23.3　3.相似三角形的性质 同步练习 2024-2025学年华东师大版九年级数学上册

　相似三角形的性质 【A层 基础夯实】 知识点1　相似三角形对应线段及周长的比 1.两个相似三角形一组对应中线的长分别是2 cm和5 cm,其中较小三角形的周长是10 cm,则较大三角形的周长为( ) A.15 cm B.18 cm C.20 cm D.25 cm 2.已知△ABC∽△DEF,其对应中线的比为1∶3,若△ABC的周长为3,则△DEF的周长为( ) A.1 B.3 C.9 D.27 3. (2024·梅州期中)如图,在△ABC中,DE∥BC,=,若△ADE的周长为6,则△ABC的周长为( ) A.12 B.18 C.24 D.26 4.(2024·上海期中)如果两个相似三角形的周长之比为2∶3,那么它们的某一对对应角的平分线之比为 .  5.(2024·无锡期中)如果△ABC与△DEF相似,△ABC的三边之比为3∶4∶6,△DEF的最长边是10 cm,那么△DEF的最短边是 cm.  6.如图,在△ABC中,AD⊥BC,垂足为D,EF∥BC,分别交AB,AC,AD于点E,F,G,=,AD=15,求AG的长. 知识点2　相似三角形面积的比 7.(2024·济南期中)如图,△ABC∽△ADE, S△ABC∶S四边形BDEC=1∶2,其中BC=,则DE的长为( ) A. B.2 C.3 D.6 8.(2024·深圳期中)如图,已知△ABC∽△DBE,DB=8,AB=6,则S△ABC∶S△DBE= .  9.如图,△ABC∽△ADE,且BC=2DE,则的值为 .  10.(2024·西安期中)如图,在△ABC和△ADE中,已知∠B=∠D,∠BAD=∠CAE. (1)求证:△ABC∽△ADE; (2)若S△ABC∶S△ADE=4∶9,BC=6,求DE的长. 【B层 能力进阶】 11.(2024·泉州期中)如图,四边形ABCD中,AD∥BC,对角线AC,BD相交于O,若=,则的值为( ) A. B. C. D. 12.(2024·常州期中)如图,在△ABC中,点D是AC上一点,且∠ABD=∠C,若AD=2,AB=3,则△ABD与△BCD的面积比为( ) A.4∶5 B.4∶9 C.2∶3 D.2∶1 13.(2024·镇江期中)如图,在Rt△ABC中,∠C=90°,AB=10,AC=6,点D是AC边的中点,过点D作一条射线与△ABC的一边交于点E,若射线DE截△ABC所得的小三角形与原△ABC相似,求线段DE的所有可能的长度. 14.如图,△ABC是一张锐角三角形的硬纸片,AD是边BC上的高,BC=40 cm,AD= 30 cm.从这张硬纸片上剪下一个长HG是宽HE的2倍的矩形EFGH,使它的一边EF在BC上,顶点G,H分别在AC,AB上,AD与HG的交点为M. (1)求证:=; (2)求这个矩形EFGH的宽HE的长. 【C层 创新挑战(选做)】 15.(模型观念、推理能力、运算能力)阅读理解: 从三角形(不是等腰三角形)一个顶点引出一条射线与对边相交,顶点与交点之间的线段把这个三角形分割成两个小三角形,如果分得的两个小三角形中一个为等腰三角形,另一个与原三角形相似,我们把这条线段叫做这个三角形的完美分割线. (1)如图,在△ABC中,CD为角平分线,∠A=40°,∠B=60°,求证:CD为△ABC的完美分割线. (2)在△ABC中,∠A=48°,CD为△ABC的完美分割线,且△ACD为等腰三角形,求 ∠ACB的度数. 学科网（北京）股份有限公司 $$ 　相似三角形的性质 【A层 基础夯实】 知识点1　相似三角形对应线段及周长的比 1.两个相似三角形一组对应中线的长分别是2 cm和5 cm,其中较小三角形的周长是10 cm,则较大三角形的周长为(D) A.15 cm B.18 cm C.20 cm D.25 cm 2.已知△ABC∽△DEF,其对应中线的比为1∶3,若△ABC的周长为3,则△DEF的周长为(C) A.1 B.3 C.9 D.27 3. (2024·梅州期中)如图,在△ABC中,DE∥BC,=,若△ADE的周长为6,则△ABC的周长为(B) A.12 B.18 C.24 D.26 4.(2024·上海期中)如果两个相似三角形的周长之比为2∶3,那么它们的某一对对应角的平分线之比为　2∶3　.  5.(2024·无锡期中)如果△ABC与△DEF相似,△ABC的三边之比为3∶4∶6,△DEF的最长边是10 cm,那么△DEF的最短边是　5　cm.  6.如图,在△ABC中,AD⊥BC,垂足为D,EF∥BC,分别交AB,AC,AD于点E,F,G,=,AD=15,求AG的长. 【解析】∵EF∥BC,∴△AEF∽△ABC, ∵AD⊥BC,∴AD⊥EF, ∴=,∵=,AD=15, ∴=,∴AG=9. 知识点2　相似三角形面积的比 7.(2024·济南期中)如图,△ABC∽△ADE, S△ABC∶S四边形BDEC=1∶2,其中BC=,则DE的长为(A) A. B.2 C.3 D.6 8.(2024·深圳期中)如图,已知△ABC∽△DBE,DB=8,AB=6,则S△ABC∶S△DBE=　9∶16　.  9.如图,△ABC∽△ADE,且BC=2DE,则的值为 　.  10.(2024·西安期中)如图,在△ABC和△ADE中,已知∠B=∠D,∠BAD=∠CAE. (1)求证:△ABC∽△ADE; (2)若S△ABC∶S△ADE=4∶9,BC=6,求DE的长. 【解析】(1)∵在△ABC和△ADE中,已知∠B=∠D,∠BAD=∠CAE. ∴∠BAD+∠BAE=∠CAE+∠BAE, ∴∠DAE=∠BAC. ∴△ABC∽△ADE; (2)∵△ABC∽△ADE, 又∵S△ABC∶S△ADE=4∶9, ∴BC∶DE=2∶3, ∵BC=6, ∴DE=9. 【B层 能力进阶】 11.(2024·泉州期中)如图,四边形ABCD中,AD∥BC,对角线AC,BD相交于O,若=,则的值为(B) A. B. C. D. 12.(2024·常州期中)如图,在△ABC中,点D是AC上一点,且∠ABD=∠C,若AD=2,AB=3,则△ABD与△BCD的面积比为(A) A.4∶5 B.4∶9 C.2∶3 D.2∶1 13.(2024·镇江期中)如图,在Rt△ABC中,∠C=90°,AB=10,AC=6,点D是AC边的中点,过点D作一条射线与△ABC的一边交于点E,若射线DE截△ABC所得的小三角形与原△ABC相似,求线段DE的所有可能的长度. 【解析】在Rt△ABC中,∠C=90°,AB=10,AC=6,∴BC===8, 当DE1⊥AB时,△ADE1∽△ABC, ∴=,∴=,∴DE1=. 当DE2∥CB时,△ADE2∽△ACB,此时DE2=BC=4; 当DE3∥AB时,△CDE3∽△CAB,此时DE3=AB=5; 当∠CDE4=∠B时,△CDE4∽△CBA, ∴=,∴=,∴DE4=. 综上所述,满足条件的DE的值为或4或5或. 14.如图,△ABC是一张锐角三角形的硬纸片,AD是边BC上的高,BC=40 cm,AD= 30 cm.从这张硬纸片上剪下一个长HG是宽HE的2倍的矩形EFGH,使它的一边EF在BC上,顶点G,H分别在AC,AB上,AD与HG的交点为M. (1)求证:=; (2)求这个矩形EFGH的宽HE的长. 【解析】(1)∵四边形EFGH为矩形, ∴EF∥GH, ∴∠AHG=∠ABC, 又∵∠HAG=∠BAC, ∴△AHG∽△ABC, ∴=; (2)设HE=x cm,则MD=HE=x cm, ∵AD=30 cm, ∴AM=(30-x)cm, ∵HG=2HE, ∴HG=2x cm, 由(1)=可得=, 解得x=12, ∴宽HE的长为12 cm. 【C层 创新挑战(选做)】 15.(模型观念、推理能力、运算能力)阅读理解: 从三角形(不是等腰三角形)一个顶点引出一条射线与对边相交,顶点与交点之间的线段把这个三角形分割成两个小三角形,如果分得的两个小三角形中一个为等腰三角形,另一个与原三角形相似,我们把这条线段叫做这个三角形的完美分割线. (1)如图,在△ABC中,CD为角平分线,∠A=40°,∠B=60°,求证:CD为△ABC的完美分割线. (2)在△ABC中,∠A=48°,CD为△ABC的完美分割线,且△ACD为等腰三角形,求 ∠ACB的度数. 【解析】(1)∵∠A=40°,∠B=60°, ∴∠ACB=180°-∠A-∠B=80°, ∵∠A≠∠B≠∠ACB, ∴△ABC不是等腰三角形. ∵CD平分∠ACB, ∴∠ACD=∠BCD=∠ACB=40°, ∴∠ACD=∠A=40°, ∴△ACD为等腰三角形. ∴∠DCB=∠A=40°, ∵∠CBD=∠ABC, ∴△BCD∽△BAC, ∴CD是△ABC的完美分割线. (2)①如图1所示, 当AD=CD时,∠ACD=∠A=48°, 根据完美分割线的定义,可得△BDC∽△BCA, ∴∠BCD=∠A=48°,则∠ACB=∠ACD+∠BCD=96°. ②如图2所示, 当AD=AC时,∠ACD=∠ADC==66°, 根据完美分割线的定义,可得△BDC∽△BCA, ∴∠BCD=∠A=48°, ∴∠ACB=∠ACD+∠BCD=114°. ③如图3所示, 当AC=CD时,∠ADC=∠A=48°. 根据完美分割线的定义,可得△BDC∽△BCA, ∴∠BCD=∠A=48°, ∴这与∠ADC>∠BCD矛盾, 所以图3的情况不存在. 综上所述,∠ACB的度数为96°或114°. 学科网（北京）股份有限公司 $$