23.3相似三角形(基础篇）讲义 2025-2026学年华东师大版（2012） 数学九年级上册

本讲义聚焦相似三角形核心知识点，系统梳理定义、判定（两角对应相等、两边成比例且夹角相等、三边成比例）及性质（对应角相等、对应边成比例，三线、周长比等于相似比，面积比等于相似比平方），构建从基础概念到综合应用（含网格作图、实际测量问题）的学习支架。 资料以“30分提至70分”为目标分层设计，含思维导图助力知识结构化，通过网格作图题培养几何直观，结合河流宽度测量等实际应用问题发展模型意识。课中便于教师分层教学，课后学生可通过多样题型强化推理能力，弥补知识薄弱点。

23.3相似三角形 （30分提至70分使用） 义 览 概 讲 课 索 探 新 1． 相似三角形的判定 ①两角对应相等，两个三角形相似；②两边对应成比例且夹角相等，两三角形相似； ③三边对应成比例，两三角形相似． 2． 相似三角形的性质 ①相似三角形的对应角相等,对应边成比例； ②相似三角形对应高的比、对应中线的比和对应角平分线的比都等于相似比； ③相似三角形周长的比等于相似比；面积的比等于相似比的平方． 型 习 练 题 相似三角形 1．如图，，且，则与的相似比为(       ) A． B． C． D． 2．如图，△ABC中，∠A＝90°，AC＝6，AB＝8，点O在AB上，以O为圆心，OC为半径的圆与AB相切于D，则⊙O的半径为（　　） A． B． C．4 D．5 3．如图，中，点在边上，且满足，若，，则的长为（ ） A．1 B．2 C．3 D．4 4．如图，已知点、分别在边、上，，＝，那么等于（ ） A．1:2 B．1:3 C．1:4 D．2:3 5．如图，中，，，，则与的相似比是（ ） A．3:2 B．2:3 C．3:5 D．5:3 相似三角形的判定综合 6．如图，在中，点，分别在边，上，添加一个条件仍不能判定与相似的是（    ） A． B． C． D． 7．如图，在锐角中，、分别是边、上的高，它们相交于点，则图中与相似的三角形（不含）有（   ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 8．下列说法中，错误的是（    ） A．顶角为的两个等腰三角形相似 B．一个锐角为的两个直角三角形相似 C．一个直角三角形两边长分别是12和8，另一个直角三角形两边长分别是9和6，则这两个直角三角形相似 D．两个等边三角形一定相似 9．如图，已知点是边边上的一点，连接．以下条件中不能判定的是（   ） A． B． C． D． 10．下列各组条件中，一定能推得与相似的是（    ） A．且 B．∠A＝∠B且； C．且 D．且 利用相似三角形的性质求解 11．如果两个相似三角形的相似比是，那么它们的对应中线的比是（   ） A． B． C． D． 12．若两个相似三角形的面积比为，则这两个相似三角形的周长比（    ） A． B． C． D．无法确定 13．如图，在中，D，E是边的三等分点，F，G是边的三等分点，若的面积为m，则四边形与的面积差是（    ） A． B． C． D． 14．已知，若的面积为6，则的面积为（    ） A．3 B．24 C．12 D．36 15．两个相似三角形，其面积之比为，则其周长之比为（   ） A． B． C． D．不能确定 在网格中画相似三角形 16．如图，在边长为1的小正方形组成的网格中，给出了格点顶点是网格线的交点． (1)将向上平移3个单位得到，请在网格图中画出； (2)请画一个格点，使，且相似比不为1； (3)用无刻度直尺在上找出一个三等分点． 17．如图是由边长为1的小正方形组成的的网格，每个小正方形的顶点叫做格点，三个顶点都是格点．仅用无刻度的直尺在给定网格中完成两个画图任务． (1)在图1中，画，使点在格点上，且与相似，且相似比为2．（只需画出一个即可） (2)在图2中，线段上找一点，使（保留作图痕迹）． 18．如图，在的正方形网格中，每个小正方形的顶点叫作格点，点、、均在格点上，用无刻度的直尺作图． (1)在图①中画一个格点三角形与原三角形相似且有一条公共边； (2)在图②中的线段上找一个点，使． 19．如图，在由边长为1个单位长度的小正方形组成的网格中，点，，均为格点．（网格线的交点） (1)在边上找一点，使得； (2)在边上找一点，使得． 20．如图，在正方形网格上有和． (1)这两个三角形相似吗？为什么？ (2)在网格中再画一个三角形，使它与相似，并求出其相似比． 相似三角形的判定与性质综合 21．如图，中，D、E分别在上，且，，，． (1)求证：； (2)求的长． 22．已知，如图，，，，． (1)求的长； (2)如果，，试求的长． 23．如图，矩形中，，，点E，F分别在上，将四边形沿翻折，使点的对称点落在边上，点的对称点为点G，交于点，已知，设． (1)求的长； (2)求的长． 24．如图，在中，点D、E、F分别在边上，，， (1)求的长； (2)如果点A到的距离为8，求四边形的面积． 25．已知：如图，在中，点D、E分别在，上，，点F在边上，，与相交于点G． (1)求证：； (2)当点E为的中点时，求证：． 相似三角形的应用 26．白河，古称淯水、白水，是南阳母亲河，小宛想通过自己所学的数学知识计算河流的宽度．如图，河流两侧河岸平行，他在河的对岸选定一个目标作为点A，再在这一侧的河岸边选出点B和点C，分别在的延长线上取点D、E，连接DE，使得．经测量，米，米，且点E到河岸的距离为1200米．过点A作于点F（即为河流的宽度），请你根据提供的数据计算河流的宽度． 27．国庆前夕，某校举行了升旗仪式．小明为测量操场上悬挂国旗的旗杆的高度，设计了如下的测量方案：如图所示，竖直标杆的高度，标杆与旗杆的水平距离，人的眼睛与地面的高度，人与标杆的水平距离，E，C，A三点共线，于点M，交于点N．求旗杆的高度． 28．题文（现实生活中，人们可以借助光源来测量物体的高度．已知一条小路上有榕树和灯柱．如图所示，在灯柱上有一盏路灯，榕树和灯柱的底端在同一水平线上，两棵榕树在路灯下都有影子． 根据上述内容，解答下列问题： (1)小问已知榕树在路灯下的影子为，请画出路灯的位置和榕树在路灯下的影子； (2)如图，若榕树的高度为3.6米，其离路灯的距离为6米，榕树的影长为4米，求路灯的高． 29．如图是阳光综合实践小组设计的利用小树来测量某路灯高度的示意图．先测得树与路灯的水平距离为，小树的高为，之后发现路灯顶点O的影子与树梢点A的影子重合，此时记录小树在路灯O的照射下形成树影的长为，已知点P，B，C在一条直线上，，，求路灯的高度． 30．如图，一路灯距地面米，身高米的小方在距离灯的底部（点）米的处，请画出小方的影子，并求小方的影长． 学科网（北京）股份有限公司 $ 23.3相似三角形 （30分提至70分使用） 义 览 概 讲 课 索 探 新 1． 相似三角形的判定 ①两角对应相等，两个三角形相似；②两边对应成比例且夹角相等，两三角形相似； ③三边对应成比例，两三角形相似． 2． 相似三角形的性质 ①相似三角形的对应角相等,对应边成比例； ②相似三角形对应高的比、对应中线的比和对应角平分线的比都等于相似比； ③相似三角形周长的比等于相似比；面积的比等于相似比的平方． 型 习 练 题 相似三角形 1．如图，，且，则与的相似比为(       ) A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据两个相似三角形的相似比等于这两个相似三角形的对应边的比，所以对于这道题，与的相似比只要找到即可． 【详解】∵，∴， ∴与的相似比为.故选项B正确. 【点睛】此题考查的是相似三角形的相似比的概念，利用相似比是相似三角形的对应边的比，结合已知条件找到两条对应边的长度是关键． 2．如图，△ABC中，∠A＝90°，AC＝6，AB＝8，点O在AB上，以O为圆心，OC为半径的圆与AB相切于D，则⊙O的半径为（　　） A． B． C．4 D．5 【答案】B 【分析】连接OD，得到OD⊥AB，利用勾股定理求出BC为10，再利用相似三角形列出方程求解即可 【详解】 解：连接OD，则OD⊥AB． ∵∠A＝90°，AC＝6，AB＝8， ∴BC＝10， ∵∠A＝90°， ∴OD∥AC， 设半径为r， ， r＝， 故选B． 【点睛】本题主要考查了线段与圆相切问题与相似三角形的综合应用，熟练掌握相关概念是解题关键 3．如图，中，点在边上，且满足，若，，则的长为（ ） A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】C 【分析】由题意，在△ABC中，点D在边AB上，满足∠ACD=∠ABC，可证△ABC∽△ACD，再根据相似三角形对应边成比例来解答即可． 【详解】解：∵∠ACD=∠ABC，∠A=∠A， ∴△ABC∽△ACD， ∵AC=2，AD=1， 解得DB=3． 故选C． 【点睛】本题主要考查相似三角形的性质及对应边长成比例，难点在于找对应边． 4．如图，已知点、分别在边、上，，＝，那么等于（ ） A．1:2 B．1:3 C．1:4 D．2:3 【答案】B 【分析】根据BD=2AD，求出AD：AB的值，在根据相似三角形的性质求得DE：BC，最后再根据面积之比即可求解． 【详解】解：∵BD=2AD， ∴AD：AB=1：3， ∵DE∥BC， ∴△ADE∽△ABC， ∴DE：BC=1：3． ∵△DBE和△EBC的高相同，设这个高为h， ∴ 故选B． 【点睛】本题主要考查了相似三角形的判定和性质，找准对应线段是解题的关键． 5．如图，中，，，，则与的相似比是（ ） A．3:2 B．2:3 C．3:5 D．5:3 【答案】C 【分析】由三角形的相似比即相似三角形的对应边的比可得出答案． 【详解】解：∵DE∥BC， ∴△ADE∽△ABC， 又AD=3，DB=2， 故选C． 【点睛】本题主要考查了相似三角形的性质问题，对于一些基础问题，能够熟练掌握． 相似三角形的判定综合 6．如图，在中，点，分别在边，上，添加一个条件仍不能判定与相似的是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了相似三角形的判定，熟练掌握相似三角形的判定是解题关键． ①有两个角相等的两个三角形相似；②两边对应成比例且夹角相等的两个三角形相似，则两个三角形相似；③三边成比例的两个三角形相似； 根据相似三角形的判定方法逐一判断即可． 【详解】解：由题意得：， A．，有两个角对应相等，能使与相似，不符合题意． B．由得，有两个角对应相等，能使与相似，不符合题意． C．，有两组对应边的比相等，且其夹角相等，能使与相似，不符合题意． D． ，有两组对应边的比相等但夹角不一定相等，不能使与相似，符合题意． 故选：D． 7．如图，在锐角中，、分别是边、上的高，它们相交于点，则图中与相似的三角形（不含）有（   ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】C 【分析】本题主要考查相似三角形的判定，根据已知及相似三角形的判定方法从而找到图中存在的相似三角形即可． 【详解】解：①∵， ∴， 又， ∴； ②∵； ∴， 又， ∴； ③∵， ∴， 又， ∴， ∴； ∴图中与相似的三角形（不含）有3个 故选：C． 8．下列说法中，错误的是（    ） A．顶角为的两个等腰三角形相似 B．一个锐角为的两个直角三角形相似 C．一个直角三角形两边长分别是12和8，另一个直角三角形两边长分别是9和6，则这两个直角三角形相似 D．两个等边三角形一定相似 【答案】C 【分析】本题考查三角形相似的判定条件，选项A和B通过两组角对应相等判断相似，正确；选项D等边三角形必然相似，正确；选项C中直角三角形两边成比例但对应关系不确定，可能不相似． 【详解】解：A：∵顶角为的等腰三角形，底角均为， ∴两个等腰三角形的三个内角对应相等，故两三角形相似，原说法正确，不符合题意． B：∵两个直角三角形的一锐角都为， ∴两个直角三角形的两个角对应相等，两三角形相似，原说法正确，不符合题意． C：设第一个直角三角形两边为12和8，第二个为9和6，若第一个直角三角形的直角边为12和8，斜边为；第二个直角三角形的斜边为9，一条直角边为6，另一直角边为，此时，故两三角形此时不相似，原说法错误，符合题意； D：∵等边三角形三角均为且三边成比例， ∴两个等边三角形一定相似，原说法正确，不符合题意． 故选：C． 9．如图，已知点是边边上的一点，连接．以下条件中不能判定的是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题主要考查了三角形相似的判定，解决此题的关键是熟练掌握三角形相似的各种判定方法；判定三角形相似的方法有两组相等的角的三角形相似，两组对应边成比例及其夹角相等的三角形相似，三边对应成比例的三角形相似，根据判定方法一一判断即可； 【详解】解：∵是公共角， ∴当或时，根据有两组相等的角的三角形相似得， 故A和B正确； 当时，即，根据两组对应边成比例及其夹角相等的三角形相似得， 故C正确； 当时，不是夹角，故不能判定和相似， 故D错误； 故选D． 10．下列各组条件中，一定能推得与相似的是（    ） A．且 B．∠A＝∠B且； C．且 D．且 【答案】C 【分析】此题主要考查了相似三角形的判定，根据三角形相似的判定方法：①两角法：有两组角对应相等的两个三角形相似可以判断出A、B的正误；②两边及其夹角法：两组对应边的比相等且夹角对应相等的两个三角形相似可以判断出C、D的正误，即可选出答案． 【详解】解：如图， A、和是同一个三角形的内角，故不能判定两三角形相似，故此选项错误； B、不是两个三角形对应相等的角，故不能判定两三角形相似，故此选项错误； C、由可以根据两组边对应成比例且夹角相等的两个三角形相似可以判断出与相似，故此选项正确； D、且，不能判定两三角形相似，因为相等的两个角不是夹角，故此选项错误； 故选：C． 利用相似三角形的性质求解 11．如果两个相似三角形的相似比是，那么它们的对应中线的比是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查相似三角形的性质，熟练掌握相似三角形的性质是解题的关键，根据相似三角形的性质，三角形中对应线段的比等于相似比，即可得到答案． 【详解】解：∵两个相似三角形的相似比是， ∴它们的对应中线的比等于相似比， 故选：B． 12．若两个相似三角形的面积比为，则这两个相似三角形的周长比（    ） A． B． C． D．无法确定 【答案】B 【分析】本题考查了相似三角形的性质：相似三角形的面积比等于相似比的平方，周长比等于相似比；根据此性质先求出相似比，即可解答． 【详解】解：∵两个相似三角形的面积比为，且面积比等于相似比的平方， ∴相似比， ∴周长比． 故选：B． 13．如图，在中，D，E是边的三等分点，F，G是边的三等分点，若的面积为m，则四边形与的面积差是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查相似三角形的判定和性质，解题的关键是掌握相似三角形面积比等于相似比的平方．由点、、、分别是边、的三等分点，可得，，即可证得，然后由相似三角形面积比等于相似比的平方，求得的值，继而求得答案． 【详解】解：点、、、分别是边、的三等分点， ，， ， ， 的面积是， 四边形与的面积是和， 四边形与的面积差是， 故选：D． 14．已知，若的面积为6，则的面积为（    ） A．3 B．24 C．12 D．36 【答案】B 【分析】本题考查了相似三角形的判定和性质，根据相似三角形面积比等于相似比的平方，由此即可求解． 【详解】解：已知，， ∴， ∴， ∵的面积为6， ∴， 故选：B ． 15．两个相似三角形，其面积之比为，则其周长之比为（   ） A． B． C． D．不能确定 【答案】B 【分析】本题考查了相似三角形的性质，如果两个三角形相似，那么它们的对应角相等，对应边的比，对应高的比，对应中线的比，对应角平分线的比，周长比都等于相似比；面积比等于相似比的平方． 相似三角形的面积比等于相似比的平方，周长比等于相似比． 【详解】解：∵两个相似三角形，其面积之比为， ∴相似比， ∴周长之比为，即3∶2． 故选B． 在网格中画相似三角形 16．如图，在边长为1的小正方形组成的网格中，给出了格点顶点是网格线的交点． (1)将向上平移3个单位得到，请在网格图中画出； (2)请画一个格点，使，且相似比不为1； (3)用无刻度直尺在上找出一个三等分点． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 (3)见解析 【分析】本题主要考查了平移变换以及相似变换，正确得出对应点位置是解题关键． （1）利用平移的性质得出对应点位置，进而得出答案； （2）利用相似图形的性质，将各边扩大2倍，进而得出答案． （3）取格点D，E，F，G，连接，则与的交点即为所求． 【详解】（1）解：如图，即为所求； （2）解：如图，即为所求． （3）解：如图，点即为所求． 17．如图是由边长为1的小正方形组成的的网格，每个小正方形的顶点叫做格点，三个顶点都是格点．仅用无刻度的直尺在给定网格中完成两个画图任务． (1)在图1中，画，使点在格点上，且与相似，且相似比为2．（只需画出一个即可） (2)在图2中，线段上找一点，使（保留作图痕迹）． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 【分析】本题主要考查了作图-相似变换，相似三角形的判定和性质等知识点，解题的关键是熟练掌握相似三角形的判定方法． (1)根据两边对应成比例且夹角相等的两个三角形相似，进行画图即可； (2) 取格点，连接与相交，交点即为点，根据相似三角形的判定与性质即可说理． 【详解】（1）解：作图如图，点即为所求作的点， ，， ，且相似比为2． （2）解：作图如图，点P即为所求作的点， ∵， ∴ ∴， 即． 18．如图，在的正方形网格中，每个小正方形的顶点叫作格点，点、、均在格点上，用无刻度的直尺作图． (1)在图①中画一个格点三角形与原三角形相似且有一条公共边； (2)在图②中的线段上找一个点，使． 【答案】(1)见详解 (2)见详解 【分析】本题考查了网格与勾股定理，相似三角形的判定与性质，正确掌握相关性质内容是解题的关键． （1）运用网格与勾股定理得，则，故，即可作答． （2）运用网格特征，得，则，故，即，得，即可作答． 【详解】（1）解：如图所示： （2）解：在线段上找一个点，使，如图所示： 19．如图，在由边长为1个单位长度的小正方形组成的网格中，点，，均为格点．（网格线的交点） (1)在边上找一点，使得； (2)在边上找一点，使得． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 【分析】本题主要考查了网格作图、相似三角形的判定、勾股定理、平行四边形的判定与性质、平行线分线段成比例定理等知识， （1）取格点，结合勾股定理可得，进而证明，然后根据“ 两边对应成比例且夹角相等的两个三角形相似”证明即可； （2）取格点，连接交于点，证明四边形为平行四边形，易得，然后根据“平行线分线段成比例定理”即可证明结论． 【详解】（1）解：如图所示，点即为所求； ∵， ∴， ∵， ∴； （2）如图所示，取格点，连接交于点，点即为所求， ∵，且， ∴四边形为平行四边形， ∴， ∴． 20．如图，在正方形网格上有和． (1)这两个三角形相似吗？为什么？ (2)在网格中再画一个三角形，使它与相似，并求出其相似比． 【答案】(1)相似，理由见解析 (2)图见解析，其相似比是 【分析】本题考查了勾股定理与网格问题、相似三角形的判定，熟练掌握相似三角形的判定是解题关键． （1）先利用勾股定理可得的长，再根据相似三角形的判定即可得； （2）结合勾股定理和网格特点画出与相似，且相似比为的三角形即可得． 【详解】（1）解：这两个三角形相似，理由如下： 由图可知，，，，，，， ∴， ∴． （2）解：如图，即为所求． ∵，，， ，，， ∴， ∴，其相似比是． 相似三角形的判定与性质综合 21．如图，中，D、E分别在上，且，，，． (1)求证：； (2)求的长． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】本题考查了相似三角形的判定和性质，平行线的性质，解题的关键是掌握相似三角形的性质与判定定理． （1）借助平行线的性质得到，进而证明； （2）根据（1）中的相似三角形写出相似比求解即可． 【详解】（1）证明：， ， 在和中， ． （2）由（1）知，， ， 即， 解得． 22．已知，如图，，，，． (1)求的长； (2)如果，，试求的长． 【答案】(1)； (2)． 【分析】本题主要考查了平行线分线段成比例定理、相似三角形的判定与性质、平行四边形的判定与性质． （1）根据，可得：，因为，，，所以可得：，从而求出的长度； （2）过点作交于点，交于点，可知四边形和四边形都是平行四边形，所以可得：，根据可证，根据相似三角形的性质可得：，求出的长度，根据得到结果． 【详解】（1）解：， ， ，，， ， ， 解得：； （2）解：如下图所示，过点作交于点，交于点， ， 四边形和四边形都是平行四边形， ， ， ， ， ， ， ，， ， ， ， ． 23．如图，矩形中，，，点E，F分别在上，将四边形沿翻折，使点的对称点落在边上，点的对称点为点G，交于点，已知，设． (1)求的长； (2)求的长． 【答案】(1) (2) 【分析】本题主要考查了矩形与折叠问题，勾股定理，相似三角形的性质与判定，熟知相关知识是解题的关键． （1）由折叠的性质可得，可求出，由勾股定理可得方程，解方程即可得到答案； （2）可证明，，再根据（1）所求代入数值计算即可． 【详解】（1）解：由折叠的性质可得， ∵四边形是矩形， ∴， ∵， ∴； ∵，， ∴， 在中，由勾股定理得， ∴， 解得， ∴； （2）解：∵四边形是矩形， ∴， 由折叠的性质可得， ∴， ∴， ∴， ∴， 由（1）可得，则， ∴， ∴． 24．如图，在中，点D、E、F分别在边上，，， (1)求的长； (2)如果点A到的距离为8，求四边形的面积． 【答案】(1)9 (2) 【分析】本题主要考查了相似三角形的判定和性质等内容，熟练掌握相关知识是解题的关键． （1）证即可得解； （2）利用面积比是相似比的平方即可得解． 【详解】（1）解：， ， ， ， ， ， ， ， ； （2）解：由题可知， ，且相似比为， ， 同理可得， ． 25．已知：如图，在中，点D、E分别在，上，，点F在边上，，与相交于点G． (1)求证：； (2)当点E为的中点时，求证：． 【答案】(1)见详解 (2)见详解 【分析】（1）由，可判断，再由可判断，所以，然后利用相似三角形的性质即可得到结论； （2）作交的延长线于，如图，易得，由点为的中点得，再利用可判定，则根据相似三角形的性质得，然后利用等线段代换即可． 【详解】（1）证明：∵， ， 而， ∴， ∵， ∴， ∴， ， ∴； （2）证明：作交的延长线于，如图， ∵， ∴， ∵点为的中点， ， ， ∴， ∴， ∴， 即． 【点睛】本题考查了相似三角形的判定与性质：在判定两个三角形相似时，应注意利用图形中已有的公共角、公共边等隐含条件，以充分发挥基本图形的作用，寻找相似三角形的一般方法是通过作平行线构造相似三角形；在运用相似三角形的性质时，主要通过相似比得到线段之间的关系． 相似三角形的应用 26．白河，古称淯水、白水，是南阳母亲河，小宛想通过自己所学的数学知识计算河流的宽度．如图，河流两侧河岸平行，他在河的对岸选定一个目标作为点A，再在这一侧的河岸边选出点B和点C，分别在的延长线上取点D、E，连接DE，使得．经测量，米，米，且点E到河岸的距离为1200米．过点A作于点F（即为河流的宽度），请你根据提供的数据计算河流的宽度． 【答案】800米 【分析】本题考查相似三角形的应用，掌握利用平行证明三角形相似，结合相似三角形的对应边成比例求解线段长度是解题的关键． 通过证明求出，再证明得，然后代入数据即可求解． 【详解】解：过点E作，垂足为H， ， ， ∴， ∴ ． ，， ． ， ， ，即 ∴． 答：河流的宽度为800米． 27．国庆前夕，某校举行了升旗仪式．小明为测量操场上悬挂国旗的旗杆的高度，设计了如下的测量方案：如图所示，竖直标杆的高度，标杆与旗杆的水平距离，人的眼睛与地面的高度，人与标杆的水平距离，E，C，A三点共线，于点M，交于点N．求旗杆的高度． 【答案】旗杆AB的高度为 【分析】此题考查了相似三角形的应用，证明．得到，求出．即可求出答案． 【详解】解：由题可得，四边形都是矩形，， ∴，，，，． ∴ ∵，，，， ∴，，． ∴． ∴． ∴． 答：旗杆的高度为． 28．题文（现实生活中，人们可以借助光源来测量物体的高度．已知一条小路上有榕树和灯柱．如图所示，在灯柱上有一盏路灯，榕树和灯柱的底端在同一水平线上，两棵榕树在路灯下都有影子． 根据上述内容，解答下列问题： (1)小问已知榕树在路灯下的影子为，请画出路灯的位置和榕树在路灯下的影子； (2)如图，若榕树的高度为3.6米，其离路灯的距离为6米，榕树的影长为4米，求路灯的高． 【答案】(1)见解析 (2)9米 【分析】本题考查了相似三角形的判定和性质的应用，掌握相似三角形的判定定理和性质定理是解题的关键． （1）根据题意画出图形； （2）证明，根据相似三角形的性质列出比例式，把已知数据代入计算即可． 【详解】（1）解：图①中点P，即为所求； （2）∵， ∴， ∴，即， 解得：． 路灯的高为9米． 29．如图是阳光综合实践小组设计的利用小树来测量某路灯高度的示意图．先测得树与路灯的水平距离为，小树的高为，之后发现路灯顶点O的影子与树梢点A的影子重合，此时记录小树在路灯O的照射下形成树影的长为，已知点P，B，C在一条直线上，，，求路灯的高度． 【答案】路灯的高度为 【分析】本题考查的是相似三角形的应用，先证明可得，再利用相似三角形的性质解答即可． 【详解】解：∵，， ∴， ∴， ∴， ∵，，， ∴， ∴， ∴， ∴路灯的高度为． 30．如图，一路灯距地面米，身高米的小方在距离灯的底部（点）米的处，请画出小方的影子，并求小方的影长． 【答案】图见解析，小方的影长为米． 【分析】本题考查了相似三角形的判定与性质，根据题意画出图形，然后证明，则，设，则，代入得，然后求出的值即可，掌握知识点的应用是解题的关键． 【详解】解：如图所示，为所要求的图形， ∵，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵，， 设，则， ∴， 解得， 经检验：是原方程的解， 答：小方的影长为米． 学科网（北京）股份有限公司 $