23.2相似图形(基础篇）讲义 2025-2026学年华东师大版（2012） 数学九年级上册

本讲义聚焦相似图形这一核心知识点，系统梳理相似图形的定义（形状相同，与大小位置无关，全等是特殊情况），相似多边形的定义（边数相同、对应角相等、对应边成比例）、相似比及性质（对应角相等、对应边成比例、周长比等于相似比、面积比等于相似比平方等），并配有思维导图辅助知识结构化，形成从概念到性质的递进学习支架。 资料针对基础薄弱学生设计，知识点分层细化（定义含理解要点，性质分点解析），练习题分类对应（相似图形辨析、多边形判定、性质应用）。通过图形辨析培养几何直观（数学眼光），性质推导强化推理意识（数学思维），练习应用提升数学语言表达能力。课中辅助教师分层教学，课后助力学生查漏补缺，有效衔接基础与提升。

23.2相似图形 （30分提至70分使用） 义 览 概 讲 课 索 探 新 相似图形 1. 定义：形状相同的图形叫做相似图形。 2. 理解要点： · 相似图形只强调形状相同，与它们的大小、位置无关。 · 两个图形相似，其中一个图形可以看作由另一个图形放大或缩小得到（全等图形是相似图形的特殊情况，即放大或缩小比例为1）。 · 不同类别的图形（如三角形和四边形）不可能是相似图形。 相似多边形 1. 定义：两个边数相同的多边形，如果它们的对应角相等，对应边成比例，那么这两个多边形叫做相似多边形。 2. 相似符号：用符号“∽”表示，读作“相似于”。例如，多边形ABCDE∽多边形A'B'C'D'E'，表示这两个多边形相似。 3. 对应关系： · 对应顶点：书写相似多边形时，要把对应顶点的字母写在对应的位置上，以便确定对应角和对应边。 · 对应角：相似多边形中，位置相同的角叫做对应角，对应角相等。 · 对应边：相似多边形中，位置相同的边叫做对应边，对应边成比例。 4. 相似比（或相似系数）：相似多边形对应边的比叫做相似比。 · 若多边形ABCDE∽多边形A'B'C'D'E'，相似比为k，则k = AB/A'B' = BC/B'C' =... = AE/A'E'。 · 相似比具有顺序性，若甲与乙的相似比为k，则乙与甲的相似比为1/k。 相似多边形的性质 1. 对应角相等：相似多边形的对应角大小相等。例如，若五边形ABCDE∽五边形A'B'C'D'E'，则∠A = ∠A'，∠B = ∠B'，∠C = ∠C'，∠D = ∠D'，∠E = ∠E'。 2. 对应边成比例：相似多边形的对应边的长度之比等于相似比。 3. 周长比等于相似比：相似多边形的周长之比等于它们的相似比。 · 若多边形ABCDE∽多边形A'B'C'D'E'，相似比为k，则CABCDE/CA'B'C'D'E'= k。 4. 面积比等于相似比的平方：相似多边形的面积之比等于它们相似比的平方。 · 若多边形ABCDE∽多边形A'B'C'D'E'，相似比为k，则SABCDE/SA'B'C'D'E'= k2。 5. 对应线段成比例：对于相似多边形，对应边上的高、对应边上的中线、对应角的平分线等对应线段的比也等于相似比（此性质在相似三角形中应用更为广泛，可提前感知）。 型 习 练 题 相似图形 1．下列各组图中，不是相似图形的一组是（   ） A． B． C． D． 2．下列各组图形中一定是相似形的是（    ） A．两个等腰三角形 B．两个菱形 C．两个直角三角形 D．两个正方形 3．如图，用放大镜将孙悟空的手绘图片放大，则放大前后两个图形之间属于（    ） A．轴对称变换 B．平移变换 C．相似变换 D．旋转变换 4．下列命题正确的是（   ） A．等边三角形都是相似图形； B．矩形都是相似图形； C．菱形都是相似图形； D．等腰三角形都是相似图形． 5．下列两个图形中，一定相似的是（   ） A．两个直角三角形 B．两个菱形 C．两个正方形 D．两个矩形 相似多边形 6．下列说法正确的是（   ） A．任意两个矩形相似 B．任意两个菱形相似 C．任意两个正方形相似 D．以上说法都正确 7．将以下多边形各边向外平移1个单位并适当延长，得到如图所示的图形，变化前后的两个图形不一定相似的是（    ） A． B． C． D． 8．如图有三个矩形，其中为相似矩形的是（   ） A．甲和乙 B．乙和丙 C．甲和丙 D．甲和乙和丙 9．下列图形一定相似的是（　　） A．两个三角形 B．两个矩形 C．两个菱形 D．两个边数相等的正多边形 10．下列四个命题：①所有的正方形都相似；②所有的菱形都相似；③所有的矩形都相似；④所有的等腰直角三角形都相似，其中真命题的个数有（　　） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 相似多边形的性质 11．如图，五边形五边形，若，，则下列结论中正确的是（   ） A． B． C． D． 12．如图所示的两个四边形相似，则下列结论错误的是（   ） A． B． C． D． 13．若两个相似六边形的面积比为，则它们的相似比为（    ） A． B． C． D． 14．如图，一块矩形绸布的长，宽，按图中所示的方式将它截成相同的四面矩形彩旗，且使截出的每面彩旗的宽与长的比与原绸布的宽与长的比相同，即，那么的值是（    ） A． B．4 C． D．8 15．如果两个相似多边形的面积比为，那么它们的周长比为（   ）． A． B． C． D． 学科网（北京）股份有限公司 $ 23.2相似图形 （30分提至70分使用） 义 览 概 讲 课 索 探 新 相似图形 1. 定义：形状相同的图形叫做相似图形。 2. 理解要点： · 相似图形只强调形状相同，与它们的大小、位置无关。 · 两个图形相似，其中一个图形可以看作由另一个图形放大或缩小得到（全等图形是相似图形的特殊情况，即放大或缩小比例为1）。 · 不同类别的图形（如三角形和四边形）不可能是相似图形。 相似多边形 1. 定义：两个边数相同的多边形，如果它们的对应角相等，对应边成比例，那么这两个多边形叫做相似多边形。 2. 相似符号：用符号“∽”表示，读作“相似于”。例如，多边形ABCDE∽多边形A'B'C'D'E'，表示这两个多边形相似。 3. 对应关系： · 对应顶点：书写相似多边形时，要把对应顶点的字母写在对应的位置上，以便确定对应角和对应边。 · 对应角：相似多边形中，位置相同的角叫做对应角，对应角相等。 · 对应边：相似多边形中，位置相同的边叫做对应边，对应边成比例。 4. 相似比（或相似系数）：相似多边形对应边的比叫做相似比。 · 若多边形ABCDE∽多边形A'B'C'D'E'，相似比为k，则k = AB/A'B' = BC/B'C' =... = AE/A'E'。 · 相似比具有顺序性，若甲与乙的相似比为k，则乙与甲的相似比为1/k。 相似多边形的性质 1. 对应角相等：相似多边形的对应角大小相等。例如，若五边形ABCDE∽五边形A'B'C'D'E'，则∠A = ∠A'，∠B = ∠B'，∠C = ∠C'，∠D = ∠D'，∠E = ∠E'。 2. 对应边成比例：相似多边形的对应边的长度之比等于相似比。 3. 周长比等于相似比：相似多边形的周长之比等于它们的相似比。 · 若多边形ABCDE∽多边形A'B'C'D'E'，相似比为k，则CABCDE/CA'B'C'D'E'= k。 4. 面积比等于相似比的平方：相似多边形的面积之比等于它们相似比的平方。 · 若多边形ABCDE∽多边形A'B'C'D'E'，相似比为k，则SABCDE/SA'B'C'D'E'= k2。 5. 对应线段成比例：对于相似多边形，对应边上的高、对应边上的中线、对应角的平分线等对应线段的比也等于相似比（此性质在相似三角形中应用更为广泛，可提前感知）。 型 习 练 题 相似图形 1．下列各组图中，不是相似图形的一组是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查的是相似形的定义，结合图形，即图形的形状相同，但大小不一定相同的图形是相似图形． 根据相似图形的定义，对选项进行一一分析，排除错误答案． 【详解】解：选项A、B、D的形状相同，但大小不同，符合相似形的定义； 选项C形状不相同，不符合相似形的定义； 故选：C． 2．下列各组图形中一定是相似形的是（    ） A．两个等腰三角形 B．两个菱形 C．两个直角三角形 D．两个正方形 【答案】D 【分析】本题考查的是相似形的定义，掌握相似形的定义“形状相同，但大小不一定相同的两个图形是相似形”是解题的关键． 【详解】解：A、两个等腰三角形的顶角可能不等，不一定相似； B、两个菱形的内角可能不等，不一定相似； C、两个直角三角形的锐角可能不等，不一定相似； D、∵两个正方形的所有内角均为，对应角相等；且所有边相等，对应边成比例， ∴ 两个正方形一定相似； 故选：D． 3．如图，用放大镜将孙悟空的手绘图片放大，则放大前后两个图形之间属于（    ） A．轴对称变换 B．平移变换 C．相似变换 D．旋转变换 【答案】C 【分析】本题考查了相似图形的概念，解题的关键是掌握相关的概念，根据只改变图形大小，不改变形状的两个图形相似即可判断． 【详解】解：用放大镜将孙悟空的手绘图片放大，只改变了图形的大小，没有改变形状，两个图形之间属于相似变换， 故选：C． 4．下列命题正确的是（   ） A．等边三角形都是相似图形； B．矩形都是相似图形； C．菱形都是相似图形； D．等腰三角形都是相似图形． 【答案】A 【分析】本题考查相似图形的识别，相似图形的形状相同，但大小不一定相同．根据相似图形的定义，对各选项逐一判断即可得答案． 【详解】解：A、等边三角形都是相似图形，故该选项符合题意； B、矩形的长和宽不能确定，不一定相似，故该选项不符合题意； C、菱形各角不能确定，不一定相似，故该选项不符合题意； D、等腰三角形的底角与顶角均不能确定，边长也不确定，不一定相似，故该选项不符合题意； 故选：A． 5．下列两个图形中，一定相似的是（   ） A．两个直角三角形 B．两个菱形 C．两个正方形 D．两个矩形 【答案】C 【分析】本题考查相似形，根据相似形的定义，形状完全相同的两个图形是相似图形，进行判断即可. 【详解】解：A、两个直角三角形的形状不一定相同，不一定相似，不符合题意； B、两个菱形的形状不一定相同（对应角不一定相等），不一定相似，不符合题意； C、两个正方形的形状一定相同，一定相似，符合题意； D、两个矩形的形状不一定相同（对应边不一定成比例），不一定相似，不符合题意； 故选：C 相似多边形 6．下列说法正确的是（   ） A．任意两个矩形相似 B．任意两个菱形相似 C．任意两个正方形相似 D．以上说法都正确 【答案】C 【分析】本题考查了相似多边形，矩形的性质，菱形的性质，正方形的性质，解题关键是掌握相似多边形的条件是对应角相等且对应边成比例．根据相似多边形的条件，结合矩形的性质，菱形的性质，正方形的性质，逐一分析，即可判断． 【详解】∵ 相似多边形需对应角相等且对应边成比例， 矩形角都相等，但边长比例可能不同，如长宽分别为与的矩形，对应边不成比例，因此不一定相似，故A错误． 菱形边都相等，但角可能不相等，如一个内角为的菱形与一个内角为的菱形，对应角不相等，因此不一定相似，故B错误． 正方形角都相等且边都相等，符合对应角相等且对应边成比例，因此任意两个正方形相似，故C正确． 故选：C． 7．将以下多边形各边向外平移1个单位并适当延长，得到如图所示的图形，变化前后的两个图形不一定相似的是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】此题主要考查了相似多边形的判定，正确掌握相似图形的判定方法是解题关键． 利用相似多边形的判定方法：对应角相等，对应边成比例的两个图形相似，进而判断即可． 【详解】解：∵矩形对应边向外平移1个单位后，对应边的比值不一定相等， ∴变化前后的两个矩形不相似， ∵三角形、菱形、正方形边长改变后对应比值仍相等，且对应角相等， ∴变化前后的两个三角形、菱形、正方形相似， 故选：C． 8．如图有三个矩形，其中为相似矩形的是（   ） A．甲和乙 B．乙和丙 C．甲和丙 D．甲和乙和丙 【答案】C 【分析】本题主要考查相似多边形的概念，一定要考虑对应角相等，对应边成比例． 如果两个边数相同的多边形的对应角相等，对应边成比例，这两个多边形叫做相似多边形，据此作答． 【详解】解：三个矩形的角都是直角，丙、乙、甲相邻两边的比分别为：， ∴甲和丙相似， 故选：C． 9．下列图形一定相似的是（　　） A．两个三角形 B．两个矩形 C．两个菱形 D．两个边数相等的正多边形 【答案】D 【分析】本题主要考查了相似图形的定义，掌握相似图形大小不同是解题的关键． 相似图形需对应角相等且对应边成比例．两个三角形、矩形或菱形不一定同时满足这两个条件，而两个边数相等的正多边形一定满足，因此一定相似，据此即可解答． 【详解】解：A．两个三角形的对应角不一定相等，故不一定相似，即不符合题意； B．两个矩形的对应角相等（均为直角），但对应边不一定成比例，故不一定相似，即不符合题意； C．两个菱形的对应边成比例（因各边相等），但对应角不一定相等，故不一定相似，即不符合题意； D．两个边数相等的正多边形的对应角相等（因内角相同）且对应边成比例（因边长可缩放），故一定相似，即符合题意． 故选D． 10．下列四个命题：①所有的正方形都相似；②所有的菱形都相似；③所有的矩形都相似；④所有的等腰直角三角形都相似，其中真命题的个数有（　　） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】B 【分析】本题考查了相似图形的判定，关键是掌握判定方法. 依据判定方法逐一判断即可. 【详解】①所有的正方形四个角都是直角，四条边都相等。因此，任意两个正方形的对应角都相等，对应边的比也都相等，所以所有的正方形都相似，故该命题是真命题； ②所有的菱形四条边都相等，但对应角不一定相等，所以所有的菱形不一定都相似，故该命题是假命题； ③所有的矩形四个角都是直角，但对应边不一定成比例，所以所有的矩形不一定都相似，故该命题是假命题； ④所有的等腰直角三角形对应角都相等，对应边的比也都相等，所以所有的等腰直角三角形都相似，故该命题是真命题； 综上所述：真命题有①和④，共个， 故选：B. 相似多边形的性质 11．如图，五边形五边形，若，，则下列结论中正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了相似多边形的性质．熟练掌握相似多边形的性质是解题的关键． 根据相似多边形的性质，即相似多边形的对应角相等，对应边成比例来进行判断． 【详解】解： 五边形五边形， ，，． 已知，，则． 选项A：，错误，该选项不符合题意； 选项B：，错误，该选项不符合题意； 选项C： ，即正确，符合题意； 选项D：，，而不是，选项不符合题意； 故选C． 12．如图所示的两个四边形相似，则下列结论错误的是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查相似多边形，根据相似多边形的性质，进行判断即可． 【详解】解：∵两个四边形相似， ∴， ∴，， 故只有选项B是错误的； 故选B． 13．若两个相似六边形的面积比为，则它们的相似比为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查的是相似多边形的性质，根据相似图形的面积比等于相似比的平方即可求解． 【详解】解：∵两个相似六边形的面积比为， ∴相似比的平方为， ∴相似比为． 故选：B 14．如图，一块矩形绸布的长，宽，按图中所示的方式将它截成相同的四面矩形彩旗，且使截出的每面彩旗的宽与长的比与原绸布的宽与长的比相同，即，那么的值是（    ） A． B．4 C． D．8 【答案】B 【分析】此题考查了相似多边形的性质，一元二次方程，掌握相关知识是解决问题的关键．由截出的每面彩旗的宽与长的比与原绸布的宽与长的比相同，构建方程求解即可． 【详解】解：使截出的每面彩旗的宽与长的比与原绸布的宽与长的比相同， 即， ， 解得或（舍去）， ， 故选：B． 15．如果两个相似多边形的面积比为，那么它们的周长比为（   ）． A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查的是相似多边形的性质，相似多边形周长的比等于相似比，面积的比等于相似比的平方．根据相似多边形的性质进行解答即可． 【详解】解：∵两个相似多边形的面积比为， ∴它们的周长比为：， 故选：B． 学科网（北京）股份有限公司 $