第9讲 平面向量与三角函数 讲义-2026届高三数学一轮复习

该高中数学高考复习资料围绕平面向量与三角函数核心考点，按知识内在逻辑整合向量概念、共线定理、坐标运算及三角函数定义、公式、图像性质和解三角形定理，通过考点系统梳理、方法规律总结、真题分层训练的教学环节，帮助学生构建知识网络，突破向量共线、三角恒等变换等难点，体现复习的系统性与针对性。 资料注重“数学眼光”“数学思维”培养，如结合帆船视风风速真题引导学生从实际情境抽象向量关系，通过三角函数图像变换题训练公式推理与逻辑分析能力。设置基础巩固到综合应用的分层练习，配合即时反馈，助力学生在有限时间内提升解题效率，同时为教师提供清晰的复习进度把控方案，有效提升学生应考能力与教师教学指导价值。

第9讲 平面向量与三角函数 知识核心 【一】平面向量 1．向量的有关概念 （1）单位向量：长度等于1个单位的向量 （2）平行向量：方向相同或相反的非零向量，又叫共线向量，规定：0与任一向量平行 （3）相反向量：长度相等且方向相反的向量 2.向量共线定理 向量b与非零向量a共线的充要条件是有且只有一个实数λ，使得b＝λa. （1）若＝λ＋μ（λ，μ为常数），则A，B，C三点共线的充要条件是λ＋μ＝1. （2）P为线段AB的中点⇔＝（＋） 3.向量的坐标运算 （1） 两点间的向量坐标公式： ，， （2） 向量的加减法 ，， （3） 向量的数乘运算 ，则： （4） 向量的模 ，则的模 （5） 相反向量 已知，则；已知 （6） 单位向量 （7） 向量的平行关系 ，，； 【二】三角函数 1. 扇形的弧长、周长及面积公式 扇形的弧长 扇形的面积 2. 三角函数的定义 ，， 3. 三角函数在各象限内的符号 4. 特殊角的三角函数值 5. 两角互余的三角函数关系 互余，， 已知，则： 6. 两角互补的三角函数关系 互补，，， 已知，则：， 7. 常见三角不等式 若，则； 8. 同角三角函数的基本关系 平方关系：；商数关系： 9. 诱导公式 （1） 诱导方法：奇变偶不变，符号看象限 奇偶指的是或中的奇偶， 若为奇数，变函数名；， 若为偶数，不变函数名；，， 象限指的是原函数名的象限，再判断符号 规定：无论角多大，看作第一象限角（锐角） （2） 诱导公式 ， ， ， ， ，， ，， ，， ，， 【三】两角公式 1. 正弦的和差公式 ； 2. 余弦的和差公式 ； 3. 正切的和差公式 ； 4. 正弦的倍角公式 5. 余弦的倍角公式&升降幂公式： 6. 正切的倍角公式 7. 辅助角公式 ，，其中， 【四】图像 8. 三角函数的图象与性质 9.三角函数的伸缩平移变换 决定函数的周期，； 若↗，↘，横坐标缩短；若↘，↗，横坐标伸长；与横坐标的伸缩变换成反比 【五】正弦定理 1.基本公式： （为外接圆的半径） 2.变形 ① ② ③ 3.应用：边角互化 ① ② ③ 4.三角形的面积公式 【六】余弦定理 5.边的余弦定理 ，， 6.角的余弦定理 ，， 【七】常用结论 7.三角形中三个内角的关系 ，， 8.角平分线定理 在中，为的角平分线，则有 9.中线长定理 为的中线,则中线定理: 证明：在和中，用余弦定理有： 考点一、平面向量 1．（2025·全国一卷）帆船比赛中，运动员可借助风力计测定风速的大小和方向，测出的结果在航海学中称为视风风速，视风风速对应的向量，是真风风速对应的向量与船行风速对应的向量之和，其中船行风速对应的向量与船速对应的向量大小相等，方向相反.图1给出了部分风力等级、名称与风速大小的对应关系.已知某帆船运动员在某时刻测得的视风风速对应的向量与船速对应的向量如图2（风速的大小和向量的大小相同），单位（m/s），则真风为（   ） 等级 风速大小m/s 名称 2 1.1~3.3 轻风 3 3.4~5.4 微风 4 5.5~7.9 和风 5 8.0~10.1 劲风 A．轻风 B．微风 C．和风 D．劲风 2．（2025·全国二卷）已知平面向量若，则 3．（2025·长沙二模）已知平面向量满足，则（   ） A．-2 B．2 C．-4 D．4 4．（2025·河南·三模）若点A在点O的正北方向，点B在点O的南偏西方向，且，则向量表示（    ） A．从点O出发，朝北偏西方向移动 B．从点O出发，朝北偏西方向移动 C．从点O出发，朝北偏西方向移动2km D．从点O出发，朝北偏西方向移动2km 5．（2025·湖南·三模）若向量满足，且，则的夹角为（    ） A． B． C． D． 6．（2025·江苏苏州·三模）在平面直角坐标系xOy中，已知点，若点满足，则（    ） A．-3 B．0 C．1 D．4 7．（2025·吉林·三模多选）已知向量，，若，则可能为（   ） A． B． C． D． 8．（2025·贵州黔南·三模）已知向量，且在方向的投影向量为，则（   ） A．若，则 B．若，则 C．若，则 D．若，则 9．（2025·甘肃三模）已知向量，其中，为单位向量，且，则 . 10．（2025·衡水三模）已知向量，，若且，则的最小值为 . 11.（2024·山东青岛·二模）已知向量，，则在上的投影向量为（   ） A． B． C． D． 12.（2024·山东菏泽）在平面直角坐标系中，，点在直线上，则在上的投影向量为（    ） A． B． C． D． 考点2、三角函数 1．（2025·全国二卷·高考真题）已知，，则（   ） A． B． C． D． 2．（2025·全国一卷·高考真题）若点是函数的图象的一个对称中心，则a的最小值为（   ） A． B． C． D． 3．（2025·上海·高考真题）函数在上的值域为 ． 4．（2025·全国二卷·高考真题）已知函数． （1）求;（2）设函数，求的值域和单调区间． 5．（2025·哈尔滨三模）已知点是角终边上的一点，则（    ） A． B．1 C． D． 6．（2025·南京二模）把函数图象上所有点的横坐标变为原来的倍（纵坐标不变），再将图象上所有的点向右平移个单位长度，得到函数的图象，则（   ） A． B． C． D．. 7．（2025·广东二模）若，则（    ） A． B． C． D． 4．（2025·四川成都·三模）已知，则（    ） A． B． C． D． 5．（2025·湖北十堰·三模）已知，，则（    ） A． B． C． D． 6．（2025·哈尔滨三模）已知为锐角，，则（   ） A． B． C． D． 7．（2025·湖南三模）已知，，则（    ） A．2 B．1 C． D． 8．（2025·长沙三模）将函数的图象向左平移个单位得到的函数图象关于轴对称，则的值可以为（    ） A． B．1 C．2 D．5 9．（2025·天津二模）已知函数，，则下列描述正确的是（   ） A．的最小正周期是 B．在上单调递增 C．是的一条对称轴 D．的最大值是 10．（2025·广东广州·一模）已知，则 ． 11．（2025·浙江·三模）已知，且满足，则，则 ． 12．（2025·湖南长沙·二模）若函数为奇函数，则 ． 13．（2025·四川巴中·二模）已知函数在区间上的最小值为，则的取值范围为 . 14．（2025·湖北襄阳·二模）已知函数. （1）求的单调递减区间； （2）将函数的图象向右平移个单位后得到的图象，当函数在上有一个零点时，求k的取值范围. 15．（2025·山西·三模）已知． （1）求函数的最小正周期及单调递增区间； （2）设，若函数和在有相同的最大值，求的取值范围． 考点3、解三角 1．（2025·全国二卷·高考真题）在中，，，，则（   ） A． B． C． D． 2．（2025·天津·高考真题）在中，角的对边分别为．已知，，． (1)求A的值；(2)求c的值；(3)求的值． 3．（2023·全国·高考真题）在中，内角的对边分别是，若，且，则（    ） A． B． C． D． 4．（2024·湖南永州·三模）已知在中，角，，所对的边分别为，，，且，，则 . 5．（2024·四川）设的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，若，则 ． 6．（2024·全国·高考）记的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知． (1)求A．(2)若，，求的周长． 7．（2024·江西九江）在中，角所对的边分别为，已知，则（    ） A． B． C． D． 8．（2024·河北沧州）记的内角的对边分别为，若，且，则 . 9．（2023·北京·高考）在中，，则（    ） A． B． C． D． 10．（2023·全国·高考）在中，，的角平分线交BC于D，则 ． 11．（2023·全国·高考）记的内角的对边分别为，已知． (1)求；(2)若，求面积． 12．（2021·安徽安庆·二模）在中，分别是，，的对边.若，且，则的大小是（    ） A． B． C． D． 13．（2024·合肥·一模）在中，内角的对边分别为，若，且，则（    ） A．1 B． C． D．2 14．（2025·四川广安·二模）已知的内角，，的对边分别为，，，若，，，则（    ） A．2 B． C． D． 15．（2025·山东枣庄）在中，内角的对边分别为，且，则（    ） A． B． C． D． 16．（2025·河北秦皇岛·三模）已知的内角所对的边分别为，若，则（   ） A． B． C． D． 17．（2025·河南二模）在中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，，则（     ） A． B． C． D． 18．（2025·哈尔滨二模）已知的内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，若，且，则的外接圆的面积为（    ） A． B． C． D． 19．（2025·湖南三模）在中，角，，所对的边分别为，，．已知，，且，则此的面积为（    ） A．176 B．88 C．44 D．22 20．（2025·北京大兴·三模）在中，内角，，所对的边分别为，，，角的角平分线交于点，且． (1)求； (2)若，且的面积为，角的角平分线为，求的长． 21.（2024·新课标Ⅰ卷·高考真题）记的内角A、B、C的对边分别为a，b，c，已知， (1)求B；(2)若的面积为，求c． 22．（2024·新课标Ⅱ卷·高考真题）记的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知． (1)求A．(2)若，，求的周长． 23（2023·新课标Ⅰ卷·高考真题）已知在中，． (1)求；(2)设，求边上的高． 24（2023·新课标Ⅱ卷·高考真题）记的内角的对边分别为，已知的面积为，为中点，且． (1)若，求；(2)若，求． 25（2022·新高考全国Ⅰ卷·高考真题）记的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知． (1)若，求B；(2)求的最小值． 26（2022·新高考全国Ⅱ卷·高考真题）记的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，分别以a，b，c为边长的三个正三角形的面积依次为，已知． (1)求的面积；(2)若，求b． 27．（2024·上海·三模）在中，且． (1)求的值；(2)若，求面积的最大值． 28．（2024·河北模拟）在锐角中，. (1)求；(2)若，求的面积取值范围. 1 学科网（北京）股份有限公司 $ 第9讲 平面向量与三角函数 知识核心 【一】平面向量 1．向量的有关概念 （1）单位向量：长度等于1个单位的向量 （2）平行向量：方向相同或相反的非零向量，又叫共线向量，规定：0与任一向量平行 （3）相反向量：长度相等且方向相反的向量 2.向量共线定理 向量b与非零向量a共线的充要条件是有且只有一个实数λ，使得b＝λa. （1）若＝λ＋μ（λ，μ为常数），则A，B，C三点共线的充要条件是λ＋μ＝1. （2）P为线段AB的中点⇔＝（＋） 3.向量的坐标运算 （1） 两点间的向量坐标公式： ，， （2） 向量的加减法 ，， （3） 向量的数乘运算 ，则： （4） 向量的模 ，则的模 （5） 相反向量 已知，则；已知 （6） 单位向量 （7） 向量的平行关系 ，，； 【二】三角函数 1. 扇形的弧长、周长及面积公式 扇形的弧长 扇形的面积 2. 三角函数的定义 ，， 3. 三角函数在各象限内的符号 4. 特殊角的三角函数值 5. 两角互余的三角函数关系 互余，， 已知，则： 6. 两角互补的三角函数关系 互补，，， 已知，则：， 7. 常见三角不等式 若，则； 8. 同角三角函数的基本关系 平方关系：；商数关系： 9. 诱导公式 （1） 诱导方法：奇变偶不变，符号看象限 奇偶指的是或中的奇偶， 若为奇数，变函数名；， 若为偶数，不变函数名；，， 象限指的是原函数名的象限，再判断符号 规定：无论角多大，看作第一象限角（锐角） （2） 诱导公式 ， ， ， ， ，， ，， ，， ，， 【三】两角公式 1. 正弦的和差公式 ； 2. 余弦的和差公式 ； 3. 正切的和差公式 ； 4. 正弦的倍角公式 5. 余弦的倍角公式&升降幂公式： 6. 正切的倍角公式 7. 辅助角公式 ，，其中， 【四】图像 8. 三角函数的图象与性质 9.三角函数的伸缩平移变换 决定函数的周期，； 若↗，↘，横坐标缩短；若↘，↗，横坐标伸长；与横坐标的伸缩变换成反比 【五】正弦定理 1.基本公式： （为外接圆的半径） 2.变形 ① ② ③ 3.应用：边角互化 ① ② ③ 4.三角形的面积公式 【六】余弦定理 5.边的余弦定理 ，， 6.角的余弦定理 ，， 【七】常用结论 7.三角形中三个内角的关系 ，， 8.角平分线定理 在中，为的角平分线，则有 9.中线长定理 为的中线,则中线定理: 证明：在和中，用余弦定理有： 考点一、平面向量 1．（2025·全国一卷）帆船比赛中，运动员可借助风力计测定风速的大小和方向，测出的结果在航海学中称为视风风速，视风风速对应的向量，是真风风速对应的向量与船行风速对应的向量之和，其中船行风速对应的向量与船速对应的向量大小相等，方向相反.图1给出了部分风力等级、名称与风速大小的对应关系.已知某帆船运动员在某时刻测得的视风风速对应的向量与船速对应的向量如图2（风速的大小和向量的大小相同），单位（m/s），则真风为（   ） 等级 风速大小m/s 名称 2 1.1~3.3 轻风 3 3.4~5.4 微风 4 5.5~7.9 和风 5 8.0~10.1 劲风 A．轻风 B．微风 C．和风 D．劲风 【详解】由题意及图得，视风风速对应的向量为：， 视风风速对应的向量，是真风风速对应的向量与船行风速对应的向量之和，船速方向和船行风速的向量方向相反，设真风风速对应的向量为，船行风速对应的向量为， ∴，船行风速：，∴， ，∴由表得，真风风速为轻风，故选：A. 2．（2025·全国二卷）已知平面向量若，则 【详解】，因为，则，则，解得. 则，则. 3．（2025·长沙二模）已知平面向量满足，则（   ） A．-2 B．2 C．-4 D．4 【详解】由，得，所以．故选：C 4．（2025·河南·三模）若点A在点O的正北方向，点B在点O的南偏西方向，且，则向量表示（    ） A．从点O出发，朝北偏西方向移动 B．从点O出发，朝北偏西方向移动 C．从点O出发，朝北偏西方向移动2km D．从点O出发，朝北偏西方向移动2km 【详解】以O为坐标原点，正东方向为x轴的正方向，正北方向为y轴的正方向，建立如图所示的平面直角坐标系，依题意可得， 设，因为，所以四边形OACB为菱形， 则，则为正三角形，所以， 故向量表示从点O出发，朝北偏西方向移动2km.；故选：C 5．（2025·湖南·三模）若向量满足，且，则的夹角为（    ） A． B． C． D． 【详解】∵，.∴，，，∴， 且，则，故选：B. 6．（2025·江苏苏州·三模）在平面直角坐标系xOy中，已知点，若点满足，则（    ） A．-3 B．0 C．1 D．4 【详解】设点，则，，所以，因为，所以，整理可得， 所以故选：A 7．（2025·吉林·三模多选）已知向量，，若，则可能为（   ） A． B． C． D． 【详解】，以为临边的平行四边形对角线相等，， ， ，，时，，故选：ACD． 8．（2025·贵州黔南·三模）已知向量，且在方向的投影向量为，则（   ） A．若，则 B．若，则 C．若，则 D．若，则 【详解】对于A，因为，故，故，故A错误； 对于B，因为，故，整理得， 故，故，故B正确； 对于C，由题设有在方向的投影向量为，故， 故即，故C错误，对于D，由C的分析可得，故，故D成立.选：BD. 9．（2025·甘肃三模）已知向量，其中，为单位向量，且，则 . 【详解】，同理， ，故， 10．（2025·衡水三模）已知向量，，若且，则的最小值为 . 【详解】由题意得，，， 因，则，则， 因，则，等号成立时，故的最小值为. 11.（2024·山东青岛·二模）已知向量，，则在上的投影向量为（   ） A． B． C． D． 【解析】依题意，，所以在上的投影向量为.故选：A 12.（2024·山东菏泽）在平面直角坐标系中，，点在直线上，则在上的投影向量为（    ） A． B． C． D． 【解析】根据题意，设点，则， 则在上的投影向量为.故选：C 考点2、三角函数 1．（2025·全国二卷·高考真题）已知，，则（   ） A． B． C． D． 【详解】， 因为，则，则， 则.故选：D. 2．（2025·全国一卷·高考真题）若点是函数的图象的一个对称中心，则a的最小值为（   ） A． B． C． D． 【详解】根据正切函数的性质，的对称中心横坐标满足， 即的对称中心是，即， 又，则时最小，最小值是，即.故选：B 3．（2025·上海·高考真题）函数在上的值域为 ． 【详解】由函数在上单调递增，在单调递减，且， 故函数在上的值域为. 4．（2025·全国二卷·高考真题）已知函数． （1）求;（2）设函数，求的值域和单调区间． 【详解】（1）由题意，所以； （2）由（1）可知，所以 ，所以函数的值域为， 令，解得， 令，解得， 所以函数的单调递减区间为，函数的单调递增区间为. 5．（2025·哈尔滨三模）已知点是角终边上的一点，则（    ） A． B．1 C． D． 【详解】由题意可得，， 则.故选：D. 6．（2025·南京二模）把函数图象上所有点的横坐标变为原来的倍（纵坐标不变），再将图象上所有的点向右平移个单位长度，得到函数的图象，则（   ） A． B． C． D．. 【详解】把函数图象上所有点的横坐标变为原来的倍（纵坐标不变）后的函数为， 再将图象上所有的点向右平移个单位长度后的函数为.故选：B. 7．（2025·广东二模）若，则（    ） A． B． C． D． 【详解】.故选：A 4．（2025·四川成都·三模）已知，则（    ） A． B． C． D． 【详解】等式两边平方可得，，即..故选：C 5．（2025·湖北十堰·三模）已知，，则（    ） A． B． C． D． 【详解】因为，所以， 因为，所以， 故，所以，即，故.选A. 6．（2025·哈尔滨三模）已知为锐角，，则（   ） A． B． C． D． 【详解】因为为锐角，即，则， 又，则，且， 所以．故选：C． 7．（2025·湖南三模）已知，，则（    ） A．2 B．1 C． D． 【详解】由得：， 再两边平方得: ,又因为，所以，则，故选：B. 8．（2025·长沙三模）将函数的图象向左平移个单位得到的函数图象关于轴对称，则的值可以为（    ） A． B．1 C．2 D．5 【详解】函数的图象向左平移个单位得到的函数为：， 依题意，函数是偶函数，故， 解得，又，结合选项，可得可以取1．故选：B. 9．（2025·天津二模）已知函数，，则下列描述正确的是（   ） A．的最小正周期是 B．在上单调递增 C．是的一条对称轴 D．的最大值是 【详解】 ， 对于A，的最小正周期是，故A错误；对于B，当时，， 故在上单调递增，故B正确；对于C，，故C错误； 对于D，的最大值是4，故D错误．故选：B． 10．（2025·广东广州·一模）已知，则 ． 【详解】由，得， 则，所以. 11．（2025·浙江·三模）已知，且满足，则，则 ． 【详解】因为，，所以， 由得， 即，所以，所以，得， 所以． 12．（2025·湖南长沙·二模）若函数为奇函数，则 ． 【详解】由辅助角公式，得，其中． 又因为奇函数，则有，即，故（）， 于是，故． 13．（2025·四川巴中·二模）已知函数在区间上的最小值为，则的取值范围为 . 【详解】由题意，在区间上的最小值为， 当时，；当时，. 则的取值范围为或.故答案为：. 14．（2025·湖北襄阳·二模）已知函数. （1）求的单调递减区间； （2）将函数的图象向右平移个单位后得到的图象，当函数在上有一个零点时，求k的取值范围. 【详解】（1）,令， 解得：，所以的单调递减区间为 （2）将函数的图象向右平移个单位后得到，则，因为，所以， 所以要使函数在上有一个零点，则与只有一个交点， 结合正弦函数的图象： 可得当或，即或， 即或，或时，与只有一个交点， 所以实数的取值范围为 15．（2025·山西·三模）已知． （1）求函数的最小正周期及单调递增区间； （2）设，若函数和在有相同的最大值，求的取值范围． 【详解】（1）， 所以函数的最小正周期为．由，， 得，， 所以的单调递增区间为，． （2）当，得， 所以在上的最大值为， 则在上的最大值也是． 由，，得，， 因为，所以，， 又，所以或．综上,的取值范围为. 考点3、解三角 1．（2025·全国二卷·高考真题）在中，，，，则（   ） A． B． C． D． 【详解】由题意得， 又，所以.故选：A 2．（2025·天津·高考真题）在中，角的对边分别为．已知，，． (1)求A的值；(2)求c的值；(3)求的值． 【详解】（1）已知，由正弦定理， 得，显然，得，由，故； （2）由（1）知，且，，由余弦定理， 则，解得（舍去），故； （3）由正弦定理，且， 得，且，则为锐角， 故，故， 且； 故. 3．（2023·全国·高考真题）在中，内角的对边分别是，若，且，则（    ） A． B． C． D． 【详解】由题意结合正弦定理可得，即，整理可得，由于，故，据此可得，则.故选：C. 4．（2024·湖南永州·三模）已知在中，角，，所对的边分别为，，，且，，则 . 【详解】因为，由正弦定理可得， 即，所以，即，因为，所以，因为，所以，即,所以. 5．（2024·四川）设的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，若，则 ． 【详解】在中，由及正弦定理得：， 而，则， 整理得，即， 又，因此，而，所以. 6．（2024·全国·高考）记的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知． (1)求A．(2)若，，求的周长． 【详解】（1）由可得，即， 由于，故，解得 （2）由题设条件和正弦定理， 又，则，进而，得到，于是， ，由正弦定理可得，，即，解得，故的周长为 7．（2024·江西九江）在中，角所对的边分别为，已知，则（    ） A． B． C． D． 【详解】因为，由正弦定理，因为，展开化简， 又.故选:B. 8．（2024·河北沧州）记的内角的对边分别为，若，且，则 . 【详解】因为，所以，所以.又，所以，所以.因为，由正弦定理知，所以，又，所以，. 9．（2023·北京·高考）在中，，则（    ） A． B． C． D． 【详解】因为，所以由正弦定理得，即，则，故，又，所以. 10．（2023·全国·高考）在中，，的角平分线交BC于D，则 ． 【详解】 如图所示：记， 方法一：由余弦定理可得，，因为，解得：， 由可得，， 解得：．故答案为：． 11．（2023·全国·高考）记的内角的对边分别为，已知． (1)求；(2)若，求面积． 【详解】（1）因为，所以，解得：． （2）由正弦定理可得 ，变形可得：，即，而，所以，又，所以，故的面积为． 12．（2021·安徽安庆·二模）在中，分别是，，的对边.若，且，则的大小是（    ） A． B． C． D． 【详解】因为，且，所以，所以 ， 因为 ，所以 ，故选：A 13．（2024·合肥·一模）在中，内角的对边分别为，若，且，则（    ） A．1 B． C． D．2 【详解】因为，两边同时乘以得：，由余弦定理可得，则，所以有， 又，所以，又因为，所以.故选：A 14．（2025·四川广安·二模）已知的内角，，的对边分别为，，，若，，，则（    ） A．2 B． C． D． 【详解】因为，，所以， 由正弦定理，可得.故选：B 15．（2025·山东枣庄）在中，内角的对边分别为，且，则（    ） A． B． C． D． 【详解】由及，得， 由余弦定理，得，因为，所以.故选：C 16．（2025·河北秦皇岛·三模）已知的内角所对的边分别为，若，则（   ） A． B． C． D． 【详解】因为，所以.根据正弦定理可得，所以. 因为，所以根据余弦定理，可得：， 化简可得，所以. 因为为的边，，所以.故选：D. 17．（2025·河南二模）在中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，，则（     ） A． B． C． D． 【详解】根据正弦定理，原等式可化为， 进一步化为，则， 所以，又，所以，所以，又因为，.选B. 18．（2025·哈尔滨二模）已知的内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，若，且，则的外接圆的面积为（    ） A． B． C． D． 【详解】由，得，所以．又因为，结合正弦定理（其中为的外接圆的半径）， 所以，解得，则的外接圆的面积为．故选：B 19．（2025·湖南三模）在中，角，，所对的边分别为，，．已知，，且，则此的面积为（    ） A．176 B．88 C．44 D．22 【详解】由，则，易知为锐角，由正弦定理知，而，即，故，所以，故， 由， 由正弦定理知，可得，故.故选：B 20．（2025·北京大兴·三模）在中，内角，，所对的边分别为，，，角的角平分线交于点，且． (1)求； (2)若，且的面积为，角的角平分线为，求的长． 【详解】（1）由已知，又由正弦定理可得， 又，所以，则，又，即， 又，，即， 则，所以，； （2）由已知，所以， 因为为角的角分线， 故， 所以， 即，解得. 21.（2024·新课标Ⅰ卷·高考真题）记的内角A、B、C的对边分别为a，b，c，已知， (1)求B；(2)若的面积为，求c． 【详解】（1）由余弦定理有，对比已知， 可得，因为，所以， 从而，又因为，即， 注意到，所以. （2）由（1）可得，，，从而，， 而， 由正弦定理有，从而， 由三角形面积公式可知，的面积可表示为 ， 由已知的面积为，可得，所以. 22．（2024·新课标Ⅱ卷·高考真题）记的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知． (1)求A．(2)若，，求的周长． 【详解】（1）由可得，即， 由于，故，解得 （2）由题设条件和正弦定理， 又，则，进而，得到，于是， ， 由正弦定理可得，，即，解得， 故的周长为 23（2023·新课标Ⅰ卷·高考真题）已知在中，． (1)求；(2)设，求边上的高． 【详解】（1），，即，又， ，， ，即，所以，. （2）由（1）知，， 由， 由正弦定理，，可得， ，. 24（2023·新课标Ⅱ卷·高考真题）记的内角的对边分别为，已知的面积为，为中点，且． (1)若，求；(2)若，求． 【详解】（1）在中，因为为中点，，，    则，解得， 在中，，由余弦定理得， 即，解得，则， ， 所以. （2）方法1：在与中，由余弦定理得， 整理得，而，则， 又，解得，而，于是， 所以. 方法2：在中，因为为中点，则，又， 于是，即，解得， 又，解得，而，于是， 所以. 25（2022·新高考全国Ⅰ卷·高考真题）记的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知． (1)若，求B；(2)求的最小值． 【详解】（1）方法一：直接法 可得， 则，即， 注意到，于是， 展开可得，则，又，. 方法二：二倍角公式处理+直接法，因为， 即，而，所以； （2）由（1）知，，所以，而， 所以，即有，所以 所以 ． 当且仅当时取等号，所以的最小值为． 26（2022·新高考全国Ⅱ卷·高考真题）记的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，分别以a，b，c为边长的三个正三角形的面积依次为，已知． (1)求的面积；(2)若，求b． 【详解】（1）由题意得，则， 即，由余弦定理得，整理得，则，又，则，，则； （2）由正弦定理得：，则，则，. 27．（2024·上海·三模）在中，且． (1)求的值；(2)若，求面积的最大值． （1）由题意可知，，由正弦定理得， 因为，所以，即. （2），所以或.在中，当时，， ，当且仅当时取等号，即， 故的面积.当时，， ，当且仅当时取等号，即， 故的面积.综上所述，的面积最大值为. 28．（2024·河北模拟）在锐角中，. (1)求；(2)若，求的面积取值范围. 【详解】（1）因为，所以，根据正弦定理可得.因为，所以， 所以， 所以，即. 因为，所以，即. 因为，所以，所以.因为，所以. （2）由正弦定理得，所以. 所以 . 因为是锐角三角形，所以,即，解得， 所以，所以，所以, 1 学科网（北京）股份有限公司 $