23.1成比例线段（基础篇）练习2025-2026学年华东师大版 数学九年级上册

23.1成比例线段 （30分提至70分使用） 义 览 概 讲 课 索 探 新 1． 比例线段的有关概念 b、d叫后项，d叫第四比例项，如果b=c，那么b叫做a、d的比例中项． 2． 比例性质 ②更比性质(交换比例的内项或外项)： 3． 黄金分割 在线段AB上，点C把线段AB分成两条线段AC和BC（AC＞BC），如果，即AC2=AB×BC，那么称线段AB被点C黄金分割，点C叫做线段AB的黄金分割点，AC与AB的比叫做黄金比．其中≈． 4． 平行线分线段成比例定理 ①定理：三条平行线截两条直线，所得的对应线段成比例，如图：l1∥l2∥l3． ②推论：平行于三角形一边的直线截其他两边（或两边的延长线）所得的对应线段成比例． ③定理：如果一条直线截三角形的两边（或两边的延长线）所得的对应线段成比例，那么这条直线平行于三角形的第三边． 型 习 练 题 比例的性质 1．若，则的值是（    ） A． B． C． D． 2．如果，那么下列各式中不成立的是（） A． B． C． D． 3．若，则（    ） A． B． C． D． 4．如果，那么（    ） A． B． C． D． 5．若（），则下列等式成立的是（    ） A． B． C． D． 比例线段 6．若线段、、、是成比例线段，且，，，则的值为（    ） A． B．8 C．10 D．12 7．在下列长度的各组线段中，是成比例线段的是（   ） A．1，3，6，9 B．2，3，4，5 C．1，，2， D．3，6，4，8 8．已知，，，是成比例线段，若，，，则（    ） A．6 B．5 C．4 D．3 9．下面四组线段中，成比例的是（　　） A． B． C． D． 10．已知线段，，如果线段是线段和的比例中项，那么线段的长度是（   ） A． B．8 C． D．2 黄金分割 11．如图，已知点和点都是线段的黄金分割点（黄金比为），若，则的长度是（   ） A． B． C． D． 12．黄金分割率被视为最美丽的几何学比率，广泛地应用于建筑和艺术中．如图，已知是线段的黄金分割点，若线段长，则长为（    ） A． B． C． D． 13．已知点是线段的黄金分割点，且，那么的值为（  ） A． B． C． D． 14．玻璃瓶中装入不同量的水，敲击时能发出不同的音符.实验发现，当液面高度与瓶高之比为黄金比时，可以敲击出音符“”的声音．若，且敲击时发出音符“”的声音，则液面高度约为（    ） A． B． C． D． 15．黄金矩形的宽与长之比为黄金分割比，在很多艺术品以及大自然中都能找到它，如图1的希腊雅典帕特农神庙也应用了该比例布局．如图2，当以黄金矩形的宽为边在矩形内部作正方形时，若，则的长为（    ） A． B． C． D． 由平行判断成比例的线段 16．如图所示，中若，，则下列比例式正确的是（   ） A． B． C． D． 17．已知中，D、E分别是边反向延长线上的点，下列各式中，能判断出的是（    ） A． B． C． D． 18．已知，线段，求作线段，使得，那么下列作法中正确的是（    ） A． B． C． D． 19．已知中，、分别是边、上的点，下列各式中，不能判断的是（   ） A． B． C． D． 20．在中，点D、E分别在边AB、AC上，下列条件中，一定能判断的是（    ） A． B． C． D． 由平行截线求相关线段的长或比值 21．如图，直线、、被直线、所截，且，若，，则的长为（    ） A．6 B．9 C．12 D．18 22．如图，在一个花架简易图中，， ，，则的长度为（   ） A． B． C． D．无法确定 23．如图，直线，直线，与，，分别相交于，，和点，，．若，，则的长是（    ） A． B． C．6 D．10 24．如图是某位同学用带有刻度的直尺在数轴上作图的方法，若图中的虚线相互平行，则点 P 表示的数是（    ） A．1 B． C． D．5 25．如图，在中，点、分别是、上两点，且，若，则的长是（    ） A．4 B．5 C．6 D． 学科网（北京）股份有限公司 $ 23.1成比例线段 （30分提至70分使用） 义 览 概 讲 课 索 探 新 1． 比例线段的有关概念 b、d叫后项，d叫第四比例项，如果b=c，那么b叫做a、d的比例中项． 2． 比例性质 ②更比性质(交换比例的内项或外项)： 3． 黄金分割 在线段AB上，点C把线段AB分成两条线段AC和BC（AC＞BC），如果，即AC2=AB×BC，那么称线段AB被点C黄金分割，点C叫做线段AB的黄金分割点，AC与AB的比叫做黄金比．其中≈． 4． 平行线分线段成比例定理 ①定理：三条平行线截两条直线，所得的对应线段成比例，如图：l1∥l2∥l3． ②推论：平行于三角形一边的直线截其他两边（或两边的延长线）所得的对应线段成比例． ③定理：如果一条直线截三角形的两边（或两边的延长线）所得的对应线段成比例，那么这条直线平行于三角形的第三边． 型 习 练 题 比例的性质 1．若，则的值是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题主要考查了比例的性质，由已知，可用表示，再代入分式计算即可得到答案． 【详解】解：∵， ∴ ∴， 故选D． 2．如果，那么下列各式中不成立的是（） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了比例的性质；根据比例关系设未知数，代入各选项计算验证，即可求解． 【详解】解：∵， ∴设，（）． 对于A：，成立． 对于B：，成立． 对于C：，成立． 对于D：，仅当时等于，故一般不成立． ∴不成立的是D． 故选：D． 3．若，则（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题主要考查比例的性质，由已知条件可得的值，再代入所求表达式化简即可得解． 【详解】解：∵， ∴， ∴． 故选：A． 4．如果，那么（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题主要考查比例的性质，熟练掌握比例的性质是解题的关键；由题意可设，然后代入进行求解即可． 【详解】解：由可设， ∴； 故选B． 5．若（），则下列等式成立的是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了比例的基本性质，熟练掌握比例的基本性质是解题的关键．将等式两边分别同时除以12和，即可判断答案． 【详解】解：对于选项A、B和D， ，且 ， 两边同时除以12，得 ， 即， 故选项A正确，符合题意；选项B和D错误，不符合题意； 对于选项 C， 将两边同时除以，得 ， 即， 故选项C错误，不符合题意； 故选：A． 比例线段 6．若线段、、、是成比例线段，且，，，则的值为（    ） A． B．8 C．10 D．12 【答案】B 【分析】本题考查了比例线段，根据比例线段的定义，，代入，，，求解的值，即可作答． 【详解】解：线段、、、是成比例线段， ∴， ∴， ∵，，， ∴， ∴， 故选：B． 7．在下列长度的各组线段中，是成比例线段的是（   ） A．1，3，6，9 B．2，3，4，5 C．1，，2， D．3，6，4，8 【答案】D 【分析】本题考查了成比例线段的定义．熟练掌握成比例线段的定义是解题的关键． 如果四条线段中，其中两条线段的乘积等于另外两条线段的乘积，那么这四条线段叫做成比例线段． 判断四条线段是否成比例，可通过计算第一条与第四条线段的乘积，以及第二条与第三条线段的乘积，若相等则成比例． 【详解】A．，，，∴ 不成比例； B．，，，∴ 不成比例； C．，，，∴ 不成比例； D．，，，∴ 成比例． 故选：D． 8．已知，，，是成比例线段，若，，，则（    ） A．6 B．5 C．4 D．3 【答案】C 【分析】此题考查了成比例线段的定义．由、、、四条线段是成比例线段，根据成比例线段的定义，可得，又由，，，即可求得的值． 【详解】解：∵、、、是成比例线段，，，， ∴，即， ∴． 故选：C． 9．下面四组线段中，成比例的是（　　） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了比例线段，比例的基本性质，利用比例的基本性质判断比例线段是解题的关键． 通过计算每组线段的比例关系，判断是否满足或其它等价形式，只有选项B满足比例关系． 【详解】∵ 对于选项B：，，，， ∴，， ∴， 故选项成比例， 对于其他选项： 选项A：，，不相等； 选项C：，，不相等； 选项D：，，不相等， 故选：B． 10．已知线段，，如果线段是线段和的比例中项，那么线段的长度是（   ） A． B．8 C． D．2 【答案】B 【分析】本题考查比例线段，理解比例线段的定义，找准对应关系是解题关键． 根据比例线段的定义列式求解即可，在同一单位下，四条线段长度为a、b、c、d，其关系为，那么，这四条线段叫做成比例线段，简称比例线段；如果三个数a，b，c满足比例式，则b就叫做a，c的比例中项． 【详解】解：由题意，， ∴， ∴， 故选：B． 黄金分割 11．如图，已知点和点都是线段的黄金分割点（黄金比为），若，则的长度是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了黄金分割，根据题意，进行列式得，，整理 ，，再把数值代入进行计算，即可作答． 【详解】解：∵点和点都是线段的黄金分割点（黄金比为），且， ∴，， 即，， 解得，， 观察线段，得， ∴， 故选：C 12．黄金分割率被视为最美丽的几何学比率，广泛地应用于建筑和艺术中．如图，已知是线段的黄金分割点，若线段长，则长为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了黄金分割，解决本题的关键是掌握黄金分割定义．根据题意将进行代入求解即可． 【详解】解：∵线段长且， ∴， ∴， 故选：C． 13．已知点是线段的黄金分割点，且，那么的值为（  ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查黄金分割的基本定义和比例关系，通过解一元二次方程直接得出结果． 根据黄金分割的定义，当点P是线段的黄金分割点且时，与的比值等于黄金比，即． 【详解】解：∵P是线段的黄金分割点，且， ∴， 设，， 则， ∴， ∴， ∴， 解得， ∵， ∴， ∴． 故选：C． 14．玻璃瓶中装入不同量的水，敲击时能发出不同的音符.实验发现，当液面高度与瓶高之比为黄金比时，可以敲击出音符“”的声音．若，且敲击时发出音符“”的声音，则液面高度约为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题主要考查了黄金分割，熟知黄金分割的定义是解题的关键．根据黄金分割的定义进行计算即可． 【详解】解：∵液面高度与瓶高之比为黄金比， ∴， 故选：B． 25．黄金矩形的宽与长之比为黄金分割比，在很多艺术品以及大自然中都能找到它，如图1的希腊雅典帕特农神庙也应用了该比例布局．如图2，当以黄金矩形的宽为边在矩形内部作正方形时，若，则的长为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了黄金分割，矩形的性质，二次根式的混合运算，正确计算是解题的关键． 先根据黄金矩形的宽与长之比为黄金分割比，计算出矩形的宽，在根据矩形的性质求解即可． 【详解】解：黄金矩形的宽与长之比为黄金分割比， ， ， ， 根据矩形的性质得：， , 故选：A 由平行判断成比例的线段 16．如图所示，中若，，则下列比例式正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题主要考查了平行线分线段成比例定理的理解及运用，平行四边形的判定和性质，解题的关键是掌握以上性质． 用平行线分线段成比例定理以及比例的性质进行变形即可得到答案． 【详解】解：A.∵， ∴，， 该选项错误，不符合题意； B.∵， ∴， ∵， ∴， ∵，， ∴四边形为平行四边形， ∴， ∴， 即， 该选项错误，不符合题意； C. ∵， ∴， 该选项正确，符合题意； D.∵， ∴， 该选项错误，不符合题意； 故选：C． 17．已知中，D、E分别是边反向延长线上的点，下列各式中，能判断出的是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了平行线分线段成比例，能灵活运用平行线分线段成比例的性质定理得出比例式是解此题的关键．根据平行线分线段成比例定理即可得出答案． 【详解】解：如图， D、E分别是边反向延长线上的点， A、若，能判定，符合题意； B、若，不能判定，不符合题意； C、若，不能判定，不符合题意； D、若，不能判定，不符合题意； 故选：A． 18．已知，线段，求作线段，使得，那么下列作法中正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题主要考查了平行线分线段成比例定理，准确分析判断是解题的关键． 根据平行线分线段成比例的性质对作图判断即可； 【详解】根据平行线分线段成比例作图： 第一步：任意做； 第二步：在边上依次取，，在上取； 第三步：连接，过点作，交于点； 则线段即为所求作线段． 故选． 19．已知中，、分别是边、上的点，下列各式中，不能判断的是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了平行线分线段成比例定理的推论，熟练掌握该知识是解题的关键．若使线段，则其对应边必成比例，进而依据对应边成比例即可判定． 【详解】解：如图， 若使线段，则其对应边必成比例， 即＝，＝，故选项D、B可判定； ＝，即＝，故选项C可判定； 而由不能判断，故A选项答案错误． 故选：A． 20．在中，点D、E分别在边AB、AC上，下列条件中，一定能判断的是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查平行线分线段成比例定理的逆定理的应用，需注意比例线段的对应关系．根据平行线分线段成比例定理的逆定理，如果一条直线截三角形的两边所得对应线段成比例，则这条直线平行于第三边．选项A中比例关系符合逆定理条件，能推出；其他选项的比例关系不能保证平行． 【详解】解：选项A中，， 根据平行线分线段成比例定理的逆定理，则， 选项B、C、D的比例关系均不一定能推出，可排除， 故选：A 由平行截线求相关线段的长或比值 21．如图，直线、、被直线、所截，且，若，，则的长为（    ） A．6 B．9 C．12 D．18 【答案】B 【分析】此题主要考查了平行线分线段成比例定理，关键是掌握三条平行线截两条直线，所得的对应线段成比例．根据，得，即可求出，进而可得答案． 【详解】解：∵，， ∴， ∵， ∴， ∴． 故选：B． 22．如图，在一个花架简易图中，， ，，则的长度为（   ） A． B． C． D．无法确定 【答案】A 【分析】本题考查了平行线分线段成比例定理，根据，可得：，根据，可以求出． 【详解】解：， ， ， ， ． 故选：A． 23．如图，直线，直线，与，，分别相交于，，和点，，．若，，则的长是（    ） A． B． C．6 D．10 【答案】C 【分析】本题主要考查了平行线分线段成比例定理，解题的关键在于能够熟练掌握平行线分线段成比例定理． 根据平行线分线段成比例定理列出比例式，把已知数据代入计算即可． 【详解】解：∵， ∴， ∵， ∴， ∴， 故选C． 24．如图是某位同学用带有刻度的直尺在数轴上作图的方法，若图中的虚线相互平行，则点 P 表示的数是（    ） A．1 B． C． D．5 【答案】D 【分析】本题考查了平行线分线段成比例，熟练掌握平行线分线段成比例是解题的关键．设点P表示的数是，根据平行线分线段成比例列出方程，解出的值即可． 【详解】解：设点P表示的数是， 图中的虚线相互平行， 根据平行线分线段成比例可得，， 解得：， 点P表示的数是． 故选：D． 25．如图，在中，点、分别是、上两点，且，若，则的长是（    ） A．4 B．5 C．6 D． 【答案】D 【分析】本题主要考查了平行线分线段成比例定理，熟练掌握该定理是解题的关键． 利用平行线分线段成比例定理，通过已知线段的长度求出的长度． 【详解】解：∵ ， ∴ ， ∵ ，，， ∴ ， ∴ ， ∴ ． 故选：D． 学科网（北京）股份有限公司 $