22.2一元二次方程的解法（基础篇）讲义 2025-2026学年华东师大版（2012） 数学九年级上册

22.2一元二次方程的解法 （30分提至70分使用） 义 览 概 讲 课 索 探 新 1. 一元二次方程的解法： 1. 直接开平方法：利用平方根的定义直接开平方求一元二次方程的解的方法． 直接开平方法适用于解形如的一元二次方程．根据平方根的定义可知，是b的平方根，当时，，，当b<0时，方程没有实数根． 1. 配方法：配方法的理论根据是完全平方公式，把公式中的a看做未知数x，并用x代替，则有． 配方法的步骤：先把常数项移到方程的右边，再把二次项的系数化为1，再同时加上1次项的系数的一半的平方，最后配成完全平方公式． 1. 公式法：公式法是用求根公式解一元二次方程的解的方法． 一元二次方程的求根公式： 1. 因式分解法：因式分解法就是利用因式分解的手段，求出方程的解的方法． 分解因式法的步骤：把方程右边化为0，然后看看是否能用提取公因式，公式法（这里指的是分解因式中的公式法）或十字相乘，如果可以，就可以化为乘积的形式． 1. 一元二次方程根的判别式： 一元二次方程中，叫做一元二次方程的根的判别式，通常用“”来表示，即． 1. 当△>0时，一元二次方程有2个不相等的实数根； 1. 当△=0时，一元二次方程有2个相同的实数根； 1. 当△<0时，一元二次方程没有实数根． 1. 韦达定理： 如果方程的两个实数根是，那么，．也就是说，对于任何一个有实数根的一元二次方程，两根之和等于方程的一次项系数除以二次项系数所得的商的相反数；两根之积等于常数项除以二次项系数所得的商． 1. 一元二次方程的二次函数的关系： 其实一元二次方程也可以用二次函数来表示，其实一元二次方程也是二次函数的一个特殊情况，就是当y=0的时候就构成了一元二次方程了．那如果在平面直角坐标系中表示出来，一元二次方程就是二次函数中，图象与X轴的交点，也就是该方程的解了． 型 习 练 题 直接开平方法 1．已知方程没有实数解，你认为代表的数字可能是（    ） A．9 B．1 C．0 D． 2．方程的解是（   ） A． B． C． D． 3．关于的一元二次方程配方为，若是该方程的两个根，则的值是（    ） A．3 B． C．2 D． 4．若关于的一元二次方程的常数项是0，则的值为（） A．0 B． C． D．或 5．方程的解是（   ） A．， B． C．， D．， 因式分解法 6．关于的方程有两个互不相等的实数根，且满足，则所有可能的整数的和是（   ） A．3 B．7 C．12 D．18 7．对于任意实数、，定义新运算：，例如：，则方程的解为（    ） A．， B．， C．， D． 8．一元二次方程的解是（   ） A．， B．， C． D．， 9．小欣利用人工智能平台自主学习，他向平台提出了如下问题，则平台给出的答案可能是： 先计算一个数的平方，再减去这个数，最后再减去1，若运算结果为这个数的相反数，则这个数是多少？（    ） A．-1 B．0 C．0或-1 D．1或-1 10．满足方程的的值可以是（   ） A． B．0 C．1 D．2 配方法 11．用配方法解一元二次方程，配方后得到的方程是（） A． B． C． D． 12．如图，是佳佳用配方法解方程时的过程，她在解答过程中开始出错的步骤为（   ） 解：，① ，② ，③ ，．④ A．① B．② C．③ D．④ 13．用配方法解方程时，配方后得到的方程为（    ） A． B． C． D． 14．用配方法解方程时，原方程变形正确的是（    ） A． B． C． D． 15．用配方法解方程，配方后所得的方程是（   ） A． B． C． D． 公式法 16．定义一种新运算：，，则方程的解是（   ） A．， B．， C．， D．， 17．用公式法解方程时，a，b，c的值分别为（   ） A．2，6，3 B．2，， C．，6， D．2，6， 18．已知关于，的多项式，（、为常数），则下列说法： ①当时，若，则； ②当，时，若，则； ③当，时，若，则． 其中正确说法的个数为（   ） A．0 B．1 C．2 D．3 19．若关于的一元二次方程的根为，则这个方程是（　　） A． B． C． D． 20．若关于的一元二次方程的根为，则这个方程是（    ） A． B． C． D． 根据判别式判断根的情况 21．下列方程中，有两个不等实数根的是（    ） A． B． C． D． 22．不解方程，判断一元二次方程的根的情况，下列结论正确的是（    ） A．有两个不相等的实数根 B．有两个相等的实数根 C．只有一个实数根 D．没有实数根 23．下列方程中，有两个不相等的实数根的是（    ） A． B． C． D． 24．下列关于的一元二次方程有实数根的是（    ） A． B． C． D． 25．关于一元二次方程根的情况，下列说法正确的是（   ） A．有两个不相等的实数根 B．有两个相等的实数根 C．有一个实数根 D．没有实数根 根于系数的关系 26．一元二次方程的两根分别为和，则的值为（   ） A． B． C． D． 27．关于的方程的两个根的平方和是，则的值是（    ） A．或6 B．2 C．6 D． 28．设a，b是方程的两个实数根，则的值为（   ） A．4050 B．4054 C． D． 29．已知方程的两个根都是整数，则的值有（    ）个． A．1 B．2 C．3 D．4 30．已知方程，有一个根是，则另外一个根是（   ）． A． B． C． D． 学科网（北京）股份有限公司 $ 22.2一元二次方程的解法 （30分提至70分使用） 义 览 概 讲 课 索 探 新 1. 一元二次方程的解法： 1. 直接开平方法：利用平方根的定义直接开平方求一元二次方程的解的方法． 直接开平方法适用于解形如的一元二次方程．根据平方根的定义可知，是b的平方根，当时，，，当b<0时，方程没有实数根． 1. 配方法：配方法的理论根据是完全平方公式，把公式中的a看做未知数x，并用x代替，则有． 配方法的步骤：先把常数项移到方程的右边，再把二次项的系数化为1，再同时加上1次项的系数的一半的平方，最后配成完全平方公式． 1. 公式法：公式法是用求根公式解一元二次方程的解的方法． 一元二次方程的求根公式： 1. 因式分解法：因式分解法就是利用因式分解的手段，求出方程的解的方法． 分解因式法的步骤：把方程右边化为0，然后看看是否能用提取公因式，公式法（这里指的是分解因式中的公式法）或十字相乘，如果可以，就可以化为乘积的形式． 1. 一元二次方程根的判别式： 一元二次方程中，叫做一元二次方程的根的判别式，通常用“”来表示，即． 1. 当△>0时，一元二次方程有2个不相等的实数根； 1. 当△=0时，一元二次方程有2个相同的实数根； 1. 当△<0时，一元二次方程没有实数根． 1. 韦达定理： 如果方程的两个实数根是，那么，．也就是说，对于任何一个有实数根的一元二次方程，两根之和等于方程的一次项系数除以二次项系数所得的商的相反数；两根之积等于常数项除以二次项系数所得的商． 1. 一元二次方程的二次函数的关系： 其实一元二次方程也可以用二次函数来表示，其实一元二次方程也是二次函数的一个特殊情况，就是当y=0的时候就构成了一元二次方程了．那如果在平面直角坐标系中表示出来，一元二次方程就是二次函数中，图象与X轴的交点，也就是该方程的解了． 型 习 练 题 直接开平方法 1．已知方程没有实数解，你认为代表的数字可能是（    ） A．9 B．1 C．0 D． 【答案】D 【分析】本题考查了解一元二次方程，由于平方数具有非负性，当为负数时，方程无实数解，熟练掌握平方数具有非负性是解此题的关键． 【详解】解：∵对于所有实数，， ∴当时，方程没有实数解， 故选：D． 2．方程的解是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题主要考查了解一元二次方程．通过移项和开平方求解方程． 【详解】解：∵ ， ∴ ， ∴ ． 故选：C 3．关于的一元二次方程配方为，若是该方程的两个根，则的值是（    ） A．3 B． C．2 D． 【答案】C 【分析】本题考查了解一元二次方程，熟练掌握直接开平方法是解题关键．利用直接开平方法解方程可得，由此即可得． 【详解】解：方程， ， ， ∵是该方程的两个根， ∴， 故选：C． 4．若关于的一元二次方程的常数项是0，则的值为（） A．0 B． C． D．或 【答案】B 【分析】本题考查一元二次方程的定义和解法，根据方程的常数项为0列出方程求解，并验证一元二次方程二次项系数不为0的条件． 【详解】解：∵的常数项为0， ∴，即， ∴或． 又∵该方程为一元二次方程， ∴二次项系数． 当时，，不符合一元二次方程定义； 当时，，符合题意． ∴． 故选：B． 5．方程的解是（   ） A．， B． C．， D．， 【答案】C 【分析】本题考查了解一元二次方程．通过直接开平方的方法求解方程，将方程转化为两个一次方程分别求解． 【详解】解：∵， ∴或， 当时，， 当时，， ∴ 方程的解为， 故选：C． 因式分解法 6．关于的方程有两个互不相等的实数根，且满足，则所有可能的整数的和是（   ） A．3 B．7 C．12 D．18 【答案】C 【分析】本题考查了解一元二次方程，通过因式分解求根，再根据根的大小关系确定参数范围，注意排除相等根的情况． 方程可因式分解为，根为和．然后分和两种情况求解即可． 【详解】解：∵方程可因式分解为， ∴根为，（假设，即）． ∵有两个互不相等的实数根， ∴． ∵满足，即， ∴且，即， ∴ ． ∵为整数， ∴． ∴和为． 若，则，有，，条件矛盾，无解． 故所有可能的整数的和为12． 故选：C． 7．对于任意实数、，定义新运算：，例如：，则方程的解为（    ） A．， B．， C．， D． 【答案】A 【分析】本题考查对新运算的理解和一元二次方程的解法，关键是将新运算转化为代数表达式后求解． 根据新运算的定义，将方程转化为一元二次方程，然后因式分解求解． 【详解】解：， ， 整理得：， 因式分解得：， 解得：，． 故选：A． 8．一元二次方程的解是（   ） A．， B．， C． D．， 【答案】B 【分析】本题考查了解一元二次方程．熟练掌握解一元二次方程的方法是解题的关键． 通过因式分解法求解方程，利用零乘积性质得出解． 【详解】∵ ， ∴ ， ∴ 或 ， 即 , ， 故选B． 9．小欣利用人工智能平台自主学习，他向平台提出了如下问题，则平台给出的答案可能是： 先计算一个数的平方，再减去这个数，最后再减去1，若运算结果为这个数的相反数，则这个数是多少？（    ） A．-1 B．0 C．0或-1 D．1或-1 【答案】D 【分析】本题重点考查了一元二次方程的应用与求解，相反数的概念，熟练掌握一元二次方程的解法是本题解题关键． 根据题意列出方程，解一元二次方程，即可得到答案． 【详解】解：设这个数为， 依题意得到方程， 移项整理， ∴， ∴， ∴或， 故选：D． 10．满足方程的的值可以是（   ） A． B．0 C．1 D．2 【答案】A 【分析】本题考查了解一元二次方程．通过因式分解二次方程，直接求解得到根，并验证选项． 【详解】解：∵方程可因式分解为， ∴或， ∴或． 故选：A． 配方法 11．用配方法解一元二次方程，配方后得到的方程是（） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了配方法解一元二次方程，熟练掌握配方法解一元二次方程是解题的关键．使用配方法将一元二次方程转化为完全平方形式，通过添加和减去一次项系数一半的平方完成配方． 【详解】解：原方程：， 一次项系数为，其一半为，平方为， ， 即， ， 移项得， 故配方后方程为， 故选：C． 12．如图，是佳佳用配方法解方程时的过程，她在解答过程中开始出错的步骤为（   ） 解：，① ，② ，③ ，．④ A．① B．② C．③ D．④ 【答案】B 【分析】本题考查了利用配方法解一元二次方程．佳佳在配方法过程中，步骤②添加平方数时未保持方程平衡，导致错误． 【详解】解：原方程化简为， 移项得， 配方得，即， 但步骤②直接写为，即加4未调整右边，破坏方程平衡， ∴ 错误从步骤②开始． 故选：B． 13．用配方法解方程时，配方后得到的方程为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了解一元二次方程——配方法：将一元二次方程配成的形式，再利用直接开平方法求解，这种解一元二次方程的方法叫配方法． 先把移到方程的右边，然后方程两边都加16，再把左边根据完全平方公式写成完全平方的形式，两边同时开平方即可． 【详解】解：原方程为 ， 移项得 ， 配方：一次项系数为，一半为，平方为 16， 添加 16 到两边：， 左边化为完全平方：． 故配方后方程为 ， 故选C． 14．用配方法解方程时，原方程变形正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查配方法解一元二次方程，通过移项和配方将方程转化为完全平方形式． 【详解】解：∵ ， ∴ 移项得 ， ∴ 配方得 ， 即 ． 故选：A． 15．用配方法解方程，配方后所得的方程是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了配方法解一元二次方程：（1）把常数项移到等号的右边；（2）把二次项的系数化为1；（3）等式两边同时加上一次项系数一半的平方．先把常数项移项，然后在等式的两边同时加上一次项系数的一半的平方即可得到答案． 【详解】解： 移项得：， 配方得：，即， 故选：A． 公式法 16．定义一种新运算：，，则方程的解是（   ） A．， B．， C．， D．， 【答案】A 【分析】本题主要考查了新定义运算与一元二次方程的求解，熟练掌握新运算的定义并将其转化为常规方程是解题的关键． 根据新运算的定义，将方程左右两边分别转化为代数表达式，得到一元二次方程，然后求解． 【详解】∵，， ∴方程的左边：， 方程的右边：， ∴方程化为， 展开：， 即， 移项：， 解方程：， ∴，， 故选：A． 17．用公式法解方程时，a，b，c的值分别为（   ） A．2，6，3 B．2，， C．，6， D．2，6， 【答案】B 【分析】本题考查了一元二次方程的一般形式，公式法解一元二次方程，首先要把方程化成一般形式，其中叫二次项，叫一次项，是常数项，其中，，分别叫二次项系数，一次项系数，常数项． 【详解】解：∵原方程， 移项得， ∴，，． 故选：B． 18．已知关于，的多项式，（、为常数），则下列说法： ①当时，若，则； ②当，时，若，则； ③当，时，若，则． 其中正确说法的个数为（   ） A．0 B．1 C．2 D．3 【答案】A 【分析】本题主要考查了一元二次方程的解法，完全平方公式．熟练掌握完全平方公式，算术平方根的非负性，一元二次方程的解法是解题的关键． 将、代入多项式，再根据条件解方程即可求解． 【详解】解：①当 时，若 ，则 ， ∴ ∴ 或 ． 当 时，不一定成立，故①说法错误， 说法②：当，时，若， 即：， ∴ 则 或． 故说法②错误． 说法③：当，时，， 代入，得， 整理得： 当时，， 解得：， 当时，，此方程无解； 当时，， 解得：， 说法③错误． 综上所述：所有三个说法均错误．正确说法个数为 0． 故选A． 19．若关于的一元二次方程的根为，则这个方程是（　　） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题主要考查一元二次方程的解法，熟练掌握求根公式是解题的关键；通过比较给出的求根公式与标准求根公式，确定系数a、b、c的值，从而得到原方程． 【详解】解：∵一元二次方程的标准求根公式为， 给出的根为， ∴比较分母：，∴； 比较分子：，∴； 根号内部分：， 但给出的根号内为 ， ∴ ，解得； ∴原方程为； 故选：D． 20．若关于的一元二次方程的根为，则这个方程是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了公式法解一元二次方程，通过比较给出的求根公式与标准求根公式，确定系数a、b、c的值，从而得到原方程，掌握相关知识是解题的关键． 【详解】解：由题意可得：， ∴，， 解得，， ∵， ∴， ∴原方程为， 故选：B． 根据判别式判断根的情况 21．下列方程中，有两个不等实数根的是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】此题考查判断一元二次方程的根的情况，通过计算每个方程的判别式，判断实数根的情况：若，则有两个不等实数根；若，则有两个相等实数根；若，则无实数根． 【详解】解：对于A：，∵ , ∴ ，故有两个不等实数根； 对于B：，∵, ∴，故无实数根； 对于C：，∵, ∴，故无实数根； 对于D：，整理得，∵, ∴，故无实数根； 综上，只有A有两个不等实数根， 故选：A． 22．不解方程，判断一元二次方程的根的情况，下列结论正确的是（    ） A．有两个不相等的实数根 B．有两个相等的实数根 C．只有一个实数根 D．没有实数根 【答案】B 【分析】本题考查了一元二次方程根的判别式，熟练掌握用一元二次方程根的判别式来判断根的情况是解题的关键．当判别式时，一元二次方程有两个相等的实数根．通过计算判别式的值来判断根的情况即可． 【详解】解：， 方程有两个相等的实数根． 故选：B． 23．下列方程中，有两个不相等的实数根的是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题主要考查了一元二次方程根的判别式，熟练掌握根的判别式及根据判断根的情况是解题的关键． 通过计算每个一元二次方程的判别式，判断实数根的情况：时有两个不相等的实数根． 【详解】对于A：，无实数根； 对于B：，有两个相等的实数根； 对于C：，无实数根； 对于D：，有两个不相等的实数根． 故选：D． 24．下列关于的一元二次方程有实数根的是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查一元二次方程根的判别式，掌握相关知识是解决问题的关键．通过计算每个一元二次方程的判别式，判断是否有实数根．判别式Δ≥0时，方程有实数根． 【详解】解：A：， ，无实数根； B：， ，无实数根； C：，，无实数根； D：，，有实数根． 故选：D． 25．关于一元二次方程根的情况，下列说法正确的是（   ） A．有两个不相等的实数根 B．有两个相等的实数根 C．有一个实数根 D．没有实数根 【答案】A 【分析】本题考查一元二次方程根的判别式，熟练掌握一元二次方程根的判别式是解题关键． 通过计算判别式的值来判断一元二次方程根的情况． 【详解】一元二次方程为 ， ， ， ∴方程有两个不相等的实数根． 故选A． 根于系数的关系 26．一元二次方程的两根分别为和，则的值为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查一元二次方程根与系数的关系，和是方程 的两个根，根据一元二次方程的根与系数的关系可得： 【详解】解： 方程 中，， . 故选：C． 27．关于的方程的两个根的平方和是，则的值是（    ） A．或6 B．2 C．6 D． 【答案】D 【分析】本题考查一元二次方程根与系数的关系，根的判别式，掌握相关知识是解决问题的关键．设方程的两根为，，根据根与系数的关系得，，利用 得到关于 的方程，解方程后验证判别式是否非负． 【详解】解：∵，，且 ， ∴， 即 ， ∴ ， 解得 或 ． 又∵ 方程有实数根， ∴ ． 当 时，， 舍去； 当 时，， ∴ ． 故选：D． 28．设a，b是方程的两个实数根，则的值为（   ） A．4050 B．4054 C． D． 【答案】B 【分析】本题考查根与系数的关系，根据根与系数的关系得到，整体代入法求值即可． 【详解】解：∵、是方程的两个实数根， ， ， 故选：B． 29．已知方程的两个根都是整数，则的值有（    ）个． A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】D 【分析】本题考查一元二次方程根与系数的关系，掌握分类讨论的思想是解题的关键． 利用根与系数的关系，列出所有整数根对，计算对应的k值． 【详解】解：∵方程的两个根都是整数，且积为，设两个根分别为， ∴所有可能的整数根的组合为：． 又∵根的和， ∴计算各对的和： 其余对的和与上述重复， ∴不同的值为，共4个． 故选：D． 30．已知方程，有一个根是，则另外一个根是（   ）． A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查一元二次方程根与系数的关系，解题的关键是利用两根之和公式求出另一根． 设方程的另一个根为，根据一元二次方程根与系数的关系（两根之和等于），求出． 【详解】解：对于方程，设另一个根为， 根据一元二次方程根与系数的关系，两根之和为， 已知一个根是，则， 解得． 故选：D． 学科网（北京）股份有限公司 $