第10讲 解三角形的范围 讲义-2026届高三数学一轮复习

该高中数学高考复习讲义聚焦解三角形范围问题，整合互余互补关系、内角关系、面积公式、边角关系等核心知识点，构建“知识梳理—方法提炼—真题演练”教学链条，通过考点分类（基本不等式法、三角函数法）和阶梯式例题训练，帮助学生系统掌握解题策略。 讲义突出数学思维与创新意识培养，采用“方法归类+素养落地”策略，如在基本不等式法中通过中线长问题训练建模能力，在三角函数法中结合锐角三角形条件强化逻辑推理。设置基础巩固到综合应用的分层练习，配合即时方法总结，助力学生高效突破难点，为教师把控复习节奏提供精准教学资源。

第10讲 解三角形（范围） 知识核心 1、互余关系：若互余， 2、互补关系：若互补，，， 3、三角形中的内角关系：，＝－ 4、三角形的面积公式 5、两角和与差关系：；； 6、辅助角公式 ，其中， 7、弧长公式：；面积公式：；周长公式： 8、基本不等式链： 9、三角形中的边角关系 （1） 任意两边之和大于第三边，任意两边之差小于第三边 （2） 在三角形中，大边对大角，小边对小角 （3） 在三角形中的等价关系： 10、两大基本关系 （1）平方关系：；拓展：；；1+sin2α＝（sinα+cosα）2 （2）商数关系：； 拓展：tan＝＝ 知识点：积化和差、和差化积公式 1、积化和差 2、和差化积 考点一、基本不等式法 1．（2025·广东一模）在中，. （1）求的大小；（2）若是边的中点，且，求面积的最大值. 【详解】（1），，由正弦定理可得，， ，，，即，即； （2）依题意，，，，，即，即，当且仅当时，等号成立，即，面积的最大值为. 2．（2025·四川南充）在中，. （1）求；（2）若，求周长的最大值. 【详解】（1）因为，由正弦定理可得，即， 由余弦定理，，. （2）因为，即， ，当时取等号， ，即，又，所以，当且仅当时取等号， 周长，即周长的最大值为 3．（2025高三下·全国）在中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，． （1）求A；（2）设，求周长的最大值． 【详解】（1）在中，由， 得，即， 由正弦定理得，由余弦定理得，又，所以. （2）由（1）知，，，又，则， 于是，当且仅当时取等号，所以周长的最大值为. 4．（2025·全国·模拟）已知的三个内角所对的边分别为，满足． （1）求角．（2）当面积的最大值为时，求的值． 【详解】（1）因为，所以由正弦定理，得，所以．由余弦定理，得， 所以，所以． 所以； （2）． 由余弦定理得，当且仅当时，等号成立，则的最大值为，所以，解得（负值舍去）． 5．（2025·四川·三模）三角形中，角的对边分别为，且 . （1）求；（2）若边上的中线长为2，求的最小值. 【详解】（1）由，得，即，所以，即，又，所以； （2）设的中点为，则，平方得，即，所以，当且仅当时取等号，由余弦定理得，因为，所以，即的最小值为，当且仅当时取等号. 6．（2025·四川·三模）在中，内角，，的对边分别为，，，且满足. （1）求；（2）若的面积为，为的中点，求的最小值. 【详解】（1）因为 ， 由正弦定理可得， 又，，故，，所以，又，故. （2），又， 在中，由余弦定理， ，当且仅当时取等号，的最小值为． 7．（2025·陕西模拟）在中， （1）求；（2）设为边的中点，，求线段长度的最大值. 【详解】（1）由，得（*）.因为，所以， 由正弦定理，得，代入（*）得，. 由正弦定理，得，由余弦定理的推论，得. （2）由余弦定理，得，即， 所以，当且仅当时等号成立，故得.又，两边平方可得， ，所以，即线段长度的最大值为. 8．（2025·全国·模拟）已知的内角，，所对的边分别为，，，，． （1）求角； （2）设是的高，求的最大值． 【详解】（1）由及，得， 又，，所以，得，因为，所以． （2）由余弦定理得，则， 得，当且仅当时取等号，所以， 得，故的最大值为． 9．（2025·江苏模拟）在中，点在边上，且满足. （1）求证：； （2）若，，求的面积的最小值. 【详解】（1） 在中，由，得，在中，由，得， 因为，所以，所以，因为，所以，又因为，，且，所以. （2）因为，所以， 所以，因为，所以，所以， 由（1）知，则，因为，所以，又，所以；因为，所以，所以，当且仅当时等号成立，所以的面积的最小值为. 10．（2025·安徽淮北二模）记的内角的对边分别为，已知 （1）试判断的形状；（2）若，求周长的最大值. 【详解】（1）解：由，可得，所以，即，所以，又由余弦定理得，可得，所以，所以是直角三角形 （2）解：由（1）知，是直角三角形，且，可得， 所以周长为，因为，可得， 所以，当时，即为等腰直角三角形，周长有最大值为. 考点二、三角函数法 1．（2025·湖南衡阳）在中，内角所对的边分别为，已知向量满足，，且． （1）求角；（2）若是锐角三角形，且，求周长的取值范围． 【详解】（1）解：∵，∴，即. 由正弦定理得.∵，∴，∵，∴或. （2）∵，为锐角三角形，∴.∴.∴，， .又∵为锐角三角形，∴， ∴，得，.∴，，∴，又∵，∴.∴的周长的取值范围为. 2．（2025·贵州一模）记的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知． （1）求A；（2）若为锐角三角形，，求b的取值范围． 【详解】（1）， 则，即，而，于是，又，所以. （2）由（1）知，，由正弦定理得， 由为锐角三角形，得，解得，则，，则， 3．（2025·全国·模拟）记锐角三角形的内角的对边分别为，已知． （1）求的大小．（2）若的面积为，求的取值范围． 【详解】（1），得．整理，得．由余弦定理知，则，所以．又，所以． （2）由（1）可知，，则．因为为锐角三角形，所以解得． 由正弦定理，得，所以．因为的面积为，所以，所以．易知 ． 又，所以，则，所以， 所以．因为，所以，故的取值范围为． 4．（2025·上海二模）在中，角、、的对边分别为、、，． （1）求角，并计算的值； （2）若，且是锐角三角形，求的最大值． 【详解】（1）由，得，则，又，所以或. 当时，；当时，. （2）若为锐角三角形，则，有，解得. 由正弦定理，得，则，所以，其中，又，所以，则，故当时，取到最大值1，所以的最大值为. 5．（2025·广东一模）已知在中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，且． （1）求A；（2）若外接圆的直径为，求的取值范围． 【详解】（1）由可得：，所以， 所以， ， ，由正弦定理可得， 因为，所以，所以，因为，所以. （2）由正弦定理可得，所以， 故，又，所以， 所以，又，所以，所以，所以的取值范围为. 6．（2025·湖北武汉）已知锐角的三内角的对边分别是，且， （1）求角的大小；（2）如果该三角形外接圆的半径为，求的取值范围． 【详解】（1），由余弦定理可得， 化简整理得，又，，又，所以. （2）因为三角形外接圆半径为，所以，， ，由（1）得， 所以 ，因为是锐角三角形，且， 所以，，，，即.所以的取值范围为. 7．（2025·宁夏一模）在锐角中，内角的对边分别是，且． （1）求证：；（2）求的取值范围． 【详解】（1）因为，所以，则，由正弦定理可得，即，所以，又，故，由，故； （2）由（1）得，因为， 所以由正弦定理得，又锐角中，有，解得，所以，则，所以，即，故的取值范围为. 8．（2025·浙江二模）在锐角中，内角所对的边分别为，，，满足，且A≠C. （1）求证：；（2）已知是的平分线，若，求线段长度的取值范围. 【详解】（1）由题意得，由正弦定理得， 因为A≠C，则，即，可得，整理得， 由余弦定理得，整理得，由正弦定理得， 故，整理得，又因为为锐角三角形，则，可得，所以，即. （2）在中，由正弦定理得，所以， 因为为锐角三角形，且，所以，解得. 故，所以.因此线段长度的取值范围. 9．（2025·贵州一模）已知的内角，，的对边分别为，，．若． （1）求角；（2）若，求边上的高的取值范围． 【详解】（1）在中，由正弦定理及，得， 即有，而，，即，， 因此，，所以． （2）令边上的高为，由，得， 由（1）知，，即，则，所以边上的高的取值范围是. 10．（2025·吉林·二模）已知 的三个内角的对边分别为的外接圆半径为，且 . （1）求；（2）求的内切圆半径的取值范围 【详解】（1）由正弦定理可得，，即， 所以，由可知，，所以，故. （2）因为的内切圆半径 ，所以， 即，又因为，所以，所以， 由正弦定理，又，则，所以，故，所以. 11．（2025·全国·模拟）记的内角的对边分别是，已知． （1）证明：；（2）若为锐角三角形，求的取值范围． 【详解】（1）因为 ，所以， 由正弦定理得，即； （2）因为为锐角三角形，所以，得， 由（1）知， 故得所以，由正弦定理知，所以的取值范围为． 12．（2025江苏南京）在中，所对的边分别为，已知. （1）若，求的值； （2）若是锐角三角形，求的取值范围． 【详解】（1）在中，，据余弦定理可得又，故，由于，故，得. （2）在中，据余弦定理可得，又，故，又，故据正弦定理，可得，， ，，因为，所以， 则或，即或（舍） 所以，， 因为是锐角三角形，所以，得， ，故，故， 13．（2025·江苏宿迁三模）在中，角所对的边分别为．若，且边上的中线长为，则（    ） A． B．的取值范围为 C．面积的最大值为 D．周长的最大值为 【答案】AB【详解】对于A，由，所以, 所以，由正弦定理可得，因为，, 可得，化简得，又，.故A正确； 对于B，设，，，根据题意，，， ，化简得，则， ，当且仅当时等号成立，又，， ，，即，故B正确；   对于C，由B，可得，故C错误；对于D略 14．（2025·广东揭阳·三模）(1)证明：； 【详解】（1）因为， ，相加得，得证. 学科网（北京）股份有限公司1 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $ 第10讲 解三角形（范围） 知识核心 1、互余关系：若互余， 2、互补关系：若互补，，， 3、三角形中的内角关系：，＝－ 4、三角形的面积公式 5、两角和与差关系：；； 6、辅助角公式 ，其中， 7、弧长公式：；面积公式：；周长公式： 8、基本不等式链： 9、三角形中的边角关系 （1） 任意两边之和大于第三边，任意两边之差小于第三边 （2） 在三角形中，大边对大角，小边对小角 （3） 在三角形中的等价关系： 10、两大基本关系 （1）平方关系：；拓展：；；1+sin2α＝（sinα+cosα）2 （2）商数关系：； 拓展：tan＝＝ 11、知识点：积化和差、和差化积公式 1、积化和差 2、和差化积 考点一、基本不等式法 1．（2025·广东一模）在中，. （1）求的大小；（2）若是边的中点，且，求面积的最大值. 2．（2025·四川南充）在中，. （1）求；（2）若，求周长的最大值. 3．（2025高三下·全国）在中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，． （1）求A；（2）设，求周长的最大值． 4．（2025·全国·模拟）已知的三个内角所对的边分别为，满足． （1）求角．（2）当面积的最大值为时，求的值． 5．（2025·四川·三模）三角形中，角的对边分别为，且 . （1）求；（2）若边上的中线长为2，求的最小值. 6．（2025·四川·三模）在中，内角，，的对边分别为，，，且满足. （1）求；（2）若的面积为，为的中点，求的最小值. 7．（2025·陕西模拟）在中， （1）求；（2）设为边的中点，，求线段长度的最大值. 8．（2025·全国·模拟）已知的内角，，所对的边分别为，，，，． （1）求角； （2）设是的高，求的最大值． 9．（2025·江苏模拟）在中，点在边上，且满足. （1）求证：； （2）若，，求的面积的最小值. 10．（2025·安徽淮北二模）记的内角的对边分别为，已知 （1）试判断的形状；（2）若，求周长的最大值. 考点二、三角函数法 1．（2025·湖南衡阳）在中，内角所对的边分别为，已知向量满足，，且． （1）求角；（2）若是锐角三角形，且，求周长的取值范围． 2．（2025·贵州一模）记的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知． （1）求A；（2）若为锐角三角形，，求b的取值范围． 3．（2025·全国·模拟）记锐角三角形的内角的对边分别为，已知． （1）求的大小．（2）若的面积为，求的取值范围． 4．（2025·上海二模）在中，角、、的对边分别为、、，． （1）求角，并计算的值； （2）若，且是锐角三角形，求的最大值． 5．（2025·广东一模）已知在中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，且． （1）求A；（2）若外接圆的直径为，求的取值范围． 6．（2025·湖北武汉）已知锐角的三内角的对边分别是，且， （1）求角的大小；（2）如果该三角形外接圆的半径为，求的取值范围． 7．（2025·宁夏一模）在锐角中，内角的对边分别是，且． （1）求证：；（2）求的取值范围． 8．（2025·浙江二模）在锐角中，内角所对的边分别为，，，满足，且A≠C. （1）求证：；（2）已知是的平分线，若，求线段长度的取值范围. 9．（2025·贵州一模）已知的内角，，的对边分别为，，．若． （1）求角；（2）若，求边上的高的取值范围． 10．（2025·吉林·二模）已知 的三个内角的对边分别为的外接圆半径为，且 . （1）求；（2）求的内切圆半径的取值范围 11．（2025·全国·模拟）记的内角的对边分别是，已知． （1）证明：；（2）若为锐角三角形，求的取值范围． 12．（2025江苏南京）在中，所对的边分别为，已知. （1）若，求的值； （2）若是锐角三角形，求的取值范围． 13．（2025·江苏宿迁三模）在中，角所对的边分别为．若，且边上的中线长为，则（    ） A． B．的取值范围为 C．面积的最大值为 D．周长的最大值为 14．（2025·广东揭阳·三模）(1)证明：； 学科网（北京）股份有限公司1 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $