25.2随机事件的概率(基础篇）练习2025-2026学年华东师大版 数学九年级上册

25.1在重复试验中观察不确定现象 （30分提至70分使用） 义 览 概 讲 课 索 探 新 概率的意义 　　一般地，在大量重复试验中，如果事件A发生的频率会稳定在某个常数p附近，那么这个常数p就叫做事件A的概率。 概率的表示方法 一般地，事件用英文大写字母A，B，C，…，表示事件A的概率p，可记为P（A）=P 概率的求解方法 １．利用频率估算法：大量重复试验中，事件A发生的频率会稳定在某个常数p附近，那么这个常数p就叫做事件A的概率（有些时候用计算出Ａ发生的所有频率的平均值作为其概率）． ２．狭义定义法：如果在一次试验中，有n种可能的结果，并且它们发生的可能性都相等，考察事件A包含其中的m中结果，那么事件A发生的概率为P（A）= ３．列表法：当一次试验要设计两个因素，可能出现的结果数目较多时，为不重不漏地列出所有可能的结果，通常采用列表法．其中一个因素作为行标，另一个因素作为列标． 特别注意放回去与不放回去的列表法的不同．如：一只箱子中有三张卡片，上面分别是数字１、２、３，第一抽出一张后再放回去再抽第二次，两次抽到数字为数字１和２或者２和１的概率是多少？若不放回去，两次抽到数字为数字１和２或者２和１的概率是多少？ 放回去　P（１和２）=　　　　　　　不放回去P（１和２）= ４．树状图法：当一次试验要设计三个或更多的因素时，用列表法就不方便了，为了不重不漏地列出所有可能的结果，通常采用树状图法求概率． 注意：求概率的一个重要技巧：求某一事件的概率较难时，可先求其余事件的概率或考虑其反面的概率再用１减——即正难则反易． 型 习 练 题 判断事件概率的大小关系 1．事件：买体育彩票中一等奖；事件：抛掷一枚质地均匀的骰子，朝上的点数小于7；事件：在标准大气压下，温度低于时冰融化．3个事件的概率分别记为、、，则、、的大小关系正确的是（　　） A． B． C． D． 2．投掷一枚形状规则、质地均匀的骰子，有下列事件：①掷得的点数是6；②掷得的点数不大于4；③掷得的点数是奇数．这些事件发生的可能性由大到小排列是（    ） A．②①③ B．③①② C．②③① D．③②① 3．随机事件的概率是（   ） A．1 B．0 C．大于0且小于1 D．大于1 4．一个不透明的盒子中装有个红球和个白球，它们除颜色不同外其它都相同．若从中随机摸出一个球，则下列叙述正确的是（    ） A．摸到黑球是不可能事件 B．摸到白球是必然事件 C．摸到红球与摸到白球的可能性相等 D．摸到红球比摸到白球的可能性大 5．抛一枚均匀的骰子，下列事件中，发生可能性最大的是（　 　） A．点数是奇数 B．点数是3的倍数 C．点数大于5 D．点数小于5 求某事件的频率 6．林业局将一批树苗移栽到林区，已知这批树苗的成活率接近0.95，已知移栽的树苗为2000棵，那么移栽后未成活的树苗约有（　　） A．75棵 B．100棵 C．150棵 D．1900棵 7．某人将一枚质量均匀的硬币连续抛10次，落地后正面朝上6次，反面朝上4次，下列说法正确的是（    ） A．出现反面的频率是6 B．出现反面的频率是4 C．出现反面的频率是0.4 D．出现反面的频率是0.6 8．调查某班 名同学的跳高成绩时，在收集到的数据中，不足 米的数出现的频率是 ，则达到或超过 米的数出现的频率是 （ ） A． B． C． D． 9．“长城是中华民族的骄傲”的英文是“”．在这句英文中，字母“i”出现的频率是（    ） A． B． C． D． 10．不透明的口袋中装有10个黄球和若干个白球，它们除颜色外完全相同，通过多次摸球试验后发现，摸到白球的频率稳定在0.6附近，估计口袋中白球大约有（　　） A．12个 B．15个 C．18个 D．20个 由频率估计概率 11．某种幼树在相同条件下移植实验的结果如表： 移植总数n 400 750 1500 3500 7000 9000 14000 成活数m 369 662 1335 3203 6335 8073 12628 成活的频率 根据以上数据可以估计幼树成活的概率约为（    ） A． B． C． D． 12．兴趣小组利用计算器进行模拟试验，来探究“6个人中有2个人生肖相同的概率”，下表是他们试验中获得的数据．通过该小组试验估计，“6个人中有2个人生肖相同”的概率约为（精确到）（    ） 试验次数 100 300 500 1000 1600 2000 “6人中有2个人生肖相同”的次数 79 229 385 781 1251 1562 “6人中有2个人生肖相同”的频率 A． B． C． D． 13．某射箭运动员在同一条件下的射击成绩记录如表： 射击次数 100 200 300 400 500 800 1000 “射中10环”的次数 65 136 210 284 350 552 700 “射中10环”的频率 0.65 0.68 0.70 0.71 0.70 0.69 0.70 根据频率的稳定性，估计这名运动员射击一次时“射中10环”的概率是（    ） A．0.65 B．0.60 C．0.70 D．0.75 14．在一批同型号的产品中，随机抽取1件产品进行检测并记录结果，然后放回搅匀，视为完成1次检测，已知共完成了100次检测，其中有5次检测到不合格品，则可估计从这批产品中随机抽取一件是合格品的概率是（   ） A．0.05 B．0.1 C．0.95 D．0.90 15．在一个暗箱里放有a个除颜色外其它完全相同的球，这a个球中红球有5个，每次将球搅拌均匀后，任意摸出一个球记下颜色再放回暗箱．通过大量重复摸球试验后发现，摸到红球的频率稳定在0.2，那么可以推算出a大约是（    ）． A．25 B．20 C．15 D．10 列表法或树状法求概率 16．“石头、剪子、布”是一个广为流传的游戏，规则是：甲、乙两人都做出“石头”“剪子”“布”3种手势中的1种，其中“石头”赢“剪子”，“剪子”赢“布”，“布”赢“石头”，手势相同不分输赢．假设甲、乙两人每次都随意并且同时做出3种手势中的1种． (1)甲每次做出“石头”手势的概率为_________； (2)用画树状图或列表的方法，求乙获胜的概率． 17．用图中的两个可自由转动的等分转盘做“配紫色”游戏（一红一蓝可配成紫色），如果同时转动两个转盘，那么转盘停止时指针所指的颜色可配成紫色的概率是多少． 18．为了宣传防诈骗的重要性，某小区物业在小区居民中招募志愿宣传者，现有2名男性，2名女性，共4人报名． (1)从4人中抽取1人为男性的概率是多少． (2)请用列表或画树状图的方法，求从这4人中随机挑选2人，恰好抽到2人都为男性的概率是多少． 19．如图，有3张分别印有《哪吒之魔童闹海》角色图案的卡片：A哪吒，B敖丙，C太乙真人．将这3张卡片（形状、大小、质地都相同）放在不透明的盒子中，搅匀后从中任意取出1张卡片后记录，放回后搅匀，再随机取出1张卡片．求下列事件发生的概率： (1)第一次取出的卡片图案为“C太乙真人”的概率为___________． (2)用画树状图或列表的方法，求取出的2张卡片为“A哪吒”和“B敖丙”的概率． 20．一个不透明的口袋中有四个完全相同的小球，把它们分别标号为1，2，3，4． (1)随机摸取一个小球，则标号为奇数的概率为______． (2)随机摸取一个小球，然后不放回，再随机摸取一个小球，用列表或画树状图的方法，求两次取出的小球的标号是相邻整数的概率． 游戏的公平性 21．小丽和小芳玩游戏，规则是：将三张分别写有数字，，的卡片（除数字外卡片完全相同）放在一个不透明的盒子里，随机抽取两张，若抽到两张卡片上的数字之和为偶数则小丽获胜；若为奇数，则小芳获胜． (1)抽到两张卡片数字之和为的概率为______． (2)请用列表法或画树状图分析这个游戏是否公平． 22．学校组织综合实践活动，有10名同学参加，其中男生6人，女生4人． (1)若从这10人中随机选取一人作为领队，求选到女生的概率． (2)若某项实践活动只在甲、乙两人中选一人，准备以游戏的方式决定由谁参加，规则如下：将四张牌面数字分别为2，3，4，5的扑克牌洗匀后，数字朝下放于桌面，从中任取2张，若牌面数字之和为偶数，则甲参加，否则乙参加．试问这个游戏公平吗？请说明理由． 23．小颖和小亮都想去观看“垃圾分类”宣传演出，但只有一张入场券．于是，老师就设计了这样的一个游戏：一口袋装有除颜色外均相同的2个白球1个红球和1个蓝球，通过摸球来决定谁去观看演出．方案如下：第一次随机从口袋中摸出一球（不放回）；第二次再任意摸出一球，两人胜负规则如下：摸到“一白一红”，则小颖去观看；摸到“一红一蓝”，则小亮去观看． (1)这个方案公平吗?请用列表或画树状图的方法说明理由； (2)你若认为这个方案不公平，那么请你改变两人胜负规则，设计一个公平的方案． 24．有两颗相同的骰子，骰子各个面的点数分别为1，2，3，4，5，6，小风和小荷玩游戏，规定：每人连续投掷2次，若掷出两次的点数之和小于7，则小风胜，否则小荷胜．这个游戏公平吗？请说明理由． 25．某班在选拔人员参加年级数学竞赛过程中，有A，B两同学分数相同，由于参赛名额所限，这两人中只能一个参赛，经商议决定采取摸球方式解决，将2个红球、1个绿球放到一个不透明的袋子中，这些球除颜色外无其他差别，从袋子中随机摸出2个球． (1)“摸出的2个球，都是红球”是________事件；（填“随机”或“不可能”或“必然”） (2)若两同学以摸球方式决定代表参加数学竞赛，摸出的2个球，若颜色相同，则同学去参赛；若颜色不同，则同学去参赛，这游戏方案设计公平吗？说明理由． 学科网（北京）股份有限公司 $ 25.1在重复试验中观察不确定现象 （30分提至70分使用） 义 览 概 讲 课 索 探 新 概率的意义 　　一般地，在大量重复试验中，如果事件A发生的频率会稳定在某个常数p附近，那么这个常数p就叫做事件A的概率。 概率的表示方法 一般地，事件用英文大写字母A，B，C，…，表示事件A的概率p，可记为P（A）=P 概率的求解方法 １．利用频率估算法：大量重复试验中，事件A发生的频率会稳定在某个常数p附近，那么这个常数p就叫做事件A的概率（有些时候用计算出Ａ发生的所有频率的平均值作为其概率）． ２．狭义定义法：如果在一次试验中，有n种可能的结果，并且它们发生的可能性都相等，考察事件A包含其中的m中结果，那么事件A发生的概率为P（A）= ３．列表法：当一次试验要设计两个因素，可能出现的结果数目较多时，为不重不漏地列出所有可能的结果，通常采用列表法．其中一个因素作为行标，另一个因素作为列标． 特别注意放回去与不放回去的列表法的不同．如：一只箱子中有三张卡片，上面分别是数字１、２、３，第一抽出一张后再放回去再抽第二次，两次抽到数字为数字１和２或者２和１的概率是多少？若不放回去，两次抽到数字为数字１和２或者２和１的概率是多少？ 放回去　P（１和２）=　　　　　　　不放回去P（１和２）= ４．树状图法：当一次试验要设计三个或更多的因素时，用列表法就不方便了，为了不重不漏地列出所有可能的结果，通常采用树状图法求概率． 注意：求概率的一个重要技巧：求某一事件的概率较难时，可先求其余事件的概率或考虑其反面的概率再用１减——即正难则反易． 型 习 练 题 判断事件概率的大小关系 1．事件：买体育彩票中一等奖；事件：抛掷一枚质地均匀的骰子，朝上的点数小于7；事件：在标准大气压下，温度低于时冰融化．3个事件的概率分别记为、、，则、、的大小关系正确的是（　　） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了概率的分类（不可能事件、随机事件、必然事件）及概率大小的判断，解题关键是判断每个事件属于不可能事件、随机事件还是必然事件，再根据各类事件的概率范围比较大小． 根据事件类型判断概率：事件A是随机事件，事件B是必然事件，事件C是不可能事件，再比较概率大小即可． 【详解】∵ 事件A：买体育彩票中一等奖，是随机事件， ∴ ． ∵ 事件B：抛掷一枚质地均匀的骰子，朝上的点数小于7（骰子点数最大为6，均小于7），是必然事件， ∴ ． ∵ 事件C：在标准大气压下，温度低于0℃时冰融化，是不可能事件， ∴ ． ∴． 故选B． 2．投掷一枚形状规则、质地均匀的骰子，有下列事件：①掷得的点数是6；②掷得的点数不大于4；③掷得的点数是奇数．这些事件发生的可能性由大到小排列是（    ） A．②①③ B．③①② C．②③① D．③②① 【答案】C 【分析】此题考查了事件的可能性，比较各事件包含的可能结果数，数量越多可能性越大． 【详解】投掷一枚均匀骰子共有6种等可能结果． ①点数为6：仅1种结果，概率为； ②点数不大于4：包括1、2、3、4，共4种结果，概率为； ③点数为奇数：包括1、3、5，共3种结果，概率为． 可能性由大到小为． 故选：C． 3．随机事件的概率是（   ） A．1 B．0 C．大于0且小于1 D．大于1 【答案】C 【分析】本题主要考查了事件的可能性，随机事件是在一定条件下可能发生，也可能不发生的事件，故随机事件的概率是大于0且小于1． 【详解】解：随机事件是在一定条件下可能发生，也可能不发生的事件，故随机事件的概率是大于0且小于1， 故选：C． 4．一个不透明的盒子中装有个红球和个白球，它们除颜色不同外其它都相同．若从中随机摸出一个球，则下列叙述正确的是（    ） A．摸到黑球是不可能事件 B．摸到白球是必然事件 C．摸到红球与摸到白球的可能性相等 D．摸到红球比摸到白球的可能性大 【答案】A 【分析】不可能事件是概率论中把在一定条件下不可能发生的事件叫不可能事件，人们通常用来表示不可能事件发生的可能性；必然事件，在一定的条件下重复进行试验时，有的事件在每次试验中必然会发生，这样的事件叫必然发生的事件，简称必然事件，必然事件发生的概率为，但概率为的事件不一定为必然事件，根据随机事件的分类及概率的计算即可求解． 【详解】解：选项，装有个红球和个白球，不可能摸到黑球，是不可能事件，符合题意； 选项，装有个红球和个白球，可能摸到白球，也可能摸到红球，是随机事件，不符合题意； 选项，装有个红球和个白球，摸到红球的概率是，摸到白球的概率是，概率不同，不符合题意； 选项，装有个红球和个白球，摸到红球的概率小于摸到白球的概率，不符合题意； 故选：． 【点睛】本题主要考查随机事件及概率，理解随机事件的分类，概率的计算方法是解题的关键． 5．抛一枚均匀的骰子，下列事件中，发生可能性最大的是（　 　） A．点数是奇数 B．点数是3的倍数 C．点数大于5 D．点数小于5 【答案】D 【分析】分别计算各自概率后判断即可． 【详解】A．∵奇数有1，3，5共3个，∴点数是奇数的概率为； B．∵3的倍数的数有3，6，∴点数是3的倍数的概率为； C．∵点数大于5的数有6共1个，∴点数大于5的概率为； D．∵点数小于5的数有1，2，3，4共4个，∴点数小于5的概率为； ∵， ∴发生可能性最大的是点数小于5． 故选D． 【点睛】此题考查了概率的计算方法，如果一个事件有n种可能，而且这些事件的可能性相同，其中事件A出现m种结果，那么事件A的概率． 求某事件的频率 6．林业局将一批树苗移栽到林区，已知这批树苗的成活率接近0.95，已知移栽的树苗为2000棵，那么移栽后未成活的树苗约有（　　） A．75棵 B．100棵 C．150棵 D．1900棵 【答案】B 【分析】本题主要考查频率的应用，根据成活率求出未成活率，再乘以2000即可得出结果． 【详解】解：（棵）， 故选：B 7．某人将一枚质量均匀的硬币连续抛10次，落地后正面朝上6次，反面朝上4次，下列说法正确的是（    ） A．出现反面的频率是6 B．出现反面的频率是4 C．出现反面的频率是0.4 D．出现反面的频率是0.6 【答案】C 【分析】此题主要考查了频数与频率，正确掌握频率的定义是解题关键． 直接利用频率求法，频数÷总数＝频率，进而得出答案． 【详解】解：∵某人将一枚质量均匀的硬币连续抛10次，落地后正面朝上6次，反面朝上4次， ∴出现反面的频率是． 故选：C 8．调查某班 名同学的跳高成绩时，在收集到的数据中，不足 米的数出现的频率是 ，则达到或超过 米的数出现的频率是 （ ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查求频率，根据频率之和为1，进行求解即可． 【详解】解：在收集到的数据中，不足 米的数出现的频率是 ， 则达到或超过 米的数出现的频率是： 故选B． 9．“长城是中华民族的骄傲”的英文是“”．在这句英文中，字母“i”出现的频率是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查求频率，直接利用频率公式进行计算即可． 【详解】解：一共40个字母，字母“i”出现了4次， ∴； 故选C． 10．不透明的口袋中装有10个黄球和若干个白球，它们除颜色外完全相同，通过多次摸球试验后发现，摸到白球的频率稳定在0.6附近，估计口袋中白球大约有（　　） A．12个 B．15个 C．18个 D．20个 【答案】B 【分析】本题主要考查了利用频率估计概率．设口袋中白球大约有x个，根据概率公式列出算式，再进行计算即可得出答案． 【详解】解：设口袋中白球大约有x个， ∵摸到白色球的频率稳定在0.6左右， ∴， 解得：， 经检验，是原方程的解， ∴估计口袋中白球大约有15个． 故选：B 由频率估计概率 11．某种幼树在相同条件下移植实验的结果如表： 移植总数n 400 750 1500 3500 7000 9000 14000 成活数m 369 662 1335 3203 6335 8073 12628 成活的频率 根据以上数据可以估计幼树成活的概率约为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题主要考查了根据频率求概率，根据概率的统计定义，当试验次数足够大时，事件发生的频率会稳定在某个常数附近，这个常数即为概率的估计值．根据移植总数最大时对应的成活频率最接近真实概率，进行求解即可． 【详解】解：∵大量重复试验中，频率稳定于概率， 又∵移植总数时，成活频率为， ∴估计幼树成活的概率约为． 故选：C． 12．兴趣小组利用计算器进行模拟试验，来探究“6个人中有2个人生肖相同的概率”，下表是他们试验中获得的数据．通过该小组试验估计，“6个人中有2个人生肖相同”的概率约为（精确到）（    ） 试验次数 100 300 500 1000 1600 2000 “6人中有2个人生肖相同”的次数 79 229 385 781 1251 1562 “6人中有2个人生肖相同”的频率 A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了用频率估计概率，熟练掌握用频率估计概率是解题的关键．试验次数据越大，频率越接近概率．从试验数据看，当试验次数达到1000以上时，频率稳定在附近，因此估计概率为（精确到0.01）． 【详解】解：通过图表给出的数据得出，该小组估计“6个人中有2个人 生肖相同”的频率稳定在附近，所以可估计概率为（精确到0.01）． 故选：C． 13．某射箭运动员在同一条件下的射击成绩记录如表： 射击次数 100 200 300 400 500 800 1000 “射中10环”的次数 65 136 210 284 350 552 700 “射中10环”的频率 0.65 0.68 0.70 0.71 0.70 0.69 0.70 根据频率的稳定性，估计这名运动员射击一次时“射中10环”的概率是（    ） A．0.65 B．0.60 C．0.70 D．0.75 【答案】C 【分析】本题考查了用频率估计概率，根据频率的稳定性原理，当试验次数大量增加时，频率会逐渐稳定在概率附近．观察表中数据，“射中环”的频率在附近波动，且随着射击次数增加，频率趋于，因此概率估计为． 【详解】∵ 射击次数从增加到时， “射中环”的频率分别为、、、、、、， 整体围绕上下波动， 当射击次数最大（次）时，频率为， ∴ 根据频率的稳定性，可估计这名运动员射击一次时“射中环”的概率为． 故选：C． 14．在一批同型号的产品中，随机抽取1件产品进行检测并记录结果，然后放回搅匀，视为完成1次检测，已知共完成了100次检测，其中有5次检测到不合格品，则可估计从这批产品中随机抽取一件是合格品的概率是（   ） A．0.05 B．0.1 C．0.95 D．0.90 【答案】C 【分析】本题主要考查由频率估算概率，解题的关键是理解题意；通过频率估计概率，合格品的频率即为概率的估计值． 【详解】解：∵总检测次数为100次，其中不合格品5次， ∴合格品的次数为次， ∴合格品的概率估计值为； 故选C． 15．在一个暗箱里放有a个除颜色外其它完全相同的球，这a个球中红球有5个，每次将球搅拌均匀后，任意摸出一个球记下颜色再放回暗箱．通过大量重复摸球试验后发现，摸到红球的频率稳定在0.2，那么可以推算出a大约是（    ）． A．25 B．20 C．15 D．10 【答案】A 【分析】此题主要考查了利用频率估计概率，解答此题的关键是利用红球的个数除以总数等于概率．根据频率估计概率的原理，摸到红球的频率稳定在0.2，即概率为0.2，利用概率公式建立方程求解． 【详解】解：∵摸到红球的频率稳定在0.2， ∴摸到红球的概率约为0.2， ∴， 解得， 因此，a大约是25． 故选：A． 列表法或树状法求概率 16．“石头、剪子、布”是一个广为流传的游戏，规则是：甲、乙两人都做出“石头”“剪子”“布”3种手势中的1种，其中“石头”赢“剪子”，“剪子”赢“布”，“布”赢“石头”，手势相同不分输赢．假设甲、乙两人每次都随意并且同时做出3种手势中的1种． (1)甲每次做出“石头”手势的概率为_________； (2)用画树状图或列表的方法，求乙获胜的概率． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查概率定义、列表法求概率，用统计思想，方法是定义法和列表法，技巧是准确列举结果，解题关键是掌握概率公式和列表法，易错点是列举结果重复或遗漏； （1）根据概率定义直接求；（2）用列表法列举所有结果后求． 【详解】（1）解：“石头、剪子、布”共有三种情况，“石头”是其中一种，所以甲每次做出 “石头” 手势的概率为； （2）通过列表法分析所有可能的结果： 甲\乙 石头 剪子 布 石头 平局 甲胜 乙胜 剪子 乙胜 平局 甲胜 布 甲胜 乙胜 平局 总共有9种等可能的结果，其中乙获胜的结果有3种。 根据概率公式，乙获胜的概率为； 故答案为． 17．用图中的两个可自由转动的等分转盘做“配紫色”游戏（一红一蓝可配成紫色），如果同时转动两个转盘，那么转盘停止时指针所指的颜色可配成紫色的概率是多少． 【答案】 【分析】本题考查了列表法或树状图法求概率，解题关键是准确画树状图． 用树状图表示同时转动两个转盘指针所指颜色所有等可能出现的结果，再根据概率的定义进行计算即可． 【详解】解：用树状图表示同时转动两个转盘指针所指颜色所有等可能出现的结果如下： 共有6种等可能出现的结果，其中能配成紫色的有1种， 所以同时转动两个转盘，那么转盘停止时指针所指的颜色可配成紫色的概率是． 18．为了宣传防诈骗的重要性，某小区物业在小区居民中招募志愿宣传者，现有2名男性，2名女性，共4人报名． (1)从4人中抽取1人为男性的概率是多少． (2)请用列表或画树状图的方法，求从这4人中随机挑选2人，恰好抽到2人都为男性的概率是多少． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了列表法与树状图法：利用列表法或树状图法展示所有等可能的结果n，再从中选出符合事件A或B的结果数目m，然后利用概率公式计算事件A或事件B的概率． （1）直接利用概率公式求解即可； （2）画树状图，共有12种等可能的结果，抽到2人都为男性的结果有2种，再由概率公式求解即可． 【详解】（1）解：从4人中抽取1人为男性的概率是， 故答案为：； （2）解：画树状图如下： 共有12种等可能的结果，抽到2人都为男性的结果有2种， ∴抽到2人都为男性的概率为． 19．如图，有3张分别印有《哪吒之魔童闹海》角色图案的卡片：A哪吒，B敖丙，C太乙真人．将这3张卡片（形状、大小、质地都相同）放在不透明的盒子中，搅匀后从中任意取出1张卡片后记录，放回后搅匀，再随机取出1张卡片．求下列事件发生的概率： (1)第一次取出的卡片图案为“C太乙真人”的概率为___________． (2)用画树状图或列表的方法，求取出的2张卡片为“A哪吒”和“B敖丙”的概率． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了求概率． （1）直接根据概率公式计算即可； （2）画出树状图，根据概率公式计算即可． 【详解】（1）解：第一次取出的卡片图案为“C太乙真人”的概率为， 故答案为：； （2）解：如图： 可知共9种情况，其中取出的2张卡片为“A哪吒”和“B敖丙”情况有两种， 则取出的2张卡片为“A哪吒”和“B敖丙”的概率． 20．一个不透明的口袋中有四个完全相同的小球，把它们分别标号为1，2，3，4． (1)随机摸取一个小球，则标号为奇数的概率为______． (2)随机摸取一个小球，然后不放回，再随机摸取一个小球，用列表或画树状图的方法，求两次取出的小球的标号是相邻整数的概率． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查概率公式以及用列表法或画树状图法求概率，熟练掌握概率公式，用列表法或画树状图法分析是解题的关键． （1）直接由概率公式求即可； （2）利用列表法分析出共有12种等可能的结果，其中两次取出的小球的标号是相邻整数的结果有6种，然后由概率公式计算即可． 【详解】（1）解：由题意知，共有4种等可能的结果，其中标号为奇数的结果有2种， ∴随机摸取一个小球，则标号为奇数的概率为． 故答案为：． （2）依题意列表如下： 1 2 3 4 1 —— （2，1） （3，1） （4，1） 2 （1，2） —— （3，2） （4，2） 3 （1，3） （2，3） —— （4，3） 4 （1，4） （2，4） （3，4） —— 由上表可知，摸取第一个小球后不放回，共有12种等可能的结果，其中两次取出的小球的标号是相邻整数的结果有6种， ∴P（两次取出的小球的标号是相邻整数）＝． 游戏的公平性 21．小丽和小芳玩游戏，规则是：将三张分别写有数字，，的卡片（除数字外卡片完全相同）放在一个不透明的盒子里，随机抽取两张，若抽到两张卡片上的数字之和为偶数则小丽获胜；若为奇数，则小芳获胜． (1)抽到两张卡片数字之和为的概率为______． (2)请用列表法或画树状图分析这个游戏是否公平． 【答案】(1) (2)这个游戏不公平 【分析】本题考查用列表法或树状图法求概率．列表法可以不重复不遗漏的列出所有可能的结果，适合于两步完成的事件；树状图法适合两步或两步以上完成的事件；解题时要注意此题是放回实验还是不放回实验．解题的关键是掌握：概率=所求情况数与总情况数之比． （1）通过画树状图法表示所有可能出现的结果情况，然后根据概率公式求出“抽到两张卡片数字之和为”的概率即可； （2）通过画树状图法表示所有可能出现的结果情况，求出“和为偶数”“和为奇数”的概率，然后进行比较即可得出答案． 【详解】（1）解：画树状图如图： 共有个等可能的结果，抽取的两张卡片上的数字之和为的结果数有种， ∴（抽到两张卡片数字之和为）， 故答案为：； （2）画树状图如图： 共有个等可能的结果，抽取的两张卡片上的数字之和为偶数的结果数有种，和为奇数的结果数有种， ∴（抽取的两张卡片上的数字之和为偶数）， （抽取的两张卡片上的数字之和为奇数）， ∵， ∴这个游戏不公平． 22．学校组织综合实践活动，有10名同学参加，其中男生6人，女生4人． (1)若从这10人中随机选取一人作为领队，求选到女生的概率． (2)若某项实践活动只在甲、乙两人中选一人，准备以游戏的方式决定由谁参加，规则如下：将四张牌面数字分别为2，3，4，5的扑克牌洗匀后，数字朝下放于桌面，从中任取2张，若牌面数字之和为偶数，则甲参加，否则乙参加．试问这个游戏公平吗？请说明理由． 【答案】(1) (2)不公平，理由见解析 【分析】本题考查简单公式求概率，列表法计算概率等． （1）由题意列式约分即可得到本题答案； （2）由题意列出表格，分别计算出偶数和奇数概率，再进行比较即可得到本题答案． 【详解】（1）解：∵有10名同学参加，其中男生6人，女生4人， ∴选到女生的概率为； （2）解：列表如下：     第二张第一张 2 3 4 5 2 5 6 7 3 5 7 8 4 6 7 9 5 7 8 9 任取2张，牌面数字之和的所有可能结果为：5，6，7，5，7，8，6，7，9，7，8，9，共12种，其中和为偶数的有：6，8，6，8， 故甲参加的概率为，而乙参加的概率为． ∵， ∴游戏不公平． 23．小颖和小亮都想去观看“垃圾分类”宣传演出，但只有一张入场券．于是，老师就设计了这样的一个游戏：一口袋装有除颜色外均相同的2个白球1个红球和1个蓝球，通过摸球来决定谁去观看演出．方案如下：第一次随机从口袋中摸出一球（不放回）；第二次再任意摸出一球，两人胜负规则如下：摸到“一白一红”，则小颖去观看；摸到“一红一蓝”，则小亮去观看． (1)这个方案公平吗?请用列表或画树状图的方法说明理由； (2)你若认为这个方案不公平，那么请你改变两人胜负规则，设计一个公平的方案． 【答案】(1)这个游戏不公平，详见解析 (2)拿出一个白球或放进一个蓝球，其他不变．游戏就公平了． 【分析】本题考查的是游戏公平性的判断．判断游戏公平性就要计算每个事件的概率，概率相等就公平，否则就不公平．画出树状图，求出他们各自获胜的概率是解答本题的关键． （1）画出树状图，根据概率公式即可求出概率，比较概率即可得出结论； （2）让二者的概率相同即可． 【详解】（1）解：游戏方案不公平，理由如下： 由树状图可以看出：共有12种可能，摸到“一白一红”有4种，摸到“一红一蓝”的情况有2种， 故小颖获胜的概率为 ，小亮获胜的概率为，所以这个游戏不公平． （2）解：当拿出一个白球时，其他不变，同理可求摸到“一白一红”和摸到“一红一蓝”的概率均是； 或放进一个蓝球，其他不变，则同理可求摸到“一白一红”和摸到“一红一蓝”的概率均是； ∴游戏就公平了． 24．有两颗相同的骰子，骰子各个面的点数分别为1，2，3，4，5，6，小风和小荷玩游戏，规定：每人连续投掷2次，若掷出两次的点数之和小于7，则小风胜，否则小荷胜．这个游戏公平吗？请说明理由． 【答案】不公平，理由见解析 【分析】本题考查的是游戏公平性的判断，熟练掌握用树状图或表格求概率是解答本题的关键．判断游戏公平性就要计算每个事件的概率，概率相等就公平，否则就不公平． 【详解】解：不公平，理由如下： 列表得两次所得点数之情况： 和 1 2 3 4 5 6 1 2 3 4 5 6 7 2 3 4 5 6 7 8 3 4 5 6 7 8 9 4 5 6 7 8 9 10 5 6 7 8 9 10 11 6 7 8 9 10 11 12 一共有36种等可能的结果，点数之和小于7的一共15种情况， 则和小于7的概率，即小风胜的概率为； 和大于或等于7的概率，即小荷胜的概率为；小风和小荷胜的概率不相等， 故这个游戏对双方不公平． 25．某班在选拔人员参加年级数学竞赛过程中，有A，B两同学分数相同，由于参赛名额所限，这两人中只能一个参赛，经商议决定采取摸球方式解决，将2个红球、1个绿球放到一个不透明的袋子中，这些球除颜色外无其他差别，从袋子中随机摸出2个球． (1)“摸出的2个球，都是红球”是________事件；（填“随机”或“不可能”或“必然”） (2)若两同学以摸球方式决定代表参加数学竞赛，摸出的2个球，若颜色相同，则同学去参赛；若颜色不同，则同学去参赛，这游戏方案设计公平吗？说明理由． 【答案】(1)随机 (2)不公平，理由见解析 【分析】本题考查的是游戏公平性的判断．判断游戏公平性就要计算每个事件的概率，概率相等就公平，否则就不公平．用到的知识点为：概率=所求情况数与总情况数之比． （1）根据事件的分类进行判断即可； （2）游戏是否公平，关键要看是否游戏双方赢的机会相等，即判断双方取胜的概率是否相等，或转化为在总情况明确的情况下，判断双方取胜所包含的情况数目是否相等即可． 【详解】（1）解：∵一个不透明的袋子中放有2个红球、1个绿球， ∴摸出的2个球都是红球”是随机事件， 故答案为：随机； （2）解：不公平．理由如下： 列表如下：      球1 球2 红1 红2 绿 红1 （红2，红1） （绿，红1） 红2 （红1，红2） （绿，红2） 绿 （红1，绿） （红2，绿） ∴共有6种结果，每种结果出现的可能性相等，且摸出的2个球颜色相同的结果有2种． ∴P（摸出的2个球颜色相同）， P（摸出的2个球颜色不同）． 故该游戏方案对双方不公平． 学科网（北京）股份有限公司 $