条件，赛程计划安排天，每天安排场比赛．设比赛组织者应邀请个队参赛，则满足的关系式为（ ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了列一元二次方程，根据题意列方程即可． 【详解】解：设比赛组织者应邀请个队参赛， 每支球队都需要与其他球队比赛场，但是两队之间只有场比赛， 则：． 故选：B． 9．如图，以点为位似中心，把放大到原来的2倍得到．以下说法中错误的是（   ） A． B．点，，三点在同一条直线上 C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了位似图形的性质，解题的关键是掌握位似图形的核心特征：对应图形相似、对应点连线过位似中心、对应边平行、位似比等于相似比． 根据位似图形的性质，逐一验证各选项是否符合“相似、对应点共线、对应边平行、位似比与线段比的关系”，进而判断错误选项． 【详解】解：A、位似图形一定是相似图形，故，结论正确，此选项不符合题意； B、位似图形中对应点与位似中心共线，故点，，三点在同一直线上，结论正确，此选项不符合题意； C、以为位似中心，放大到原来的2倍，位似比为，则，故，结论错误，此选项符合题意； D、位似图形的对应边互相平行，故，结论正确，此选项不符合题意； 故选：C． 10．如图，在正方形中，边长为6，点，分别是，边上的点，且，平分，连接，分别交，于点，．点是的中点，连接．下列结论其中正确的有（   ）个． ①； ②； ③垂直平分； ④； ⑤的面积为． A．2 B．3 C．4 D．5 【答案】C 【分析】由正方形的性质可得，，，证明，得出，，证明，得出，求出，结合题意可得垂直平分，，即可判断③；证明为的中位线，即可判断①；证明，即可判断④；由三角形内角和定理并结合三角形外角的定义及性质即可判断②；作于，则为等腰直角三角形，求出，再由与中线有关的三角形的面积计算即可判断⑤；从而得出答案． 【详解】解：∵四边形为正方形， ∴，，， 在和中， ， ∴， ∴，， ∵， ∴，即， 在和中， ， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴，即， ∵平分， ∴垂直平分，，故③正确； ∵点是的中点， ∴为的中位线， ∴，故①正确； ∵，， ∴， ∴， ∵， ∴，故④正确； ∵垂直平分， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∵，， ∴，故②正确； 如图，作于， ， 则为等腰直角三角形， ∴， ∴, ∵， ∴， ∵点是的中点， ∴，故⑤错误； 综上所述，正确的有①②③④，共个， 故选：C． 二、填空题（本大题共6小题，每小题3分，共18分） 11．已知反比例函数 ，当时，y随x的增大而减小，则k的取值范围是 ． 【答案】 【分析】本题主要考查了反比例函数的图象与性质，掌握反比例函数的性质是解题的关键． 反比例函数，当时，图象分布在一、三象限，在每个分支中，y随x的增大而减小；当时，图象分布在二、四象限，在每个分支中，y随x的增大而增大．据此列不等式求解即可． 【详解】解：根据题意，反比例函数，在时，y随x的增大而减小， 该反比例函数图象分布在第一象限，，解得：． 故答案为：． 12．若a，b为菱形的两条对角线的长，且a，b为一元二次方程的两个根，则菱形的周长为 ． 【答案】20 【分析】本题考查了根与系数的关系、菱形的性质以及勾股定理，利用根与系数的关系及勾股定理，求出菱形的边长是解题的关键． 利用根与系数的关系可得出，，进而可得出的值，利用勾股定理及菱形的性质，可求出菱形的边长，再利用菱形的周长计算公式，即可求出菱形的周长． 【详解】解：∵a、b为一元二次方程的两根， ∴，， ∴， ∴菱形的边长为， ∴菱形的周长为． 故答案为：20． 13．若函数与函数的图象交于两点，其中一个交点的坐标为，则另一个交点的坐标是 ． 【答案】 【分析】本题考查正比例函数与反比例函数的中心对称性，掌握相关知识是解决问题的关键．正比例函数 和反比例函数 （）的图象都关于原点对称，因此它们的交点也关于原点对称，据此解答即可． 【详解】解：正比例函数 和反比例函数 （）的图象都关于原点对称， ∴它们的交点也关于原点对称， ∵其中一个交点的坐标为， ∴另一个交点为 ． 故答案为：． 14．如图，，，延长交于，且，则的长 ． 【答案】 【分析】此题考查了平行线分线段成比例定理，作出辅助线是解题关键．过D作的平行线交于G，利用平行线分线段成比例定理解答即可． 【详解】解：过D作的平行线交于G， ∵，， ∴， ， ∴， ∵， ∴， ∴． 故答案为：． 15．如图，小明家的客厅有一张高0.8米（即米）的圆桌，圆桌的直径为1米，点处有一盏灯，圆桌在此灯光下的影子最外侧两点分别为、，以所在直线为轴，过点且垂直于轴的直线为轴建立平面直角坐标系，已知图中所有的点均在同一平面内，轴，米，点的坐标为，则点的坐标是 ． 【答案】 【分析】本题考查了中心投影，相似三角形的实际应用，由题意可推出；得出，进而得到 ，结合即可求解． 【详解】解：由题意得：轴， ∴ ∴， ， 即： 故答案为： 16．在矩形中，M为对角线和的交点，点N在边所在的直线上，且．当是直角三角形时，的长为 ． 【答案】4或或 【分析】本题考查矩形的性质、勾股定理，线段垂直平分线的性质与判定，分图1，图2和图3三种情况，利用勾股定理建立方程求解即可． 【详解】解：如图1，当时， ∵矩形的对角线交于点M， ∴， ∵，即， ∴； 如图2所示，当时，连接， ∵矩形的对角线交于点M， ∴，； ∵，即， ∴垂直平分， ∴； 在中，由勾股定理得， ∴， ∴； 如图3所示，当时，连接， 同理可得， ∴； 综上所述，的长为4或或， 故答案为：4或或． 三、解答题（第17，18，19，20题，每题6分；第21，22，23题，每题8分；第24，25题，每题12分；共9小题，共72分） 17．（1）解方程：； （2）已知是的三边长，且，的周长为81，求三边的长． 【答案】（1）；（2） 【分析】本题考查了解一元二次方程和比例的性质，解题的关键是熟练掌握解一元二次方程的常用方法以及比例的性质． （1）利用配方法求解即可； （2）利用设参数法求解即可． 【详解】（1）解： ∴； （2）∵设， ∴， ∵的周长为81， ∴， 解得， ∴． 18．中秋节前，某校举行“传经典，乐中秋”系列活动，九（1）班根据活动分别制作了编号为、、、的4张卡片（除编号和内容外，其余完全相同），将它们背面朝上洗匀后放在桌面上． 品月饼 讲故事 诵诗词 创美文 (1)若从4张卡片中随机选择一种，则选到“讲故事”卡片的概率为___________； (2)该班的小秋先从4张卡片中随机抽取1张，该班的小军再从余下的3张卡片中随机抽取1张、请用画树状图法或列表法，求小秋、小军两人中恰好有一人抽到“诵诗词”卡片的概率． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了等可能情形下的概率计算，对于结果数较少的采用列举法，而对于两次抽取问题采用列表或树状图；能画树状图法或列表法进行求解是解题的关键． （1）对结果进行列举，根据利用概率计算公式进行计算即可； （2）画树状图法或列表法，可得所有的结果，利用概率计算公式，进行计算即可； 【详解】（1）解：从4张卡片中随机选择一种有种结果，选到“讲故事”卡片有种结果， 选到“讲故事”卡片的概率为， 故答案为：； （2）解：列表如下 共有种等可能结果，小秋、小军两人中恰好有一人抽到“诵诗词”卡片的结果有种结果， ， 答：小秋、小军两人中恰好有一人抽到“诵诗词”卡片的概率为. 19．、是关于的一元二次方程的两个实数根． (1)求的取值范围； (2)若，求的值． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了一元二次方程的判别式，根与系数的关系，正确掌握相关性质内容是解题的关键． （1）根据题意，列式，再进行计算，即可作答． （2）先结合，整理得，根据根与系数的关系，得，再分别代入进行计算，即可作答． 【详解】（1）解：∵、是关于的一元二次方程的两个实数根， ∴， 即， 整理得， 解得； （2）解：∵， ∴， ∴， ∵、是关于的一元二次方程的两个实数根． ∴， ∵ ∴， ∴， ∴， 则， 解得， 由（1）得， ∴． 20．如图，在中，，线段的垂直平分线交于点，垂足为，交的延长线于点，连接． (1)求证：四边形是菱形； (2)连接，若，，求四边形的周长． 【答案】(1)见解析； (2)． 【分析】（1）先证明三角形全等得到，结合平行关系证得四边形是平行四边形，再根据垂直平分线性质证得邻边相等，从而证明是菱形． （2）利用直角三角形斜边中线性质求出，再用勾股定理求出，设菱形边长为，根据勾股定理列方程求解，进而求出周长． 【详解】（1）证明：∵是的垂直平分线， ∴，． ∵， ∴． 在和中， ， ∴． ∴． 又∵， ∴四边形是平行四边形． ∵是的垂直平分线， ∴． ∴平行四边形是菱形； （2）解：∵在中，，是中点， ∴． ∵， ∴． ∵， ∴在中，由勾股定理可得． ∵线段的垂直平分线交于点， ∴， 设，则， 在中，由勾股定理，可得 ， 解得． ∴菱形的周长为． 【点睛】本题主要考查了菱形的判定与性质、全等三角形的判定与性质、直角三角形的性质以及勾股定理，熟练掌握菱形的判定方法和勾股定理是解题的关键． 21．如图，是小亮晚上在广场散步的示意图，图中线段表示站立在广场上的小亮，线段表示直立在广场上的灯杆，点P表示照明灯的位置． (1)在小亮由B处沿所在的方向行走到达O处的过程中，他在地面上的影子长度的变化情况为 ； (2)请你在图中画出小亮站在处的影子； (3)当小亮离开灯杆的距离时，身高（AB）为的小亮的影长为，问当小亮离开灯杆的距离时，小亮的影长是多少m？ 【答案】(1)变短 (2)见解析 (3)小亮的影长是． 【分析】本题考查的是相似三角形的判定及性质，解答此题的关键是根据题意画出图形，构造出相似三角形，再根据相似三角形的性质解答． （1）根据光是沿直线传播的道理可知在小亮由B处沿所在的方向行走到达O处的过程中，他在地面上的影子长度的变化情况为变短； （2）连接并延长交直线于点E，则线段即为小亮站在处的影子； （3）根据灯的光线与人、灯杆、地面形成的两个直角三角形相似解答即可． 【详解】（1）解：因为光是沿直线传播的，所以当小亮由B处沿所在的方向行走到达O处的过程中，他在地面上的影子长度的变化情况为变短； 故答案为：变短； （2）解：如图所示，即为所求； ； （3）解：如图， 先设，则当时，， ∴，即， ∴米； 当米时，设小亮的影长是y米， ∴=， ∴， ∴． 即小亮的影长是． 22．如图，某公司将手工绘画的风景画安装上一个四周宽度相等的画框（空白部分），制成 一个矩形工艺品后，进行销售，该工艺品的长为，宽为． (1)若该工艺品中间的风景画的面积为，求画框（空白部分）的宽度； (2)已知该工艺品的成本是40元/件，若以100元/件销售，则每天可售出200件．为了让顾客得到优惠，该公司决定降价销售该工艺品，根据销售经验，销售单价每降低1元，每天可多售出20件，则当该公司把销售单价降低多少元时，每天所获利润为12000元? 【答案】(1)画框（空白部分）的宽度为 (2)该公司把销售单价降低元时，每天所获利润为12000元 【分析】本题考查了一元二次方程的应用，理解题意，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解此题的关键． （1）设画框（空白部分）的宽度为，根据矩形的面积公式列出一元二次方程，解方程即可得解； （2）设该公司把销售单价降低元时，每天所获利润为12000元，根据总利润单件利润销售量列出一元二次方程，解方程即可得解． 【详解】（1）解：设画框（空白部分）的宽度为， 由题意可得：， 解得：，， 当时，，不符合实际，舍去， ∴， ∴画框（空白部分）的宽度为； （2）解：设该公司把销售单价降低元时，每天所获利润为12000元， 由题意可得：， 整理可得：， 解得：（不符合题意，舍去），， 故该公司把销售单价降低元时，每天所获利润为12000元． 23．综合与实践 如本题图1，在左边托盘中放置一个固定的重物，在右边托盘中放置一定质量的砝码（可左右移动），可使得仪器左右平衡．改变托盘与点的距离，记录相应的托盘中的砝码质量，得到如下表： 托盘与点的距离 10 15 20 25 30 托盘中的砝码质量 30 20 15 12 10 (1)依据实验得出，与的对应点，请您在本题图2中画出函数图像，并求出函数表达式； (2)当砝码质量为时，求托盘与点的距离； (3)当托盘向左移动时，为使得仪器在移动前后均保持左右平衡，托盘中的砝码质量需增加至移动前的两倍，求在移动前托盘中的砝码质量． 【答案】(1)函数图像见解析， (2) (3) 【分析】本题考查了反比例函数的应用、描点法画函数图像，正确得出反比例函数解析式是解题的关键． （1）根据表格中的数据，描点，连线即可得函数图像．根据图象可得是关于的反比例函数，利用待定系数法求解即可； （2）当时，，求解即可； （3）设移动前托盘B中的砝码质量为，托盘B与点O的距离，利用反比例函数的性质建立方程，求解即可得出答案． 【详解】（1）解：描点并连线，函数图像如图所示． 由图像可得y与x之间是反比例函数关系， ∴设， ∵当时，， ∴， 解得， ∴y与x的函数关系式为：． （2）解：当时，代入得，， 解得， ∴当砝码质量为时，托盘B与点O的距离是． （3）解：设移动前托盘B中的砝码质量为，托盘B与点O的距离， 由题意得：， 解得． ∴在移动前托盘B中的砝码质量为． 24．如图，O为坐标原点，四边形为矩形，，，点P在边上以每秒1个单位长的速度由点C向点B运动，同时点Q在边上以每秒a个单位长的速度由点A向点B运动，运动时间为t秒（）． (1)P的坐标是 ；Q的坐标是 ；（用含字母a，t的式子表示） (2)若反比例函数图象经过P点、Q点，求a的值； (3)当Q点运动到中点时，是否存在a使为直角三角形？若存在，求出a的值；若不存在，请说明理由． 【答案】(1)； (2) (3)存在，a的值为 【分析】（1）由矩形的性质可得，，由题意可得，，即可得解； （2）由反比例函数的性质可得，计算即可得解； （3）由题意可得，，，，再分两种情况：①当时；②当时；分别利用相似三角形的性质计算即可得解． 【详解】（1）解：∵O为坐标原点，四边形为矩形，，， ∴，， ∵点P在边上以每秒1个单位长的速度由点C向点B运动，同时点Q在边上以每秒a个单位长的速度由点A向点B运动，运动时间为t秒（）， ∴，， ∴，； （2）解：∵反比例函数图象经过P点、Q点， ∴， ∴； （3）解：存在 理由：∵Q为的中点， ∴， 由题意可得：，， ∴， ①当时，则， ， ∵， ∴， ∴， 即， ∴， 整理得：， ∵， ∴此方程无解，即此种情况不存在； ②当时，则， ， ∵， ∴， 即， ∴， 解得， ∵， ∴， 即， 解得； 综上，存在a使为直角三角形，a的值为． 【点睛】本题考查了矩形的性质、反比例函数的性质、相似三角形的判定与性质，熟练掌握以上知识点并灵活运用 ，采用分类讨论的思想是解此题的关键． 25．某校数学活动小组在一次活动中，对一个数学问题作如下探究． 【问题探究】 （1）如图1，在正方形中，E是边上一点，连接，于点G，交于点．求证：． 【延伸应用】 （2）如图2，在菱形中，E是边上一点，连接是上一点，的延长线交于点F，且，（1）中结论是否仍然成立，请说明理由． 【类比迁移】 （3）如图3，在矩形中，，，M是的中点，E是上一点，交于点F，交于点N，连接，交于点G，若，求． 【答案】（1）见解析．（2）成立，见解析．（3）． 【分析】本题是四边形综合题，主要涉及全等三角形的判定与性质、相似三角形的判定与性质，正方形的性质以及勾股定理的应用，正确作出辅助线构造全等三角形是解题的关键． （1）利用正方形性质，证明，从而得出． （2）过点A作于点H，过点B作交延长线于点K，利用菱形性质、角度关系证明，得出． （3）过点N作交于点P，连接，，先证明，再结合矩形性质、线段关系，通过相似或全等推导的值． 【详解】（1）证明：四边形是正方形， ，， 即， ， ， ， ， ， ． （2）解：成立，理由如下： 如图，过点A作于点H，过点B作交延长线于点K， ， ， 四边形是菱形， ， ， ， ， ， ， ， ，且， ， ， ． （3）解：如图，过点N作交于点P，连接，， 四边形是矩形， ，， ， ， ， ， ， ， ， 是的中点， ， ，， ， ， 设，则， 在中，根据勾股定理，， ， 解得， ，，， ，， ， ，即， ， ， ， ， ， ． 1 / 15 学科网（北京）股份有限公司 $命学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 2025-2026学年九年级数学上学期第三次月考卷 提升卷·参考答案 一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，共30分） 题号 2 4 6 7 8 9 10 答案 A B B D B B C 二、填空题（本大题共6小题，每小题3分，共18分） 11.k>-2 12.20 13.（-1,-2026 14.20 1s(传o 16.4或2+2√5或2W2-2 三、解答题（第17,18,19,20题，每题6分；第21,22,23题，每题8分；第24,25题，每题12分； 共9小题，共72分) 17. 【详解】(1)解：x2+4x-2=0 x2+4x=2 x2+4x+4=6 (x+22=6 x+2=±V6 x1=V6-2,x2=-V6-2;3分 (2):设2-3-4=k, a b c .a=2k,b=3k,c=4k, :ABC的周长为81， .2k+3k+4k=81, 解得k=9, 1/10 命学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 .a=18,b=27,c=36.6分 18. 【详解】(1)解：从4张卡片中随机选择一种有4种结果，选到“B讲故事”卡片有1种结果， :选到“B讲故事”卡片的概率为4 故答案为：寻；2分 (2)解：列表如下 A B c D A （A,B (4,C) （A,D) B (B,A) (B,C) (B,D) (C,4 (C,B) (C,D) D (D,4 (D,B (D,C) 共有12种等可能结果，小秋、小军两人中恰好有一人抽到“C诵诗词”卡片的结果有6种结果， P=61 =122 答：小秋、小军两人中怡好有一人抽到“C诵诗词”卡片的概率为；6分 19. 【详解】(1)解：：x、:2是关于x的一元二次方程x2-2(m+1x+m2+2=0的两个实数根， :△=[-2(m+1)]-4x1xm2+2≥0， 即4m+1)2-4×m2+2≥0， 整理得8m-4≥0， 1 解得m之23分 (2)解：：x+1(x2+1=8, xx2+x+x2+1=8, Xx2+x1+x2=7, 2/10 命学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 :X1、x2是关于x的一元二次方程2-2(m+1)x+m2+2=0的两个实数根. x+x2= -2m+=2m+1,6-m+2=m㎡+2， 1 :XX2+x1+x2=7 m2+2+2(m+1=7, .m2+2m+4=7, .m2+2m-3=0, 则(m+3(m-1=0, 解得m1=-3,m2=1, 由(1)得m≥ 22' .m=1.6分 20. 【详解】(1)证明：：DE是AB的垂直平分线， .0A=0B,∠A0D=∠B0E=90°. :BEll AC, .∠OAD=∠OBE. 在△AOD和△BOE中， ∠OAD=∠OBE OA=OB ∠AOD=∠BOE .△AOD≌△BOE(ASA. .AD BE 又：BE‖AC, .四边形ADBE是平行四边形. :DE是AB的垂直平分线， .AD BD .平行四边形ADBE是菱形；3分 (2)解：：在RtAABC中，∠ACB=90°，O是AB中点， 3/10 命学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 .AB=20C. :0C=25, .AB=45. :BC=4, 在RtAABC中，由勾股定理可得AC=√AB2-BC2=(4V5)2-42=√64=8. :线段AB的垂直平分线交AC于点D, :AD =BD, 设AD=BD=x,则CD=AC-AD=8-x, 在RtABCD中，由勾股定理CD2+BC2=BD2,可得 (8-x)2+42=x2, 解得x=5 菱形ADBE的周长为4x=4×5=20.6分 21. 【详解】(1)解：因为光是沿直线传播的，所以当小亮由B处沿BO所在的方向行走到达O处的过程中， 他在地面上的影子长度的变化情况为变短； 故答案为：变短；2分 (2)解：如图所示，BE即为所求： ;4分 D (3)解：如图， 5分 77777 777777777 先设0P=x,则当0B=3.2m时，BE=1.6m, AE,即6 1.6_1.6 OP OE 3.2+1.61 .x=4.8米； 4/10 命学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 当0D=6米时，设小亮的影长是y米， DE CD DF+OD OP y1.6 6+y4.8' y=3. 即小亮的影长是3m.8分 22. 【详解】(1)解：设画框（空白部分）的宽度为xcm, 由题意可得：(32-2x)(20-2x=220, 解得：x=5,七=21， 当x=21时，20-2x=20-2×21=-22<0,不符合实际，舍去， ∴x=5, .画框（空白部分)的宽度为5cm;4分 (2)解：设该公司把销售单价降低y元时，每天所获利润为12000元， 由题意可得：(100-40-y)(200+20y)=12000, 整理可得：y2-50y=0, 解得：y1=0(不符合题意，舍去)，=50， 故该公司把销售单价降低50元时，每天所获利润为12000元.8分 23. 【详解】(1)解：描点并连线，函数图像如图所示 y/g 35 30 25 20 15 10 5101520253035x7cm 由图像可得y与x之间是反比例函数关系， 腔y其 :当x=10时，y=30, 5/10 命学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 :30=10 k 解得k=300, y与x的函数关系式为：y=-300 x>0).3分 (2)解：当=24时，代入得，24=300， 解得x=12.5, .当砝码质量为24g时，托盘B与点O的距离是12.5cm.5分 (3)解：设移动前托盘B中的砝码质量为mg,托盘B与点O的距离acm, 由题意得：ma=300,2ma-6=300, 解得m=25. 在移动前托盘B中的砝码质量为25g.…8分 24. 【详解】(1)解：：O为坐标原点，四边形OABC为矩形，A(10,0),C(0,8), .BC=0A=10,OC=AB=8, :点P在边BC上以每秒1个单位长的速度由点C向点B运动，同时点Q在边AB上以每秒a个单位长的速 度由点A向点B运动，运动时间为t秒(1>0)， .CP=t,AO=at, .P(1,8),Q10,at;4分 (2)解：：反比例函数y=”图象经过P点、Q点， .8t=10at, 4 a=写7分 （3)解：存在8分 理由：：Q为AB的中点， .OA=OB=4, 由题意可得：CP=t,AQ=at, PB=10-t, ①当∠OPQ=90°时，则∠B=∠0CP=90°， 6/10 命学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 p :∠OPC+∠COP=∠QPB+∠OPC=90°， .∠COP=∠QPB, :.△OPCn△PBQ, 即C0Cp PB BO 8= 10-14 整理得：t2-101+32=0, :△=100-128=-28<0， ·此方程无解，即此种情况不存在； ②当∠PQ0=90°时，则∠PBQ=∠OAQ=90°， PB C A :∠PQB+∠OQA=∠PQB+∠BPQ=90°， ∴.∠OQA=∠BP9, △QAO∽△PBQ 器品 .10-t4 410 解得1号 :AQ=4, ∴.at=4, 50=4, 7/10 命学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 解得a=0 1 综上，存在a使△OPQ为直角三角形，a的值为 10 。12分 25. 【详解】(1)证明：：四边形ABCD是正方形， AB=BC,∠ABE=∠C=90°， 即∠ABG+∠CBF=90°， :BF⊥AE, ∠AGB=90°， ∠ABG+∠BAE=90°， .∠BAE=∠CBF, :△ABE≌△BCF(SAS), AE=BF.…4分 (2)解：成立，理由如下： 如图，过点A作AH⊥BC于点H,过点B作BK⊥CD交DC延长线于点K, A D F AH⊥BC,BK⊥CD, E ∠AHE=∠BKF=90°， 四边形ABCD是菱形， .AD∥BC,BC=CD, LGAD=∠AEB, :∠AGF+∠D=180°， LGAD+∠GFD=180°， :∠GFC+∠GFD=180°， ∠GAD=∠GFC, .∠AEB=∠GFC, :S菱形ABCD=AH·BC=BK.CD,且BC=CD, 8/10 命学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 .AH =BK .△AHE≌△BKF(AAS), AE=BF.8分 (3)解：如图，过点N作NP‖BE交CD于点P,连接BM,DF, M A 四边形ABCD是矩形， ∠A=∠ADC=∠C=90°，ABIICD, .MN⊥BE, ∠BFM=∠EFM=90°， :LMFD+LEFD=∠MDF+∠EDF=90°， .DE=EF, ∠EFD=LEDF, ∠MFD=∠MDF, .MF MD, :M是AD的中点， .MA MD MF, :∠A=∠BFM=90°，BM=BM, :Rt△ABM≌Rt△FBM(HL), :AB FB=6, 设DE=EF=x,则CE=CD-DE=6-x,BE=BF+EF=6+x. 在RtABCE中，根据勾股定理，BC2+CE2=BE2, 82+(6-x)2=(6+x)2, 8 解得x=3' 33,BE=26 DE=EF=3,CE=6-810 31 :∠BFN=∠C=90°，∠FBN=∠CBE, ∴△FBN∽△CBE, 9/10 命学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 BF BN 6 BN BC BE, 即826， 3 BW= 2, NPI BE, EP BN NG PE EC BC'DG DE 13 E 2 10=8 3 EP=65 24, 65 NG_PE_24-65 DGDE=8=64·l2分 3 10/10