24.3锐角三角函数(基础篇）练习2025-2026学年华东师大版 数学九年级上册

24.3锐角三角函数 （30分提至70分使用） 义 览 概 讲 课 索 探 新 1. 如图，在△ABC中，∠C=90° ①锐角A的对边与斜边的比叫做∠A的正弦， 记为sinA，即 ②锐角A的邻边与斜边的比叫做∠A的余弦，记为cosA，即 ③锐角A的对边与邻边的比叫做∠A的正切，记为tanA，即 ④锐角A的邻边与对边的比叫做∠A的余切，记为cotA，即 2. 锐角三角函数的概念 锐角A的正弦、余弦、正切、余切都叫做∠A的锐角三角函数． 3. 各锐角三角函数之间的关系 （1）互余关系：sinA=cos(90°—A)，cosA=sin(90°—A) tanA=cot(90°—A)，cotA=tan(90°—A) （2）平方关系： （3）倒数关系：tanAcotA=1 （4）弦切关系：tanA=；cotA= 4. 锐角三角函数的增减性：当角度在0°~90°之间变化时， （1）正弦值随着角度的增大（或减小）而增大（或减小） （2）余弦值随着角度的增大（或减小）而减小（或增大） （3）正切值随着角度的增大（或减小）而增大（或减小） （4）余切值随着角度的增大（或减小）而减小（或增大） 5. 一些特殊角的三角函数值 三角函数 0° 30° 45° 60° 90° sinα 0 1 cosα 1 0 tanα 0 1 不存在 cotα 不存在 1 0 型 习 练 题 求角的正弦值 1．如图，的顶点在正方形网格的交点处，则的值为（   ） A．2 B． C． D． 【答案】D 【分析】本题主要考查了锐角三角函数的定义和勾股定理，熟练掌握正弦的定义是解题的关键． 通过作辅助线构造直角三角形，利用勾股定理求出相关线段的长度，再根据正弦的定义（对边与斜边的比值）计算的值． 【详解】解：取格点D，连接、，则，A、B、三点不共线， 由网格可知，， 在中， ， ， 故选：． 2．在中，，则的值是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了正弦的定义，在直角三角形中，，为斜边，定义为的对边与斜边的比值，即． 【详解】解：， ， 故选：A． 3．如图，在平面直角坐标系中，点P是第一象限的点，其坐标为，且与x轴正半轴的夹角为，则的正弦值是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查解直角三角形，勾股定理，过P作轴于H，由P的坐标，得到，，结合勾股定理列式计算得，由锐角的正弦定义进行列式化简，即可作答． 【详解】解：过P作轴于H， ∵P的坐标是， ∴，， 则， ∴， 即的正弦值是． 故选：C． 4．如图，在中，，如果把的各边都扩大为原来的4倍，则的值（    ） A．不变 B．缩小为原来的倍 C．扩大为原来的2倍 D．扩大为原来的4倍 【答案】A 【分析】本题考查了锐角三角函数的相关知识，明确正弦等于对边比斜边是解题的关键． 求出扩大前后的值即可求解． 【详解】解：∵在中，， ∴． 如果把的各边都扩大为原来的4倍， ∴， ∴的值不变． 故选：A． 5．如图，在中，，那么的正弦值是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查三角函数，熟记公式是解题关键． 根据锐角三角函数的定义即可解答． 【详解】解：在中，， 故选：A． 求角的余弦值 6．在中，，，，则（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查余弦函数的定义，在直角三角形中，余弦等于邻边比斜边．先利用勾股定理求出斜边，再计算． 【详解】解：在中，，，， ， ． 故选：B． 7．如图，在中，，，，那么的值为（   ） A． B．2 C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了锐角三角函数的定义，掌握锐角的余弦等于锐角的邻边比斜边是解题的关键． 根据勾股定理，可得的长，根据锐角的余弦等于锐角的邻边比斜边，可得答案． 【详解】解：在中，，，，由勾股定理，得 ． 由锐角的余弦，得． 故选：C． 8．如图，在中，，，，则的值是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据勾股定理，得，根据计算解答即可． 本题考查了勾股定理，余弦的定义，熟练掌握三角函数的定义是解题的关键． 【详解】解：∵，，，， ∴， ∵， ∴， 故选：B． 9．如图，的顶点都是正方形网格中的格点，则等于（   ）． A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题主要考查了勾股定理、等边对等角、余弦的定义等知识点，发现是解题的关键． 由勾股定理可得、，易得，由等边对等角可得，然后根据余弦的定义求解即可． 【详解】解：由勾股定理可得：，， ∵， ∴， ∴， ∴． 故选D． 10．如图，在的正方形方格图形中，小正方形的顶点称为格点，的顶点都在格点上，则图中的余弦值是（    ） A．2 B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查勾股定理及其逆定理，锐角三角函数的定义；一个直角三角形中，两条直角边长的平方之和一定等于斜边长的平方；其逆定理为如果三角形两条边的平方和等于第三边的平方，那么这个三角形就是直角三角形，最长边所对的角为直角；利用格点分别求出、、，可判断出是直角三角形，进而求出的余弦值. 【详解】解：∵由图可知，，，， ∴是直角三角形，且， ∵， ∴ 故选：D． 求角的正切值 11．如果把一个的三边都扩大2倍，那么锐角A的正切值（    ） A．扩大2倍 B．保持不变 C．缩小到原来的 D．以上都有可能 【答案】B 【分析】本题主要考查了求角的正切值，在直角三角形中，一个锐角的正切值等于该角所对的直角边与另一条直角边的比值，据此求解即可． 【详解】解：在中，不妨设， ∴， ∴把三边的长度都扩大为原来的2倍后， ∴锐角A的正切值保持不变， 故选：B． 12．如图，在中，，则的值为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了锐角三角函数的概念：在直角三角形中，锐角的正弦等于对边比斜边；余弦等于邻边比斜边；锐角的正切等于对边比邻边． 根据锐角的正切等于对边比邻边作答即可． 【详解】解：在中，，则． 故选：C． 13．如图，在的正方形网格中，每个小正方形的边长均为，若的三个顶点都在格点上，则的值为（　　） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了勾股定理及逆定理，锐角三角函数，由勾股定理及逆定理可得是直角三角形，且，进而根据正切的定义即可求解，正确作出辅助线是解题的关键． 【详解】解：如图，取格点，连接， 由网格可得，，，， ∵， ∴是直角三角形，且， ∴， 故选：． 14．在中，，，，那么的值是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了勾股定理、锐角三角函数的定义．先利用勾股定理求，再根据正切定义求即可．熟练掌握勾股定理和锐角三角函数的定义是解题的关键． 【详解】解：∵，，， ∴ 由勾股定理，， ． 故选：A． 15．如图，在正方形网格中，的三个顶点都在网格中的格点上，则的值为（   ） A．1 B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了解直角三角形，解题的关键是掌握直角三角形中，锐角的正切值等于对边比邻边． 由锐角的正切的定义，计算即可得到答案． 【详解】解：连接，如图所示， 由网格可知，， ， 故选：B． 特殊三角形的三角函数 16．的值为（    ） A． B． C．1 D． 【答案】D 【分析】题目主要考查特殊角的三角函数，牢记特殊角的三角函数值是解题关键． 根据，直接判断即可． 【详解】解：， 故选：D． 17．（　　） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了特殊角的三角函数值，根据特殊角的三角函数值即可求解，熟记特殊角的三角函数值是解题的关键． 【详解】解：， 故选：B． 18．如图，每个小正方形的边长均为1，则的值为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了求角的正弦值，由图可得，，得出的度数，再利用正弦的定义即可求解． 【详解】解：由图可得，，， ∴， ∴． 故选：D． 19．下列式子错误的是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了特殊角三角函数的运算，根据，，以及特殊角的三角函数值进行逐项分析，即可作答． 【详解】解：A、，原式正确，故该选项不符合题意； B、，原式正确，故该选项不符合题意； C、，原式正确，故该选项不符合题意； D、，则，原式不正确，故该选项符合题意； 故选：D． 20．计算：（　　） A． B．1 C． D． 【答案】C 【分析】此题主要考查了特殊角的三角函数值，实数的运算，正确记忆相关数据是解题关键． 直接利用特殊角的三角函数值代入，进而计算得出答案． 【详解】解：依题意，， ∴． 故选：C． 判断三角形形状 21．若，则（　　） A．是直角三角形 B．是等边三角形 C．是含有60°的任意三角形 D．是顶角为钝角的等腰三角形 【答案】A 【分析】由已知可得，，从而可得，进而可得的形状． 【详解】解：∵， ∴，， ∴，， ∴，， ∴， ∴是直角三角形． 故选：A． 【点睛】本题考查平方的非负性，绝对值的非负性，直角三角形的判定，特殊角的三角函数值． 22．在中，A、B都是锐角，，，下列说法正确的是（    ） A． B． C．是等边三角形 D．是直角三角形 【答案】C 【分析】本题考查的是特殊角的三角函数值，熟记、、角的各种三角函数值是解题的关键． 根据特殊角的三角函数值分别求出、，根据等边三角形的判定定理判断即可． 【详解】解：，， ，， ∴． 是等边三角形． 故选项C说法正确，符合题意；选项A、B、D说法错误，不符合题意． 故选：C． 23．在中，若，，则的形状是（ ） A．等腰三角形 B．等腰直角三角形 C．直角三角形 D．一般锐角三角形 【答案】B 【分析】本题考查了特殊角的三角函数值，解答本题的关键是掌握几个特殊角的三角函数值．根据特殊角的三角函数值求出、的度数，然后判断的形状． 【详解】解：在中， ， ， ， 故为等腰直角三角形． 故选：B． 24．在中，若，则么一定是（    ） A．锐角三角形 B．钝角三角形 C．等边三角形 D．等腰直角三角形 【答案】D 【分析】根据非负数的和为零，可得每个非负数同时为零，根据特殊角三角函数值，可得A、B的值，根据直角三角形的判定，可得答案． 本题考查了特殊角三角函数值，直角三角形的判定，熟记特殊角三角函数值是解题关键． 【详解】解：∵ ∴， ∴， ∴， ∴． ∴一定是等腰直角三角形， 故选：D． 25．在中， ，那么是（    ） A．等腰三角形 B．等边三角形 C．直角三角形 D．等腰直角三角形 【答案】A 【分析】本题考查了特殊角的三角函数值，熟记特殊角的三角函数值是解答本题的关键，根据特殊角的三角函数值即可求出的大小，即可得出结论． 【详解】解：∵， ∴， ∴， ∴， 是等腰三角形 故选：A． 根据特殊角三角函数值求角的度数 26．若，则锐角的度数为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查特殊角的三角函数值． 根据已知正弦值，即可得锐角的度数． 【详解】解：∵ ， 为锐角， ∴ ． 故选：B． 27．在中，，那么的度数是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了根据特殊角三角函数值求角的度数，结合已知边和的长度，计算的值，再根据特殊角的三角函数值确定的度数，即可作答． 【详解】解：∵在中，， ∴为斜边， ∵， ∴， ∴， 故选：D． 28．若，则锐角的度数是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题主要考查了根据特殊角的三角函数值求角的度数，根据题意可得，则，据此求解即可． 【详解】解：∵， ∴， ∵，且为锐角， ∴， ∴， 故选：A． 29．在中，若，满足，且，均为锐角，则的度数为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了三角形内角和性质，特殊角的三角函数值，绝对值的非负性，正确掌握相关性质内容是解题的关键．根据非负数的性质，绝对值和平方项均为零，从而求出和的度数，再根据三角形内角和定理求，即可作答． 【详解】解：∵，且， ∴， 即， ∵，均为锐角， ∴， ∴， 故选：D． 30．如果的、满足，那么的度数是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了特殊角的三角函数值和三角形内角和定理的知识，掌握以上的知是解答本题的关键；本题根据特殊角的三角函数值求得，，然后根据三角形内角和定理的知识，即可求解． 【详解】解：∵， ∴，， ∴，， ∵、是的内角， ∴，， 由三角形内角和定理，得， 故选：D． 比较三角函数值的大小 31．比较，，的大小关系是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题主要考查了锐角三角函数值的比较，掌握锐角三角函数的增减性是做题的关键． 利用三角函数的关系将转化为，再根据余弦函数在锐角范围内的递减性，比较和，最后利用正切函数的递增性和特殊值比较与即可． 【详解】解：， 又在锐角范围内，余弦函数递减，且， ， 即． ，且正切函数在锐角范围内递增，， ， 又∵（余弦函数递减，）， ， 综上，． 故选：D． 32．三角函数、、之间的大小关系是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题主要考查了锐角三角函数的特点．根据三角函数之间的关系，得出，再根据余弦值随着角度的增大而减小进行判断即可． 【详解】解：∵， 又，余弦值随着角度的增大而减小， ∴，故C正确． 故选：C． 33．如图，梯子（长度不变）跟地面所成的锐角为，叙述正确的是（    ） A．的值越大，梯子越陡 B．的值越大，梯子越陡 C．的值越小，梯子越陡 D．陡缓程度与的函数值无关 【答案】A 【分析】本题考查三角函数定义与性质，熟记“值越大越大；值越小越大；值越大越大”是解决问题的关键．据此逐项判断即可求解． 【详解】解：A.的值越大，梯子越陡，故原选项判断正确，符合题意； B.的值越小，梯子越陡，故原选项判断错误，不合题意； C.的值越大，梯子越陡，故原选项判断错误，不合题意； D.陡缓程度与的三角函数值有关，故原选项判断错误，不合题意． 故选：A 34．的大小关系是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】该题考查了特殊角的三角函数值，比较三角函数在时的大小关系，需利用三角函数在锐角范围内的变化规律．首先比较和的大小，再分析的值，最后综合得出顺序． 【详解】解：， 的值最大， 又， ， ， 故选：D． 35．已知，则下列各式中正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查同角的三角函数的关系，特殊锐角三角函数值以及锐角三角函数的增减性，掌握锐角三角函数的定义，特殊锐角三角函数值以及锐角三角函数的增减性是正确判断的前提．根据逐项进行判断即可． 【详解】解：A．由于一个锐角的余弦值随着锐角的增大而减小，而，所以 ，因此选项A不符合题意； B．由于一个锐角的正切值随着锐角的增大而增大，而所以，即，因此选项B不符合题意； C．由于，而，即，所以，即，因此选项C不符合题意； D．由于锐角的对边除以斜边，锐角的对边除以锐角的邻边，而锐角的邻边小于斜边，所以，因此选项D符合题意． 故选：D． 三角函数综合 36．在中，，所对的边分别为a、b、c，下列等式中一定成立的是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查的是锐角三角函数的定义，熟记锐角三角函数的定义是解题关键．在直角三角形中，根据锐角三角函数的定义，逐一验证各选项的正确性． 【详解】在中，，则：，，，． 选项A：由，得，而非，故选项A不成立． 选项B：由，两边乘以得，此式恒成立，故选项B正确． 选项C：由，得，而非．若代入，则，化简得，仅当时成立，故选项C不一定成立． 选项D：由，得，而非．若代入，则，化简得，同样仅当时成立，故选项D不一定成立． 综上，只有选项B一定成立． 故选：B 37．已a、b、c分别为△ABC中的对边，若关于x的方程有两个相等的实根且，则的形状为（    ） A．直角三角形 B．等腰三角形 C．等边三角形 D．等腰直角三角形 【答案】D 【分析】本题主要考查了等腰直角三角形的性质和一元二次方程判别式与根的关系，由于关于x的方程有两个相等的实根，所以判别式，解可得，即；又已知，可得，故．根据这两个条件可以判断的形状为等腰直角三角形． 【详解】解：∵关于x的方程有两个相等的实根， ∴， 化简，得， 即． ∴； 又∵， ∴， 故， ∴， 所以的形状为等腰直角三角形． 故选：D． 38．如图，某停车场入口的栏杆从水平位置绕点旋转到的位置．已知米，栏杆的旋转角，则旋转后点的对应点到的距离为（   ） A．米 B．米 C．米 D．米 【答案】A 【分析】本题考查解直角三角形的应用，根据正弦函数的定义求解． 【详解】解：由旋转可得， 在中，，， ∴（米）． 故选：A． 39．如图所示的衣架可以近似看成一个等腰，其中，，则高可表示为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了锐角三角函数，根据是等腰的高，可得是直角三角形，根据，可以表示出的长度． 【详解】解：是等腰的高， ， 在中，， 又， ， 故选： A． 40．如图，一个不可伸拉的梯子与地面所成的夹角为，关于的三角函数值与梯子的倾斜程度之间的关系，下列说法正确的是（   ）    A．值越大，梯子越陡 B．值越大，梯子越陡 C．值越小，梯子越陡 D．陡缓程度与的函数值无关 【答案】A 【分析】本题考查锐角三角函数值的变化规律：正弦值和正切值都是随着角度的增大而增大；余弦值是随着角度的增大而减小，根据规律，结合选项逐项判断即可得到答案，熟记锐角三角函数值的变化规律是解决问题的关键． 【详解】解：A、正弦值是随着角度的增大而增大，则值越大，越大，梯子越陡，选项说法正确，符合题意； B、余弦值是随着角度的增大而减小，则值越大，越小，梯子越缓，选项说法错误，不符合题意； C、正切值是随着角度的减小而减小，则值越小，越小，梯子越缓，选项说法错误，不符合题意； D、由锐角三角函数值的变化规律可知，梯子的陡缓程度与的函数值有关，选项说法错误，不符合题意； 故选：A． 学科网（北京）股份有限公司 $ 24.3锐角三角函数 （30分提至70分使用） 义 览 概 讲 课 索 探 新 1. 如图，在△ABC中，∠C=90° ①锐角A的对边与斜边的比叫做∠A的正弦， 记为sinA，即 ②锐角A的邻边与斜边的比叫做∠A的余弦，记为cosA，即 ③锐角A的对边与邻边的比叫做∠A的正切，记为tanA，即 ④锐角A的邻边与对边的比叫做∠A的余切，记为cotA，即 2. 锐角三角函数的概念 锐角A的正弦、余弦、正切、余切都叫做∠A的锐角三角函数． 3. 各锐角三角函数之间的关系 （1）互余关系：sinA=cos(90°—A)，cosA=sin(90°—A) tanA=cot(90°—A)，cotA=tan(90°—A) （2）平方关系： （3）倒数关系：tanAcotA=1 （4）弦切关系：tanA=；cotA= 4. 锐角三角函数的增减性：当角度在0°~90°之间变化时， （1）正弦值随着角度的增大（或减小）而增大（或减小） （2）余弦值随着角度的增大（或减小）而减小（或增大） （3）正切值随着角度的增大（或减小）而增大（或减小） （4）余切值随着角度的增大（或减小）而减小（或增大） 5. 一些特殊角的三角函数值 三角函数 0° 30° 45° 60° 90° sinα 0 1 cosα 1 0 tanα 0 1 不存在 cotα 不存在 1 0 型 习 练 题 求角的正弦值 1．如图，的顶点在正方形网格的交点处，则的值为（   ） A．2 B． C． D． 2．在中，，则的值是（    ） A． B． C． D． 3．如图，在平面直角坐标系中，点P是第一象限的点，其坐标为，且与x轴正半轴的夹角为，则的正弦值是（    ） A． B． C． D． 4．如图，在中，，如果把的各边都扩大为原来的4倍，则的值（    ） A．不变 B．缩小为原来的倍 C．扩大为原来的2倍 D．扩大为原来的4倍 5．如图，在中，，那么的正弦值是（    ） A． B． C． D． 求角的余弦值 6．在中，，，，则（   ） A． B． C． D． 7．如图，在中，，，，那么的值为（   ） A． B．2 C． D． 8．如图，在中，，，，则的值是（   ） A． B． C． D． 9．如图，的顶点都是正方形网格中的格点，则等于（   ）． A． B． C． D． 10．如图，在的正方形方格图形中，小正方形的顶点称为格点，的顶点都在格点上，则图中的余弦值是（    ） A．2 B． C． D． 求角的正切值 11．如果把一个的三边都扩大2倍，那么锐角A的正切值（    ） A．扩大2倍 B．保持不变 C．缩小到原来的 D．以上都有可能 12．如图，在中，，则的值为（    ） A． B． C． D． 13．如图，在的正方形网格中，每个小正方形的边长均为，若的三个顶点都在格点上，则的值为（　　） A． B． C． D． 14．在中，，，，那么的值是（   ） A． B． C． D． 15．如图，在正方形网格中，的三个顶点都在网格中的格点上，则的值为（   ） A．1 B． C． D． 特殊三角形的三角函数 16．的值为（    ） A． B． C．1 D． 17．（　　） A． B． C． D． 18．如图，每个小正方形的边长均为1，则的值为（    ） A． B． C． D． 19．下列式子错误的是（    ） A． B． C． D． 20．计算：（　　） A． B．1 C． D． 判断三角形形状 21．若，则（　　） A．是直角三角形 B．是等边三角形 C．是含有60°的任意三角形 D．是顶角为钝角的等腰三角形 22．在中，A、B都是锐角，，，下列说法正确的是（    ） A． B． C．是等边三角形 D．是直角三角形 23．在中，若，，则的形状是（ ） A．等腰三角形 B．等腰直角三角形 C．直角三角形 D．一般锐角三角形 24．在中，若，则么一定是（    ） A．锐角三角形 B．钝角三角形 C．等边三角形 D．等腰直角三角形 25．在中， ，那么是（    ） A．等腰三角形 B．等边三角形 C．直角三角形 D．等腰直角三角形 根据特殊角三角函数值求角的度数 26．若，则锐角的度数为（   ） A． B． C． D． 27．在中，，那么的度数是（    ） A． B． C． D． 28．若，则锐角的度数是（   ） A． B． C． D． 29．在中，若，满足，且，均为锐角，则的度数为（   ） A． B． C． D． 30．如果的、满足，那么的度数是（   ） A． B． C． D． 比较三角函数值的大小 31．比较，，的大小关系是（   ） A． B． C． D． 32．三角函数、、之间的大小关系是（   ） A． B． C． D． 33．如图，梯子（长度不变）跟地面所成的锐角为，叙述正确的是（    ） A．的值越大，梯子越陡 B．的值越大，梯子越陡 C．的值越小，梯子越陡 D．陡缓程度与的函数值无关 34．的大小关系是（   ） A． B． C． D． 35．已知，则下列各式中正确的是（    ） A． B． C． D． 三角函数综合 36．在中，，所对的边分别为a、b、c，下列等式中一定成立的是（    ） A． B． C． D． 37．已a、b、c分别为△ABC中的对边，若关于x的方程有两个相等的实根且，则的形状为（    ） A．直角三角形 B．等腰三角形 C．等边三角形 D．等腰直角三角形 38．如图，某停车场入口的栏杆从水平位置绕点旋转到的位置．已知米，栏杆的旋转角，则旋转后点的对应点到的距离为（   ） A．米 B．米 C．米 D．米 39．如图所示的衣架可以近似看成一个等腰，其中，，则高可表示为（   ） A． B． C． D． 40．如图，一个不可伸拉的梯子与地面所成的夹角为，关于的三角函数值与梯子的倾斜程度之间的关系，下列说法正确的是（   ）    A．值越大，梯子越陡 B．值越大，梯子越陡 C．值越小，梯子越陡 D．陡缓程度与的函数值无关 学科网（北京）股份有限公司 $