第11讲 数列讲义-2026届高三数学一轮复习

该高中数学高考复习讲义聚焦数列专题，整合等差等比数列的通项公式、求和方法及性质应用，按知识核心、考点分类（真题、通项、求和、检测）构建系统体系，通过考点梳理、方法指导、真题训练帮助学生突破难点，体现复习的系统性与针对性。 讲义突出数学思维培养，创新采用构造法（如待定系数法构建等比数列）、裂项相消对称保留等解题策略，结合2025年真题详解与分层练习，帮助学生在有限时间内提升逻辑推理与运算能力，为教师把控复习节奏、学生高效备考提供有力支撑。

第11讲 数列 知识核心一、通项公式 1、求和与通项的关系，递推作差： 2、等差中项：若叫做与的等差中项，则 3、等差通项公式：或 4、等差数列的四种判断方法 （1）定义法： （大题的证明方法） （2）等差中项法： （小题的隐藏表达） （3）通项公式： （看做一次函数） （4）前项和公式： （看做关于的二次函数，不含常数项） 5、等差的下角标性质：若，则 （下角标性质） 6、等差前项和性质： 设等差数列,则，，，,…也是等差数列 7、等比通项公式： （看做指数型函数） 8、等比中项：若叫做与的等比中项，则 9、等比的下角标公式：若，则 10、等比数列前项和的性质： 数列，，，,…组成公比为（）的等比数列. 知识核心二、求和公式 1、公式法求和 （1）等差Sn＝＝na1＋d； （2）等比Sn＝＝. 2、裂项相消求和【对称保留】 （1） ； （2） ；【有理化】 （3） 【配凑法】 3、递推作差；递推作商求通项【通用于所有数列】 前项和为：； 前项积为：； 4、构造法求通项 （1）用待定系数法构造等比数列 形如的数列，可设为，即可求得 （2）用同除法构造等差数列 ①形如，可通过两边同除以，将它转化为，即可求得. ②形如，两边同除以，变形为的形式，即可求得. （3）倒数法 形如，通过两边取倒，变形为，即：，即可求得 （4）形如an＋1＝an＋f（n），求通项常用累加法；形如an＋1＝anf（n），求通项常用累乘法 考点一、真题【明确题型、知晓运算量】 1、（2025全国二卷）记为等差数列的前n项和，若则（   ） A． B． C． D． 2、（2025北京）已知是公差不为零的等差数列，，若成等比数列，则（   ） A． B． C．16 D．18 3．（2025天津），则数列的前项和为（   ） A．112 B．48 C．80 D．64 4．（2025全国二卷多选）记为等比数列的前n项和，为的公比，若，则（   ） A． B． C． D． 5．（2025全国一卷）若一个等比数列的各项均为正数，且前4项和为4，前8项和为68，则该等比数列的公比为 . 6．（2025全国一卷）设数列满足， （1）证明：为等差数列；（2）设，求． 【详解】（1）由题意证明如下，，在数列中，，， ∴，即，∴是以为首项，1为公差的等差数列. （2）由题意及（1）得，，在数列中，首项为3，公差为1， ∴，即，在中， ， ∴，当且时， ∴， ∴；∴ . 7．（2023新课标Ⅰ卷）记为数列的前项和，设甲：为等差数列；乙：为等差数列，则（    ） A．甲是乙的充分条件但不是必要条件 B．甲是乙的必要条件但不是充分条件 C．甲是乙的充要条件 D．甲既不是乙的充分条件也不是乙的必要条件 8．（2024全国甲卷）记为等差数列的前项和，已知，，则（    ） A． B． C． D． 9．（2023全国乙卷）已知为等比数列，，，则 . 10．（2023全国甲卷）设等比数列的各项均为正数，前n项和，若，，则（    ） A． B． C．15 D．40 11．（2021全国甲卷）记为等比数列的前n项和.若，，则（    ） A．7 B．8 C．9 D．10 12．（2023新课标Ⅱ卷）记为等比数列的前n项和，若，，则（    ）． A．120 B．85 C． D． 13．（2025天津），则数列的前项和为（   ） A．112 B．48 C．80 D．64 14．（2023天津）已知数列的前n项和为，若，则（    ） A．16 B．32 C．54 D．162 15．（2023新课标Ⅰ卷）设等差数列的公差为，且．令，记分别为数列的前项和． （1）若，求的通项公式；（2）若为等差数列，且，求． 16．（2021浙江）已知数列的前n项和为，，且. （1）求数列的通项； （2）设数列满足，记的前n项和为，若对任意恒成立，求实数的取值范围. 【详解】（1）当时，，， 当时，由①，得②，①②得 ，又是首项为，公比为的等比数列， ； （2）由，得， 所以， ， 两式相减得 ， 所以，由得恒成立， 即恒成立，时不等式恒成立； 时，，得；时，，得；所以. 17．（2024上海）若． （1）过，求的解集； （2）存在使得成等差数列，求的取值范围． 18．（2021全国乙卷）记为数列的前n项和，为数列的前n项积，已知． （1）证明：数列是等差数列；（2）求的通项公式． 19．（2023全国乙卷）记为等差数列的前项和，已知． （1）求的通项公式；（2）求数列的前项和． 20．（2024全国甲卷）已知等比数列的前项和为，且. （1）求的通项公式；（2）求数列的前n项和. 21．（2023新课标Ⅱ卷）已知为等差数列，，记，分别为数列，的前n项和，，． （1）求的通项公式；（2）证明：当时，． 22．（2021新高考全国Ⅰ卷）已知数列满足， （1）记，写出，，并求数列的通项公式；（2）求的前20项和. 23．（2022新高考全国Ⅰ卷）记为数列的前n项和，已知是公差为的等差数列． （1）求的通项公式；（2）证明：． 24．（2023全国甲卷）设为数列的前n项和，已知． （1）求的通项公式；（2）求数列的前n项和． 25．（2024全国甲卷）记为数列的前项和，已知． （1）求的通项公式；（2）设，求数列的前项和． 考点二、通项公式 1、（2024高三全国）已知，，则通项公式 . 2．（2025高三全国）若数列是首项为1，公比为3的等比数列，则数列的通项公式是 . 3．（2024高三全国）在数列中，，，该数列的通项公式为 . 4．（2024四川德阳）已知数列满足，且对任意，有，则 . 5【例】．（25-26高三下河南）已知数列满足，，则（    ） A． B． C． D． 6．（25-26高三上内蒙古）在数列中，，则 ． 7．（2024黑龙江一模）数列中，，当时，，则数列的通项公式为 . 8【例】．（25-26高三下安徽马鞍山）已知数列满足，则的最小值为 ． 9【例】．（2024高三全国）已知数列满足，且，则的通项公式为（    ） A． B． C． D． 10．（24-25高三上福建）已知数列的首项，且满足，则的值为（    ） A． B． C． D． 11【例】．（2024广东一模）已知为正项数列的前项的乘积，且，则（    ） A．16 B．32 C．64 D．128 12【例】．（2024高三全国）已知数列满足，且，则数列的通项公式为 ． 13．（2024高三全国）已知数列的前项和为，且，则 . 14．（2024江苏南京）已知数列满足，则数列的通项公式为 ． 15．（24-25高三上宁夏）已知数列中，，，，为数列的前项和，则数列的通项公式 ； . 16【例】．（2024高三）在数列中，已知对任意正整数n，有，则（  ） A． B． C． D． 17．（2024高三）已知数列的前n项的和为，．当时，，则（    ） A． B．1006 C．1007 D．1008 18．（24-25高三上重庆）已知数列的首项，前n项和，满足，则（    ） A． B． C． D． 19．（24-25高三）已知正项数列的前项和为，且，则（    ） A．4049 B．4047 C．2025 D．2024 20．（2024贵州贵阳三模）设数列的前项之积为，满足，则（    ） A． B．4049 C． D． 21【例】．（2024高三）已知数列的前项和为，若，则数列的通项公式 . 22．（24-25高三上）设为数列的前项和，若，则数列的通项公式 . 23．（2024高三全国）已知数列的前n项和为，且满足，，则 . 24．（24-25高三）已知数列满足，则的通项公式为 . 25．（2024河南一模）已知数列为等差数列，，则（    ） A．19 B．22 C．25 D．27 26．（2025广西南宁）在等差数列中，若，则 . 27．（2025全国）已知为等比数列，，，则 . 28．（2024湖北荆州三模）若实数成等差数列，成等比数列，则= . 29．（2024陕西）已知在正项等比数列中，，且成等差数列，则（    ） A．157 B．156 C．74 D．73 30．（2024四川）数列是等比数列，若，是的两个根，则 的值为（   ） A． B． C． D． 31．（2024广东深圳）设是等差数列的前n项和，若，则 ． 32．（2024陕西西安）已知等差数列和的前n项和分别为和，且，则 ． 33．（2024广东佛山）设等差数列，的前项和分别为，，若对任意正整数都有，则（    ） A． B． C． D． E．均不是 考点三、求和公式 1【例】（2024全国）记为数列的前项和，已知． （1）求的通项公式；（2）设，求数列的前项和． 2．（2023全国）设为数列的前n项和，已知． （1）求的通项公式；（2）求数列的前n项和． 3．（2024全国二模）已知数列的前n项和为，且，. （1）求数列的通项公式；（2）求数列的前n项和为. 4．（2024陕西渭南）已知各项均为正数的数列的前项和为,且. （1）求的通项公式；（2）若,求数列的前项和. 5．（25-26江苏苏州期末）已知数列的前项和为，且（）． （1）求的通项公式；（2）记，求数列的前项和． 6．（2024山东烟台三模）在数列中，已知，. （1）求数列的通项公式；（2）若，为数列的前n项和，证明：. 7．（2024安徽合肥三模）设数列的前项和为，已知，是公差为2的等差数列． （1）求的通项公式；（2）若，设数列的前项和，求证：． 8.（25-26安徽安庆）已知数列中，，数列是等比数列，且公比. （1）求数列的通项公式；（2）设，记数列的前n项和为，求. 9.（25-26湖北）已知等差数列的前项和为，且 （1）求数列的通项公式；（2）设，求数列的前项和为． 【详解】（1）设等差数列的首项为，公差为． 因为，所以， 化简得，所以所以数列的通项公式为； （2），整理得， 所以， 整理得 10．（24-25高三上江苏）已知数列前项和为，满足. （1）求数列的通项公式；（2）若，求数列的前100项和. 11．（24-25高三上江苏）已知等差数列的首项，且满足. （1）求数列的通项；（2）若，记数列的前项的和为，求满足的最小整数. 12．（2024安徽合肥三模）设数列的前项和为，已知，是公差为2的等差数列． （1）求的通项公式；（2）若，设数列的前项和，求证：． 13．（2024高三全国）已知数列中，，求数列的前n和． 14．（25-26高三上江苏无锡）已知数列满足． （1）设，写出； （2）证明数列为等比数列； （3）求数列的前项和． 【详解】（1）已知，因为，所以.当时，，即.   当时，.先求，因为为偶数，. 再求，因为为奇数，，即.当时，. 先求，因为为偶数，. 再求，因为为奇数，，即. （2）由可得. 所以. 则. 又. 所以数列是以为首项，为公比的等比数列. （3）由（2）可知，则. . 因为，. 所以. 即. 由等比数列求和公式可得. 所以. 15.（24-25高三下四川）设等差数列的前n项和为，且，（为常数） （1）求a的值； （2）求的通项公式； （3）若，求数列的前n项和 16、（24-25黑龙江）设是等比数列的公比大于0，其前n项和为，是等差数列，已知，，，. （1）求，的通项公式 （2）设，数列的前n项和为，求并证明. 17．（24-25高三上浙江杭州）已知是等差数列的前项和，且. （1）写出等差数列的通项公式和求和公式. （2）求； （3）若，记数列前项和为 裂项求和 18.（24-25高三下四川）设等差数列的前n项和为，且，（为常数） （1）求a的值； （2）求的通项公式； （3）若，求数列的前n项和 19.（24-25黑龙江）设是等比数列的公比大于0，其前n项和为，是等差数列，已知，，，. （1）求，的通项公式 （2）设，数列的前n项和为，求并证明. 20.（24-25高三上浙江）数列满足：． （1）求数列的通项公式； （2）设，为数列的前项和，若恒成立，求实数的取值范围． 21．（24-25高三下江苏扬州）已知数列中，，为数列的前n项和，满足 （1）证明数列是等比数列，并求数列的通项公式； （2）设，求数列的前n项和 22．（24-25高三下湖南）已知数列的前项和． （1）求的通项公式； （2）若，求数列的前项和． 【详解】（1）当时：已知，那么，所以. 当时：， 先展开式子. 则，所以. 当时，，上式也成立.所以. （2）已知，把代入可得： . 可以发现相邻两项相加为，除了第一项中的和最后一项中的. 所以. 23．（24-25高三上浙江杭州）已知是等差数列的前项和，且. （1）写出等差数列的通项公式和求和公式. （2）求； （3）若，记数列前项和为 24．（24-25湖南）已知函数，点在曲线 上，且 ． （1）求证：数列为等差数列； （2）设，记 ，求 ． 25．（24-25高三下广东）已知等差数列满足，是关于的方程的两个根. （1）求； （2）设求数列的前项和． 错位相减 26．（2025新疆二模）已知数列的前项和为，且是等差数列，，． （1）求的通项公式；（2）记，求． 27．（24-25高三下山西）数列满足． （1）求证：数列是等比数列；（2）求数列的前项和． 28.（24-25高三下山西）数列满足． （1）求证：数列是等比数列； （2）求数列的前项和． 29．（24-25高三下云南）等比数列中，，． （1）求的通项公式；（2）设，求数列的前项和． 并项求和法 30．（24-25高三上福建）记为数列的前项和，已知. （1）求，并证明是等差数列；（2）求. 【详解】（1）已知，当时，； 当时，，所以. 因为①，所以②. ②-①得，，整理得， 所以（常数），， 所以是首项为6，公差为4的等差数列. （2）由（1）知，.所以 . 31．（24-25高三上浙江）已知正项数列的前项和为，且. （1）求数列的通项公式； （2）设，求数列前项的和. 【详解】（1）①当时，或（舍去）， ②当时，，， 上述两式相减，整理得，又， 所以，所以是以3为首项，公差为4的等差数列， . （2）由（1）知， 所以，. 32．（24-25高三下湖南）已知数列的前项和． （1）求的通项公式；（2）若，求数列的前项和． 倒序相加法 33．（2024上海模拟）已知，数列的前项和为，点均在函数的图象上. （1）求数列的通项公式； （2）若，令，求数列的前2024项和. 奇偶数列问题 1、常见类型 ①，求的值；则 ②，求的值 （1）n为奇数时，有个奇数项，有个偶数项，则 （2）n为偶数时，有个奇数项，有个偶数项，则 2、其他类型：含有类型 34．（24-25高三下甘肃）已知正项数列的前n项和为，且满足． （1）求的通项公式； （2）若，求数列的前n项和． 35．（24-25高三下山西）数列满足． （1）求证：数列是等比数列； （2）求数列的前项和． 并项求和法 并项求和法：一个数列的前n项和中，可两两结合求解，则称之为并项求和． 36．（24-25高三上福建）记为数列的前项和，已知. （1）求，并证明是等差数列； （2）求. 37．（24-25高三上浙江）已知正项数列的前项和为，且. （1）求数列的通项公式； （2）设，求数列前项的和. 38．（24-25高三下湖南）已知数列的前项和． （1）求的通项公式； （2）若，求数列的前项和． 考点四、自我检测 1．（2025陕西汉中三模）已知等差数列的前项和为，若，则（   ） A．30 B．40 C．60 D．120 2．（2025江苏南通三模）在等比数列中，，，则（   ） A．36 B． C． D．6 4．（2025山西吕梁三模）已知等差数列的公差，则（   ） A．4 B．3 C．2 D．1 5．（2025辽宁大连三模）已知正项等比数列的前项和为，若，则（    ） A．16 B．32 C．27 D．81 6．（2025湖南岳阳三模）已知为正项等比数列的前项和，，，则（    ） A．2 B．3 C．4 D．6 8．（2025山东临沂三模）在数列中，已知，，则（    ） A． B． C． D． 9．（2025河南三门峡三模）已知数列的前n项和是，若，，则（    ） A． B．1 C．2 D．3 10．（2025江苏苏州三模）已知数列满足，则（    ） A． B． C． D． 11．（2025广西河池二模多选）已知数列满足且，则下列说法正确的是（    ） A． B．数列是周期数列 C．是等差数列 D．数列的通项公式为 12．（2025四川成都三模多选）已知公差为1的等差数列满足成等比数列，则（    ） A． B．的前项和为 C．的前8项和为 D．的前50项和为 13．（2025广东多选）等差数列中，．记数列前项和为，下列选项正确的是（   ） A．数列的公差为2 B．取最小值时， C． D．数列的前10项和为50 14．（2025广东揭阳三模）已知正项等比数列满足，，，成等差数列，则其公比为 . 15．（2025河南许昌三模）设是等比数列的前项和，，，则 ． 16．（2025浙江二模）已知数列和满足，，，，则 . 17．（2025重庆）对于数列，若存在常数，使得对一切正整数，恒有成立，则称为有界数列.设数列的前项和为，满足，若为有界数列，则实数的取值范围 . 18．（2025广东广州三模）已知数列满足，，且对任意的，，都有. （1）设，求证：数列是等差数列，并求出其的通项公式； （2）求数列的通项公式； （3）若，求的前n项和. 19．（2025广东广州三模）已知公差不为零的等差数列和等比数列满足，且成等比数列，成等差数列. （1）求数列和的通项公式； （2）令，去掉数列中的第项，余下的项顺序不变，构成新数列，写出数列的前4项并求的前项和； 20.（2025贵州省高三）已知正项数列的前项和为， （1）求数列的通项公式； （2）设数列满足，求数列的前项和． 学科网（北京）股份有限公司1 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $ 第11讲 数列 知识核心一、通项公式 1、求和与通项的关系，递推作差： 2、等差中项：若叫做与的等差中项，则 3、等差通项公式：或 4、等差数列的四种判断方法 （1）定义法： （大题的证明方法） （2）等差中项法： （小题的隐藏表达） （3）通项公式： （看做一次函数） （4）前项和公式： （看做关于的二次函数，不含常数项） 5、等差的下角标性质：若，则 （下角标性质） 6、等差前项和性质： 设等差数列,则，，，,…也是等差数列 7、等比通项公式： （看做指数型函数） 8、等比中项：若叫做与的等比中项，则 9、等比的下角标公式：若，则 10、等比数列前项和的性质： 数列，，，,…组成公比为（）的等比数列. 知识核心二、求和公式 1、公式法求和 （1）等差Sn＝＝na1＋d； （2）等比Sn＝＝. 2、裂项相消求和【对称保留】 （1） ； （2） ；【有理化】 （3） 【配凑法】 3、递推作差；递推作商求通项【通用于所有数列】 前项和为：； 前项积为：； 4、构造法求通项 （1）用待定系数法构造等比数列 形如的数列，可设为，即可求得 （2）用同除法构造等差数列 ①形如，可通过两边同除以，将它转化为，即可求得. ②形如，两边同除以，变形为的形式，即可求得. （3）倒数法 形如，通过两边取倒，变形为，即：，即可求得 （4）形如an＋1＝an＋f（n），求通项常用累加法；形如an＋1＝anf（n），求通项常用累乘法 考点一、真题【明确题型、知晓运算量】 1、（2025全国二卷）记为等差数列的前n项和，若则（   ） A． B． C． D． 【详解】设等差数列的公差为d，则由题可得 ， 所以.故选：B. 2、（2025北京）已知是公差不为零的等差数列，，若成等比数列，则（   ） A． B． C．16 D．18 【详解】设等差数列的公差为，因为成等比数列，且， 所以，即，解得或（舍去）， 所以.故选：C. 3．（2025天津），则数列的前项和为（   ） A．112 B．48 C．80 D．64 【详解】因为，所以当时，， 当时，，经检验，满足上式， 所以，令，， 设数列的前n项和为，则数列的前项和为数列的前项和为 .故选：C 4．（2025全国二卷多选）记为等比数列的前n项和，为的公比，若，则（   ） A． B． C． D． 【详解】对A，由题意得，结合，解得或（舍去），故A正确； 对B，则，故B错误；对C，，故C错误； 对D，，，则，故D正确；选AD. 5．（2025全国一卷）若一个等比数列的各项均为正数，且前4项和为4，前8项和为68，则该等比数列的公比为 . 【详解】法一：设该等比数列为，是其前项和，则，设的公比为， ，两式相除得，即， 则，所以，所以该等比数列公比为2.故答案为：. 6．（2025全国一卷）设数列满足， （1）证明：为等差数列；（2）设，求． 【详解】（1）由题意证明如下，，在数列中，，， ∴，即，∴是以为首项，1为公差的等差数列. （2）由题意及（1）得，，在数列中，首项为3，公差为1， ∴，即，在中， ， ∴，当且时， ∴， ∴；∴ . 7．（2023新课标Ⅰ卷）记为数列的前项和，设甲：为等差数列；乙：为等差数列，则（    ） A．甲是乙的充分条件但不是必要条件 B．甲是乙的必要条件但不是充分条件 C．甲是乙的充要条件 D．甲既不是乙的充分条件也不是乙的必要条件 【详解】方法1，甲：为等差数列，设其首项为，公差为， 则，因此为等差数列，则甲是乙的充分条件；反之，乙：为等差数列，即为常数，设为， 即，则，有， 两式相减得：，即，对也成立， 因此为等差数列，则甲是乙的必要条件，所以甲是乙的充要条件，C正确. 8．（2024全国甲卷）记为等差数列的前项和，已知，，则（    ） A． B． C． D． 【详解】由，则， 则等差数列的公差，故.故选：B. 9．（2023全国乙卷）已知为等比数列，，，则 . 【详解】设的公比为，则，显然， 则，即，则，因为，则， 则，则，则， 10．（2023全国甲卷）设等比数列的各项均为正数，前n项和，若，，则（    ） A． B． C．15 D．40 【详解】由题知, 即,即,即. 由题知,所以.所以.故选:C. 11．（2021全国甲卷）记为等比数列的前n项和.若，，则（    ） A．7 B．8 C．9 D．10 【详解】∵为等比数列的前n项和，，∴，，成等比数列 ∴，∴，∴.故选：A. 12．（2023新课标Ⅱ卷）记为等比数列的前n项和，若，，则（    ）． A．120 B．85 C． D． 方法二：设等比数列的公比为，因为，，所以，否则， 从而，成等比数列，所以有，，解得：或， 当时，，即为，易知，，即； 当时，，与矛盾，舍去．故选：C． 13．（2025天津），则数列的前项和为（   ） A．112 B．48 C．80 D．64 【详解】因为，所以当时，， 当时，， 经检验，满足上式，所以，令，， 设数列的前n项和为，则数列的前项和为 数列的前项和为 .故选：C 14．（2023天津）已知数列的前n项和为，若，则（    ） A．16 B．32 C．54 D．162 【详解】当时，，所以，即， 当时，，所以数列是首项为2，公比为3的等比数列， 则.故选：C. 15．（2023新课标Ⅰ卷）设等差数列的公差为，且．令，记分别为数列的前项和． （1）若，求的通项公式；（2）若为等差数列，且，求． 【详解】（1），，解得，， 又，， 即，解得或（舍去），. （2）为等差数列，，即， ，即，解得或，，， 又，由等差数列性质知，，即， ，即，解得或（舍去） 当时，，解得，与矛盾，无解； 当时，，解得. 16．（2021浙江）已知数列的前n项和为，，且. （1）求数列的通项； （2）设数列满足，记的前n项和为，若对任意恒成立，求实数的取值范围. 【详解】（1）当时，，， 当时，由①，得②，①②得 ，又是首项为，公比为的等比数列， ； （2）由，得， 所以， ， 两式相减得 ， 所以，由得恒成立， 即恒成立，时不等式恒成立； 时，，得；时，，得；所以. 17．（2024上海）若． （1）过，求的解集； （2）存在使得成等差数列，求的取值范围． 【详解】（1）因为的图象过，故，故即（负的舍去）， 而在上为增函数，故， 故即，故的解集为. （2）有解，故， 因为，故，故在上有解， 由在上有解， 令，而在上的值域为，故即. 18．（2021全国乙卷）记为数列的前n项和，为数列的前n项积，已知． （1）证明：数列是等差数列；（2）求的通项公式． 【详解】（1）由已知条件知    ① 于是． ② 由①②得． ③； 又， ④ 由③④得．令，由，得．所以数列是以为首项，为公差的等差数列． （2）由（1）可得，数列是以为首项，以为公差的等差数列， ,,当n=1时，, 当n≥2时,,显然对于n=1不成立,∴. 19．（2023全国乙卷）记为等差数列的前项和，已知． （1）求的通项公式；（2）求数列的前项和． 【详解】（1）设等差数列的公差为，由题意可得，即，解得， 所以， （2）因为，令，解得，且， 当时，则，可得； 当时，则，可得 ；综上所述：. 20．（2024全国甲卷）已知等比数列的前项和为，且. （1）求的通项公式；（2）求数列的前n项和. 【详解】（1）因为,故， 所以即故等比数列的公比为， 故，故，故. （2）由等比数列求和公式得，所以数列的前n项和 . 21．（2023新课标Ⅱ卷）已知为等差数列，，记，分别为数列，的前n项和，，． （1）求的通项公式；（2）证明：当时，． 【详解】（1）设等差数列的公差为，而， 则， 于是，解得，， （2）方法1：由（1）知，，， 当为偶数时，，， 当时，，因此， 当为奇数时，， 当时，，因此，所以当时，. 22．（2021新高考全国Ⅰ卷）已知数列满足， （1）记，写出，，并求数列的通项公式；（2）求的前20项和. 【详解】解：（1）显然为偶数，则， 所以，即，且， 所以是以2为首项，3为公差的等差数列，于是． [方法二]：奇偶分类讨论由题意知，所以． 由（为奇数）及（为偶数）可知，数列从第一项起， 若为奇数，则其后一项减去该项的差为1， 若为偶数，则其后一项减去该项的差为2．所以，则． （2）[方法一]：奇偶分类讨论 ． 23．（2022新高考全国Ⅰ卷）记为数列的前n项和，已知是公差为的等差数列． （1）求的通项公式；（2）证明：． 【详解】（1）∵，∴,∴,又∵是公差为的等差数列， ∴,∴,∴当时，， ∴,整理得：,即, ∴ ，显然对于也成立，∴的通项公式； （2） ∴ 24．（2023全国甲卷）设为数列的前n项和，已知． （1）求的通项公式；（2）求数列的前n项和． 【详解】（1）因为，当时，，即； 当时，，即， 当时，，所以， 化简得：，当时，，即， 当时都满足上式，所以． （2）因为，所以， ， 两式相减得，， ，即，． 25．（2024全国甲卷）记为数列的前项和，已知． （1）求的通项公式；（2）设，求数列的前项和． 【详解】（1）当时，，解得． 当时，，所以即， 而，故，故，∴数列是以4为首项，为公比的等比数列，所以. （2）,所以 故；所以 ，. 考点二、通项公式 1、（2024高三全国）已知，，则通项公式 . 【详解】因为，即， 故，，，，， 以上各式相加得. 又，所以，而也适合上式，故. 2．（2025高三全国）若数列是首项为1，公比为3的等比数列，则数列的通项公式是 . 【详解】由题意可知，所以， 又满足上式，所以 . 3．（2024高三全国）在数列中，，，该数列的通项公式为 . 【详解】由题意，,且 ，当时， ．当时，也满足，故． 4．（2024四川德阳）已知数列满足，且对任意，有，则 . 【详解】依题意，，，，，……，， 上述个式子相加得. 5【例】．（25-26高三下河南）已知数列满足，，则（    ） A． B． C． D． 【详解】 6．（25-26高三上内蒙古）在数列中，，则 ． 【详解】因，故有，即得， 所以． 7．（2024黑龙江一模）数列中，，当时，，则数列的通项公式为 . 【详解】因为，，所以，，，…，， 累乘得，，，所以，， 由于，所以，，，显然当时，满足， 8【例】．（25-26高三下安徽马鞍山）已知数列满足，则的最小值为 ． 【详解】因为，所以，所以，因此数列是首项为，公比为的等比数列，所以，当时，， 因为时，，所以，因此当或时，取得最小值，为. 9【例】．（2024高三全国）已知数列满足，且，则的通项公式为（    ） A． B． C． D． 【详解】设，即，所以，解得，所以， 所以是首项为，公比为的等比数列，所以，所以． 10．（24-25高三上福建）已知数列的首项，且满足，则的值为（    ） A． B． C． D． 【详解】因为，，易知，所以，即， 又，所以，故是以为首项，为公差的等差数列，则，故， 所以.故选：A. 11【例】．（2024广东一模）已知为正项数列的前项的乘积，且，则（    ） A．16 B．32 C．64 D．128 【详解】由，得，于是，则， 两边取对数得，因此，数列是常数列， 则，即，所以，.故选：B 12【例】．（2024高三全国）已知数列满足，且，则数列的通项公式为 ． 【详解】将两边同时除以，得，即． 由等差数列的定义知，数列是以为首项，为公差的等差数列，所以，故． 13．（2024高三全国）已知数列的前项和为，且，则 . 【详解】因为，当时，，解得；当时，， 两式相减得，所以，即，所以数列是首项为，公比为的等比数列，所以，所以. 14．（2024江苏南京）已知数列满足，则数列的通项公式为 ． 【详解】数列中，，，显然，则有，即，而，因此数列是以2为首项，2为公比的等比数列，所以，即． 15．（24-25高三上宁夏）已知数列中，，，，为数列的前项和，则数列的通项公式 ； . 【详解】因为，，则，且， 可知数列是以首项为，公比为的等比数列，则，即， 可得， 所以. 16【例】．（2024高三）在数列中，已知对任意正整数n，有，则（  ） A． B． C． D． 【详解】由，得，∴． ∵，∴，∴，∴是以1为首项，4为公比的等比数列． ∴．故选：D． 17．（2024高三）已知数列的前n项的和为，．当时，，则（    ） A． B．1006 C．1007 D．1008 【详解】易知当时，，．两式相减得，即． 又，，即满足上式， 可得．故选：D． 18．（24-25高三上重庆）已知数列的首项，前n项和，满足，则（    ） A． B． C． D． 【详解】因为，所以，两式相减得， 所以，所以， 所以，所以，所以.故选：C. 19．（24-25高三）已知正项数列的前项和为，且，则（    ） A．4049 B．4047 C．2025 D．2024 【详解】当时，，即， 由数列为正项数列可知，，又，即数列是首项为2，公差为1的等差数列，即，则，当时，；所以. 20．（2024贵州贵阳三模）设数列的前项之积为，满足，则（    ） A． B．4049 C． D． 【详解】因为，所以， 所以，所以，所以是公差为的等差数列， 因为，所以，所以，所以， 21【例】．（2024高三）已知数列的前项和为，若，则数列的通项公式 . 【详解】由得，时，，两式相减得， 所以当时，是公比为3的等比数列，而，则， 由不满足上式得. 22．（24-25高三上）设为数列的前项和，若，则数列的通项公式 . 【详解】由，可得时，； 当时，． 此时，当时，，综上，可得． 23．（2024高三全国）已知数列的前n项和为，且满足，，则 . 【详解】因为，所以，所以，所以是等差数列，公差为3，又，所以，即. 24．（24-25高三）已知数列满足，则的通项公式为 . 【详解】数列中，，当时，， 两式相减得，解得，而，即满足上式， 所以的通项公式为. 25．（2024河南一模）已知数列为等差数列，，则（    ） A．19 B．22 C．25 D．27 【详解】根据等差数列性质，由可得，所以可得， 又可得，所以.故选：A 26．（2025广西南宁）在等差数列中，若，则 . 【详解】因为在等差数列中，有，所以由， 得，，又，所以.故答案为：24 27．（2025全国）已知为等比数列，，，则 . 【详解】设的公比为，则，显然， 则，即，则，因为，则， 则，则，则， 28．（2024湖北荆州三模）若实数成等差数列，成等比数列，则= . 实数成等差数列，则等差数列的公差为， 成等比数列，则， 由于等比数列奇数项同号，所以，所以，则. 29．（2024陕西）已知在正项等比数列中，，且成等差数列，则（    ） A．157 B．156 C．74 D．73 【详解】由等比中项性质知.由成等差数列，得，所以， 所以等比数列的公比，所以，所以.D. 30．（2024四川）数列是等比数列，若，是的两个根，则 的值为（   ） A． B． C． D． 【详解】若，是的两个根，则， 因为数列是等比数列，，.故选：C. 31．（2024广东深圳）设是等差数列的前n项和，若，则 ． 【详解】设数列的公差为，，，则 32．（2024陕西西安）已知等差数列和的前n项和分别为和，且，则 ． 【详解】因为等差数列和的前n项和分别为和，故可设， 所以，所以.故答案为：. 33．（2024广东佛山）设等差数列，的前项和分别为，，若对任意正整数都有，则（    ） A． B． C． D． E．均不是 【详解】由等差数列的等和性可得， .故选：C. 考点三、求和公式 1【例】（2024全国）记为数列的前项和，已知． （1）求的通项公式；（2）设，求数列的前项和． 【详解】（1）当时，，解得．当时，，所以即，而，故，故， ∴数列是以4为首项，为公比的等比数列，所以. （2）,所以 故所以 ，. 2．（2023全国）设为数列的前n项和，已知． （1）求的通项公式；（2）求数列的前n项和． 【详解】（1）因为，当时，，即；当时，，即， 当时，，所以， 化简得：，当时，，即， 当时都满足上式，所以． （2）因为，所以， ，两式相减得， ，，即，． 3．（2024全国二模）已知数列的前n项和为，且，. （1）求数列的通项公式；（2）求数列的前n项和为. 【详解】（1）因为，即，当时，解得或（舍去），当时，所以， 即，即，即，又，所以，即， 所以是以为首项，为公差的等差数列，所以. （2）由（1）可得，所以 . 4．（2024陕西渭南）已知各项均为正数的数列的前项和为,且. （1）求的通项公式；（2）若,求数列的前项和. 【详解】（1）当时,,解出,又,则； 当时,由两式相减得,两边同时除以 即,即, 利用上述等式有,, 因此,即,,当时,,满足,因此； （2）由（1）可知,,则,两边同时乘以得,, 错位相减得, 即整理得，. 5．（25-26江苏苏州期末）已知数列的前项和为，且（）． （1）求的通项公式；（2）记，求数列的前项和． 【详解】（1）令，得；因为（），所以（，）， 两式相减得（，）， 即．所以（，）， 所以，即，所以（，）， 又，符合上式，所以（）． （2）由（1）， 所以． 6．（2024山东烟台三模）在数列中，已知，. （1）求数列的通项公式；（2）若，为数列的前n项和，证明：. 【详解】（1）由可得，则，即， 故是以为首项，为公比的等比数列. 故，则，. （2）.易得，故. 又， 故.综上有 7．（2024安徽合肥三模）设数列的前项和为，已知，是公差为2的等差数列． （1）求的通项公式；（2）若，设数列的前项和，求证：． 【详解】（1）解：因为，所以， 又因为是公差为2的等差数列，所以，即， 当时，， 又由，适合上式，所以数列的通项公式为． （2）证明：由（1）知， 所以， 又由，所以关于单调递增，所以， 又因为，所以，所以． 8.（25-26安徽安庆）已知数列中，，数列是等比数列，且公比. （1）求数列的通项公式；（2）设，记数列的前n项和为，求. 【详解】（1）由题意知，，所以等比数列的首项为，公比为3， 故， （2）由（1）得，故 . 9.（25-26湖北）已知等差数列的前项和为，且 （1）求数列的通项公式；（2）设，求数列的前项和为． 【详解】（1）设等差数列的首项为，公差为． 因为，所以， 化简得，所以所以数列的通项公式为； （2），整理得， 所以， 整理得 10．（24-25高三上江苏）已知数列前项和为，满足. （1）求数列的通项公式；（2）若，求数列的前100项和. 【详解】（1）∵，∴时，， 两式相减得，即，， 又，即，所以，∴，也适用．∴； （2）由（1）， ∴． 11．（24-25高三上江苏）已知等差数列的首项，且满足. （1）求数列的通项；（2）若，记数列的前项的和为，求满足的最小整数. 【详解】（1）设公差为，方法1.，， ，. （2）由（1）知，. ，即，，. 12．（2024安徽合肥三模）设数列的前项和为，已知，是公差为2的等差数列． （1）求的通项公式；（2）若，设数列的前项和，求证：． 【详解】（1）解：因为，所以， 又因为是公差为2的等差数列，所以，即， 当时，， 又由，适合上式，所以数列的通项公式为． （2）证明：由（1）知， 所以， 又由，所以关于单调递增，所以， 又因为，所以，所以． 13．（2024高三全国）已知数列中，，求数列的前n和． 【详解】因为，则，两式相减作差可得， 所以，即， 累加可得， 又，当时，，所以， 即，设数列的前n和为，则 . 14．（25-26高三上江苏无锡）已知数列满足． （1）设，写出； （2）证明数列为等比数列； （3）求数列的前项和． 【详解】（1）已知，因为，所以.当时，，即.   当时，.先求，因为为偶数，. 再求，因为为奇数，，即.当时，. 先求，因为为偶数，. 再求，因为为奇数，，即. （2）由可得. 所以. 则. 又. 所以数列是以为首项，为公比的等比数列. （3）由（2）可知，则. . 因为，. 所以. 即. 由等比数列求和公式可得. 所以. 15.（24-25高三下四川）设等差数列的前n项和为，且，（为常数） （1）求a的值； （2）求的通项公式； （3）若，求数列的前n项和 【规范答题】【详解】（1）当时，， 当时，， 因为是等差数列，则时也应满足，即， 又，所以，解得； （2）由（1）得 （3）， 16、（24-25黑龙江）设是等比数列的公比大于0，其前n项和为，是等差数列，已知，，，. （1）求，的通项公式 （2）设，数列的前n项和为，求并证明. 【规范答题】（1）设的公比，因为，所以， 即，解得或（舍），所以. 设的公差为d，因为，，所以，， 所以，解得，所以． （2）， 所以 ， 因为n为正整数，所以，所以， 又因为数列单调递减，所以单调递增，所以，所以. 17．（24-25高三上浙江杭州）已知是等差数列的前项和，且. （1）写出等差数列的通项公式和求和公式. （2）求； （3）若，记数列前项和为 【详解】（1）, （2）设公差为，结合题设有，解得，故. （3）由（2）有， 故 . 裂项求和 18.（24-25高三下四川）设等差数列的前n项和为，且，（为常数） （1）求a的值； （2）求的通项公式； （3）若，求数列的前n项和 【规范答题】【详解】（1）当时，， 当时，， 因为是等差数列，则时也应满足，即， 又，所以，解得； （2）由（1）得 （3）， 19.（24-25黑龙江）设是等比数列的公比大于0，其前n项和为，是等差数列，已知，，，. （1）求，的通项公式 （2）设，数列的前n项和为，求并证明. 【规范答题】（1）设的公比，因为，所以， 即，解得或（舍），所以. 设的公差为d，因为，，所以，， 所以，解得，所以． （2）， 所以 ， 因为n为正整数，所以，所以， 又因为数列单调递减，所以单调递增，所以，所以. 20.（24-25高三上浙江）数列满足：． （1）求数列的通项公式； （2）设，为数列的前项和，若恒成立，求实数的取值范围． 【详解】（1）令 又① ② 由①②得到；即：， 经检验，也成立，故数列的通项公式 （2） 因为是单调递增数列，且 若恒成立，则，解得或，实数的取值范围为或． 21．（24-25高三下江苏扬州）已知数列中，，为数列的前n项和，满足 （1）证明数列是等比数列，并求数列的通项公式； （2）设，求数列的前n项和 【详解】（1）由题意，当时，，得， ，当时，，① ，② ①-②得，因为，所以则， ，，所以是以为首项，3为公比的等比数列. 所以，则 （2）由，则， 所以的前n项和 22．（24-25高三下湖南）已知数列的前项和． （1）求的通项公式； （2）若，求数列的前项和． 【详解】（1）当时：已知，那么，所以. 当时：， 先展开式子. 则，所以. 当时，，上式也成立.所以. （2）已知，把代入可得： . 可以发现相邻两项相加为，除了第一项中的和最后一项中的. 所以. 23．（24-25高三上浙江杭州）已知是等差数列的前项和，且. （1）写出等差数列的通项公式和求和公式. （2）求； （3）若，记数列前项和为 【详解】（1）, （2）设公差为，结合题设有，解得，故. （3）由（2）有，故 . 24．（24-25湖南）已知函数，点在曲线 上，且 ． （1）求证：数列为等差数列； （2）设，记 ，求 ． 【详解】（1）因为点在曲线上，所以，且 ， ，故数列是首项为1，公差为4的等差数列． （2）由（1）知，则．因为 ，所以， 则， 故． 25．（24-25高三下广东）已知等差数列满足，是关于的方程的两个根. （1）求； （2）设求数列的前项和． 【详解】（1）设等差数列的公差为.当时，是方程的两根， 由韦达定理得，①当时，是方程的两根， 由韦达定理得，② 由①②，解得； （2）由（1）知，所以，则，对于方程， 由韦达定理得，即， 所以， 所以 . 错位相减 26．（2025新疆二模）已知数列的前项和为，且是等差数列，，． （1）求的通项公式；（2）记，求． 【详解】（1）因为，所以当时，解得， 当时，解得，由可知，即， 因此数列是以2为首项，2为公比的等比数列，所以， 设等差数列的公差为， 则， 解得，又因为，故； （2）①， ②， ①-②，得，即． 27．（24-25高三下山西）数列满足． （1）求证：数列是等比数列；（2）求数列的前项和． 【详解】（1）因为，且，所以数列是等比数列． （2）由（1）得数列是等比数列，且公比， 所以，故． 所以． 故 , 令, , 两式相减得, 所以,即. 28.（24-25高三下山西）数列满足． （1）求证：数列是等比数列； （2）求数列的前项和． 【详解】（1）因为，且，所以数列是等比数列． （2）由（1）得数列是等比数列，且公比， 所以，故．所以． 故 , 令, , 两式相减得, 所以,即. 29．（24-25高三下云南）等比数列中，，． （1）求的通项公式；（2）设，求数列的前项和． 【详解】（1）等比数列中，， 所以公比，又得， 所以数列是以4为首项，为公比的等比数列，所以． （2），所以， 故， 所以 ，所以 并项求和法 30．（24-25高三上福建）记为数列的前项和，已知. （1）求，并证明是等差数列；（2）求. 【详解】（1）已知，当时，； 当时，，所以. 因为①，所以②. ②-①得，，整理得， 所以（常数），， 所以是首项为6，公差为4的等差数列. （2）由（1）知，.所以 . 31．（24-25高三上浙江）已知正项数列的前项和为，且. （1）求数列的通项公式； （2）设，求数列前项的和. 【详解】（1）①当时，或（舍去）， ②当时，，， 上述两式相减，整理得，又， 所以，所以是以3为首项，公差为4的等差数列， . （2）由（1）知， 所以，. 32．（24-25高三下湖南）已知数列的前项和． （1）求的通项公式；（2）若，求数列的前项和． 【详解】（1）当时：已知，那么，所以. 当时：， 先展开式子. 则，所以. 当时，，上式也成立.所以. （2）已知，把代入可得： . 可以发现相邻两项相加为，除了第一项中的和最后一项中的. 所以. 倒序相加法 33．（2024上海模拟）已知，数列的前项和为，点均在函数的图象上. （1）求数列的通项公式； （2）若，令，求数列的前2024项和. 【详解】（1）因为点均在函数的图象上，所以， 当时，，即，当时， ，因为满足上式，所以； （2）因为，所以， 因为，所以， 所以 ①， 又 ②， ①+②，得，所以. 奇偶数列问题 1、常见类型 ①，求的值；则 ②，求的值 （1）n为奇数时，有个奇数项，有个偶数项，则 （2）n为偶数时，有个奇数项，有个偶数项，则 2、其他类型：含有类型 34．（24-25高三下甘肃）已知正项数列的前n项和为，且满足． （1）求的通项公式； （2）若，求数列的前n项和． 【详解】（1）因为，所以，即， 又，所以，所以，即， 当时，，当时，也适合上式，所以． （2）由（1）知，则， 当n为偶数时，， 当n为奇数时，为偶数，，所以. 35．（24-25高三下山西）数列满足． （1）求证：数列是等比数列； （2）求数列的前项和． 【详解】（1）因为，且，所以数列是等比数列． （2）由（1）得数列是等比数列，且公比， 所以，故． 所以． 故 , 令, , 两式相减得 , 所以,即. 并项求和法 并项求和法：一个数列的前n项和中，可两两结合求解，则称之为并项求和． 36．（24-25高三上福建）记为数列的前项和，已知. （1）求，并证明是等差数列； （2）求. 【详解】（1）已知，当时，； 当时，，所以.因为①，所以②. ②-①得，，整理得， 所以（常数），， 所以是首项为6，公差为4的等差数列. （2）由（1）知，.所以 . 37．（24-25高三上浙江）已知正项数列的前项和为，且. （1）求数列的通项公式； （2）设，求数列前项的和. 【详解】（1）①当时，或（舍去）， ②当时，，， 上述两式相减，整理得，又， 所以，所以是以3为首项，公差为4的等差数列， . （2）由（1）知， 所以， . 38．（24-25高三下湖南）已知数列的前项和． （1）求的通项公式； （2）若，求数列的前项和． 【详解】（1）当时：已知，那么，所以. 当时：， 先展开式子. 则，所以. 当时，，上式也成立.所以. （2）已知，把代入可得： . 可以发现相邻两项相加为，除了第一项中的和最后一项中的. 所以. 考点四、自我检测 1．（2025陕西汉中三模）已知等差数列的前项和为，若，则（   ） A．30 B．40 C．60 D．120 【详解】因为为等差数列，故，故选：C. 2．（2025江苏南通三模）在等比数列中，，，则（   ） A．36 B． C． D．6 【详解】等比数列中，，， ，由于故，所以，故选：D． 4．（2025山西吕梁三模）已知等差数列的公差，则（   ） A．4 B．3 C．2 D．1 【详解】由等差数列通项公式可得：，已知，所以；. 将，代入可得：， 则，化简可得：，解得或. 因为已知公差，所以舍去，得到.故选：B. 5．（2025辽宁大连三模）已知正项等比数列的前项和为，若，则（    ） A．16 B．32 C．27 D．81 【详解】因为，则，所以， 因为，所以，所以或舍，所以.故选：C. 6．（2025湖南岳阳三模）已知为正项等比数列的前项和，，，则（    ） A．2 B．3 C．4 D．6 【详解】由题意，设正项等比数列的公比为，其中， 由等比数列的性质可知，由题干可得，即， 若，则，不合题意，故， 所以， 解得或（舍去），故.故选：C. 8．（2025山东临沂三模）在数列中，已知，，则（    ） A． B． C． D． 【详解】依题意，，则，而， 因此数列是以为首项，为公比的等比数列， 则，，所以当时，.故选：B. 9．（2025河南三门峡三模）已知数列的前n项和是，若，，则（    ） A． B．1 C．2 D．3 【详解】数列的前n项和是，若，， 则当时，， 两式相减可得， 当时，，解得， 当时，，解得故选：D. 10．（2025江苏苏州三模）已知数列满足，则（    ） A． B． C． D． 【详解】对于A，由，得，，则，A错误； 对于B，由，得，当时，，B错误； 对于CD，由，得，则， 即，则当时，， ，因此，，， ，而，C正确，D错误.故选：C 11．（2025广西河池二模多选）已知数列满足且，则下列说法正确的是（    ） A． B．数列是周期数列 C．是等差数列 D．数列的通项公式为 【详解】对于A，由，得，A正确； 对于BC，由，得， 则，数列是首项为，公差为的等差数列，B错误，C正确； 对于D，，则，解得，D正确.故选：ACD 12．（2025四川成都三模多选）已知公差为1的等差数列满足成等比数列，则（    ） A． B．的前项和为 C．的前8项和为 D．的前50项和为 【详解】对于A，因为成等比数列，所以，即，解得，故A正确； 对于B，的前项和为，故B正确； 对于C，因为， 所以的前8项和为，故C错误； 对于D，因为， 所以的前50项和为，故D正确.故选：ABD 13．（2025广东多选）等差数列中，．记数列前项和为，下列选项正确的是（   ） A．数列的公差为2 B．取最小值时， C． D．数列的前10项和为50 【详解】对A，设等差数列的公差为，则由题意知，解得，故A正确； 对B，，， 则当时，取最小值，故B错误； 对C，，，则，故C错误； 对D，数列的前10项和为，故D正确.故选：AD. 14．（2025广东揭阳三模）已知正项等比数列满足，，，成等差数列，则其公比为 . 【详解】设的公比为，又因为，，成等差数列， 所以，可得，解得或（舍去）.故答案为：3. 15．（2025河南许昌三模）设是等比数列的前项和，，，则 ． 【详解】设等比数列公比为，当时，，此时，与题意不符， 所以，由题意可得，解得， 由等比数列求和公式得． 16．（2025浙江二模）已知数列和满足，，，，则 . 【详解】因为，， 所以两式相减可得：，即. 所以数列是以为首项，为公差的等差数列， 故.故答案为：. 17．（2025重庆）对于数列，若存在常数，使得对一切正整数，恒有成立，则称为有界数列.设数列的前项和为，满足，若为有界数列，则实数的取值范围 . 【详解】因为， 所以 ， 因为，故数列为递增数列，故，故， 因为为有界数列，则，故，因此，实数的取值范围是. 18．（2025广东广州三模）已知数列满足，，且对任意的，，都有. （1）设，求证：数列是等差数列，并求出其的通项公式； （2）求数列的通项公式； （3）若，求的前n项和. 【详解】（1）由有， 所以，又，，解得， 又因为，即， 所以数列是以公差为3，首项为的等差数列， 所以， （2）由（1）有， 所以， 上式相加有， 所以，所以； （3）由（2）有，所以， 所以 ， 19．（2025广东广州三模）已知公差不为零的等差数列和等比数列满足，且成等比数列，成等差数列. （1）求数列和的通项公式； （2）令，去掉数列中的第项，余下的项顺序不变，构成新数列，写出数列的前4项并求的前项和； 【详解】（1）设等差数列的公差为，等比数列的公比为，由题意得： ， 又，，解得，所以，； （2）由（1）得，去掉第项后，前4项依次为3，9，81，243， ，综上，. 20.（2025贵州省高三）已知正项数列的前项和为， （1）求数列的通项公式； （2）设数列满足，求数列的前项和． 【详解】（1）由， 得当时，．两式相减得， 整理得，∴．当时，，解得． ∴是以7为首项，4为公差的等差数列，∴． （2）当，时，；当，时，，所以， ①， ②， ①减②得： ，∴． 学科网（北京）股份有限公司1 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $