6.2 认识一次函数（第3课时）（教学课件）数学鲁教版2024七年级上册

该初中数学课件聚焦分段问题中的一次函数，核心知识点包括建立分段函数关系式、计算费用及求解特定费用对应的变量值。课堂导入先复习一次函数定义，通过出租车计费实例从具体里程费用计算过渡到函数关系式建立，搭建从旧知到新知的学习支架。 其亮点是以租车、水费等生活实例为载体，通过“确定区间-建关系式-计算费用-分段求解”四步教学，培养学生抽象能力、模型意识和运算能力。学生能提升用数学解决实际问题的能力，教师可借助结构化流程和丰富案例高效教学。

6.2认识一次函数 第3课时 分段问题中的一次函数 第六章 一次函数 鲁教版2024（五四制）·七年级上册 6.2.3学 习 目 标 1 2 理解分段计费问题的本质，掌握根据不同计费标准建立费用 与相关变量之间关系式的方法。 能根据所建立的关系式，准确计算不同情况下的费用，并能通过方程 求解特定费用下对应的变量值。 新课引入 如果两个变量x，y间的对应关系可以表示成 y＝kx＋b（k，b为常数，k≠0）的形式，那么称 y是x的一次函数. 特别地，当b=0时，称y是x的正比例函数. 函数是一次函数 函数是正比例函数 关系式为：y=kx(k为常数，k≠0) 关系式为：y=kx+b (k为常数，k≠0) 探究新知 某单位需租一辆 45 座大客车，咨询了甲、乙两家出租车公司。甲公司的计费标准：直接按里程计费，每千米 15 元。乙公司的计费标准：除了每千米 10 元的里程费外，另有服务费 200元（不足 1 km 按 1 km 计算）。 （1）假设该单位用车里程为 30 km，你建议租用哪家公司的客车？ 解：由题意，得 甲公司的费用：15×30＝450（元）， 乙公司的费用：10×30＋200＝500（元）。 ∵ 450＜500， ∴建议租用甲公司的客车。 探究新知 某单位需租一辆 45 座大客车，咨询了甲、乙两家出租车公司。甲公司的计费标准：直接按里程计费，每千米 15 元。乙公司的计费标准：除了每千米 10 元的里程费外，另有服务费 200元（不足 1 km 按 1 km 计算）。 （2）假设该单位用车里程为 52 km，你建议租用哪家公司的客车？ 解：由题意，得 甲公司的费用：15×52＝780（元）， 乙公司的费用：10×52＋200＝720（元）。 ∵ 780＞720， ∴建议租用乙公司的客车。 探究新知 某单位需租一辆 45 座大客车，咨询了甲、乙两家出租车公司。甲公司的计费标准：直接按里程计费，每千米 15 元。乙公司的计费标准：除了每千米 10 元的里程费外，另有服务费 200元（不足 1 km 按 1 km 计算）。 （3）用车里程为多少千米时，两家出租车公司的收费相同？ 解：设用车里程为 x 千米时两家收费相同。 则甲公司费用为 15 x 元，乙公司费用为(10x＋200)元。 则 15x＝10x＋200， 解得 x＝40 ∴ 用车里程为 40 千米时，两家出租车公司的收费相同。 探究新知 为了更清晰地比较甲、乙两家公司的费用，我们设用车里程为x千米，费用为y元。根据甲公司的计费标准，每千米15元，那么甲公司的费用表达式就可以写成y甲=15x。而乙公司除了每千米10元的里程费，还有200元的服务费，所以乙公司的费用表达式为 y乙=10x+200。 甲、乙公司计费剖析 你能尝试用函数方法解决吗？ 探究新知 解决分段计费问题的一般步骤： 1.确定计费的各个区间及其对应的单价或规则； 2.根据变量所在区间，建立分段函数关系式； 3.计算费用时，代入变量值到相应的区间公式； 4.求解特定费用时，设立方程并检查解是否符合区间条件，可能需要分段讨论. 探究新知 例3 为了鼓励市民节约用水，某市采用分档计费的方式计算水费。下表是家庭人口不超过 4 人时户年用水量及分档计费标准： 计费档 户年用水量 x/m3 单价/(元/m3) 第一档 0＜ x ≤220 3.45 第二档 220＜ x ≤300 4.83 第三档 x ＞300 5.83 （1）当 220＜ x ≤300 时，写出水费 y (单位：元)与 x 之间的关系式； 解：当 220＜ x ≤300 时，用水量属于第二档。 于是 y＝3.45×220＋4.83×(x－220)， 即 y＝4.83x－303.6。 探究新知 例3 为了鼓励市民节约用水，某市采用分档计费的方式计算水费。下表是家庭人口不超过 4 人时户年用水量及分档计费标准： 计费档 户年用水量 x/m3 单价/(元/m3) 第一档 0＜ x ≤220 3.45 第二档 220＜ x ≤300 4.83 第三档 x ＞300 5.83 （2）某户一年用水量是 250 m3，求该用户这一年的水费； 解：当 x ＝250 时，y＝4.83×250－303.6＝903.9(元)。 探究新知 计费档 户年用水量 x/m3 单价/(元/m3) 第一档 0＜ x ≤220 3.45 第二档 220＜ x ≤300 4.83 第三档 x ＞300 5.83 （3）某户去年一年的水费是 1 000.5元，求该户去年一年的用水量。 解：∵ 3.45×220＝759,4.83×300－303.6＝1 145.4， 759＜1 000.5＜1 145.4， ∴该户用水量属于第二档。 设该用户用水量为 x m3，则 1 000.5＝4.83x－303.6。 解这个方程，得 x＝270。 因此，该户去年一年的用水量为 270 m3。 探究新知 尝试·思考 (1)在例3中，当x>300时，你能写出水费y(单位:元)与用水量x之间的关系式吗? (2)像例3这样计费有什么意义? 解:当x＞300时，用水量属于第三档.于是 y=3.45×220+4.83×(300-220)+5.83×(x-300), 即 y=5.83x-603.6. 分阶梯计费意义在于：引导市民节约用水，用水量越大，单价越高，增加高耗水用户成本，促进合理用水、水资源高效利用. 探究新知 尝试·思考 (4)生活中还有哪些情况用到类似的计费方法? 设计计费规则时要注意：①要充分考虑不同用户的实际需求和承受能力； ②保证计费规则的公平性； ③简单明了，方便用户理解和计算. ①快递收费，根据重量和距离分段计费； ②天然气、出租车等 (3)设计计费规则时要注意什么? 课堂小结 方案优选问题 一次函数在计费问题中的应用 1.确定计费的各个区间及其对应的单价或规则； 2.根据变量所在区间，建立分段函数关系式； 3.计算费用时，代入变量值到相应的区间公式； 4.求解特定费用时，设立方程并检查解是否符合区间条件，可能需要分段讨论. 分段收费问题 随堂练习 1.为了节能减排，鼓励居民节约用电，某市将出台新的居民用电收费标准: ①若每户居民每月用电量不超过 100 度，则按 0.50 元/度计算:②若每户居民每月用电量超过 100 度,则超过部分按 0.80元/度计算(未超过部分仍按每度电0.50元计算)，现假设某户居民某月用电量是x(单位:度)，电费为y(单位:元)，则y与x的函数关系用图象表示正确的是( ) C A B C D 随堂练习 2.从大连发快递到北京，某快递公司收费标准如下：快递物品不超过千克收费元，超过千克的部分每千克收费元，设快递物品的重量为千克，那么从大连发快递到北京的快递费（元）与物品重量（千克）的函数表达式为 ． 随堂练习 3．某公司推出两种手机通话收费方案。方案一：月租费 36 元， 通话费为 0.1 元/分；方案二：不收月租费，通话费为 0.6 元/分。设小明一个月的通话时间为 x min，已知小明选择方案一比选择方案二更优惠，则他一个月的通话时间超过（    ） A.60 min B.70 min C.72 min D.80 min C 随堂练习 4.甲、乙两个批发店销售同一种苹果,在甲批发店,无论一次购买多少,价格均为6元/千克.在乙批发店,一次购买不超过50千克时,价格为 7元/千克;一次购买超过50千克时,其中50千克的价格仍为7元/千克,超过50千克部分的价格为5元/千克.设小王在同一个批发店一次购买苹果 x千克(x>0). (1)根据题意填表: 一次购买质量/千克 30 50 150 … 甲批发店花费/元 　  300 　  … 乙批发店花费/元 　  350 　  … 180 900 210 850 随堂练习 (3)根据题意填空: ①若小王在甲批发店和乙批发店一次购买苹果的质量相同,且花费相同,则他在同一个批发店一次购买苹果的质量为　　　　千克;  ②若小王在同一个批发店一次购买苹果120千克,则他在　　　　批发店购买花费少(选填“甲”或“乙”);  ③若小王在同一个批发店一次购买苹果花费了360元,则他在　　　　批发店购买数量多(选填“甲”或“乙”).  100 乙 甲 随堂练习 5.为缓解油价上涨给出租车行业带来的成本压力,某市调整出租车运价,调整方案见下面表格: 行驶路程 收费标准 调价前 调价后 不超过3 km的部分 起步价6元 起步价7 元 超过3 km不超过6 km的部分 每千米 2.1元 每千米1.4元 超过6 km的部分 每千米2.1元 设行驶路程为x km时,调价前的运价为y1(元),调价后的运价为y2(元). (1)写出当x>3时,y1与x的关系式. 解:(1)根据题意,得 x>3时,y1=2.1(x-3)+6=2.1x-0.3. 随堂练习 (2)当3≤x≤6时,函数y1与y2是否存在相同的值?若存在,求出这一相同的函数值,并说出它的实际意义;若不存在,请说明理由. (3)若出租车行驶50 km,调价前后哪个运价更低? 解:(3)x=50时,调价前运价为:y1=2.1x-0.3=2.1×50-0.3=104.7(元); 调价后运价为:y2=(1.4×6+2.8)+(50-6)×2.1=103.6(元). 所以当出租车行驶50 km时,调价后运价更低. 课外阅读 一次函数发展简史 1.萌芽阶段（古代）：古埃及、巴比伦文明中，已出现用算术方法解决“ax+b=c”类线性问题（如土地丈量、粮食分配），但无“函数”概念，仅为具体问题的数值解法。 2.雏形阶段（17世纪）：笛卡尔创立解析几何，将“变量”引入数学，用坐标表示点与方程的对应关系，为一次函数（y=kx+b）的几何形式（直线）奠定基础；费马研究线性方程的斜率意义，初步建立变量间的依赖关系。 3.定义与符号完善（18-19世纪）：欧拉首次明确“函数”的定义，用y=f(x)表示变量关系，规范了一次函数的符号形式；拉格朗日、柯西进一步细化线性函数的性质，明确“一次”的核心是“变量次数为1”，且图像为直线。 4.应用拓展阶段（近现代）：一次函数成为数学建模的基础工具，在物理（匀速运动）、经济（线性成本）、工程等领域广泛应用，其“斜率表示变化率”的本质被深入挖掘，成为连接代数与几何的核心模型。 布置作业 1. 基础作业：教材“习题6.2.3”第2题，第3题 2. 拓展作业：生活中寻找一个可以用分段函数表示的实际问题，写出关系式，提出问题并解答。 感谢聆听! (2)存在.当3≤x≤6时,y2=1.4(x-3)+7=1.4x+2.8.即y2=1.4x+2.8. 当 2.1x-0.3=1.4x+2.8时,解得x=. 所以2.1x-0.3=2.1×-0.3=9. 其意义为当行驶路程为 km,时两种方案运价一样,均为9元. $