1.2 30°，45°，60°角的三角函数值（导学案）数学北师大版九年级下册

该初中数学导学案聚焦30°，45°，60°角的三角函数值，通过观察三角尺锐角引入，联系已学的正弦、余弦、正切定义搭建支架，引导学生推导并熟记特殊角函数值，衔接前后知识脉络。 以自主探究与合作学习结合，“议一议”“做一做”让学生经历推导过程培养推理意识，设置秋千、滑梯等生活情境问题转化数学模型发展应用意识，分层练习覆盖计算、角度求解及三角形形状判断，助力学生用数学思维解决问题，提升数学眼光与表达能力。

1.2 30°,45°,60°角的三角函数值 导学案 1.经历探索30°，45°，60°角的三角函数值的过程，能够进行有关推理，进一步体会三角函数的意义，并熟记特殊角的三角函数值； 2. 能够进行含有30°，45°，60°角的三角函数值的计算； 3.能利用30°、45°、60°角的三角函数值解决实际问题。 学习重点：运用描点法准确绘制双曲线并分析其象限分布和对称特征。 学习难点：将图象与实际问题相结合，理解函数变化趋势并灵活应用. 第一环节 自主学习 温故知新： （1）锐角A的               、               和正切都是∠A的三角函数. 如图所示， tan A=               ;sin A=               ;cos A=               . （2）tan A的值               ，sin A的值               ，cos A的值               ，梯子越陡. 新知自研：自研课本第8--9页的内容． 创设情景，引入新课 问题情境： 观察一副三角尺:其中有几个锐角?它们分别是多少度? 思考：你能用所学知识，算出30°，45°，60°的三角函数值吗？ 【学法指导】 自研课本P8-9页的内容，思考： ●探究一：30°、45°、60°角的三角函数值 ◆1.议一议： 问题(1)：sin30°等于多少?你是怎样得到的？与同伴进行交流. (2)：cos30°等于多少?tan30°呢？ ◆2.做一做 （1）60°角的三角函数值分别是多少?你是怎样得到的？ （2）45°角的三角函数值分别是多少?你是怎样得到的？ ◆3.知识归纳 （1）特殊角的三角函数值表： 三角函数 30° 45° 60° sin α cos α tan α （2）三角函数的进一步理解： ①通过特殊角的三角函数值，进一步巩固锐角三角函数之间的关系.（互余关系、相除关系等） ②观察特殊三角函数值表，你能得出三角函数的增减性规律吗？ 锐角三角函数的增减性： 当角度在0°～90°之间变化时，正弦值和正切值随着角度的增大（或减小）而              （或             ）； 余弦值随着角度的增大（或             ）而减小（或             ）. ◆4.练一练 计算:(1)sin30°+cos45°; (2) sin260°+cos260°-tan45°. ●探究点2：特殊三角函数值的运用 ◆1.新知探究 一个小孩荡秋千,秋千链子的长度为2.5m,当秋千向两边摆动时,摆角恰好为60°,且两边摆动的角度相同,求它摆至最高位置时与其摆至最低位置时的高度之差(结果精确到0.01m). ◆2.知识归纳 利用特殊角的三角函数值解决实际问题的一般步骤: （1）把实际问题转化为              问题； （2）构造出含有特殊锐角的               ； （3）利用特殊角的三角函数值求解. ◆3.练一练 某儿童乐园的滑梯为直角三角形结构，滑梯坡面（斜边）长 12 m，倾斜角为 30°，则滑梯的垂直高度为（ ） A. 6 m B. 6 m C. 12 m D. 12m 【例题导析】 自研下面典例的内容，回答问题： 典例分析 例1 如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，AB= ,BC= ，求∠A的度数． 【分析】根据三角函数定义可计算出              的值，再根据特殊角的三角函数数值可得答案． 【解答】 【方法总结】逆向思维：由特殊三角函数值可以确定锐角的度数. 例2 已知 为锐角，且 是方程 的一个根，求 的值. 【分析】先求出tan α的值，求出α的              ，然后将特殊角的              代入求解即可． 【解答】 第二环节 合作探究 小组群学 在小组长的带领下： A.讨论如何推导30°，45°，60°角的三角函数值，并交流熟记的方法； B.交流例题的解题思路，注意强调易错点. C.相互检查导学内容的完成书写情况并给出等级评定. 1．在Rt△ABC中，∠C＝90°，sin A＝，则∠A的度数是(　 　) A．30° B．45° C．60° D．90° 3.在△ABC中，若，则∠C=（　　） A．30° B．60° C．90° D．120° 4.tan(α+20°)＝1，锐角α的度数应是（　　） A．40° B．30° C．20° D．10° 5. 如图，在离地面5 m处引拉线固定电线杆，拉线与地面成60°角，则拉线AC的长是(　 　) 6.计算： ①                ② 7.在△ABC中，∠B=45°，cosA=1/2，则∠C的度数是__________ ． 8.如图，在△ABC中，∠A=30°，∠B=45°，AC=2，则AB的长为 ________． 9.在△ABC中，∠C=90°，若∠B=2∠A,则tanA=____. 10.求下列各式的值： （1） （2） 11.如图，在△ABC中，∠A=30°，tanB=，AC=2，求AB. 12.升国旗时，小明站在操场上离国旗20m处行注目礼.当国旗升至顶端时，小明看国旗视线的仰角为45°（如图所示），若小明双眼离地面1.6m，你能帮助小明求出旗杆AB的高度吗？ 题型一：特殊锐角三角函数的计算 1．（2024秋•工业园区校级月考）计算： （1）sin45°+cos45°； （2）tan45°﹣sin30°cos60°． 2．（2024•望花区三模）计算： （1）sin60°•cos30°﹣tan45°； （2）3tan30°﹣tan60°+2cos60°． 3．求下列各式的值： （1）； （2）tan45°+6cos45°﹣3tan230°． 4．计算： （1）； （2）3tan30°+cos245°﹣2sin60°． 5．计算： （1）6sin30°tan60°+cos245； （2）tan45°． 题型二根据特殊角的三角函数值求角的度数 6．已知α为锐角，且，则α等于（　　） A．70° B．60° C．40° D．30° 7．在锐角△ABC中，，则∠A＝（　　） A．30° B．45° C．60° D．75° 8．已知α为锐角，且2sin（α﹣10°），则α等于（　　） A．50° B．60° C．70° D．80° 9．在△ABC中，若|sinA|+（cosB）2＝0，且∠A，∠B都是锐角，求∠C的度数． 10．在△ABC中，|cos∠A|+（1﹣tan∠B）2＝0，求∠A，∠B，∠C 的度数． 题型六 利用特殊角的三角函数判断三角形的形状 11．在△ABC中，tanA＝1，cosB，则△ABC的形状（　　） A．一定是锐角三角形 B．—定是直角三角形 C．一定是钝角三角形 D．无法确定 12．在△ABC中，若∠A，∠B满足0，则△ABC是（　　） A．等腰（非等边）三角形 B．等边三角形 C．直角三角形 D．钝角三角形 13．在△ABC中，已知两锐角A、B，且cos，则△ABC是　 　 三角形． 14．在△ABC中，∠A、∠B满足|sinA|+（1tanB）2＝0，试判断△ABC的形状，并说明理由． 15．在△ABC中，已知∠A，∠B都是锐角，且|2sinA|+（2cos2B）2＝0，判断△ABC的形状． ◆1.特殊角的三角函数值表： 三角函数 30° 45° 60° sin α cos α tan α ◆2.锐角三角函数的增减性： 当角度在0°～90°之间变化时，正弦值和正切值随着角度的增大（或减小）而 （或 ）； 余弦值随着角度的增大（或 ）而减小（或 ）. 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $ 1.2 30°,45°,60°角的三角函数值 导学案 1.经历探索30°，45°，60°角的三角函数值的过程，能够进行有关推理，进一步体会三角函数的意义，并熟记特殊角的三角函数值； 2. 能够进行含有30°，45°，60°角的三角函数值的计算； 3.能利用30°、45°、60°角的三角函数值解决实际问题。 学习重点：运用描点法准确绘制双曲线并分析其象限分布和对称特征。 学习难点：将图象与实际问题相结合，理解函数变化趋势并灵活应用. 第一环节 自主学习 温故知新： （1）锐角A的               、               和正切都是∠A的三角函数. 如图所示， tan A=               ;sin A=               ;cos A=               . 解：正弦，余弦； （2）tan A的值               ，sin A的值               ，cos A的值               ，梯子越陡. 解：越大；越大；越小 新知自研：自研课本第8--9页的内容． 创设情景，引入新课 问题情境： 观察一副三角尺:其中有几个锐角?它们分别是多少度? 思考：你能用所学知识，算出30°，45°，60°的三角函数值吗？ 【学法指导】 自研课本P8-9页的内容，思考： ●探究一：30°、45°、60°角的三角函数值 ◆1.议一议： 问题(1)：sin30°等于多少?你是怎样得到的？与同伴进行交流. (2)：cos30°等于多少?tan30°呢？ 解：设30°所对的直角边长为a，那么斜边长为2a. 设30°所对的直角边长为a，那么斜边长为2a. ◆2.做一做 （1）60°角的三角函数值分别是多少?你是怎样得到的？ 解: （2）45°角的三角函数值分别是多少?你是怎样得到的？ 解:设两条直角边长为a，则斜边长＝ ◆3.知识归纳 （1）特殊角的三角函数值表： 三角函数 30° 45° 60° sin α cos α tan α 1 （2）三角函数的进一步理解： ①通过特殊角的三角函数值，进一步巩固锐角三角函数之间的关系.（互余关系、相除关系等） ②观察特殊三角函数值表，你能得出三角函数的增减性规律吗？ 锐角三角函数的增减性： 当角度在0°～90°之间变化时，正弦值和正切值随着角度的增大（或减小）而 增大（或减小）； 余弦值随着角度的增大（或减小）而减小（或增大）. ◆4.练一练 计算:(1)sin30°+cos45°; (2) sin260°+cos260°-tan45°. 解: (1)sin30°+cos45° (2)60°+60°-tan45° 注意:60°表示,60°表示 ●探究点2：特殊三角函数值的运用 ◆1.新知探究 一个小孩荡秋千,秋千链子的长度为2.5m,当秋千向两边摆动时,摆角恰好为60°,且两边摆动的角度相同,求它摆至最高位置时与其摆至最低位置时的高度之差(结果精确到0.01m). 解:如图, 根据题意可知,∠AOD=×60°=30°,OD=2.5m, ∴AC=2.5-2.165≈0.34(m). ∴最高位置与最低位置的高度差约为0.34m. ◆2.知识归纳 利用特殊角的三角函数值解决实际问题的一般步骤: （1）把实际问题转化为数学问题； （2）构造出含有特殊锐角的直角三角形； （3）利用特殊角的三角函数值求解. ◆3.练一练 某儿童乐园的滑梯为直角三角形结构，滑梯坡面（斜边）长 12 m，倾斜角为 30°，则滑梯的垂直高度为（ ） A. 6 m B. 6 m C. 12 m D. 12m 解：A 【例题导析】 自研下面典例的内容，回答问题： 典例分析 例1 如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，AB= ,BC= ，求∠A的度数． 【分析】根据三角函数定义可计算出sin A的值，再根据特殊角的三角函数数值可得答案． 【解答】解： 如图，∵AB= ,BC=， ∴sinA===, ∴∠A=45°. 【方法总结】逆向思维：由特殊三角函数值可以确定锐角的度数. 例2 已知 为锐角，且 是方程 的一个根，求 的值. 【分析】先求出tan α的值，求出α的度数，然后将特殊角的三角函数值代入求解即可． 【解答】解：解方程 ，得=1，=-3， ∵tan α＞0， ∴tan α=1， ∴α=45°. ∴ = = =-3 第二环节 合作探究 小组群学 在小组长的带领下： A.讨论如何推导30°，45°，60°角的三角函数值，并交流熟记的方法； B.交流例题的解题思路，注意强调易错点. C.相互检查导学内容的完成书写情况并给出等级评定. 1．在Rt△ABC中，∠C＝90°，sin A＝，则∠A的度数是(　 　) A．30° B．45° C．60° D．90° 解：C． 解：B． 3.在△ABC中，若，则∠C=（　　） A．30° B．60° C．90° D．120° 解：C. 4.tan(α+20°)＝1，锐角α的度数应是（　　） A．40° B．30° C．20° D．10° 解：D． 5. 如图，在离地面5 m处引拉线固定电线杆，拉线与地面成60°角，则拉线AC的长是(　 　) 解：B. 6.计算： ①                ② 解：−； 7.在△ABC中，∠B=45°，cosA=1/2，则∠C的度数是__________ ． 解： 8.如图，在△ABC中，∠A=30°，∠B=45°，AC=2，则AB的长为 ________． 解：3+. 9.在△ABC中，∠C=90°，若∠B=2∠A,则tanA=____. 解： 10.求下列各式的值： （1） （2） 解：（1） （2） 11.如图，在△ABC中，∠A=30°，tanB=，AC=2，求AB. 解：过点C作CD⊥AB于点D， ∵∠A=30°，AC=2，sinA==, ∴CD=×2=. ∵cosA==, ∴AD=×2=3. ∵tanB==, ∴BD=×=2. ∴AB=AD+BD=3+2=5. 12.升国旗时，小明站在操场上离国旗20m处行注目礼.当国旗升至顶端时，小明看国旗视线的仰角为45°（如图所示），若小明双眼离地面1.6m，你能帮助小明求出旗杆AB的高度吗？ =20+1.6=21.6（m） 答：旗杆AB的高度为21.6米. 题型一：特殊锐角三角函数的计算 1．（2024秋•工业园区校级月考）计算： （1）sin45°+cos45°； （2）tan45°﹣sin30°cos60°． 【分析】（1）把特殊角的三角函数值代入进行计算，即可解答； （2）把特殊角的三角函数值代入进行计算，即可解答． 【解答】解：（1）sin45°+cos45° ； （2）tan45°﹣sin30°cos60° ＝1 ＝1 ． 【点评】本题考查了实数的运算，特殊角的三角函数值，准确熟练地进行计算是解题的关键． 2．（2024•望花区三模）计算： （1）sin60°•cos30°﹣tan45°； （2）3tan30°﹣tan60°+2cos60°． 【分析】（1）（2）把特殊角的三角函数值代入计算即可． 【解答】解：（1）sin60°•cos30°﹣tan45° 1 1 ； （2）3tan30°﹣tan60°+2cos60° ＝32 1 ＝1． 【点评】本题考查的是特殊角的三角函数值，熟记特殊角的三角函数值是解题的关键． 3．求下列各式的值： （1）； （2）tan45°+6cos45°﹣3tan230°． 【分析】（1）代入各个特殊角的三角函数值计算即可； （2）代入各个特殊角的三角函数值计算即可． 【解答】解：（1） ＝1； （2）tan45°+6cos45°﹣3tan230° ． 【点评】本题考查了特殊角的三角函数，关键是掌握实数的综合运算能力，特殊角的三角函数值． 4．计算： （1）； （2）3tan30°+cos245°﹣2sin60°． 【分析】把特殊角的三角函数值代入原式，即可计算． 【解答】解：（1）原式＝1 ＝11 ． （2）原式＝32 ． 【点评】本题考查特殊角的三角函数值，关键是熟记特殊角的三角函数值． 5．计算： （1）6sin30°tan60°+cos245； （2）tan45°． 【分析】（1）根据特殊角的三角函数值解决此题． （2）根据特殊角的三角函数值解决此题． 【解答】解：（1）6sin30°tan60°+cos245 ． （2）tan45° 1 ． 【点评】本题主要考查特殊角的三角函数值，熟练掌握特殊角的三角函数值是解决本题的关键． 题型二根据特殊角的三角函数值求角的度数 6．已知α为锐角，且，则α等于（　　） A．70° B．60° C．40° D．30° 【分析】根据特殊角的三角函数值可得α﹣10°＝60°，进而可得α的值． 【解答】解：∵sin（α﹣10°）， ∴α﹣10°＝60°， ∴α＝70°． 故选：A． 【点评】此题主要考查了特殊角的三角函数值，关键是掌握30°、45°、60°角的各种三角函数值． 7．在锐角△ABC中，，则∠A＝（　　） A．30° B．45° C．60° D．75° 【分析】直接利用偶次方的性质以及绝对值的性质结合特殊角的三角函数值得出∠C＝60°，∠B＝45°，进而得出答案． 【解答】解：∵， ∴tanC，sinB， ∴∠C＝60°，∠B＝45°， ∴∠A＝75°． 故选：D． 【点评】此题主要考查了特殊角的三角函数值，正确记忆相关数据是解题关键． 8．已知α为锐角，且2sin（α﹣10°），则α等于（　　） A．50° B．60° C．70° D．80° 【分析】直接利用特殊角的三角函数值代入得出答案． 【解答】解：∵α为锐角，且2sin（α﹣10°）， ∴sin（α﹣10°）， ∴α﹣10°＝60°， ∴α＝70°． 故选：C． 9．在△ABC中，若|sinA|+（cosB）2＝0，且∠A，∠B都是锐角，求∠C的度数． 【分析】根据非负数的性质列出算式，根据特殊角的三角函数值、三角形内角和定理计算，得到答案． 【解答】解：∵|sinA|+（cosB）2＝0， ∴sinA0，cosB＝0， ∴sinA，cosB， ∴∠A＝45°，∠B＝45°， ∴∠C＝180°﹣45°﹣45°＝90°． 【点评】本题考查的是特殊角的三角函数值、非负数的性质，熟记特殊角的三角函数值是解题的关键． 10．在△ABC中，|cos∠A|+（1﹣tan∠B）2＝0，求∠A，∠B，∠C 的度数． 【分析】先根据非负数的性质得到cos∠A0，1﹣tan∠B＝0，则根据特殊角的三角函数值得到∠A、∠B的度数，然后根据三角形内角和定理计算出∠C的度数． 【解答】解：∵|cos∠A|+（1﹣tan∠B）2＝0， ∴cos∠A0，1﹣tan∠B＝0， 即cosA，tanB＝1， ∴∠A＝60°，∠B＝45°， ∴∠C＝180°﹣∠A﹣∠B＝180°﹣60°﹣45°＝75°． 【点评】本题考查了特殊角的三角函数值：熟练记住特殊角的三角函数值是解决问题的关键． 题型六 利用特殊角的三角函数判断三角形的形状 11．在△ABC中，tanA＝1，cosB，则△ABC的形状（　　） A．一定是锐角三角形 B．—定是直角三角形 C．一定是钝角三角形 D．无法确定 【分析】先根据△ABC中，tanA＝1，cosB求出∠A及∠B的度数，进而可得出结论． 【解答】解：∵△ABC中，tanA＝1，cosB， ∴∠A＝45°，∠B＝45°， ∴∠C＝90°， ∴△ABC是等腰直角三角形． 故选：B． 【点评】本题考查的是特殊角的三角函数值，熟记各特殊角度的三角函数值是解答此题的关键． 12．在△ABC中，若∠A，∠B满足0，则△ABC是（　　） A．等腰（非等边）三角形 B．等边三角形 C．直角三角形 D．钝角三角形 【分析】先根据非负数的性质及特殊教的三角函数值∠A和∠B，即可作出判断． 【解答】解：根据题意得：sinA0且cosB0， 则sinA，cosB， ∴∠A＝60°，∠B＝60°， ∴△ABC是等边三角形． 故选：B． 【点评】本题考查了：①特殊角的三角函数值；②非负数的性质．正确以及特殊角的三角函数值是关键． 13．在△ABC中，已知两锐角A、B，且cos，则△ABC是　 　 三角形． 【分析】根据特殊角三角函数值，可得答案． 【解答】解：由两锐角A、B，且cos，得 45°，两边都乘以2，得 A+B＝90°， ∠C＝180°﹣（∠A+∠B）＝90°， 故答案为：直角． 【点评】本题考查了特殊角三家函数值，熟记特殊角三角函数值是解题关键． 14．在△ABC中，∠A、∠B满足|sinA|+（1tanB）2＝0，试判断△ABC的形状，并说明理由． 【分析】根据非负数的性质以及特殊角的三角函数值求解． 【解答】解：由题意得，sinA0，1tanB＝0， 解得：sinA，tanB， ∴∠A＝60°，∠B＝30°， 则∠C＝180°﹣60°﹣30°＝90°． 故△ABC为直角三角形． 【点评】本题考查了特殊角的三角函数值，解答本题的关键是掌握特殊角的三角函数值以及非负数的性质． 15．在△ABC中，已知∠A，∠B都是锐角，且|2sinA|+（2cos2B）2＝0，判断△ABC的形状． 【分析】直接利用特殊角的三角函数值得出∠A，∠B的度数，进而得出答案． 【解答】解：∵|2sinA|+（2cos2B）2＝0， ∴2sinA0，2cos2B0， 则sinA，cosB， 故∠A＝∠B＝60°， 则△ABC是等边三角形． 【点评】此题主要考查了特殊角的三角函数值以及偶次方和绝对值的性质，正确记忆特殊角的三角函数值是解题关键． ◆1.特殊角的三角函数值表： 三角函数 30° 45° 60° sin α cos α tan α 1 ◆2.锐角三角函数的增减性： 当角度在0°～90°之间变化时，正弦值和正切值随着角度的增大（或减小）而 增大（或减小）； 余弦值随着角度的增大（或减小）而减小（或增大）. 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $