6.2 认识一次函数（第2课时）（教学课件）数学鲁教版2024七年级上册

6.2认识一次函数 第2课时 一次函数和正比例函数 第六章 一次函数 鲁教版2024（五四制）·七年级上册 6.2.2学 习 目 标 1 2 1.经历在实际问题抽象出一次函数与正比例函数的过程，感受函数在实际生活中的应用，发展抽象思维能力、数学建模思想。 能根据实际情况列一次函数，并利用一次函数解决实际问题。 新课引入 小明每周固定能从父母那得到20元零花钱，他还坚持每周从零花钱里存5元到储蓄罐。设经过x周后，储蓄罐里有y元（初始储蓄罐为空）。 关系式：y = 5x + 20。 分析： k = 5是每周存钱数，b = 20是初始固定零花钱；非正比例函数。 “小明的零花钱计划” 探究新知 尝试·思考 一次函数与正比例函数的概念 在弹性限度内，某弹簧的长度 y (单位：cm)与所挂物体的质量 x (单位：kg)的关系如下表所示： x/kg 0 1 2 3 4 5 y/cm 3.0 3.5 4.0 4.5 5.0 5.5 (1)随着所挂物体质量 x 的增加，弹簧长度 y 的增长是“均匀”的吗？ 解：观察表格，每次所挂物体质量增加 1 kg，弹簧长度都增长 0.5 cm，所以随着所挂物体质量 x 的增加，弹簧长度 y 的增长是“均匀”的。 情景一 探究新知 尝试·思考 一次函数与正比例函数的概念 在弹性限度内，某弹簧的长度 y (单位：cm)与所挂物体的质量 x (单位：kg)的关系如下表所示： x/kg 0 1 2 3 4 5 y/cm 3.0 3.5 4.0 4.5 5.0 5.5 情景一 (2)写出 y 与 x 之间的关系式，并说明理由。 解：y＝0.5x＋3.0 ，由前面可知，所挂物体质量每增加 1 kg，弹簧长度增长 0.5 cm，且当 x＝0 时，y＝3 cm， ∴ y 与 x 之间的关系式为 y＝3＋0.5x。 探究新知 尝试·思考 一次函数与正比例函数的概念 情景二 某辆汽车油箱中原有汽油 40 L，汽车每行驶 50 km 耗油 4 L。 行驶路程 x/km 0 50 100 150 200 250 300 耗油量 y/L （2）写出耗油量 y 与汽车行驶路程 x 之间的关系式。 0 4 8 12 16 20 24 解：由题意，得汽车每行驶1km的耗油量为 L， ∴ 耗油量 y 与汽车行驶路程 x 之间的关系式为 y＝x。 解：z＝40－x。 （3）写出油箱剩余油量 z (单位：L)与汽车行驶 x 之间的关系式。 （1）完成下表： z＝－x+40 探究新知 观察·思考 一次函数与正比例函数的概念 （1）在前面情境中，我们得到下列关系式，它们有什么共同的特征？ （1）y ＝ 0.5x ＋ 3 （2）y ＝ 0.8x （3）y ＝ -0.8x ＋40 y kx ＋ b 函数=常数k×自变量的积+常数b的和 （2）请你写出具有一个这种特点的关系式。 探究新知 观察·思考 一次函数与正比例函数的概念 如果两个变量 x，y 之间的对应关系可以表示成 y＝kx＋b(k，b为常数，k≠0)的形式，那么称 y 是 x 的一次函数。 注意：对一次函数而言，自变量每增加 1，函数值就增加 k，函数值的变化是“均匀”的。 一次函数的概念： 特别地，当 b = 0 时，称 y 是 x 的正比例函数。 函数是一次函数 函数是正比例函数 关系式为：y＝kx( k 为常数，k≠0) 关系式为：y＝kx＋b (k，b为常数，k≠0) 探究新知 小试牛刀 1.下列说法不正确的是(　　) A.一次函数不一定是正比例函数 B.不是一次函数就一定不是正比例函数 C.正比例函数是一次函数特例 D.不是正比例函数就不是一次函数 D 2.下列函数:①y=-3x;②y=-3x+3;③y=-3x2;④y= A.1个 B.2个 C.3个 D.4个 其中一次函数有(　　) B 探究新知 小试牛刀 3.下列函数中,是正比例函数的是 (　　) A.y= B.y= C.y= D.y=2x2+1 B 4.对于关于x的函数y=(k-3)x+k+3,当k=　　 　时,它是正比例函数;当k　　 　时,它是一次函数。  -3　 ≠3 探究新知 归纳总结 1. 判定一个函数是一次函数的条件： 一次函数 正比例函数 正比例函数是一种特殊的一次函数。 ① k 是常数，k ≠ 0； ① k 是常数，k ≠ 0； 2. 判定一个函数是正比例函数的条件： 探究新知 典型例题 例1 写出下列各题中 y 与 x 之间的关系式，并判断：y 是否为 x 的一次函数？是否为正比例函数？ （1）汽车以 60 km/h 的速度匀速行驶，行驶路程 y (单位：km)与行驶时间 x (单位：h)之间的关系； （2）圆的面积 y (单位：cm2)与它的半径 x (单位：cm)之间的关系； 解：由路程＝速度×时间，得 y＝60x， y 是 x 的一次函数，也是 x 的正比例函数。 解：由圆的面积公式，得 y＝πx2， y 不是 x 的正比例函数，也不是 x 的一次函数。 探究新知 例1 写出下列各题中 y 与 x 之间的关系式，并判断：y 是否为 x 的一次函数？是否为正比例函数？ （3）某水池有水 15 m3，现打开进水管进水，进水速度 5 m3/h,经过 x h 这个水池内有水 y m3。 解：这个水池每小时增加水 5 m3，x h 增加水 5 x m3， 因而 y＝15＋5x，y 是 x 的一次函数，但不是 x 的正比例函数。 探究新知 思考·交流 实际情境中 k，b 的意义 （1）例1中，两个一次函数的一次项系数 k 和常数项 b 分别是多少，它们的实际意义是什么？ （1）y = 60x k = 60，实际意义是汽车速度(每小时行驶 60 km )； b = 0，表示行驶 0 小时时，路程为 0 km 。 y = 15 + 5x k = 5，实际意义是进水管进水速度(每小时进水 5m3 )； b = 15，表示打开进水管前，水池原有水 15 m3 。 探究新知 思考·交流 实际情境中 k，b 的意义 （2）一般地，k，b 对一次函数 y = kx + b 有怎样的影响？与同伴进行交流。 k 实际中对应 “单位变化量”（如速度、速率 ）。 b 实际中对应 “初始值”（如原有水量、起始路程 ），决定函数起始状态。 k 表示自变量每增加 1 个单位时因变量的变化量， b 表示当自变量为 0 时因变量的值。 探究新知 例2 在一次测试中，某汽车紧急刹车后，每过 1 s 其速度减少 35 km/h。 （1）假设该汽车以 120 km/h 的速度行驶，试写出该汽车刹车后的速度 y (单位：km/h)与刹车后所经过的时间 t (单位：s)之间的关系式 y＝kt＋b，并说明 k 和 b 的实际意义。 解：刹车开始时汽车的速度为 120 km/h， 每过 1 s 汽车的速度减少 35 km/h， 于是经过 t s 汽车的速度减少了 35 t km/h， 所以 y 与 t 的关系式是 y＝－35t＋120。 其中，k＝－35表示每秒汽车速度的变化量， b＝120 表示刹车开始时汽车的速度。 典型例题 探究新知 典型例题 例3 在一次测试中，某汽车紧急刹车后，每过 1 s 其速度减少 35 km/h。 （2）求出（1）中汽车从刹车到停止所需的时间。 解：汽车停止时速度 y＝0， 解方程 0＝－35t＋120， 得 t＝≈3.43。 因此，该汽车从刹车到停止所需的时间大约为 3.43 s。 课堂小结 形式： ________________ 特别地，当 b＝0时，____________ 是正比例函数 一次函数和正比例函数 根据条件列一次函数、正比例函数 实际情境中 k，b 的意义 y = kx + b (k ≠ 0) y = kx (k ≠ 0) 随堂练习 1.在下列函数中,x是自变量,y是x的函数,其中的正比例函数有　　,一次函数有　    　.(填序号)  ①y=-8x;②y=-x-1;③y= +1;④y=-8x2+2;⑤y=0.5x-3;⑥y= ① ①②⑤ 2.已知函数y=(m-3)x3-|m|+m+2. (1)当m=　 　时,y是x的一次函数;  (2)当m=　 　时,y是x的正比例函数. ±2 -2 判断两个变量是不是一次函数关系的三步法 (1)看:看所给的函数关系式是否满足y=kx+b的形式; (2)辨:辨别比例系数k是否等于0; (3)定:确定是不是一次函数. 随堂练习 4.一只蜡烛高20 cm,点燃后平均每小时燃掉4 cm,则蜡烛点燃后剩余的高度h(cm)与燃烧时间t(h)之间的关系式是h=　 　.这只蜡烛可燃烧　 　h.  20-4t 5 3.设圆的面积为S,半径为R,那么下列说法正确的是( ) A.S是R的一次函数 B.S是R的正比例函数 C.S与R2成正比例关系 D.以上说法都不正确 C 随堂练习 5.传统文化　如图(1)所示,“燕几”即宴几,是世界上最早的一套组合桌,由北宋进士黄伯思设计.全套“燕几”一共有七张桌子,包括两张长桌、两张中桌和三张小桌,每张桌面的宽都相等.七张桌面分开可组合成不同的图形.图(2)给出了《燕几图》中名称为“回文”的桌面拼合方式.若设每张桌面的宽为x尺,长桌的长为y尺,则y与x的关系可以表示为( ) A.y=3x B.y=4x C.y=3x+1 D.y=4x+1 B 图(1) 图(2) 6.课本随堂练习 随堂练习 运用一次函数解决实际问题的步骤 (1)从实际问题中获取信息,找出等量关系; (2)写出一次函数关系式; (3)代入相关的数据求值. 课外阅读 一次函数发展简史 1.萌芽阶段（古代）：古埃及、巴比伦文明中，已出现用算术方法解决“ax+b=c”类线性问题（如土地丈量、粮食分配），但无“函数”概念，仅为具体问题的数值解法。 2.雏形阶段（17世纪）：笛卡尔创立解析几何，将“变量”引入数学，用坐标表示点与方程的对应关系，为一次函数（y=kx+b）的几何形式（直线）奠定基础；费马研究线性方程的斜率意义，初步建立变量间的依赖关系。 3.定义与符号完善（18-19世纪）：欧拉首次明确“函数”的定义，用y=f(x)表示变量关系，规范了一次函数的符号形式；拉格朗日、柯西进一步细化线性函数的性质，明确“一次”的核心是“变量次数为1”，且图像为直线。 4.应用拓展阶段（近现代）：一次函数成为数学建模的基础工具，在物理（匀速运动）、经济（线性成本）、工程等领域广泛应用，其“斜率表示变化率”的本质被深入挖掘，成为连接代数与几何的核心模型。 布置作业 1. 基础作业：教材“习题6.2.2”第2题，第3题 2. 拓展作业：生活中寻找一个可以用一次函数表示的实际问题，写出关系式并判断是否为正比例函数。 感谢聆听! $